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Préparer le bac
P.158-159

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PRÉPARER LE
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Comment répondre aux questions du bac ?

1
Démontrer qu'une proposition est valable pour tout nn.

La plupart du temps, il suffira de réaliser une démonstration par récurrence (voir méthode p. 26)
Voir exercice
107
question 1. d.

2
Démontrer qu’une suite (un)(u_n) est géométrique.

Il faut faire apparaître la définition d'une suite géométrique : il existe un réel qq tel que, pour tout entier naturel nn, un+1=un×qu_{n+1}=u_{n} \times q ou encore un=u0×qnu_{n}=u_{0} \times q^{n}u0u_0 est le premier terme de la suite.
Voir exercice
104
question 3. a.

3
Calculer une limite.

On calcule toujours la limite d’une suite lorsque nn tend vers ++\infty. On utilise les limites usuelles et les opérations sur les limites ou le théorème des gendarmes.
Voir exercice
104
question 3. c.

4
Démontrer qu’une suite est convergente.

On peut parfois calculer directement la limite (voir 3) ou utiliser le théorème de convergence monotone.
Voir exercice
105
question 4. a.
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104
[D'après bac S, Asie, juin 2019]
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. Une tasse de café est servie à une température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée M\text{M}.
Le but de cet exercice est d’étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant un modèle utilisant une suite.
Dans cette partie, pour tout entier naturel nn, on note Tn\mathrm{T}_n la température du café à l’instant nn, avec Tn\mathrm{T}_n exprimée en degré Celsius et nn en minute. On a ainsi T0=80\mathrm{T}_0=80.

Aide
Information n°1 importante de l’énoncé à retenir et à noter sur sa feuille de brouillon.

On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques nn et n+1n+1 par l’égalité Tn+1Tn=k(TnM)\mathrm{T}_{n+1}-\mathrm{T}_{n}=k\left(\mathrm{T}_{n}-\mathrm{M}\right)kk est une constante réelle.
Dans la suite de l’exercice, on choisit M=10\text{M}=10 et k=0,2k=-0,2. Ainsi, pour tout entier naturel nn, on a : Tn+1Tn=0,2(Tn10)\mathrm{T}_{n+1}-\mathrm{T}_{n}=-0,2\left(\mathrm{T}_{n}-10\right).

Aide
Information n°2 importante de l’énoncé à retenir et à noter sur sa feuille de brouillon.

1. D’après le contexte, peut‑on conjecturer le sens de variations de la suite (Tn)(\mathrm{T}_n) ?


Aide
Que représente Tn\mathrm{T}_n dans ce problème ?

2. Montrer que, pour tout entier naturel nn : Tn+1=0,8Tn+2\mathrm{T}_{n+1}=0,8 \mathrm{T}_{n}+2.


Aide
Il suffit d’isoler Tn+1\mathrm{T}_{n+1} à partir de l’information n°2.

3. On pose, pour tout entier naturel nn, un=Tn10u_{n}=\mathrm{T}_{n}-10.
a. Montrer que (un)(u_n) est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme u0u_0.


Aide
Il faut exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_n pour déterminer une expression d’une suite géométrique.

b. Montrer que, pour tout entier naturel nn, on a : Tn=70×0,8n+10\mathrm{T}_{n}=70 \times 0,8^{n}+10.


Aide
La question précédente est certainement utile.

c. Déterminer la limite de la suite (Tn)(\mathrm{T}_{n}).


Aide
Comment déterminer la limite de qnq_n ?

4. On considère l’algorithme suivant.

Tant que T>40:T0,8T+2nn+1Fin tant que \boxed{ \begin{array} { l } \text {Tant que } \mathrm{T} > 40 : \\ \quad \quad \mathrm{T} \leftarrow 0,8 \mathrm{T}+2 \\ \quad \quad n \leftarrow n+1 \\ \text {Fin tant que} \end{array} }

a. On affecte 80 à la variable T\text{T} et 00 à la variable nn.
Quelle valeur numérique contient la variable nn à la fin de l’exécution de l’algorithme ?


Aide
Il faut exécuter l’algorithme à la main en vérifiant à chaque fois la condition d’arrêt de la boucle.

b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.


Aide
Il faut savoir ce que représentent nn et T\text{T}.
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105
[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2014]
Partie A
On considère la fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;+[[0 ;+\infty[ par f(x)=xexf(x)=x \mathrm{e}^{-x}.
Déterminer le tableau de variations de ff sur [0 ;+[[0 ;+\infty[.


Partie B
On donne ci‑dessous la courbe Cf\mathcal{C}_{f} représentative de la fonction ff dans un repère du plan. La droite Δ\Delta d’équation y=xy = x a aussi été tracée.

Suites - Préparer le bac - exercice 105

Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

1. Reproduire le graphique et, en utilisant la courbe Cf\mathcal{C}_{f} et la droite Δ\Delta, placer les points A0\mathrm{A}_0, A1\mathrm{A}_1 et A2\mathrm{A}_2 d’ordonnées nulles et d’abscisses respectives u0u_0, u1u_1 et u2u_2. Laisser les tracés explicatifs apparents.

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2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel nn, un>0u_{n}>0.


3. Montrer que la suite (un)(u_n) est décroissante.


4. a. Montrer que la suite (un)(u_n) est convergente.


b. On admet que la limite de la suite (un)(u_n) est solution de l’équation xex=xx \mathrm{e}^{-x}=x.
Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.


Partie C
On considère la suite (Sn)\left(\mathrm{S}_{n}\right) définie pour tout entier naturel nn par Sn=k=0nuk=u0+u1++un\mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}.
Compléter l’algorithme ci-dessous pour calculer S100\mathrm{S}_{100}.

uSPour k variant de 1 aˋ :uu×euSFin Pour  \boxed{ \begin{array} { l } {u} \leftarrow \ldots \\ {\mathrm{S}} \leftarrow \ldots \\ \text {Pour } k \text { variant de 1 à } \ldots : \\ \quad {u} \leftarrow {u \times \mathrm{e}^{-u}} \\ \quad {\mathrm{S}} \leftarrow \ldots \\ \text {Fin Pour } \\ \end{array} }

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106
[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2014]
On considère la suite numérique (un)(u_n) définie sur N\mathbb{N} par : u0=2u_0=2 et, pour tout entier naturel nn, un+1=12un2+3un32u_{n+1}=-\dfrac{1}{2} u_{n}^{2}+3 u_{n}-\dfrac{3}{2}.

Partie A : Conjecture
1. Calculer les valeurs exactes de u1u_1 et u2u_2.


2. Donner une valeur approchée à 10510^{-5} près de u3u_3 et u4u_4.


3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un)(u_n).


Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique (vn)(v_n) définie, pour tout entier naturel nn, par vn=un3v_n=u_n-3.

1. Montrer que, pour tout entier naturel nn, vn+1=12vn2v_{n+1}=-\dfrac{1}{2} v_{n}^{2}.


2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 1vn0-1 \leqslant v_{n} \leqslant 0.


3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, vn+1vn=vn(12vn+1)v_{n+1}-v_{n}=-v_{n}\left(\dfrac{1}{2} v_{n}+1\right).


b. En déduire le sens de variation de la suite (vn)(v_n).


4. Pourquoi peut‑on affirmer que la suite (vn)(v_n) converge ?


5. On note \ell la limite de la suite (vn)(v_n) et on admet que \ell appartient à l’intervalle [1 ; 0][-1 ; 0] et vérifie l’égalité =122\ell=-\dfrac{1}{2} \ell^{2}. Déterminer la valeur de \ell.


6. Les conjectures de la partie A sont‑elles validées ?
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107
[D’après bac S, Métropole-La Réunion, septembre 2013]
On considère la suite (un)(u_n) définie sur N\mathbb{N} par u0=2u_0=2 et, pour tout entier naturel nn, un+1=un+22un+1u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+2}{2 u_{n}+1}.
On admet que, pour tout entier naturel nn, un>0u_{n}>0.

1. a. Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4. On pourra en donner une valeur approchée à 10210^{-2} près.


b. Vérifier que si nn est l’un des entiers 00, 11, 22, 33, 44, alors un1u_n-1 a le même signe que (1)n(-1)^n.


c. Établir que, pour tout entier naturel nn : un+11=un+12un+1u_{n+1}-1=\dfrac{-u_{n}+1}{2 u_{n}+1}.


d. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel nn, un1u_n-1 a le même signe que (1)n(-1)^n.


2. Pour tout entier naturel nn, on pose vn=un1un+1v_{n}=\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+1}.
a. Établir que, pour tout entier naturel nn, vn+1=un+13un+3v_{n+1}=\dfrac{-u_{n}+1}{3 u_{n}+3}.


b. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison 13-\dfrac{1}{3}.
En déduire l’expression de vnv_n en fonction de nn.


c. On admet que, pour tout entier naturel nn, un=1+vn1vnu_{n}=\dfrac{1+v_{n}}{1-v_{n}}.
Exprimer unu_n en fonction de nn et déterminer la limite de la suite (un)(u_n).
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