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3. Application aux suites
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COURS 3


3
Application aux suites




A
Application de la continuité


Propriété
Soient ff une fonction continue sur un intervalle I\text{I} et (un)(u_n) une suite d’éléments de I\text{I} convergeant vers a∈Ia \in \mathrm{I}.
Alors lim⁡n→+∞f(un)=f(a)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} f\left(u_{n}\right)=f(a).

Remarque

Autrement dit, lim⁡n→+∞f(un)=f(lim⁡n→+∞un)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} f\left(u_{n}\right)=f\left(\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}\right).

DÉMONSTRATION

Voir exercice
76
p. 206.

Exemple
Si ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+1)2f(x)=(x+1)^{2} et (un)(u_n) la suite définie, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, par un=2+1n+1u_{n}=2+\dfrac{1}{n+1}, alors lim⁡n→+∞un=2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=2 donc lim⁡n→+∞f(un)=f(2)=(2+1)2=9\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} f\left(u_{n}\right)=f(2)=(2+1)^{2}=9.

B
Un théorème du point fixe


Théorème du point fixe
Soient ff une fonction définie et continue sur un intervalle I\text{I} dans lui‑même et (un)(u_n) la suite définie par un réel u0∈Iu_{0} \in \mathrm{I} et, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).
Si (un)(u_n) converge vers ℓ∈I\ell \in \mathrm{I}, alors ℓ\ell est solution de l’équation f(x)=x.f(x) = x.

Remarque

Autrement dit, f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell.
Mais attention, ℓ\ell n’est pas forcément la seule solution de l’équation f(x)=xf(x) = x.

DÉMONSTRATION

On considère une fonction ff définie et continue sur un intervalle I\text{I} et à valeurs dans I\text{I}. Soit (un)(u_n) une suite d’éléments de I\text{I} convergeant vers un réel ℓ∈I\ell \in \mathrm{I}.
On sait que lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞un+1=ℓ\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n+1}=\ell.
Or, d’après la propriété précédente, lim⁡n→+∞un+1=lim⁡n→+∞f(un)=f(lim⁡n→+∞un)=f(ℓ)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n+1}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} f\left(u_{n}\right)=f\left(\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}\right)=f(\ell) d’où ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell).

Application et méthode - 5

Énoncé

Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=1u_0 = 1 et, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1=3un+1u_{n+1}=\dfrac{3}{u_{n}+1}. On admet que (un)(u_n) converge et que, pour tout entier nn, un∈[0 ;3]u_{n} \in[0\,;3].
Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).

Solution

un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) avec f(x)=3x+1f(x)=\dfrac{3}{x+1} sur I=[0 ;3]\mathrm{I}=[0\,;3]. ff est continue sur I\text{I} comme inverse d’une fonction continue ne s’annulant pas sur I\text{I}.
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ;+∞[] 0\,;+\infty[, pour tout x∈Ix \in \mathrm{I}, f(x)∈[34 ;3]f(x) \in\left[\dfrac{3}{4}\,;3\right] et [34 ;3]⊂I\left[\dfrac{3}{4}\,;3\right] \subset \mathrm{I}.
f(x)=x⇔3x+1=x⇔3=x(x+1)⇔x2+x−3=0f(x)=x \Leftrightarrow \dfrac{3}{x+1}=x \Leftrightarrow 3=x(x+1) \Leftrightarrow x^{2}+x-3=0.
On trouve Δ=13\Delta = 13 d’où x1=−1+132∈Ix_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2} \in \mathrm{I} et x2=−1−132∉Ix_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2} \notin \mathrm{I}.
Donc, d’après le théorème du point fixe, lim⁡n→+∞un=−1+132\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}.

Pour s'entraîner : exercices 39 et 40 p. 203

Méthode

  • Exprimer un+1u_{n+1} sous la forme f(un)f(u_n).
  • Vérifier que ff est continue sur I\text{I}.
  • Vérifier que les images par ff appartiennent à I\text{I}.
  • Résoudre, sur I\text{I}, l’équation f(x)=xf(x) = x.
  • Appliquer le théorème du point fixe.

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