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TP1. Méthode par dichotomie
P.200

TP / TICE 1


1
Méthode par dichotomie





Méthode par dichotomie

Énoncé

Soit la fonction définie sur par .
On veut déterminer un encadrement d’une solution de l’équation sur .
La dichotomie consiste à partager l’intervalle en deux. On calcule .
Il y a alors deux possibilités : soit , soit . On choisit le sous‑intervalle où il y a le changement de signe car il contient et on poursuit.
Ici, et donc .
donc et ont le même signe donc .
donc et sont de signes contraires donc .

Questions préliminaires :
1. Étudier le sens de variation de sur .


2. En déduire que admet une unique solution sur .
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Objectif

Obtenir un encadrement de à l'aide de la méthode par dichotomie en utilisant une des deux méthodes.

ÉTYMOLOGIE

Dichotomie vient du grec ancien signifiant « division en deux parties ».
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
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À l’aide d’un tableur, on construit ce tableau. (Fichier téléchargeable ici.)

maths spé - chapitre 6 - continuité - TP1. Méthode par dichotomie - MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1

1. Quelle formule doit‑on entrer en E2 et F2 pour obtenir respectivement l’image de par et l’image de par  ?


2. En utilisant la fonction SI(test ; valeur_si_vrai ; valeur_si_faux), quelle formule doit‑on entrer en A3 et B3 pour appliquer la méthode de dichotomie ?


3. a. Recopier les formules vers le bas et la droite pour obtenir un résultat semblable à celui‑ci :

maths spé - chapitre 6 - continuité - TP1. Méthode par dichotomie - MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1

b. Continuer jusqu’à déterminer un encadrement de à près.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

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On veut implémenter un programme Python pour obtenir une valeur approchée de à près.

1. Écrire sous Python une fonction retournant l’expression .

2. Compléter la fonction dichotomie qui retourne un encadrement de avec une précision epsilon donnée.

from math import *
def f(x):
	return ...

def dichotomie(a, b, epsilon):
	while b - a > epsilon:
		m = (a + b)/2
		if f(a)*f(m) <= ... :
			b = ...
		else:
			a = ...
	return a, b

3. Donner alors un encadrement à près de .
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Pour aller plus loin

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Pour obtenir un encadrement de la solution de l’équation , il suffit d’appliquer ce qui précède à la fonction définie par
Déterminer alors la solution, à près, de l’équation sur .
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