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Le théorème des valeurs intermédiaires

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

58

$f$ désigne une fonction continue sur $\mathbb{R}$. Déterminer, en justifiant, si l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $[1;2]$ lorsque :

1. $f(1)\times f(2)>0$.


2. $f(1)\times f(2)=0$.


3. $f(1)\times f(2)<0$.

59

$f$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ dont voici le tableau de variations.

Combien de solutions dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes admettent‑elles ?
$f(x)=0$ ; $f(x)=3$ ; $f(x)=10$.

60

[Calculer.]
Soit la fonction $f:x\mapsto x^3+2x^2-3x-1$ définie sur $\mathbb{R}$.
Quel est le nombre exact de solutions de l’équation $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$ ?

61

[Calculer.]
Soit la fonction $g:x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}-3$ définie sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

62

[Calculer.] ◉◉◉
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}+1$.

1. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.


2. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

63

[Calculer.]
Soit la fonction $f:x\mapsto x^3+x+1$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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2. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[-1;0]$.


3. Trouver toutes les valeurs du réel $k$ pour que l’équation $f(x)=k$ admette une unique solution sur $[-1;0]$.

64

[Calculer.]
Soit la fonction $h:x\mapsto {\mathrm{e}}^x+x$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une unique solution réelle.


2. En proposer un encadrement d’amplitude $0,1$.

65

[Calculer.]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(3x-4){\mathrm{e}}^{-x}$.
1. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;4]$.


2. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

66

[Calculer.]
Soient deux fonctions $f_1:x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ et $f_2:x\mapsto -x+2$ définies sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que l’équation $f_1(x)=f_2(x)$ admet une unique solution sur $[0;1]$.

67

[Chercher.] ◉◉◉
Montrer que l’équation $2{\mathrm{e}}^{2x}=\sqrt{5-x}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-\infty ;5]$ et que $\alpha \in [0;1]$.

68

[Chercher.]
Montrer que l’équation $2(x-1){\mathrm{e}}^{x-1}=x^2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ et que $\alpha \in [1,7;1,8]$.

69

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $n$ un entier naturel. On considère une fonction polynôme de degré $n$ : $f:x\mapsto a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0$ où $a_i\in \mathbb{R}$ pour tout $i$ de $0$ à $n$ et $a_n\ne 0$.

Démontrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.

70

[Communiquer.]
Voici un programme écrit en Python.

Expliquer, en justifiant, à quel problème permet de répondre ce programme.

71

[Chercher.]
On considère une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a;b]$. Compléter ce code Python pour obtenir en retour un encadrement à eps près d’une solution de $f(x)=1$.

def fct(a, b, eps):
	while b - a > eps:
		m = (a + b)/2
		if ...:
			b = ...
		else:
			a = ...
	return a, b

72

[Raisonner.]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x+2){\mathrm{e}}^{-0,5x}$.
Un logiciel de calcul formel permet d’obtenir le résultat suivant.

1. Démontrer que l’équation $f(x)=0,1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;50]$.


2. En donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

73

[Raisonner.]  

[DÉMO]

On souhaite démontrer la proposition suivante : « Si $f$ est continue et strictement monotone sur $\mathrm{I}=[a;b]$ alors, pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $\text{I}$. »

1. Démontrer qu’il existe au moins une solution sur $\text{I}$ à l’équation $f(x)=k$.


2. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe deux réels distincts $\alpha$ et $\beta$ dans $\text{I}$ tels que $f(\alpha )=f(\beta )=k$.
En utilisant la stricte monotonie de $f$, terminer la démonstration de la proposition.