Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Travailler les automatismes
P.202-203

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Travailler les automatismes




À L'ORAL

Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !

Enregistreur audio
Voir les réponses

18
Les fonctions représentées par les courbes ci‑dessous semblent‑elles continues ? Justifier.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 18

Voir les réponses

19
La proposition suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Si ff est dérivable en aa, alors ff est continue en aa. » La réciproque est‑elle vraie ?
Voir les réponses

20
Soit ff une fonction continue sur R\mathbb{R} dont voici le tableau de variations.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 18

Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f(x)=0f(x) = 0 sur R\mathbb{R}.
Voir les réponses

21
En utilisant le tableau de variations de l'exercice 20, quel est le nombre de solutions réelles de :

1. f(x)=3f(x)=3 ?


2. f(x)=1f(x)=-1 ?


3. f(x)=5f(x)=-5 ?


4. f(x)=2f(x)=2 ?
Voir les réponses

22
Soit ff une fonction continue sur [0;5][0\,;5] dont voici le tableau de variations.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 22

Quel est le nombre exact de solutions de l’équation f(x)=1f(x) = 1 sur [0;5][0\,;5] ? Justifier.
Voir les réponses

Démontrer la continuité


23
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)={x+5 si x27 si x>2f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+5 & \text { si } x \leqslant 2 \\ 7 & \text { si } x>2\end{array}\right..

ff est‑elle continue en 22 ? Justifier.
Voir les réponses

24
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
f:x{2x+5 si x3x+14 si x>3f: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}2 x+5 & \text { si } x \leqslant 3 \\ -x+14 & \text { si } x>3\end{array}\right..

ff est‑elle continue en 33 ? Justifier.
Voir les réponses

25
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
f:x{x2+x si x>0x+1 si x0f: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+x & \text { si } x>0 \\ x+1 & \text { si } x \leqslant 0\end{array}\right..

ff est‑elle continue en 00 ? Justifier.
Voir les réponses

26
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)={x2 si x1x3+2 si x>1f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & \text { si } x \leqslant 1 \\ -x^{3}+2 & \text { si } x>1\end{array}\right..

1. ff est‑elle continue en 11 ? Justifier.


2. ff est‑elle continue sur R\mathbb{R} ? Justifier.
Voir les réponses

27
Soit f:x{e3x+1 si x02+x si x>0f: x \mapsto\left\{\begin{aligned}\mathrm{e}^{3 x}+1 &\text { si } x \leqslant 0 \\ \sqrt{2+x} &\text { si } x>0\end{aligned}\right..

1. ff est‑elle continue en 00 ? Justifier.


2. ff est‑elle continue sur R\mathbb{R} ? Justifier.
Voir les réponses

28
Soit une fonction ff définie sur R+\mathbb{R}^{+} par f(x)=ex(x2+3)xf(x)=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+3\right) \sqrt{x}.
Justifier que ff est continue sur R+\mathbb{R}^{+}.
Voir les réponses

Théorème des valeurs intermédiaires


29
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=x3x1f(x)=x^{3}-x-1.

1. L’équation f(x)=0f(x) = 0 admet‑elle au moins une solution sur [0 ; 3][0 ; 3] ? Justifier.


2. Même question sur l’intervalle [1 ; 3][1 ; 3].


3. Même question sur l’intervalle [0 ; 1][0 ; 1].
Voir les réponses

30
Soit f:xexf: x \mapsto \mathrm{e}^{x} définie sur R\mathbb{R}.

1. Pour quelles valeurs de kk l’équation f(x)=kf(x) = k admet‑elle au moins une solution réelle ?


2. Pour quelles valeurs de kk l’équation f(x)=kf(x) = k n'admet‑elle aucune solution réelle ?
Voir les réponses

31
L’équation e3x+1=3x\mathrm{e}^{3 x+1}=3 x admet‑elle au moins une solution réelle ? Justifier.
Voir les réponses

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires


Pour les exercices
32
à 
34

La fonction ff est continue sur R\mathbb{R} avec le tableau de variations suivant.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 32 à 34

32
1. L’équation f(x)=4f(x) = -4 admet‑elle au moins une solution sur ];4]]-\infty\,;4] ? Sur [4;+[[4\,;+\infty[ ? Justifier.


2. Mêmes questions pour l’équation f(x)=3f(x) = 3.
Voir les réponses

33
L’équation f(x)=0f(x) = 0 admet‑elle une unique solution sur ];4]]-\infty\,;4] ? Justifier.
Voir les réponses

34
L’équation f(x)=6f(x) = -6 admet‑elle une unique solution sur [4;+][4\,;+\infty] ? Sur R\mathbb{R} ? Justifier.
Voir les réponses

Pour les exercices
35
et 
36

La fonction ff est continue sur R\mathbb{R} avec le tableau de variations suivant.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 35 à 37

35
L’équation f(x)=0f(x) = 0 admet‑elle au moins une solution sur ];1]]-\infty\,;1] ? Sur [1;+[[1\,;+\infty[ ? Justifier.
Voir les réponses

36
Quel est le nombre exact de solutions de l’équation f(x)=5f(x) = 5 sur R\mathbb{R} ? De f(x)=5f(x)=-5 ? Justifier.
Voir les réponses

37
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3+3x21f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1.

1. Déterminer les variations de ff sur R\mathbb{R}.


2. Justifier alors que f(x)=2f(x) = 2 admet trois solutions sur [4;4][-4\,;4].
Voir les réponses

38
Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par h(x)=x3+3x5h(x)=x^{3}+3 x-5.

1. Justifier que l’équation h(x)=0h(x) = 0 n’admet qu’une seule solution sur R\mathbb{R}.


2. Déterminer une valeur approchée à 10210^{-2} près de cette solution.
Voir les réponses

Application aux suites


39
On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=4u_0 = 4 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=6un+1u_{n+1}=\dfrac{6}{u_{n}+1}.

1. Déterminer la fonction ff telle que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=f(un).u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).


2. Vérifier que si x[0;6]x \in[0\,;6], alors f(x)[0;6]f(x) \in[0\,;6].


3. On admet que la suite (un)(u_n) converge vers un réel [0;6]\ell \in[0\,;6]. Déterminer la valeur de \ell.
Voir les réponses

40
On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=2u_0 = 2 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=un+4u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+4}.

1. Déterminer la fonction ff telle que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=f(un).u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).


2. Vérifier que si x[2;5]x \in[2\,;5], alors f(x)[2;5]f(x) \in[2\,;5].


3. On admet que la suite (un)(u_n) converge vers un réel [2;5]\ell \in[2\,;5]. Déterminer la valeur de \ell.
Voir les réponses

Pour les exercices
41
à 
43

ff est une fonction définie sur un intervalle I\text{I} et (un)(u_n) désigne une suite définie par récurrence par un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right). On admet que (un)(u_n) converge vers un réel \ell. Dans chaque cas, déterminer les valeurs possibles de \ell pour la fonction ff et l’intervalle I\text{I} donnés.

41
f:xx2f: x \mapsto x^{2} et I=[0;1]\mathrm{I}=[0\,;1].
Voir les réponses

42
f:x11+xf: x \mapsto \dfrac{1}{1+x} et I=]1;+[\mathrm{I}=]-1\,;+\infty[.
Voir les réponses

43
f:xe1xf: x \mapsto \mathrm{e}^{1-x} et I=[0;e]\mathrm{I}=[0\,;\mathrm{e}].
Voir les réponses

Exercices inversés


44
On a limx2x<2f(x)=4\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x \lt 2}} f(x)=4, limx2x>2f(x)=8\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=8 et f(2)=6f(2)=6 donc ff n’est pas continue en 22.
Donner un exemple de fonction ff correspondant aux limites citées ci‑dessus.
Voir les réponses

45
On écrit : « Sur ];2]]-\infty\,;-2], le maximum de ff vaut 55 donc l’équation n’admet pas de solution. Sur [2;+[[-2\,;+\infty[, ff est continue et strictement croissante donc prend une unique fois chaque valeur comprise entre 22 et ++\infty donc l’équation admet une unique solution. »
Donner une équation possible en lien avec cet exercice et proposer un tableau de variations de la fonction ff.


Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.