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2. Le théorème des valeurs intermédiaires
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COURS 2


2
Le théorème des valeurs intermédiaires




A
Cas général


Théorème des valeurs intermédiaires

Si ff est continue sur [a;b][a\,;b] alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x) = k admet au moins une solution dans [a;b][a\,;b].
Autrement dit, tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b) admet au moins un antécédent par ff dans [a;b][a\,;b].

Continuité - 2. Le théorème des valeurs intermédiaires - A. Cas général

Remarque

On peut aussi utiliser des limites si ff n’est pas définie en aa ou bb ou bien encore des limites en -\infty ou en +.+\infty.

Remarque

Le théorème des valeurs intermédiaires indique s’il existe une solution. Il ne permet pas un calcul effectif de celle‑ci.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
96
p. 209
.

Application et méthode - 3

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f:xe3x+xf: x \mapsto \mathrm{e}^{3 x}+x.
Montrer que, pour tout k[1;1+e3]k \in\left[1\,;1+\mathrm{e}^{3}\right], l’équation f(x)=kf(x) = k admet au moins une solution dans [0;1][0\,;1].

Solution

ff est continue sur R\mathbb{R} donc sur [0;1][0\,;1] comme somme de fonctions continues sur R\mathbb{R}. Or f(0)=1f(0)=1 et f(1)=1+e3f(1)=1+\mathrm{e}^{3}. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout kk appartenant à l’intervalle [1;1+e3]\left[1\,;1+\mathrm{e}^{3}\right], l’équation f(x)=kf(x) = k admet au moins une solution dans [0;1][0\,;1].

Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 202

Méthode

  • Vérifier d’abord que la fonction est continue sur l’intervalle considéré.
  • Calculer f(a)f(a) puis f(b)f(b).
  • Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

B
Cas des fonctions strictement monotones


Corollaire

Si ff est continue et strictement monotone sur [a;b][a\,;b] alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x) = k admet une unique solution dans [a;b][a\,;b].

Remarque

On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
73
p. 206
.

Application et méthode - 4

Énoncé

Soit la fonction f:xx33x21f: x \mapsto x^{3}-3 x^{2}-1 définie sur R\mathbb{R}.
Quel est le nombre de solutions de l’équation f(x)=4f(x) = 4 sur R\mathbb{R} ?

Solution

ff est une fonction polynôme, elle est donc continue sur R\mathbb{R}.
Pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=3x26x=3x(x2)f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x=3 x(x-2).

Continuité - 2. Le théorème des valeurs intermédiaires - B. Cas des fonctions strictement monotones

Sur ];2]]-\infty\,;2], le maximum de ff vaut 1-1 donc f(x)=4f(x) = 4 n’a pas de solution sur cet intervalle.
Sur [2;+[[2\,;+\infty[, ff est continue et strictement croissante. 4[5;+[4 \in[-5\,;+\infty[ donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci‑dessus, il existe un unique a[2;+[a \in[2\,;+\infty[ tel que f(a)=4f(a) = 4.
Donc l’équation f(x)=4f(x) = 4 n’admet qu’une seule solution sur R\mathbb{R}.

Pour s'entraîner : exercices 37 et 38 p. 203

Méthode

  • On détermine ff^\prime et son signe.
  • On dresse le tableau de variations de ff.
  • On se sert des extremums pour localiser les intervalles où peuvent se trouver les solutions.
  • On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur ces intervalles.

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