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Méthode par dichotomie

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{0,5x}+x^2-4$.
On veut déterminer un encadrement d’une solution $\alpha$ de l’équation $f(x)=0$ sur $[0;2]$.
La dichotomie consiste à partager l’intervalle $[a;b]$ en deux. On calcule $m=\frac{a+b}{2}$.
Il y a alors deux possibilités : soit $f(a)\times f(m)<0$, soit $f(m)\times f(b)<0$. On choisit le sous‑intervalle où il y a le changement de signe car il contient $\alpha$ et on poursuit.
Ici, $a=0$ et $b=2$ donc $m=1$.
$f(a)\times f(m)>0$ donc $f(a)$ et $f(m)$ ont le même signe donc $\alpha \notin [a;m]$.
$f(m)\times f(b)<0$ donc $f(m)$ et $f(b)$ sont de signes contraires donc $\alpha \in [m;b]$.

Questions préliminaires :
1. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0;2]$.


2. En déduire que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;2]$.