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Préparer le bac
P.158-159

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PRÉPARER LE
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Comment répondre aux questions du bac ?

1
Démontrer qu'une proposition est valable pour tout .

La plupart du temps, il suffira de réaliser une démonstration par récurrence (voir méthode p. 26)
Voir exercice
107
question 1. d.

2
Démontrer qu’une suite est géométrique.

Il faut faire apparaître la définition d'une suite géométrique : il existe un réel tel que, pour tout entier naturel , ou encore est le premier terme de la suite.
Voir exercice
104
question 3. a.

3
Calculer une limite.

On calcule toujours la limite d’une suite lorsque tend vers . On utilise les limites usuelles et les opérations sur les limites ou le théorème des gendarmes.
Voir exercice
104
question 3. c.

4
Démontrer qu’une suite est convergente.

On peut parfois calculer directement la limite (voir 3) ou utiliser le théorème de convergence monotone.
Voir exercice
105
question 4. a.
Voir les réponses
104
[D'après bac S, Asie, juin 2019]
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. Une tasse de café est servie à une température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée .
Le but de cet exercice est d’étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant un modèle utilisant une suite.
Dans cette partie, pour tout entier naturel , on note la température du café à l’instant , avec exprimée en degré Celsius et en minute. On a ainsi .

Aide
Information n°1 importante de l’énoncé à retenir et à noter sur sa feuille de brouillon.

On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques et par l’égalité est une constante réelle.
Dans la suite de l’exercice, on choisit et . Ainsi, pour tout entier naturel , on a : .

Aide
Information n°2 importante de l’énoncé à retenir et à noter sur sa feuille de brouillon.

1. D’après le contexte, peut‑on conjecturer le sens de variations de la suite  ?


Aide
Que représente dans ce problème ?

2. Montrer que, pour tout entier naturel  : .


Aide
Il suffit d’isoler à partir de l’information n°2.

3. On pose, pour tout entier naturel , .
a. Montrer que est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme .


Aide
Il faut exprimer en fonction de pour déterminer une expression d’une suite géométrique.

b. Montrer que, pour tout entier naturel , on a : .


Aide
La question précédente est certainement utile.

c. Déterminer la limite de la suite .


Aide
Comment déterminer la limite de  ?

4. On considère l’algorithme suivant.


a. On affecte 80 à la variable et à la variable .
Quelle valeur numérique contient la variable à la fin de l’exécution de l’algorithme ?


Aide
Il faut exécuter l’algorithme à la main en vérifiant à chaque fois la condition d’arrêt de la boucle.

b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.


Aide
Il faut savoir ce que représentent et .
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105
[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2014]
Partie A
On considère la fonction définie et dérivable sur l’intervalle par .
Déterminer le tableau de variations de sur .


Partie B
On donne ci‑dessous la courbe représentative de la fonction dans un repère du plan. La droite d’équation a aussi été tracée.

Suites - Préparer le bac - exercice 105

Soit la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Reproduire le graphique et, en utilisant la courbe et la droite , placer les points , et d’ordonnées nulles et d’abscisses respectives , et . Laisser les tracés explicatifs apparents.

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2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel , .


3. Montrer que la suite est décroissante.


4. a. Montrer que la suite est convergente.


b. On admet que la limite de la suite est solution de l’équation .
Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.


Partie C
On considère la suite définie pour tout entier naturel par .
Compléter l’algorithme ci-dessous pour calculer .


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106
[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2014]
On considère la suite numérique définie sur par : et, pour tout entier naturel , .

Partie A : Conjecture
1. Calculer les valeurs exactes de et .


2. Donner une valeur approchée à près de et .


3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite .


Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique définie, pour tout entier naturel , par .

1. Montrer que, pour tout entier naturel , .


2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .


3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel , .


b. En déduire le sens de variation de la suite .


4. Pourquoi peut‑on affirmer que la suite converge ?


5. On note la limite de la suite et on admet que appartient à l’intervalle et vérifie l’égalité . Déterminer la valeur de .


6. Les conjectures de la partie A sont‑elles validées ?
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107
[D’après bac S, Métropole-La Réunion, septembre 2013]
On considère la suite définie sur par et, pour tout entier naturel , .
On admet que, pour tout entier naturel , .

1. a. Calculer , , et . On pourra en donner une valeur approchée à près.


b. Vérifier que si est l’un des entiers , , , , , alors a le même signe que .


c. Établir que, pour tout entier naturel  : .


d. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel , a le même signe que .


2. Pour tout entier naturel , on pose .
a. Établir que, pour tout entier naturel , .


b. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .
En déduire l’expression de en fonction de .


c. On admet que, pour tout entier naturel , .
Exprimer en fonction de et déterminer la limite de la suite .
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