1

$\mathbf{f}$ est continue en $\mathbf{a}$ lorsque $\underset{\begin{array}{c}\mathbf{x}\to \mathbf{a}\end{array}}{\lim }\mathbf{f}(\mathbf{x})$ existe et est égale à $\mathbf{f}(\mathbf{a})$. Cela permet de :

✔ savoir si la courbe représentative d'une fonction se trace « sans lever le crayon » ;
✔ appliquer certains théorèmes ;
✔ dire que toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur celui‑ci ; la fonction racine carrée est continue sur $[0;+\infty [$ et la fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$.

2

Le théorème des valeurs intermédiaires se résume par : « Pour toute fonction continue sur un intervalle $\text{I}$, toutes les valeurs intermédiaires entre deux images sont atteintes au moins une fois. ». Un de ses corollaires indique que si, de plus, la fonction est strictement monotone sur un intervalle $\text{I}$, alors chaque valeur intermédiaire n'est atteinte qu'une seule fois. Cela permet de :

✔ savoir si une équation du type $f(x)=k$ admet au moins une solution dans l'intervalle ;
✔ démontrer, lorsque la fonction $f$ est strictement monotone, que la solution de $f(x)=k$ est unique.

3

Un théorème du point fixe : « Soient $\mathbf{f}$ une fonction continue de $\text{I}$ à valeurs dans $\text{I}$ et $({\mathbf{u}}_{\mathbf{n}})$ une suite définie par son premier terme ${\mathbf{u}}_0$ et la relation de récurrence ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}+1}=\mathbf{f}\left({\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}\right)$ pour tout $\mathbf{n}\in \mathbb{N}$. Si $({\mathbf{u}}_{\mathbf{n}})$ converge vers $\mathbf{\ell }\in \mathrm{I}$, alors $\mathbf{\ell }$ est une solution de l'équation $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}$. » Cela permet de :

✔ déterminer la limite de $(u_n)$ à l'aide d'une équation.