Sommaire

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 4

Méthode BAC

Préparer le BAC

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Comment répondre aux questions du bac ?

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1
Démontrer qu'une proposition est valable pour tout $n$ .

La plupart du temps, il suffira de réaliser une démonstration par récurrence (voir

méthode p. 26

)

Voir exercice

107

question 1. d.

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2
Démontrer qu'une suite $(u_{n})$ est géométrique.

Il faut faire apparaître la définition d'une suite géométrique : il existe un réel

q

tel que, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = u_{n} \times q

ou encore

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

où

u_{0}

est le premier terme de la suite.

Voir exercice

104

question 3. a.

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3
Calculer une limite.

On calcule toujours la limite d'une suite lorsque

n

tend vers

+ \infty

. On utilise les limites usuelles et les opérations sur les limites ou le théorème des gendarmes.

Voir exercice

104

question 3. c.

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4
Démontrer qu'une suite est convergente.

On peut parfois calculer directement la limite (voir 3) ou utiliser le théorème de convergence monotone.

Voir exercice

105

question 4. a.

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Exercice guidé

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104
[D'après bac S, Asie, juin 2019]
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. Une tasse de café est servie à une température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée

M

.
Le but de cet exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant un modèle utilisant une suite.
Dans cette partie, pour tout entier naturel

n

, on note

T_{n}

la température du café à l'instant

n

, avec

T_{n}

exprimée en degré Celsius et

n

en minute. On a ainsi

T_{0} = 80

Aide

Information n°1 importante de l'énoncé à retenir et à noter sur sa feuille de brouillon.

On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques

n

n + 1

par l'égalité

T_{n + 1} - T_{n} = k (T_{n} - M)

où

k

est une constante réelle.
Dans la suite de l'exercice, on choisit

M = 10

k = - 0, 2

. Ainsi, pour tout entier naturel

n

, on a :

T_{n + 1} - T_{n} = - 0, 2 (T_{n} - 10)

Aide

Information n°2 importante de l'énoncé à retenir et à noter sur sa feuille de brouillon.

1. D'après le contexte, peut‑on conjecturer le sens de variations de la suite

(T_{n})

Aide

Que représente

T_{n}

dans ce problème ?

2. Montrer que, pour tout entier naturel

n

T_{n + 1} = 0, 8 T_{n} + 2

Aide

Il suffit d'isoler

T_{n + 1}

à partir de l'information n°2.

3. On pose, pour tout entier naturel

n

u_{n} = T_{n} - 10.

a. Montrer que

(u_{n})

est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme

u_{0} .

Aide

Il faut exprimer

u_{n + 1}

en fonction de

u_{n}

pour déterminer une expression d'une suite géométrique.

b. Montrer que, pour tout entier naturel

n

, on a :

T_{n} = 70 \times 0, 8^{n} + 10

Aide

La question précédente est certainement utile.

c. Déterminer la limite de la suite

(T_{n})

Aide

Comment déterminer la limite de

q_{n}

4. On considère l'algorithme suivant.

Tant que T > 40 : T \leftarrow 0, 8 T + 2 n \leftarrow n + 1 Fin tant que

a. On affecte 80 à la variable

T

0

à la variable

n

.
Quelle valeur numérique contient la variable

n

à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

Aide

Il faut exécuter l'algorithme à la main en vérifiant à chaque fois la condition d'arrêt de la boucle.

b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Aide

Il faut savoir ce que représentent

n

T

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Exercices

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105
[D'après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2014]

Partie A

On considère la fonction

f

définie et dérivable sur l'intervalle

[0; + \infty [

par

f (x) = x e^{- x}

.
Déterminer le tableau de variations de

f

sur

[0; + \infty [

Partie B

On donne ci‑dessous la courbe

C_{f}

représentative de la fonction

f

dans un repère du plan. La droite

Δ

d'équation

y = x

a aussi été tracée.

Soit la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 1

et, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = f (u_{n})

.

1. Reproduire le graphique et, en utilisant la courbe

C_{f}

et la droite

Δ

, placer les points

A_{0}

A_{1}

A_{2}

d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives

u_{0}

u_{1}

u_{2}

. Laisser les tracés explicatifs apparents.

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2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel

n

u_{n} > 0

3. Montrer que la suite

(u_{n})

est décroissante.

4. a. Montrer que la suite

(u_{n})

est convergente.

b. On admet que la limite de la suite

(u_{n})

est solution de l'équation

x e^{- x} = x

.
Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.

Partie C

On considère la suite

(S_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}

.
Compléter l'algorithme ci-dessous pour calculer

S_{100}

u \leftarrow \dots S \leftarrow \dots Pour k variant de 1 a ˋ \dots : u \leftarrow u \times e^{- u} S \leftarrow \dots Fin Pour

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106
[D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2014]
On considère la suite numérique

(u_{n})

définie sur

N

par :

u_{0} = 2

et, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = - \frac{1}{2} u_{n}^{2} + 3 u_{n} - \frac{3}{2}

Partie A : Conjecture

1. Calculer les valeurs exactes de

u_{1}

u_{2}

2. Donner une valeur approchée à

1 0^{- 5}

près de

u_{3}

u_{4}

3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite

(u_{n})

Partie B : Validation des conjectures

On considère la suite numérique

(v_{n})

définie, pour tout entier naturel

n

, par

v_{n} = u_{n} - 3

.
1. Montrer que, pour tout entier naturel

n

v_{n + 1} = - \frac{1}{2} v_{n}^{2}

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

- 1 ⩽ v_{n} ⩽ 0

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel

n

v_{n + 1} - v_{n} = - v_{n} (\frac{1}{2} v_{n} + 1)

b. En déduire le sens de variation de la suite

(v_{n})

4. Pourquoi peut‑on affirmer que la suite

(v_{n})

converge ?

5. On note

ℓ

la limite de la suite

(v_{n})

et on admet que

ℓ

appartient à l'intervalle

[- 1; 0]

et vérifie l'égalité

ℓ = - \frac{1}{2} ℓ^{2}

. Déterminer la valeur de

ℓ

6. Les conjectures de la partie A sont‑elles validées ?

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107
[D'après bac S, Métropole-La Réunion, septembre 2013]
On considère la suite

(u_{n})

définie sur

N

par

u_{0} = 2

et, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 2}{2 u _{n} + 1}

.
On admet que, pour tout entier naturel

n

u_{n} > 0

. 1. a. Calculer

u_{1}

u_{2}

u_{3}

u_{4}

. On pourra en donner une valeur approchée à

1 0^{- 2}

près.

b. Vérifier que si

n

est l'un des entiers

0

1

2

3

4

, alors

u_{n} - 1

a le même signe que

(- 1)^{n}

c. Établir que, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} - 1 = \frac{- u _{n} + 1}{2 u _{n} + 1}

d. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel

n

u_{n} - 1

a le même signe que

(- 1)^{n}

2. Pour tout entier naturel

n

, on pose

v_{n} = \frac{u _{n} - 1}{u _{n} + 1}

.
a. Établir que, pour tout entier naturel

n

v_{n + 1} = \frac{- u _{n} + 1}{3 u _{n} + 3}

b. Démontrer que la suite

(v_{n})

est une suite géométrique de raison

- \frac{1}{3}

.
En déduire l'expression de

v_{n}

en fonction de

n

c. On admet que, pour tout entier naturel

n

u_{n} = \frac{1 + v _{n}}{1 - v _{n}}

.
Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

et déterminer la limite de la suite

(u_{n})

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1Démontrer qu'une proposition est valable pour tout n.

2Démontrer qu'une suite (un​) est géométrique.

3Calculer une limite.

4Démontrer qu'une suite est convergente.

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Partie A

Partie B

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Partie C

Partie A : Conjecture

Partie B : Validation des conjectures

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1
Démontrer qu'une proposition est valable pour tout $n$ .

2
Démontrer qu'une suite $(u_{n})$ est géométrique.

3
Calculer une limite.

4
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