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3. Application aux suites
P.206

Entraînement


3
Application aux suites





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

74
FLASH

Soient une fonction continue sur et une suite numérique réelle.
Si et , que vaut  ?
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75
FLASH

Soit la fonction définie sur . On admet que est continue et décroissante de dans . est la suite définie par et, pour tout , .

1. Si converge vers , quelle équation doit‑il vérifier ?


2. Résoudre cette équation.
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76
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient une fonction continue sur , une suite d’éléments de et .

1. Montrer que si et si , alors .


2. Quel lien peut‑on alors faire entre la limite de et celle de  ?
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77
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit la suite définie par et, pour tout , .

1. Montrer par récurrence que, pour tout , .


Aide
Quelles sont les variations de la fonction sinus sur  ?


2. Montrer que l’équation possède une unique solution sur dont on précisera la valeur.


3. Étudier la convergence de .
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78
[Raisonner.] ◉◉
Soient la fonction continue et définie sur par et la suite définie par pour tout .

1. Étudier les variations de .

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2. Résoudre l’équation .


3. a. Montrer, par récurrence, que est une suite positive et décroissante.


b. Déterminer alors .
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79
[Raisonner.]
Soient la fonction continue et définie sur par .
Soit la suite définie par pour tout .

1. Montrer par récurrence que est une suite croissante, majorée par .


2. Que peut‑on dire de la convergence de la suite ?


3. Déterminer alors .
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80
[Raisonner.] ◉◉
Soit la suite définie par et, pour tout , .

1. Déterminer la fonction telle que, pour tout , .


2. Étudier les variations de .

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3. Résoudre l’équation .


4. Montrer par récurrence que est décroissante.


5. Montrer que converge et déterminer sa limite.
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81
[Raisonner.]
Soit la suite définie par :
pour tout .

1. Étudier les variations de la fonction pour .

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2. Montrer que l’équation une unique solution sur .


3. Déterminer, en utilisant la méthode par balayage, un encadrement de à près.


4. Montrer, par récurrence sur , que est croissante et majorée par .


5. Justifier que la suite converge et déterminer sa limite.
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