Parcours 1 : exercices

50

 ;

54

 ;

62

et

80

Parcours 2 : exercices

52

 ;

67

et

78

Parcours 3 : exercices

57

 ;

69

et

77

58

f désigne une fonction continue sur \mathbb{R}. Déterminer, en justifiant, si l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur [1\,; 2] lorsque :

1. f(1) \times f(2)>0.

2. f(1) \times f(2)=0.

3. f(1) \times f(2) \lt 0.

59

f est une fonction continue sur \mathbb{R} dont voici le tableau de variations.


Combien de solutions dans \mathbb{R} les équations suivantes admettent‑elles ?
f(x)=0 ; f(x)=3 ; f(x)=10.

60

[Calculer.]
Soit la fonction f: x \mapsto x^{3}+2 x^{2}-3 x-1 définie sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre exact de solutions de l'équation f(x) = 0 sur \mathbb{R} ?

61

[Calculer.]
Soit la fonction g: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}-3 définie sur \mathbb{R}.
Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution sur \mathbb{R}.

62

[Calculer.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+1.

1. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution \alpha sur \mathbb{R}.

2. Déterminer un encadrement de \alpha à 10^{-1} près.

64

[Calculer.]
Soit la fonction h: x \mapsto \mathrm{e}^{x}+x définie sur \mathbb{R}.

1. Montrer que l'équation h(x) = 0 admet une unique solution réelle.

2. En proposer un encadrement d'amplitude 0{,}1.

65

[Calculer.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
1. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution \alpha sur [0\,;4].

2. Déterminer un encadrement de \alpha à 10^{-3} près.

66

[Calculer.]
Soient deux fonctions f_{1}: x \mapsto \mathrm{e}^{x} et f_{2}: x \mapsto-x+2 définies sur \mathbb{R}.
Démontrer que l'équation f_{1}(x)=f_{2}(x) admet une unique solution sur [0\,;1].

67

[Chercher.]
Montrer que l'équation 2 \mathrm{e}^{2 x}=\sqrt{5-x} admet une unique solution \alpha sur ]-\infty\,;5] et que \alpha \in[0\,;1].

68

[Chercher.]
Montrer que l'équation 2(x-1) \mathrm{e}^{x-1}=x^{2} admet une unique solution \alpha sur \mathbb{R} et que \alpha \in[1{,}7\,; 1{,}8].

69

[Raisonner.]
Soit n un entier naturel. On considère une fonction polynôme de degré n : f: x \mapsto a_{n} x^{n}+\ldots+a_{1} x+a_{0} où a_{i} \in \mathbb{R} pour tout i de 0 à n et a_{n} \neq 0.

Démontrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.

71

[Chercher.]
On considère une fonction f continue sur l'intervalle [a\,;b]. Compléter ce code Python pour obtenir en retour un encadrement à eps près d'une solution de f(x) = 1.

def fct(a, b, eps):
	while b - a > eps:
		m = (a + b)/2
		if ...:
			b = ...
		else:
			a = ...
	return a, b

72

[Raisonner.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
Un logiciel de calcul formel permet d'obtenir le résultat suivant.


1. Démontrer que l'équation f(x) = 0{,}1 admet une unique solution \alpha sur [0\,; 50].

2. En donner un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.

73

[Raisonner.]
On souhaite démontrer la proposition suivante : « Si f est continue et strictement monotone sur \mathrm{I}=[a\,;b] alors, pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans \text{I}. »

1. Démontrer qu'il existe au moins une solution sur \text{I} à l'équation f(x) = k.

2. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe deux réels distincts \alpha et \beta dans \text{I} tels que f(\alpha)=f(\beta)=k.
En utilisant la stricte monotonie de f, terminer la démonstration de la proposition.