Méthode par dichotomie

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{0,5x}+x^2-4$. On veut déterminer un encadrement d'une solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=0$ sur $[0;2]$.
La dichotomie consiste à partager l'intervalle $[a;b]$ en deux. On calcule $m=\frac{a+b}{2}$.
Il y a alors deux possibilités : soit $f(a)\times f(m)<0$, soit $f(m)\times f(b)<0$. On choisit le sous‑intervalle où il y a le changement de signe car il contient $\alpha$ et on poursuit.
Ici, $a=0$ et $b=2$ donc $m=1$.
$f(a)\times f(m)>0$ donc $f(a)$ et $f(m)$ ont le même signe donc $\alpha \notin [a;m]$.
$f(m)\times f(b)<0$ donc $f(m)$ et $f(b)$ sont de signes contraires donc $\alpha \in [m;b]$. Questions préliminaires :
1. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0;2]$.

2. En déduire que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;2]$.

À l'aide d'un tableur, on construit ce tableau. (Fichier téléchargeable

ici

.)


1. Quelle formule doit‑on entrer en E2 et F2 pour obtenir respectivement l'image de $b$ par $f$ et l'image de $m$ par $f$ ?

2. En utilisant la fonction SI(test ; valeur_si_vrai ; valeur_si_faux), quelle formule doit‑on entrer en A3 et B3 pour appliquer la méthode de dichotomie ?

3. a. Recopier les formules vers le bas et la droite pour obtenir un résultat semblable à celui‑ci :


b. Continuer jusqu'à déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-4}$ près.

1. Écrire sous Python une fonction retournant l'expression $f(x)$.

2. Compléter la fonction dichotomie qui retourne un encadrement de $\alpha$ avec une précision epsilon donnée.

from math import *
def f(x):
	return ...

def dichotomie(a, b, epsilon):
	while b - a > epsilon:
		m = (a + b)/2
		if f(a)*f(m) "= ... :
			b = ...
		else:
			a = ...
	return a, b

3. Donner alors un encadrement à $10^{-4}$ près de $\alpha$.