◉◉◉Parcours 1 : exercices
50 ;
54 ;
62 et
80 ◉◉◉Parcours 2 : exercices
52 ;
67 et
78 ◉◉◉Parcours 3 : exercices
57 ;
69 et
77
74
FLASH
Soient f une fonction continue sur R et (un) une suite numérique réelle.
Si n→+∞limun=5 et x→5limf(x)=10, que vaut n→+∞limf(un) ?
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75
FLASH
Soit la fonction f:x↦10−x2 définie sur I=[0;10]. On admet que f est continue et décroissante de I dans I. (un) est la suite définie par u0=3 et, pour tout n∈N, un+1=f(un).
1. Si (un) converge vers ℓ, quelle équation ℓ doit‑il vérifier ?
2. Résoudre cette équation.
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76
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soient f une fonction continue sur I, (un) une suite d’éléments de I et vn=f(un).
1. Montrer que si n→+∞limun=a et si x→alimf(x)=b, alors n→+∞limvn=b.
2. Quel lien peut‑on alors faire entre la limite de (un) et celle de f ?
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77
[Raisonner.]◉◉◉
Soit (un) la suite définie par u0=π et, pour tout n∈N, un+1=sin(2un).
1. Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, 0⩽un+1⩽un⩽π.
Aide
Quelles sont les variations de la fonction sinus sur [0;2π] ?
2. Montrer que l’équation sin(2x)=x possède une unique solution sur [0;π] dont on précisera la valeur.
3. Étudier la convergence de (un).
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78
[Raisonner.]◉◉◉
Soient f la fonction continue et définie sur R par f(x)=x2−x+1 et (un) la suite définie par {u0un+1=2=f(un) pour tout n∈N.
1. Étudier les variations de f.
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2. Résoudre l’équation f(x)=x.
3.a. Montrer, par récurrence, que (un) est une suite positive et décroissante.
b. Déterminer alors n→+∞limun.
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79
[Raisonner.]
Soient f la fonction continue et définie sur [−6;+∞[ par f(x)=6+x.
Soit (un) la suite définie par {u0un+1=0=f(un) pour tout n∈N.
1. Montrer par récurrence que (un) est une suite croissante, majorée par 3.
2. Que peut‑on dire de la convergence de la suite ?
3. Déterminer alors n→+∞limun.
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80
[Raisonner.]◉◉◉
Soit (un) la suite définie par u0=4 et, pour tout n∈N, un+1=5un2.
1. Déterminer la fonction f telle que, pour tout n∈N, un+1=f(un).
2. Étudier les variations de f.
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3. Résoudre l’équation f(x)=x.
4. Montrer par récurrence que (un) est décroissante.
5. Montrer que (un) converge et déterminer sa limite.
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81
[Raisonner.]
Soit (un) la suite définie par :
⎩⎪⎨⎪⎧u0un+1=1=3−eunun+1 pour tout n∈N.
1. Étudier les variations de la fonction f:x↦3−exx+1 pour x∈[0;+∞[.
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2. Montrer que l’équation f(x)=x une unique solution α sur [0;+∞[.
3. Déterminer, en utilisant la méthode par balayage, un encadrement de α à 10−2 près.
4. Montrer, par récurrence sur n, que (un) est croissante et majorée par α.
5. Justifier que la suite (un) converge et déterminer sa limite.