3

Application aux suites

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

74

Soient $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)$ une suite numérique réelle.
Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=5$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to 5\end{array}}{\lim }f(x)=10$, que vaut $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }f\left(u_n\right)$ ?

75

Soit la fonction $f:x\mapsto \sqrt{10-x^2}$ définie sur $\mathrm{I}=\left[0;\sqrt{10}\right]$. On admet que $f$ est continue et décroissante de $\text{I}$ dans $\text{I}$. $(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

1. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, quelle équation $\ell$ doit‑il vérifier ?


2. Résoudre cette équation.

76

[Raisonner.]  

[DÉMO]

Soient $f$ une fonction continue sur $\text{I}$, $(u_n)$ une suite d’éléments de $\text{I}$ et $v_n=f\left(u_n\right)$.

1. Montrer que si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=a$ et si $\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }f(x)=b$, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=b$.


2. Quel lien peut‑on alors faire entre la limite de $(u_n)$ et celle de $f$ ?

77

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=\pi$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sin \left(\frac{u_n}{2}\right)$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽u_{n+1}⩽u_n⩽\pi$.




2. Montrer que l’équation $\sin \left(\frac{x}{2}\right)=x$ possède une unique solution sur $[0;\pi ]$ dont on précisera la valeur.


3. Étudier la convergence de $(u_n)$.

78

[Raisonner.] ◉◉◉
Soient $f$ la fonction continue et définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2-x+1}$ et $(u_n)$ la suite définie par $\{\begin{array}{rl}{u}_0& =2\\ u_{n+1}& =f\left(u_n\right)\end{array}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Étudier les variations de $f$.

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2. Résoudre l’équation $f(x)=x$.


3. a. Montrer, par récurrence, que $(u_n)$ est une suite positive et décroissante.


b. Déterminer alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n$.

79

[Raisonner.]
Soient $f$ la fonction continue et définie sur $[-6;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{6+x}$.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $\{\begin{array}{rl}{u}_0& =0\\ u_{n+1}& =f\left(u_n\right)\end{array}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer par récurrence que $(u_n)$ est une suite croissante, majorée par $3$.


2. Que peut‑on dire de la convergence de la suite ?


3. Déterminer alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n$.

80

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=4$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{u_n^2}{5}$.

1. Déterminer la fonction $f$ telle que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.


2. Étudier les variations de $f$.

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3. Résoudre l’équation $f(x)=x$.


4. Montrer par récurrence que $(u_n)$ est décroissante.


5. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

81

[Raisonner.]
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $\{\begin{array}{rl}{u}_0& =1\\ u_{n+1}& =3-\frac{u_n+1}{{\mathrm{e}}^{u_n}}\end{array}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
1. Étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto 3-\frac{x+1}{{\mathrm{e}}^x}$ pour $x\in [0;+\infty [$.

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2. Montrer que l’équation $f(x)=x$ une unique solution $\alpha$ sur $[0;+\infty [$.


3. Déterminer, en utilisant la méthode par balayage, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.


4. Montrer, par récurrence sur $n$, que $(u_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$.


5. Justifier que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.