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TP1. Méthode par dichotomie
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TP / TICE 1


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Méthode par dichotomie





Méthode par dichotomie

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e0,5x+x24f(x)=\mathrm{e}^{0,5 x}+x^{2}-4.
On veut déterminer un encadrement d’une solution α\alpha de l’équation f(x)=0f(x) = 0 sur [0;2][0\,; 2].
La dichotomie consiste à partager l’intervalle [a;b][a\,; b] en deux. On calcule m=a+b2m=\dfrac{a+b}{2}.
Il y a alors deux possibilités : soit f(a)×f(m)<0f(a) \times f(m) \lt 0, soit f(m)×f(b)<0f(m) \times f(b) \lt 0. On choisit le sous‑intervalle où il y a le changement de signe car il contient α\alpha et on poursuit.
Ici, a=0a = 0 et b=2b = 2 donc m=1m = 1.
f(a)×f(m)>0f(a) \times f(m)>0 donc f(a)f(a) et f(m)f(m) ont le même signe donc α[a;m]\alpha \notin[a\,; m].
f(m)×f(b)<0f(m) \times f(b) \lt 0 donc f(m)f(m) et f(b)f(b) sont de signes contraires donc α[m;b]\alpha \in[m\,; b].

Questions préliminaires :
1. Étudier le sens de variation de ff sur [0;2][0\,; 2].


2. En déduire que f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur [0;2][0\,; 2].
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Objectif

Obtenir un encadrement de α\alpha à l'aide de la méthode par dichotomie en utilisant une des deux méthodes.

ÉTYMOLOGIE

Dichotomie vient du grec ancien διχoτoμια\delta \iota \chi o \tau o \mu \iota \alpha signifiant « division en deux parties ».
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
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À l’aide d’un tableur, on construit ce tableau. (Fichier téléchargeable ici.)

maths spé - chapitre 6 - continuité - TP1. Méthode par dichotomie - MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1

1. Quelle formule doit‑on entrer en E2 et F2 pour obtenir respectivement l’image de bb par ff et l’image de mm par ff ?


2. En utilisant la fonction SI(test ; valeur_si_vrai ; valeur_si_faux), quelle formule doit‑on entrer en A3 et B3 pour appliquer la méthode de dichotomie ?


3. a. Recopier les formules vers le bas et la droite pour obtenir un résultat semblable à celui‑ci :

maths spé - chapitre 6 - continuité - TP1. Méthode par dichotomie - MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1

b. Continuer jusqu’à déterminer un encadrement de α\alpha à 10410^{-4} près.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

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On veut implémenter un programme Python pour obtenir une valeur approchée de α\alpha à 10410^{-4} près.

1. Écrire sous Python une fonction retournant l’expression f(x)f(x).

2. Compléter la fonction dichotomie qui retourne un encadrement de α\alpha avec une précision epsilon donnée.

from math import *
def f(x):
	return ...

def dichotomie(a, b, epsilon):
	while b - a > epsilon:
		m = (a + b)/2
		if f(a)*f(m) <= ... :
			b = ...
		else:
			a = ...
	return a, b

3. Donner alors un encadrement à 10410^{-4} près de α\alpha.
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Pour aller plus loin

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Pour obtenir un encadrement de la solution de l’équation f(x)=kf(x) = k, il suffit d’appliquer ce qui précède à la fonction gg définie par g(x)=f(x)k.g(x) = f(x) - k.
Déterminer alors la solution, à 10410^{-4} près, de l’équation f(x)=2f(x) = -2 sur [0;2][0\,; 2].
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