Soit f la fonction définie sur R par f(x)=e0,5x+x2−4.
On veut déterminer un encadrement d’une solution α de l’équation f(x)=0 sur [0;2].
La dichotomie consiste à partager l’intervalle [a;b] en deux. On calcule m=2a+b.
Il y a alors deux possibilités : soit f(a)×f(m)<0, soit f(m)×f(b)<0. On choisit le sous‑intervalle où il y a le changement de signe car il contient α et on poursuit.
Ici, a=0 et b=2 donc m=1. f(a)×f(m)>0 donc f(a) et f(m) ont le même signe donc α∈/[a;m]. f(m)×f(b)<0 donc f(m) et f(b) sont de signes contraires donc α∈[m;b].
Questions préliminaires : 1. Étudier le sens de variation de f sur [0;2].
2. En déduire que f(x)=0 admet une unique solution α sur [0;2].
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Objectif
Obtenir un encadrement de α à l'aide de la méthode par dichotomie en utilisant une des deux méthodes.
ÉTYMOLOGIE
Dichotomie vient du grec ancien διχoτoμια signifiant « division en deux parties ».
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
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À l’aide d’un tableur, on construit ce tableau. (Fichier téléchargeable ici.)
1. Quelle formule doit‑on entrer en E2 et F2 pour obtenir respectivement l’image de b par f et l’image de m par f ?
2. En utilisant la fonction SI(test ; valeur_si_vrai ; valeur_si_faux), quelle formule doit‑on entrer en A3 et B3 pour appliquer la méthode de dichotomie ?
3.a. Recopier les formules vers le bas et la droite pour obtenir un résultat semblable à celui‑ci :
b. Continuer jusqu’à déterminer un encadrement de
α à 10−4 près.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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On veut implémenter un programme Python pour obtenir une valeur approchée de α à 10−4 près.
1. Écrire sous Python une fonction retournant l’expression f(x).
2. Compléter la fonction dichotomie qui retourne un encadrement de α avec une précision epsilon donnée.
from math import *
def f(x):
return ...
def dichotomie(a, b, epsilon):
while b - a > epsilon:
m = (a + b)/2
if f(a)*f(m) <= ... :
b = ...
else:
a = ...
return a, b
3. Donner alors un encadrement à 10−4 près de α.
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Pour aller plus loin
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Pour obtenir un encadrement de la solution de l’équation f(x)=k, il suffit d’appliquer ce qui précède à la fonction g définie par g(x)=f(x)−k.
Déterminer alors la solution, à 10−4 près, de l’équation f(x)=−2 sur [0;2].
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