Autrement dit, $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }f\left(u_n\right)=f\left(\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n\right)$.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

76

p. 206.

Exemple

Si $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1{)}^2$ et $(u_n)$ la suite définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $u_n=2+\frac{1}{n+1}$, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=2$ donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }f\left(u_n\right)=f(2)=(2+1{)}^2=9$.

Autrement dit, $f(\ell )=\ell$.
Mais attention, $\ell$ n’est pas forcément la seule solution de l’équation $f(x)=x$.

DÉMONSTRATION

On considère une fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $\text{I}$ et à valeurs dans $\text{I}$. Soit $(u_n)$ une suite d’éléments de $\text{I}$ convergeant vers un réel $\ell \in \mathrm{I}$.
On sait que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_{n+1}=\ell$.
Or, d’après la propriété précédente, $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_{n+1}=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }f\left(u_n\right)=f\left(\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n\right)=f(\ell )$ d’où $\ell =f(\ell )$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{3}{u_n+1}$. On admet que $(u_n)$ converge et que, pour tout entier $n$, $u_n\in [0;3]$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.