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3. Application aux suites
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Entraînement


3
Application aux suites





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

74
FLASH

Soient ff une fonction continue sur R\mathbb{R} et (un)(u_n) une suite numérique réelle.
Si limn+un=5\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}=5 et limx5f(x)=10\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 5}} f(x)=10, que vaut limn+f(un)\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} f\left(u_{n}\right) ?
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75
FLASH

Soit la fonction f:x10x2f: x \mapsto \sqrt{10-x^{2}} définie sur I=[0;10]\mathrm{I}=\left[0\,;\sqrt{10}\right]. On admet que ff est continue et décroissante de I\text{I} dans I\text{I}. (un)(u_n) est la suite définie par u0=3u_0=3 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

1. Si (un)(u_n) converge vers \ell, quelle équation \ell doit‑il vérifier ?


2. Résoudre cette équation.
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76
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient ff une fonction continue sur I\text{I}, (un)(u_n) une suite d’éléments de I\text{I} et vn=f(un)v_{n}=f\left(u_{n}\right).

1. Montrer que si limn+un=a\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}=a et si limxaf(x)=b\lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=b, alors limn+vn=b\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} v_{n}=b.


2. Quel lien peut‑on alors faire entre la limite de (un)(u_n) et celle de ff ?
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77
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=πu_{0}=\pi et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=sin(un2)u_{n+1}=\sin \left(\dfrac{u_{n}}{2}\right).

1. Montrer par récurrence que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, 0un+1unπ0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant \pi.


Aide
Quelles sont les variations de la fonction sinus sur [0;π2]\left[0\,; \dfrac{\pi}{2}\right] ?


2. Montrer que l’équation sin(x2)=x\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)=x possède une unique solution sur [0;π][0\,; \pi] dont on précisera la valeur.


3. Étudier la convergence de (un)(u_n).
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78
[Raisonner.] ◉◉
Soient ff la fonction continue et définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2x+1f(x)=\sqrt{x^{2}-x+1} et (un)(u_n) la suite définie par {u0=2un+1=f(un)\left\{\begin{aligned}u_{0}&=2 \\ u_{n+1}&=f\left(u_{n}\right)\end{aligned}\right. pour tout nNn \in \mathbb{N}.

1. Étudier les variations de ff.

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2. Résoudre l’équation f(x)=xf(x) = x.


3. a. Montrer, par récurrence, que (un)(u_n) est une suite positive et décroissante.


b. Déterminer alors limn+un\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}.
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79
[Raisonner.]
Soient ff la fonction continue et définie sur [6;+[[-6\,;+\infty[ par f(x)=6+xf(x)=\sqrt{6+x}.
Soit (un)(u_n) la suite définie par {u0=0un+1=f(un)\left\{\begin{aligned}u_{0}&=0 \\ u_{n+1}&=f\left(u_{n}\right)\end{aligned}\right. pour tout nNn \in \mathbb{N}.

1. Montrer par récurrence que (un)(u_n) est une suite croissante, majorée par 33.


2. Que peut‑on dire de la convergence de la suite ?


3. Déterminer alors limn+un\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}.
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80
[Raisonner.] ◉◉
Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=4u_0=4 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=un25u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^{2}}{5}.

1. Déterminer la fonction ff telle que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).


2. Étudier les variations de ff.

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3. Résoudre l’équation f(x)=xf(x) = x.


4. Montrer par récurrence que (un)(u_n) est décroissante.


5. Montrer que (un)(u_n) converge et déterminer sa limite.
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81
[Raisonner.]
Soit (un)(u_n) la suite définie par :
{u0=1un+1=3un+1eun\left\{\begin{aligned} u_{0} &=1 \\ u_{n+1} &=3-\dfrac{u_{n}+1}{\mathrm{e}^{u_{n}}} \end{aligned}\right. pour tout nNn \in \mathbb{N}.

1. Étudier les variations de la fonction f:x3x+1exf: x \mapsto 3-\dfrac{x+1}{\mathrm{e}^{x}} pour x[0 ;+[x \in[0 ;+\infty[.

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2. Montrer que l’équation f(x)=xf(x)=x une unique solution α\alpha sur [0 ;+[[0 ;+\infty[.


3. Déterminer, en utilisant la méthode par balayage, un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.


4. Montrer, par récurrence sur nn, que (un)(u_n) est croissante et majorée par α\alpha.


5. Justifier que la suite (un)(u_n) converge et déterminer sa limite.
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