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Application aux suites

$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f(x)=\frac{3}{x+1}$ sur $\mathrm{I}=[0;3]$. $f$ est continue sur $\text{I}$ comme inverse d’une fonction continue ne s’annulant pas sur $\text{I}$.
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty [$, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $f(x)\in \left[\frac{3}{4};3\right]$ et $\left[\frac{3}{4};3\right]\subset \mathrm{I}$.
$f(x)=x\iff \frac{3}{x+1}=x\iff 3=x(x+1)\iff x^2+x-3=0$.
On trouve $\Delta =13$ d’où $x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\in \mathrm{I}$ et $x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\notin \mathrm{I}$.
Donc, d’après le théorème du point fixe, $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$.

Pour s'entraîner : exercices 39 et 40 p. 203

• Exprimer $u_{n+1}$ sous la forme $f(u_n)$.
• Vérifier que $f$ est continue sur $\text{I}$.
• Vérifier que les images par $f$ appartiennent à $\text{I}$.
• Résoudre, sur $\text{I}$, l’équation $f(x)=x$.
• Appliquer le théorème du point fixe.