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2. Le théorème des valeurs intermédiaires
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COURS 2


2
Le théorème des valeurs intermédiaires




A
Cas général


Théorème des valeurs intermédiaires

Si est continue sur alors, pour tout réel compris entre et , l’équation admet au moins une solution dans .
Autrement dit, tout réel compris entre et admet au moins un antécédent par dans .

Continuité - 2. Le théorème des valeurs intermédiaires - A. Cas général

Remarque

On peut aussi utiliser des limites si n’est pas définie en ou ou bien encore des limites en ou en

Remarque

Le théorème des valeurs intermédiaires indique s’il existe une solution. Il ne permet pas un calcul effectif de celle‑ci.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
96
p. 209
.

Application et méthode - 3

Énoncé

Soit la fonction définie sur par .
Montrer que, pour tout , l’équation admet au moins une solution dans .

B
Cas des fonctions strictement monotones


Corollaire

Si est continue et strictement monotone sur alors, pour tout réel compris entre et , l’équation admet une unique solution dans .

Remarque

On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
73
p. 206
.

Application et méthode - 4

Énoncé

Soit la fonction définie sur .
Quel est le nombre de solutions de l’équation sur  ?