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2. Le théorème des valeurs intermédiaires
P.205

Entraînement


2
Le théorème des valeurs intermédiaires





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

58
FLASH

désigne une fonction continue sur . Déterminer, en justifiant, si l’équation admet au moins une solution sur lorsque :

1. .


2. .


3. .
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59
FLASH

est une fonction continue sur dont voici le tableau de variations.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 59

Combien de solutions dans les équations suivantes admettent‑elles ?
 ;  ; .
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60
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur .
Quel est le nombre exact de solutions de l’équation sur  ?
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61
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur .
Démontrer que l’équation admet une unique solution sur .
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62
[Calculer.] ◉◉
On considère la fonction définie sur par .

1. Démontrer que l’équation admet une unique solution sur .


2. Déterminer un encadrement de à près.
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63
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur .

1. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

2. Démontrer que l’équation admet une unique solution sur .


3. Trouver toutes les valeurs du réel pour que l’équation admette une unique solution sur .
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64
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur .

1. Montrer que l’équation admet une unique solution réelle.


2. En proposer un encadrement d’amplitude .
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65
[Calculer.]
On considère la fonction définie sur par :
.

1. Démontrer que l’équation admet une unique solution sur .


2. Déterminer un encadrement de à près.
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66
[Calculer.]
Soient deux fonctions et définies sur .
Démontrer que l’équation admet une unique solution sur .
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67
[Chercher.] ◉◉
Montrer que l’équation admet une unique solution sur et que .
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68
[Chercher.]
Montrer que l’équation admet une unique solution sur et que .
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69
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit un entier naturel. On considère une fonction polynôme de degré  : pour tout de à et .

Démontrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.
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70
[Communiquer.]
Voici un programme écrit en Python.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 70

Expliquer, en justifiant, à quel problème permet de répondre ce programme.
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71
[Chercher.]
On considère une fonction continue sur l’intervalle . Compléter ce code Python pour obtenir en retour un encadrement à eps près d’une solution de .

def fct(a, b, eps):
	while b - a > eps:
		m = (a + b)/2
		if ...:
			b = ...
		else:
			a = ...
	return a, b
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72
[Raisonner.]
On considère la fonction définie sur par :
.

Un logiciel de calcul formel permet d’obtenir le résultat suivant.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 72

1. Démontrer que l’équation admet une unique solution sur .


2. En donner un encadrement de à près.
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73
[Raisonner.]
[DÉMO]

On souhaite démontrer la proposition suivante : « Si est continue et strictement monotone sur alors, pour tout compris entre et , l’équation admet une unique solution dans . »

1. Démontrer qu’il existe au moins une solution sur à l’équation .


2. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe deux réels distincts et dans tels que .
En utilisant la stricte monotonie de , terminer la démonstration de la proposition.
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