3

Application aux suites

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

74

Soient $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)$ une suite numérique réelle.
Si $\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}=5$ et $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 5}} f(x)=10$, que vaut $\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} f\left(u_{n}\right)$ ?

75

Soit la fonction $f: x \mapsto \sqrt{10-x^{2}}$ définie sur $\mathrm{I}=\left[0\,;\sqrt{10}\right]$. On admet que $f$ est continue et décroissante de $\text{I}$ dans $\text{I}$. $(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.

1. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, quelle équation $\ell$ doit‑il vérifier ?


2. Résoudre cette équation.

76

[Raisonner.]  

[DÉMO]

Soient $f$ une fonction continue sur $\text{I}$, $(u_n)$ une suite d’éléments de $\text{I}$ et $v_{n}=f\left(u_{n}\right)$.

1. Montrer que si $\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}=a$ et si $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=b$, alors $\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} v_{n}=b$.


2. Quel lien peut‑on alors faire entre la limite de $(u_n)$ et celle de $f$ ?

77

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_{0}=\pi$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sin \left(\dfrac{u_{n}}{2}\right)$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant \pi$.




2. Montrer que l’équation $\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)=x$ possède une unique solution sur $[0\,; \pi]$ dont on précisera la valeur.


3. Étudier la convergence de $(u_n)$.

78

[Raisonner.] ◉◉◉
Soient $f$ la fonction continue et définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^{2}-x+1}$ et $(u_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{aligned}u_{0}&=2 \\ u_{n+1}&=f\left(u_{n}\right)\end{aligned}\right.$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Étudier les variations de $f$.

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2. Résoudre l’équation $f(x) = x$.


3. a. Montrer, par récurrence, que $(u_n)$ est une suite positive et décroissante.


b. Déterminer alors $\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}$.

79

[Raisonner.]
Soient $f$ la fonction continue et définie sur $[-6\,;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{6+x}$.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{aligned}u_{0}&=0 \\ u_{n+1}&=f\left(u_{n}\right)\end{aligned}\right.$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Montrer par récurrence que $(u_n)$ est une suite croissante, majorée par $3$.


2. Que peut‑on dire de la convergence de la suite ?


3. Déterminer alors $\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}$.

80

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=4$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^{2}}{5}$.

1. Déterminer la fonction $f$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.


2. Étudier les variations de $f$.

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3. Résoudre l’équation $f(x) = x$.


4. Montrer par récurrence que $(u_n)$ est décroissante.


5. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

81

[Raisonner.]
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $\left\{\begin{aligned} u_{0} &=1 \\ u_{n+1} &=3-\dfrac{u_{n}+1}{\mathrm{e}^{u_{n}}} \end{aligned}\right.$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
1. Étudier les variations de la fonction $f: x \mapsto 3-\dfrac{x+1}{\mathrm{e}^{x}}$ pour $x \in[0 ;+\infty[$.

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2. Montrer que l’équation $f(x)=x$ une unique solution $\alpha$ sur $[0 ;+\infty[$.


3. Déterminer, en utilisant la méthode par balayage, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.


4. Montrer, par récurrence sur $n$, que $(u_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$.


5. Justifier que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.