◉◉◉Parcours 1 : exercices
50 ;
54 ;
62 et
80 ◉◉◉Parcours 2 : exercices
52 ;
67 et
78 ◉◉◉Parcours 3 : exercices
57 ;
69 et
77
58
FLASH
f désigne une fonction continue sur R. Déterminer, en justifiant, si l’équation f(x)=0 admet au moins une solution sur [1;2] lorsque :
1.f(1)×f(2)>0.
2.f(1)×f(2)=0.
3.f(1)×f(2)<0.
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59
FLASH
f est une fonction continue sur R dont voici le tableau de variations.
Combien de solutions dans R les équations suivantes admettent‑elles ? f(x)=0 ; f(x)=3 ; f(x)=10.
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60
[Calculer.]
Soit la fonction f:x↦x3+2x2−3x−1 définie sur R.
Quel est le nombre exact de solutions de l’équation f(x)=0 sur R ?
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61
[Calculer.]
Soit la fonction g:x↦e−x−3 définie sur R.
Démontrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution sur R.
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62
[Calculer.]◉◉◉
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=xe−x+1.
1. Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α sur R.
2. Déterminer un encadrement de α à 10−1 près.
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63
[Calculer.]
Soit la fonction f:x↦x3+x+1 définie sur R.
1. Dresser le tableau de variations de f sur R.
Dessinez ici
2. Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution sur [−1;0].
3. Trouver toutes les valeurs du réel k pour que l’équation f(x)=k admette une unique solution sur [−1;0].
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64
[Calculer.]
Soit la fonction h:x↦ex+x définie sur R.
1. Montrer que l’équation h(x)=0 admet une unique solution réelle.
2. En proposer un encadrement d’amplitude 0,1.
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65
[Calculer.]
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x)=(3x−4)e−x.
1. Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α sur [0;4].
2. Déterminer un encadrement de α à 10−3 près.
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66
[Calculer.]
Soient deux fonctions f1:x↦ex et f2:x↦−x+2 définies sur R.
Démontrer que l’équation f1(x)=f2(x) admet une unique solution sur [0;1].
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67
[Chercher.]◉◉◉
Montrer que l’équation 2e2x=5−x admet une unique solution α sur ]−∞;5] et que α∈[0;1].
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68
[Chercher.]
Montrer que l’équation 2(x−1)ex−1=x2 admet une unique solution α sur R et que α∈[1,7;1,8].
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69
[Raisonner.]◉◉◉
Soit n un entier naturel. On considère une fonction polynôme de degré n : f:x↦anxn+…+a1x+a0 où ai∈R pour tout i de 0 à n et an=0.
Démontrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.
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70
[Communiquer.]
Voici un programme écrit en Python.
Expliquer, en justifiant, à quel problème permet de répondre ce programme.
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71
[Chercher.]
On considère une fonction f continue sur l’intervalle [a;b]. Compléter ce code Python pour obtenir en retour un encadrement à eps près d’une solution de f(x)=1.
def fct(a, b, eps):
while b - a > eps:
m = (a + b)/2
if ...:
b = ...
else:
a = ...
return a, b
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72
[Raisonner.]
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x)=(x+2)e−0,5x.
Un logiciel de calcul formel permet d’obtenir le résultat suivant.
1. Démontrer que l’équation f(x)=0,1 admet une unique solution α sur [0;50].
2. En donner un encadrement de α à 10−2 près.
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73
[Raisonner.]
[DÉMO]
On souhaite démontrer la proposition suivante : « Si f est continue et strictement monotone sur I=[a;b] alors, pour tout k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet une unique solution dans I. »
1. Démontrer qu’il existe au moins une solution sur I à l’équation f(x)=k.
2. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe deux réels distincts α et β dans I tels que f(α)=f(β)=k.
En utilisant la stricte monotonie de f, terminer la démonstration de la proposition.