Travailler les automatismes

À L'ORAL

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18

Les fonctions représentées par les courbes ci‑dessous semblent‑elles continues ? Justifier.

19

La proposition suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. » La réciproque est‑elle vraie ?

20

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ dont voici le tableau de variations.

Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$.

21

En utilisant le tableau de variations de l'exercice 20, quel est le nombre de solutions réelles de :

1. $f(x)=3$ ?


2. $f(x)=-1$ ?


3. $f(x)=-5$ ?


4. $f(x)=2$ ?

22

Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;5]$ dont voici le tableau de variations.

Quel est le nombre exact de solutions de l’équation $f(x) = 1$ sur $[0\,;5]$ ? Justifier.

23

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+5 & \text { si } x \leqslant 2 \\ 7 & \text { si } x>2\end{array}\right.$.
$f$ est‑elle continue en $2$ ? Justifier.

24

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}2 x+5 & \text { si } x \leqslant 3 \\ -x+14 & \text { si } x>3\end{array}\right.$.
$f$ est‑elle continue en $3$ ? Justifier.

25

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+x & \text { si } x>0 \\ x+1 & \text { si } x \leqslant 0\end{array}\right.$.
$f$ est‑elle continue en $0$ ? Justifier.

26

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & \text { si } x \leqslant 1 \\ -x^{3}+2 & \text { si } x>1\end{array}\right.$.
1. $f$ est‑elle continue en $1$ ? Justifier.


2. $f$ est‑elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

27

Soit $f: x \mapsto\left\{\begin{aligned}\mathrm{e}^{3 x}+1 &\text { si } x \leqslant 0 \\ \sqrt{2+x} &\text { si } x>0\end{aligned}\right.$.

1. $f$ est‑elle continue en $0$ ? Justifier.


2. $f$ est‑elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

28

Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+3\right) \sqrt{x}$.
Justifier que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$.

29

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^{3}-x-1$.
1. L’équation $f(x) = 0$ admet‑elle au moins une solution sur $[0 ; 3]$ ? Justifier.


2. Même question sur l’intervalle $[1 ; 3]$.


3. Même question sur l’intervalle $[0 ; 1]$.

30

Soit $f: x \mapsto \mathrm{e}^{x}$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Pour quelles valeurs de $k$ l’équation $f(x) = k$ admet‑elle au moins une solution réelle ?


2. Pour quelles valeurs de $k$ l’équation $f(x) = k$ n'admet‑elle aucune solution réelle ?

31

L’équation $\mathrm{e}^{3 x+1}=3 x$ admet‑elle au moins une solution réelle ? Justifier.

Pour les exercices

32

à 

34

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ avec le tableau de variations suivant.

32

1. L’équation $f(x) = -4$ admet‑elle au moins une solution sur $]-\infty\,;4]$ ? Sur $[4\,;+\infty[$ ? Justifier.


2. Mêmes questions pour l’équation $f(x) = 3$.

33

L’équation $f(x) = 0$ admet‑elle une unique solution sur $]-\infty\,;4]$ ? Justifier.

34

L’équation $f(x) = -6$ admet‑elle une unique solution sur $[4\,;+\infty]$ ? Sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

Pour les exercices

35

et 

36

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ avec le tableau de variations suivant.

35

L’équation $f(x) = 0$ admet‑elle au moins une solution sur $]-\infty\,;1]$ ? Sur $[1\,;+\infty[$ ? Justifier.

36

Quel est le nombre exact de solutions de l’équation $f(x) = 5$ sur $\mathbb{R}$ ? De $f(x)=-5$ ? Justifier.

37

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1$.

1. Déterminer les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.


2. Justifier alors que $f(x) = 2$ admet trois solutions sur $[-4\,;4]$.

38

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^{3}+3 x-5$.

1. Justifier que l’équation $h(x) = 0$ n’admet qu’une seule solution sur $\mathbb{R}$.


2. Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution.

39

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{6}{u_{n}+1}$.

1. Déterminer la fonction $f$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).$


2. Vérifier que si $x \in[0\,;6]$, alors $f(x) \in[0\,;6]$.


3. On admet que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell \in[0\,;6]$. Déterminer la valeur de $\ell$.

40

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+4}$.

1. Déterminer la fonction $f$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).$


2. Vérifier que si $x \in[2\,;5]$, alors $f(x) \in[2\,;5]$.


3. On admet que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell \in[2\,;5]$. Déterminer la valeur de $\ell$.

Pour les exercices

41

à 

43

$f$ est une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ et $(u_n)$ désigne une suite définie par récurrence par $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$. On admet que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. Dans chaque cas, déterminer les valeurs possibles de $\ell$ pour la fonction $f$ et l’intervalle $\text{I}$ donnés.

41

$f: x \mapsto x^{2}$ et $\mathrm{I}=[0\,;1]$.

42

$f: x \mapsto \dfrac{1}{1+x}$ et $\mathrm{I}=]-1\,;+\infty[$.

43

$f: x \mapsto \mathrm{e}^{1-x}$ et $\mathrm{I}=[0\,;\mathrm{e}]$.

44

On a $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x \lt 2}} f(x)=4$, $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=8$ et $f(2)=6$ donc $f$ n’est pas continue en $2$.
Donner un exemple de fonction $f$ correspondant aux limites citées ci‑dessus.

45

On écrit : « Sur $]-\infty\,;-2]$, le maximum de $f$ vaut $5$ donc l’équation n’admet pas de solution. Sur $[-2\,;+\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante donc prend une unique fois chaque valeur comprise entre $2$ et $+\infty$ donc l’équation admet une unique solution. »
Donner une équation possible en lien avec cet exercice et proposer un tableau de variations de la fonction $f$.

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