Exercices d'auto‑évaluation

13

Quelles sont les fonctions continues sur \mathbb{R} ?

a. x \mapsto \mathrm{e}^{3 x}

b. x \mapsto|x+1|

c. x \mapsto \sqrt{x^{2}+1}

d. x \mapsto \frac{2}{x+1}

14

On considère l'équation x^{2}+x+1=\frac{1}{x}.

a. Elle n'a aucune solution sur ]0 ;+\infty[.

b. Elle a une seule solution sur ]0 ;+\infty[.

c. Elle a deux solutions sur ]0 ;+\infty[.

d. On ne peut rien affirmer sur le nombre de solutions.

15

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle \text{I}. Alors :

a. f \times g est continue sur \text{I}.

b. g \times \sqrt{f} est continue sur \text{I}.

c. 5 f+6 g est continue sur \text{I}.

d. (f-g)(f+g) est continue sur \text{I}.

16

Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 0{,}5 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{2}{u_{n}+1}. Alors :

a. u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) avec f: x \mapsto \frac{2}{x+1}

b. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-2

c. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=1

d.\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{2}{x+1}=0

A

On définit la fonction f par f(x)=x^{2} si x < 0 et par f(x)=\text{e}^{x}+1 sinon. Cette fonction est-elle continue en 0 ?

a. Oui

b. Non

B

Vrai ou faux ? La fonction f \colon x \mapsto |x| est continue en 0.

a. Vrai

b. Faux

C

Si f est continue sur \mathbb{R} avec \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty et \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-\infty , que peut-on dire de l'équation f(x)=0 ?

a. Elle n'admet pas de solution.

b. Elle admet une infinité de solutions.

c. Elle admet une unique solution.

d. Elle admet au moins une solution.

D

Quel est le nombre exact de solutions de l'équation f(x)=0{,}5 sur [1\, ; +\infty[ ?

a. 1

b. 2

c. 3

d. Aucune.

E

Soit (u_n) une suite définie par u_{n+1}=f(u_n) avec f \colon x \mapsto \dfrac{-4}{x+4} . Si (u_n) converge, alors quelle est sa limite ?

a. -2

b. 2 et -2 .

c. 2

d. 0

F

Sur quels intervalles la fonction f \colon x \mapsto \dfrac{1}{x+2} est-elle continue ?

a. Sur \mathbb{R}.

b.Sur ]\infty\ ; 0].

c. Sur ]-\infty \ ; -2[ .

d. Sur ]-2 \ ; + \infty[ .

G

Soit f une fonction continue sur \mathbb{R} . Dans quels cas l'équation f(x)=0 admet-elle nécessairement au moins une solution sur [3\, ; 4] ?

a. f(3) \times f(4)=0

b. f(3) \times f(4) < 0

c. f(3) \times f(4) > 0

H

Soient (u_n) la suite définie par u_n\ =\ -7\left ( \frac{1}{5} \right )^n et la fonction f \colon x \mapsto \text{e}^{x} .

a. (u_n) diverge vers - \infty.

b. (u_n) converge vers 0 .

c. \left ( f(u_{n}) \right ) converge vers 1 .

d. \left ( f(u_{n}) \right ) converge vers 0 .