Si f est la fonction définie sur R par f(x)=(x+1)2 et (un) la suite définie, pour tout
n∈N, par un=2+n+11, alors n→+∞limun=2 donc n→+∞limf(un)=f(2)=(2+1)2=9.
B
Un théorème du point fixe
Théorème du point fixe
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I dans lui‑même et (un) la suite définie par un réel u0∈I et, pour tout n∈N, un+1=f(un).
Si (un) converge vers ℓ∈I, alors ℓ est solution de l’équation f(x)=x.
Remarque
Autrement dit, f(ℓ)=ℓ.
Mais attention, ℓ n’est pas forcément la seule solution de l’équation f(x)=x.
DÉMONSTRATION
On considère une fonction f définie et continue sur un intervalle I et à valeurs dans I. Soit (un) une suite d’éléments de I convergeant vers un réel ℓ∈I.
On sait que n→+∞limun=n→+∞limun+1=ℓ.
Or, d’après la propriété précédente, n→+∞limun+1=n→+∞limf(un)=f(n→+∞limun)=f(ℓ) d’où ℓ=f(ℓ).
Application et méthode - 5
Énoncé
Soit (un) la suite définie par u0=1 et, pour tout n∈N, un+1=un+13. On admet que (un) converge et que, pour tout entier n, un∈[0;3].
Déterminer la limite de la suite (un).
Solution
un+1=f(un) avec f(x)=x+13 sur I=[0;3]. f est continue sur I comme inverse d’une fonction continue ne s’annulant pas sur I.
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[, pour tout x∈I, f(x)∈[43;3] et [43;3]⊂I. f(x)=x⇔x+13=x⇔3=x(x+1)⇔x2+x−3=0.
On trouve Δ=13 d’où x1=2−1+13∈I et x2=2−1−13∈/I.
Donc, d’après le théorème du point fixe, n→+∞limun=2−1+13.
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