Travailler les automatismes

À L'ORAL

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18

Les fonctions représentées par les courbes ci‑dessous semblent‑elles continues ? Justifier.

19

La proposition suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. » La réciproque est‑elle vraie ?

20

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ dont voici le tableau de variations.

Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$.

21

En utilisant le tableau de variations de l'exercice 20, quel est le nombre de solutions réelles de :

1. $f(x)=3$ ?


2. $f(x)=-1$ ?


3. $f(x)=-5$ ?


4. $f(x)=2$ ?

22

Soit $f$ une fonction continue sur $[0;5]$ dont voici le tableau de variations.

Quel est le nombre exact de solutions de l’équation $f(x)=1$ sur $[0;5]$ ? Justifier.

23

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\{\begin{array}{cc}x+5& \text{ si }x⩽2\\ 7& \text{ si }x>2\end{array}$.
$f$ est‑elle continue en $2$ ? Justifier.

24

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f:x\mapsto \{\begin{array}{ll}2x+5& \text{ si }x⩽3\\ -x+14& \text{ si }x>3\end{array}$.
$f$ est‑elle continue en $3$ ? Justifier.

25

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f:x\mapsto \{\begin{array}{ll}{x}^2+x& \text{ si }x>0\\ x+1& \text{ si }x⩽0\end{array}$.
$f$ est‑elle continue en $0$ ? Justifier.

26

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{ si }x⩽1\\ -x^3+2& \text{ si }x>1\end{array}$.
1. $f$ est‑elle continue en $1$ ? Justifier.


2. $f$ est‑elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

27

Soit $f:x\mapsto \{\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^{3x}+1& \text{ si }x⩽0\\ \sqrt{2+x}& \text{ si }x>0\end{array}$.

1. $f$ est‑elle continue en $0$ ? Justifier.


2. $f$ est‑elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

28

Soit une fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^{+}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x\left(x^2+3\right)\sqrt{x}$.
Justifier que $f$ est continue sur ${\mathbb{R}}^{+}$.

29

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^3-x-1$.
1. L’équation $f(x)=0$ admet‑elle au moins une solution sur $[0;3]$ ? Justifier.


2. Même question sur l’intervalle $[1;3]$.


3. Même question sur l’intervalle $[0;1]$.

30

Soit $f:x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Pour quelles valeurs de $k$ l’équation $f(x)=k$ admet‑elle au moins une solution réelle ?


2. Pour quelles valeurs de $k$ l’équation $f(x)=k$ n'admet‑elle aucune solution réelle ?

31

L’équation ${\mathrm{e}}^{3x+1}=3x$ admet‑elle au moins une solution réelle ? Justifier.

Pour les exercices

32

à 

34

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ avec le tableau de variations suivant.

32

1. L’équation $f(x)=-4$ admet‑elle au moins une solution sur $]-\infty ;4]$ ? Sur $[4;+\infty [$ ? Justifier.


2. Mêmes questions pour l’équation $f(x)=3$.

33

L’équation $f(x)=0$ admet‑elle une unique solution sur $]-\infty ;4]$ ? Justifier.

34

L’équation $f(x)=-6$ admet‑elle une unique solution sur $[4;+\infty ]$ ? Sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

Pour les exercices

35

et 

36

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ avec le tableau de variations suivant.

35

L’équation $f(x)=0$ admet‑elle au moins une solution sur $]-\infty ;1]$ ? Sur $[1;+\infty [$ ? Justifier.

36

Quel est le nombre exact de solutions de l’équation $f(x)=5$ sur $\mathbb{R}$ ? De $f(x)=-5$ ? Justifier.

37

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+3x^2-1$.

1. Déterminer les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.


2. Justifier alors que $f(x)=2$ admet trois solutions sur $[-4;4]$.

38

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^3+3x-5$.

1. Justifier que l’équation $h(x)=0$ n’admet qu’une seule solution sur $\mathbb{R}$.


2. Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution.

39

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=4$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{6}{u_n+1}$.

1. Déterminer la fonction $f$ telle que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right).$


2. Vérifier que si $x\in [0;6]$, alors $f(x)\in [0;6]$.


3. On admet que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell \in [0;6]$. Déterminer la valeur de $\ell$.

40

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+4}$.

1. Déterminer la fonction $f$ telle que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right).$


2. Vérifier que si $x\in [2;5]$, alors $f(x)\in [2;5]$.


3. On admet que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell \in [2;5]$. Déterminer la valeur de $\ell$.

Pour les exercices

41

à 

43

$f$ est une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ et $(u_n)$ désigne une suite définie par récurrence par $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$. On admet que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. Dans chaque cas, déterminer les valeurs possibles de $\ell$ pour la fonction $f$ et l’intervalle $\text{I}$ donnés.

41

$f:x\mapsto x^2$ et $\mathrm{I}=[0;1]$.

42

$f:x\mapsto \frac{1}{1+x}$ et $\mathrm{I}=]-1;+\infty [$.

43

$f:x\mapsto {\mathrm{e}}^{1-x}$ et $\mathrm{I}=[0;\mathrm{e}]$.

44

On a $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }f(x)=4$, $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }f(x)=8$ et $f(2)=6$ donc $f$ n’est pas continue en $2$.
Donner un exemple de fonction $f$ correspondant aux limites citées ci‑dessus.

45

On écrit : « Sur $]-\infty ;-2]$, le maximum de $f$ vaut $5$ donc l’équation n’admet pas de solution. Sur $[-2;+\infty [$, $f$ est continue et strictement croissante donc prend une unique fois chaque valeur comprise entre $2$ et $+\infty$ donc l’équation admet une unique solution. »
Donner une équation possible en lien avec cet exercice et proposer un tableau de variations de la fonction $f$.

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