Application aux suites

Voir exercice

76

p. 206.

Si $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1{)}^2$ et $(u_n)$ la suite définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $u_n=2+\frac{1}{n+1}$, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=2$ donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }f\left(u_n\right)=f(2)=(2+1{)}^2=9$.

On considère une fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $\text{I}$ et à valeurs dans $\text{I}$. Soit $(u_n)$ une suite d'éléments de $\text{I}$ convergeant vers un réel $\ell \in \mathrm{I}$.
On sait que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_{n+1}=\ell$.
Or, d'après la propriété précédente, $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_{n+1}=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }f\left(u_n\right)=f\left(\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n\right)=f(\ell )$ d'où $\ell =f(\ell )$.

$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f(x)=\frac{3}{x+1}$ sur $\mathrm{I}=[0;3]$. $f$ est continue sur $\text{I}$ comme inverse d'une fonction continue ne s'annulant pas sur $\text{I}$.
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty [$, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $f(x)\in \left[\frac{3}{4};3\right]$ et $\left[\frac{3}{4};3\right]\subset \mathrm{I}$.
$f(x)=x\iff \frac{3}{x+1}=x\iff 3=x(x+1)\iff x^2+x-3=0$.
On trouve $\Delta =13$ d'où $x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\in \mathrm{I}$ et $x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\notin \mathrm{I}$.
Donc, d'après le théorème du point fixe, $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$.

Exercices

39

et

40

p. 203