Parcours 1 : exercices

50

 ;

54

 ;

62

et

80

Parcours 2 : exercices

52

 ;

67

et

78

Parcours 3 : exercices

57

 ;

69

et

77

74

Soient f une fonction continue sur \mathbb{R} et (u_n) une suite numérique réelle.
Si \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}=5 et \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 5}} f(x)=10, que vaut \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} f\left(u_{n}\right) ?

75

Soit la fonction f: x \mapsto \sqrt{10-x^{2}} définie sur \mathrm{I}=\left[0\,;\sqrt{10}\right]. On admet que f est continue et décroissante de \text{I} dans \text{I}. (u_n) est la suite définie par u_0=3 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

1. Si (u_n) converge vers \ell, quelle équation \ell doit‑il vérifier ?

2. Résoudre cette équation.

76

[Raisonner.]
Soient f une fonction continue sur \text{I}, (u_n) une suite d'éléments de \text{I} et v_{n}=f\left(u_{n}\right).

1. Montrer que si \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}=a et si \lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=b, alors \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} v_{n}=b.

2. Quel lien peut‑on alors faire entre la limite de (u_n) et celle de f ?

77

[Raisonner.]
Soit (u_n) la suite définie par u_{0}=\pi et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sin \left(\frac{u_{n}}{2}\right).

1. Montrer par récurrence que, pour tout n \in \mathbb{N}, 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant \pi.

2. Montrer que l'équation \sin \left(\frac{x}{2}\right)=x possède une unique solution sur [0\,; \pi] dont on précisera la valeur.

3. Étudier la convergence de (u_n).

78

[Raisonner.]

79

[Raisonner.]
Soient f la fonction continue et définie sur [-6\,;+\infty[ par f(x)=\sqrt{6+x}.
Soit (u_n) la suite définie par \left\{\begin{aligned}u_{0}&=0 \\ u_{n+1}&=f\left(u_{n}\right)\end{aligned}\right. pour tout n \in \mathbb{N}.

1. Montrer par récurrence que (u_n) est une suite croissante, majorée par 3.

2. Que peut‑on dire de la convergence de la suite ?

3. Déterminer alors \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}.

80

[Raisonner.]

81

[Raisonner.]