Chapitre 6
Entraînement 2
Le théorème des valeurs intermédiaires
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58
Flash
f désigne une fonction continue sur \mathbb{R}. Déterminer, en justifiant, si l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur [1\,; 2] lorsque :
1. f(1) \times f(2)>0.
2. f(1) \times f(2)=0.
3. f(1) \times f(2) \lt 0.
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59
Flash
f est une fonction continue sur \mathbb{R} dont voici le tableau de variations.
Combien de solutions dans \mathbb{R} les équations suivantes admettent‑elles ?
f(x)=0 ; f(x)=3 ; f(x)=10.
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60
[Calculer.]
Soit la fonction f: x \mapsto x^{3}+2 x^{2}-3 x-1 définie sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre exact de solutions de l'équation f(x) = 0 sur \mathbb{R} ?
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61
[Calculer.]
Soit la fonction g: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}-3 définie sur \mathbb{R}.
Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution sur \mathbb{R}.
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62
[Calculer.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+1.
1. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution \alpha sur \mathbb{R}.
2. Déterminer un encadrement de \alpha à 10^{-1} près.
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63
[Calculer.]
Soit la fonction f: x \mapsto x^{3}+x+1 définie sur \mathbb{R}.
1. Dresser le tableau de variations de f sur \mathbb{R}.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur [-1\,;0].
3. Trouver toutes les valeurs du réel k pour que l'équation f(x) = k admette une unique solution sur [-1\,;0].
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64
[Calculer.]
Soit la fonction h: x \mapsto \mathrm{e}^{x}+x définie sur \mathbb{R}.
1. Montrer que l'équation h(x) = 0 admet une unique solution réelle.
2. En proposer un encadrement d'amplitude 0{,}1.
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65
[Calculer.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=(3 x-4) \mathrm{e}^{-x}.
1. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution \alpha sur [0\,;4].
2. Déterminer un encadrement de \alpha à 10^{-3} près.
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66
[Calculer.]
Soient deux fonctions f_{1}: x \mapsto \mathrm{e}^{x} et f_{2}: x \mapsto-x+2 définies sur \mathbb{R}.
Démontrer que l'équation f_{1}(x)=f_{2}(x) admet une unique solution sur [0\,;1].
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67
[Chercher.]
Montrer que l'équation 2 \mathrm{e}^{2 x}=\sqrt{5-x} admet une unique solution \alpha sur ]-\infty\,;5] et que \alpha \in[0\,;1].
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68
[Chercher.]
Montrer que l'équation 2(x-1) \mathrm{e}^{x-1}=x^{2} admet une unique solution \alpha sur \mathbb{R} et que \alpha \in[1{,}7\,; 1{,}8].
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69
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel. On considère une fonction polynôme de degré n : f: x \mapsto a_{n} x^{n}+\ldots+a_{1} x+a_{0} où a_{i} \in \mathbb{R} pour tout i de 0 à n et a_{n} \neq 0.
Démontrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.
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70
[Communiquer.]
Voici un programme écrit en Python.
Expliquer, en justifiant, à quel problème permet de répondre ce programme.
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71
[Chercher.]
On considère une fonction f continue sur l'intervalle [a\,;b]. Compléter ce code Python pour obtenir en retour un encadrement à eps près d'une solution de f(x) = 1.
def fct(a, b, eps): while b - a > eps: m = (a + b)/2 if ...: b = ... else: a = ... return a, b
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72
[Raisonner.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=(x+2) \mathrm{e}^{-0,5 x}.
Un logiciel de calcul formel permet d'obtenir le résultat suivant.
1. Démontrer que l'équation f(x) = 0{,}1 admet une unique solution \alpha sur [0\,; 50].
2. En donner un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.
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73
Démo
[Raisonner.]
On souhaite démontrer la proposition suivante : « Si f est continue et strictement monotone sur \mathrm{I}=[a\,;b] alors, pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans \text{I}. »
1. Démontrer qu'il existe au moins une solution sur \text{I} à l'équation f(x) = k.
2. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe deux réels distincts \alpha et \beta dans \text{I} tels que f(\alpha)=f(\beta)=k.
En utilisant la stricte monotonie de f, terminer la démonstration de la proposition.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
