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2. Le théorème des valeurs intermédiaires
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COURS 2


2
Le théorème des valeurs intermédiaires




A
Cas général


Théorème des valeurs intermédiaires

Si est continue sur alors, pour tout réel compris entre et , l’équation admet au moins une solution dans .
Autrement dit, tout réel compris entre et admet au moins un antécédent par dans .

Continuité - 2. Le théorème des valeurs intermédiaires - A. Cas général

Remarque

On peut aussi utiliser des limites si n’est pas définie en ou ou bien encore des limites en ou en

Remarque

Le théorème des valeurs intermédiaires indique s’il existe une solution. Il ne permet pas un calcul effectif de celle‑ci.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
96
p. 209
.

Application et méthode - 3

Énoncé

Soit la fonction définie sur par .
Montrer que, pour tout , l’équation admet au moins une solution dans .

Solution

est continue sur donc sur comme somme de fonctions continues sur . Or et . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout appartenant à l’intervalle , l’équation admet au moins une solution dans .

Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 202

Méthode

  • Vérifier d’abord que la fonction est continue sur l’intervalle considéré.
  • Calculer puis .
  • Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

B
Cas des fonctions strictement monotones


Corollaire

Si est continue et strictement monotone sur alors, pour tout réel compris entre et , l’équation admet une unique solution dans .

Remarque

On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
73
p. 206
.

Application et méthode - 4

Énoncé

Soit la fonction définie sur .
Quel est le nombre de solutions de l’équation sur  ?

Solution

est une fonction polynôme, elle est donc continue sur .
Pour tout , .

Continuité - 2. Le théorème des valeurs intermédiaires - B. Cas des fonctions strictement monotones

Sur , le maximum de vaut donc n’a pas de solution sur cet intervalle.
Sur , est continue et strictement croissante. donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci‑dessus, il existe un unique tel que .
Donc l’équation n’admet qu’une seule solution sur .

Pour s'entraîner : exercices 37 et 38 p. 203

Méthode

  • On détermine et son signe.
  • On dresse le tableau de variations de .
  • On se sert des extremums pour localiser les intervalles où peuvent se trouver les solutions.
  • On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur ces intervalles.

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