Si f est continue sur [a;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a;b].
Autrement dit, tout réel k compris entre f(a) et f(b) admet au moins un antécédent par f dans [a;b].
Remarque
On peut aussi utiliser des limites si f n’est pas définie en a ou b ou bien encore des limites en −∞ ou en +∞.
Remarque
Le théorème des valeurs intermédiaires indique s’il existe une solution. Il ne
permet pas un calcul effectif de celle‑ci.
Soit f la fonction définie sur R par f:x↦e3x+x.
Montrer que, pour tout k∈[1;1+e3], l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [0;1].
Solution
f est continue sur R donc sur [0;1] comme somme de fonctions continues sur R. Or f(0)=1 et f(1)=1+e3. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout k appartenant à l’intervalle [1;1+e3], l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [0;1].
Vérifier d’abord que la fonction est continue sur l’intervalle considéré.
Calculer f(a) puis f(b).
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
B
Cas des fonctions strictement monotones
Corollaire
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b].
Remarque
On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.
Soit la fonction f:x↦x3−3x2−1 définie sur R.
Quel est le nombre de solutions de l’équation f(x)=4 sur R ?
Solution
f est une fonction polynôme, elle est donc continue sur R.
Pour tout x∈R, f′(x)=3x2−6x=3x(x−2).
Sur ]−∞;2], le maximum de f vaut −1 donc f(x)=4 n’a pas de solution sur cet intervalle.
Sur [2;+∞[, f est continue et strictement croissante. 4∈[−5;+∞[ donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci‑dessus, il existe un unique a∈[2;+∞[ tel que f(a)=4.
Donc l’équation f(x)=4 n’admet qu’une seule solution sur R.
On se sert des extremums pour localiser les intervalles où peuvent se trouver les solutions.
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur ces intervalles.
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