Si f est continue sur [a;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a;b].
Autrement dit, tout réel k compris entre f(a) et f(b) admet au moins un antécédent par f dans [a;b].
Remarque
On peut aussi utiliser des limites si f n’est pas définie en a ou b ou bien encore des limites en −∞ ou en +∞.
Remarque
Le théorème des valeurs intermédiaires indique s’il existe une solution. Il ne
permet pas un calcul effectif de celle‑ci.
Soit f la fonction définie sur R par f:x↦e3x+x.
Montrer que, pour tout k∈[1;1+e3], l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [0;1].
B
Cas des fonctions strictement monotones
Corollaire
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b].
Remarque
On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.