Parcours 1 : exercices

50

 ;

54

 ;

62

et

80

Parcours 2 : exercices

52

 ;

67

et

78

Parcours 3 : exercices

57

 ;

69

et

77

74

Soient $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)$ une suite numérique réelle.
Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=5$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to 5\end{array}}{\lim }f(x)=10$, que vaut $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }f\left(u_n\right)$ ?

75

Soit la fonction $f:x\mapsto \sqrt{10-x^2}$ définie sur $\mathrm{I}=\left[0;\sqrt{10}\right]$. On admet que $f$ est continue et décroissante de $\text{I}$ dans $\text{I}$. $(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

1. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, quelle équation $\ell$ doit‑il vérifier ?

2. Résoudre cette équation.

76

[Raisonner.]
Soient $f$ une fonction continue sur $\text{I}$, $(u_n)$ une suite d'éléments de $\text{I}$ et $v_n=f\left(u_n\right)$.

1. Montrer que si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=a$ et si $\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }f(x)=b$, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=b$.

2. Quel lien peut‑on alors faire entre la limite de $(u_n)$ et celle de $f$ ?

77

[Raisonner.]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=\pi$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sin \left(\frac{u_n}{2}\right)$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽u_{n+1}⩽u_n⩽\pi$.

2. Montrer que l'équation $\sin \left(\frac{x}{2}\right)=x$ possède une unique solution sur $[0;\pi ]$ dont on précisera la valeur.

3. Étudier la convergence de $(u_n)$.

78

[Raisonner.]

79

[Raisonner.]
Soient $f$ la fonction continue et définie sur $[-6;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{6+x}$.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $\{\begin{array}{rl}{u}_0& =0\\ u_{n+1}& =f\left(u_n\right)\end{array}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer par récurrence que $(u_n)$ est une suite croissante, majorée par $3$.

2. Que peut‑on dire de la convergence de la suite ?

3. Déterminer alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n$.

80

[Raisonner.]

81

[Raisonner.]