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Le théorème des valeurs intermédiaires

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc sur $[0;1]$ comme somme de fonctions continues sur $\mathbb{R}$. Or $f(0)=1$ et $f(1)=1+{\mathrm{e}}^3$. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout $k$ appartenant à l’intervalle $\left[1;1+{\mathrm{e}}^3\right]$, l’équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[0;1]$.

Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 202

• Vérifier d’abord que la fonction est continue sur l’intervalle considéré.
• Calculer $f(a)$ puis $f(b)$.
• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

$f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$.
Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.

Sur $]-\infty ;2]$, le maximum de $f$ vaut $-1$ donc $f(x)=4$ n’a pas de solution sur cet intervalle.
Sur $[2;+\infty [$, $f$ est continue et strictement croissante. $4\in [-5;+\infty [$ donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci‑dessus, il existe un unique $a\in [2;+\infty [$ tel que $f(a)=4$.
Donc l’équation $f(x)=4$ n’admet qu’une seule solution sur $\mathbb{R}$.

Pour s'entraîner : exercices 37 et 38 p. 203

• On détermine $f^{\prime }$ et son signe.
• On dresse le tableau de variations de $f$.
• On se sert des extremums pour localiser les intervalles où peuvent se trouver les solutions.
• On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur ces intervalles.