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2. Le théorème des valeurs intermédiaires
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Entraînement


2
Le théorème des valeurs intermédiaires





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

58
FLASH

ff désigne une fonction continue sur R\mathbb{R}. Déterminer, en justifiant, si l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet au moins une solution sur [1;2][1\,; 2] lorsque :

1. f(1)×f(2)>0f(1) \times f(2)>0.


2. f(1)×f(2)=0f(1) \times f(2)=0.


3. f(1)×f(2)<0f(1) \times f(2) \lt 0.
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59
FLASH

ff est une fonction continue sur R\mathbb{R} dont voici le tableau de variations.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 59

Combien de solutions dans R\mathbb{R} les équations suivantes admettent‑elles ?
f(x)=0f(x)=0 ; f(x)=3f(x)=3 ; f(x)=10f(x)=10.
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60
[Calculer.]
Soit la fonction f:xx3+2x23x1f: x \mapsto x^{3}+2 x^{2}-3 x-1 définie sur R\mathbb{R}.
Quel est le nombre exact de solutions de l’équation f(x)=0f(x) = 0 sur R\mathbb{R} ?
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61
[Calculer.]
Soit la fonction g:xex3g: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}-3 définie sur R\mathbb{R}.
Démontrer que l’équation g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution sur R\mathbb{R}.
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62
[Calculer.] ◉◉
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xex+1f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+1.

1. Démontrer que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur R\mathbb{R}.


2. Déterminer un encadrement de α\alpha à 10110^{-1} près.
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63
[Calculer.]
Soit la fonction f:xx3+x+1f: x \mapsto x^{3}+x+1 définie sur R\mathbb{R}.

1. Dresser le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Démontrer que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution sur [1;0][-1\,;0].


3. Trouver toutes les valeurs du réel kk pour que l’équation f(x)=kf(x) = k admette une unique solution sur [1;0][-1\,;0].
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64
[Calculer.]
Soit la fonction h:xex+xh: x \mapsto \mathrm{e}^{x}+x définie sur R\mathbb{R}.

1. Montrer que l’équation h(x)=0h(x) = 0 admet une unique solution réelle.


2. En proposer un encadrement d’amplitude 0,10{,}1.
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65
[Calculer.]
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=(3x4)exf(x)=(3 x-4) \mathrm{e}^{-x}.

1. Démontrer que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur [0;4][0\,;4].


2. Déterminer un encadrement de α\alpha à 10310^{-3} près.
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66
[Calculer.]
Soient deux fonctions f1:xexf_{1}: x \mapsto \mathrm{e}^{x} et f2:xx+2f_{2}: x \mapsto-x+2 définies sur R\mathbb{R}.
Démontrer que l’équation f1(x)=f2(x)f_{1}(x)=f_{2}(x) admet une unique solution sur [0;1][0\,;1].
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67
[Chercher.] ◉◉
Montrer que l’équation 2e2x=5x2 \mathrm{e}^{2 x}=\sqrt{5-x} admet une unique solution α\alpha sur ];5]]-\infty\,;5] et que α[0;1]\alpha \in[0\,;1].
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68
[Chercher.]
Montrer que l’équation 2(x1)ex1=x22(x-1) \mathrm{e}^{x-1}=x^{2} admet une unique solution α\alpha sur R\mathbb{R} et que α[1,7;1,8]\alpha \in[1{,}7\,; 1{,}8].
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69
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit nn un entier naturel. On considère une fonction polynôme de degré nn : f:xanxn++a1x+a0f: x \mapsto a_{n} x^{n}+\ldots+a_{1} x+a_{0}aiRa_{i} \in \mathbb{R} pour tout ii de 00 à nn et an0a_{n} \neq 0.

Démontrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.
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70
[Communiquer.]
Voici un programme écrit en Python.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 70

Expliquer, en justifiant, à quel problème permet de répondre ce programme.
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71
[Chercher.]
On considère une fonction ff continue sur l’intervalle [a;b][a\,;b]. Compléter ce code Python pour obtenir en retour un encadrement à eps près d’une solution de f(x)=1f(x) = 1.

def fct(a, b, eps):
	while b - a > eps:
		m = (a + b)/2
		if ...:
			b = ...
		else:
			a = ...
	return a, b
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72
[Raisonner.]
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=(x+2)e0,5xf(x)=(x+2) \mathrm{e}^{-0,5 x}.

Un logiciel de calcul formel permet d’obtenir le résultat suivant.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 72

1. Démontrer que l’équation f(x)=0,1f(x) = 0{,}1 admet une unique solution α\alpha sur [0;50][0\,; 50].


2. En donner un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.
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73
[Raisonner.]
[DÉMO]

On souhaite démontrer la proposition suivante : « Si ff est continue et strictement monotone sur I=[a;b]\mathrm{I}=[a\,;b] alors, pour tout kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x) = k admet une unique solution dans I\text{I}. »

1. Démontrer qu’il existe au moins une solution sur I\text{I} à l’équation f(x)=kf(x) = k.


2. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe deux réels distincts α\alpha et β\beta dans I\text{I} tels que f(α)=f(β)=kf(\alpha)=f(\beta)=k.
En utilisant la stricte monotonie de ff, terminer la démonstration de la proposition.
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