Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Continuité
Ouverturep. 190-191
Activités
Activitép. 192-193
1. Notion de continuité
Coursp. 194-195
2. Le théorème des valeurs intermédiaires
Coursp. 196
3. Application aux suites
Coursp. 197
L'essentiel
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Auto-évaluation
Auto-évaluationp. 199
TP1. Méthode par dichotomie
TP / TICEp. 200
TP2. Méthode de la sécante
TP / TICEp. 201
Travailler les automatismes
Exercicesp. 202-203
1. Notion de continuité
Exercicesp. 204
2. Le théorème des valeurs intermédiaires
Exercicesp. 205
3. Application aux suites
Exercicesp. 206
Synthèse
Synthèsep. 207-209
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Exercices

Travailler les automatismes

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18
Les fonctions représentées par les courbes ci‑dessous semblent‑elles continues ? Justifier.
maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 18
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19
 La proposition suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier. « Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. » La réciproque est‑elle vraie ?
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20
 Soit f une fonction continue sur \mathbb{R} dont voici le tableau de variations.
maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 18
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Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 sur \mathbb{R}.
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21
 En utilisant le tableau de variations de l'exercice 20, quel est le nombre de solutions réelles de : 1. f(x)=3 ?

2. f(x)=-1 ?

3. f(x)=-5 ?

4. f(x)=2 ?
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22
 Soit f une fonction continue sur [0\,;5] dont voici le tableau de variations.
maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 22
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Quel est le nombre exact de solutions de l'équation f(x) = 1 sur [0\,;5] ? Justifier.
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Démontrer la continuité
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23
 Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+5 & \text { si } x \leqslant 2 \\ 7 & \text { si } x>2\end{array}\right..
f est‑elle continue en 2 ? Justifier.
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24
 Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}2 x+5 & \text { si } x \leqslant 3 \\ -x+14 & \text { si } x>3\end{array}\right..
f est‑elle continue en 3 ? Justifier.
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25
 Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+x & \text { si } x>0 \\ x+1 & \text { si } x \leqslant 0\end{array}\right..
f est‑elle continue en 0 ? Justifier.
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26
 Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & \text { si } x \leqslant 1 \\ -x^{3}+2 & \text { si } x>1\end{array}\right..
1. f est‑elle continue en 1 ? Justifier.


2. f est‑elle continue sur \mathbb{R} ? Justifier.
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27
 Soit f: x \mapsto\left\{\begin{aligned}\mathrm{e}^{3 x}+1 &\text { si } x \leqslant 0 \\ \sqrt{2+x} &\text { si } x>0\end{aligned}\right.. 1. f est‑elle continue en 0 ? Justifier.

2. f est‑elle continue sur \mathbb{R} ? Justifier.
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28
 Soit une fonction f définie sur \mathbb{R}^{+} par f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+3\right) \sqrt{x}. Justifier que f est continue sur \mathbb{R}^{+}.
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Théorème des valeurs intermédiaires
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29
 On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=x^{3}-x-1.
1. L'équation f(x) = 0 admet‑elle au moins une solution sur [0 ; 3] ? Justifier.


2. Même question sur l'intervalle [1 ; 3].

3. Même question sur l'intervalle [0 ; 1].
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30
 Soit f: x \mapsto \mathrm{e}^{x} définie sur \mathbb{R}. 1. Pour quelles valeurs de k l'équation f(x) = k admet‑elle au moins une solution réelle ?

2. Pour quelles valeurs de k l'équation f(x) = k n'admet‑elle aucune solution réelle ?
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31
 L'équation \mathrm{e}^{3 x+1}=3 x admet‑elle au moins une solution réelle ? Justifier.
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Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
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Pour les exercices
32
à
34

La fonction f est continue sur \mathbb{R} avec le tableau de variations suivant.
maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 32 à 34
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32
 1. L'équation f(x) = -4 admet‑elle au moins une solution sur ]-\infty\,;4] ? Sur [4\,;+\infty[ ? Justifier.

2. Mêmes questions pour l'équation f(x) = 3.
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33
 L'équation f(x) = 0 admet‑elle une unique solution sur ]-\infty\,;4] ? Justifier.
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34
 L'équation f(x) = -6 admet‑elle une unique solution sur [4\,;+\infty] ? Sur \mathbb{R} ? Justifier.
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Pour les exercices
35
à
37

La fonction f est continue sur \mathbb{R} avec le tableau de variations suivant.
maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 32 à 34
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35
 L'équation f(x) = 0 admet‑elle au moins une solution sur ]-\infty\,;1] ? Sur [1\,;+\infty[ ? Justifier.
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36
 Quel est le nombre exact de solutions de l'équation f(x) = 5 sur \mathbb{R} ? De f(x)=-5 ? Justifier.
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37
 Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1. 1. Déterminer les variations de f sur \mathbb{R}.

2. Justifier alors que f(x) = 2 admet trois solutions sur [-4\,;4].
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38
 Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x)=x^{3}+3 x-5. 1. Justifier que l'équation h(x) = 0 n'admet qu'une seule solution sur \mathbb{R}.

2. Déterminer une valeur approchée à 10^{-2} près de cette solution.
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Application aux suites
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39
 On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 4 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{6}{u_{n}+1}. 1. Déterminer la fonction f telle que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

2. Vérifier que si x \in[0\,;6], alors f(x) \in[0\,;6].

3. On admet que la suite (u_n) converge vers un réel \ell \in[0\,;6]. Déterminer la valeur de \ell.
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40
 On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 2 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+4}. 1. Déterminer la fonction f telle que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

2. Vérifier que si x \in[2\,;5], alors f(x) \in[2\,;5].

3. On admet que la suite (u_n) converge vers un réel \ell \in[2\,;5]. Déterminer la valeur de \ell.
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Pour les exercices
41
à
43

f est une fonction définie sur un intervalle \text{I} et (u_n) désigne une suite définie par récurrence par u_{n+1}=f\left(u_{n}\right). On admet que (u_n) converge vers un réel \ell. Dans chaque cas, déterminer les valeurs possibles de \ell pour la fonction f et l'intervalle \text{I} donnés.
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41
 f: x \mapsto x^{2} et \mathrm{I}=[0\,;1].
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42
 f: x \mapsto \frac{1}{1+x} et \mathrm{I}=]-1\,;+\infty[.
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43
 f: x \mapsto \mathrm{e}^{1-x} et \mathrm{I}=[0\,;\mathrm{e}].
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Exercices inversés
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44
 On a \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x \lt 2}} f(x)=4, \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=8 et f(2)=6 donc f n'est pas continue en 2. Donner un exemple de fonction f correspondant aux limites citées ci‑dessus.
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45
 On écrit : « Sur ]-\infty\,;-2], le maximum de f vaut 5 donc l'équation n'admet pas de solution. Sur [-2\,;+\infty[, f est continue et strictement croissante donc prend une unique fois chaque valeur comprise entre 2 et +\infty donc l'équation admet une unique solution. » Donner une équation possible en lien avec cet exercice et proposer un tableau de variations de la fonction f.


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