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3. Application aux suites
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COURS 3


3
Application aux suites




A
Application de la continuité


Propriété

Soient une fonction continue sur un intervalle et une suite d’éléments de convergeant vers .
Alors .

Remarque

Autrement dit, .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
76
p. 206
.

Exemple

Si est la fonction définie sur par et la suite définie, pour tout , par , alors donc .

B
Un théorème du point fixe


Théorème du point fixe

Soient une fonction définie et continue sur un intervalle dans lui‑même et la suite définie par un réel et, pour tout , .
Si converge vers , alors est solution de l’équation

Remarque

Autrement dit, .
Mais attention, n’est pas forcément la seule solution de l’équation .

DÉMONSTRATION

On considère une fonction définie et continue sur un intervalle et à valeurs dans . Soit une suite d’éléments de convergeant vers un réel .
On sait que .
Or, d’après la propriété précédente, d’où .

Application et méthode - 5

Énoncé

Soit la suite définie par et, pour tout , . On admet que converge et que, pour tout entier , .
Déterminer la limite de la suite .

Solution

avec sur . est continue sur comme inverse d’une fonction continue ne s’annulant pas sur .
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur , pour tout , et .
.
On trouve d’où et .
Donc, d’après le théorème du point fixe, .

Pour s'entraîner : exercices 39 et 40 p. 203

Méthode

  • Exprimer sous la forme .
  • Vérifier que est continue sur .
  • Vérifier que les images par appartiennent à .
  • Résoudre, sur , l’équation .
  • Appliquer le théorème du point fixe.

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