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Travailler les automatismes
P.202-203




Travailler les automatismes




À L'ORAL

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18
Les fonctions représentées par les courbes ci‑dessous semblent‑elles continues ? Justifier.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 18

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19
La proposition suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Si est dérivable en , alors est continue en . » La réciproque est‑elle vraie ?
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20
Soit une fonction continue sur dont voici le tableau de variations.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 18

Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation sur .
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21
En utilisant le tableau de variations de l'exercice 20, quel est le nombre de solutions réelles de :

1.  ?


2.  ?


3.  ?


4.  ?
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22
Soit une fonction continue sur dont voici le tableau de variations.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 22

Quel est le nombre exact de solutions de l’équation sur  ? Justifier.
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Démontrer la continuité


23
Soit la fonction définie sur par :
.

est‑elle continue en  ? Justifier.
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24
Soit la fonction définie sur par :
.

est‑elle continue en  ? Justifier.
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25
Soit la fonction définie sur par :
.

est‑elle continue en  ? Justifier.
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26
Soit la fonction définie sur par :
.

1. est‑elle continue en  ? Justifier.


2. est‑elle continue sur  ? Justifier.
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27
Soit .

1. est‑elle continue en  ? Justifier.


2. est‑elle continue sur  ? Justifier.
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28
Soit une fonction définie sur par .
Justifier que est continue sur .
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Théorème des valeurs intermédiaires


29
On considère la fonction définie sur par :
.

1. L’équation admet‑elle au moins une solution sur  ? Justifier.


2. Même question sur l’intervalle .


3. Même question sur l’intervalle .
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30
Soit définie sur .

1. Pour quelles valeurs de l’équation admet‑elle au moins une solution réelle ?


2. Pour quelles valeurs de l’équation n'admet‑elle aucune solution réelle ?
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31
L’équation admet‑elle au moins une solution réelle ? Justifier.
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Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires


Pour les exercices
32
à 
34

La fonction est continue sur avec le tableau de variations suivant.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 32 à 34

32
1. L’équation admet‑elle au moins une solution sur  ? Sur  ? Justifier.


2. Mêmes questions pour l’équation .
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33
L’équation admet‑elle une unique solution sur  ? Justifier.
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34
L’équation admet‑elle une unique solution sur  ? Sur  ? Justifier.
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Pour les exercices
35
et 
36

La fonction est continue sur avec le tableau de variations suivant.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 35 à 37

35
L’équation admet‑elle au moins une solution sur  ? Sur  ? Justifier.
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36
Quel est le nombre exact de solutions de l’équation sur  ? De  ? Justifier.
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37
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer les variations de sur .


2. Justifier alors que admet trois solutions sur .
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38
Soit la fonction définie sur par .

1. Justifier que l’équation n’admet qu’une seule solution sur .


2. Déterminer une valeur approchée à près de cette solution.
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Application aux suites


39
On considère la suite définie par et, pour tout , .

1. Déterminer la fonction telle que, pour tout ,


2. Vérifier que si , alors .


3. On admet que la suite converge vers un réel . Déterminer la valeur de .
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40
On considère la suite définie par et, pour tout , .

1. Déterminer la fonction telle que, pour tout ,


2. Vérifier que si , alors .


3. On admet que la suite converge vers un réel . Déterminer la valeur de .
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Pour les exercices
41
à 
43

est une fonction définie sur un intervalle et désigne une suite définie par récurrence par . On admet que converge vers un réel . Dans chaque cas, déterminer les valeurs possibles de pour la fonction et l’intervalle donnés.

41
et .
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42
et .
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43
et .
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Exercices inversés


44
On a , et donc n’est pas continue en .
Donner un exemple de fonction correspondant aux limites citées ci‑dessus.
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45
On écrit : « Sur , le maximum de vaut donc l’équation n’admet pas de solution. Sur , est continue et strictement croissante donc prend une unique fois chaque valeur comprise entre et donc l’équation admet une unique solution. »
Donner une équation possible en lien avec cet exercice et proposer un tableau de variations de la fonction .


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