Sommaire

Mes pages

Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4
Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Page précédente

Chapitre 6

Exercices

Travailler les automatismes

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

À l'oral

Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !

Enregistreur audio

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Les fonctions représentées par les courbes ci‑dessous semblent‑elles continues ? Justifier.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 18

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

19
La proposition suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier. « Si

f

est dérivable en

a

, alors

f

est continue en

a

. » La réciproque est‑elle vraie ?

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

20
Soit

f

une fonction continue sur

R

dont voici le tableau de variations.

Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l'équation

f (x) = 0

sur

R

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

22
Soit

f

une fonction continue sur

[0; 5]

dont voici le tableau de variations.

Quel est le nombre exact de solutions de l'équation

f (x) = 1

sur

[0; 5]

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

21
En utilisant le tableau de variations de l'exercice 20, quel est le nombre de solutions réelles de : 1.

f (x) = 3

f (x) = - 1

f (x) = - 5

f (x) = 2

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démontrer la continuité

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

23
Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = {x + 5 7 si x ⩽ 2 si x > 2

f

est‑elle continue en

2

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

24
Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f : x \mapsto {2 x + 5 - x + 14 si x ⩽ 3 si x > 3

f

est‑elle continue en

3

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

25
Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f : x \mapsto {x^{2} + x x + 1 si x > 0 si x ⩽ 0

f

est‑elle continue en

0

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

26
Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = {x^{2} - x^{3} + 2 si x ⩽ 1 si x > 1

f

est‑elle continue en

1

? Justifier.

f

est‑elle continue sur

R

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

27
Soit

f : x \mapsto {e^{3 x} + 1 2 + x si x ⩽ 0 si x > 0

. 1.

f

est‑elle continue en

0

? Justifier.

f

est‑elle continue sur

R

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

28
Soit une fonction

f

définie sur

R^{+}

par

f (x) = e^{x} (x^{2} + 3) x

. Justifier que

f

est continue sur

R^{+}

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Théorème des valeurs intermédiaires

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

29
On considère la fonction

f

définie sur

R

par :

f (x) = x^{3} - x - 1

1. L'équation

f (x) = 0

admet‑elle au moins une solution sur

[0; 3]

? Justifier.

2. Même question sur l'intervalle

[1; 3]

3. Même question sur l'intervalle

[0; 1]

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

30
Soit

f : x \mapsto e^{x}

définie sur

R

. 1. Pour quelles valeurs de

k

l'équation

f (x) = k

admet‑elle au moins une solution réelle ?

2. Pour quelles valeurs de

k

l'équation

f (x) = k

n'admet‑elle aucune solution réelle ?

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

31
L'équation

e^{3 x + 1} = 3 x

admet‑elle au moins une solution réelle ? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Pour les exercices
32
à
34

La fonction

f

est continue sur

R

avec le tableau de variations suivant.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 32 à 34

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

32
1. L'équation

f (x) = - 4

admet‑elle au moins une solution sur

] - \infty; 4]

? Sur

[4; + \infty [

? Justifier.

2. Mêmes questions pour l'équation

f (x) = 3

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

33
L'équation

f (x) = 0

admet‑elle une unique solution sur

] - \infty; 4]

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

34
L'équation

f (x) = - 6

admet‑elle une unique solution sur

[4; + \infty]

? Sur

R

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Pour les exercices
35
à
37

La fonction

f

est continue sur

R

avec le tableau de variations suivant.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

35
L'équation

f (x) = 0

admet‑elle au moins une solution sur

] - \infty; 1]

? Sur

[1; + \infty [

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

36
Quel est le nombre exact de solutions de l'équation

f (x) = 5

sur

R

? De

f (x) = - 5

? Justifier.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

37
Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 1

. 1. Déterminer les variations de

f

sur

R

2. Justifier alors que

f (x) = 2

admet trois solutions sur

[- 4; 4]

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

38
Soit

h

la fonction définie sur

R

par

h (x) = x^{3} + 3 x - 5

. 1. Justifier que l'équation

h (x) = 0

n'admet qu'une seule solution sur

R

2. Déterminer une valeur approchée à

1 0^{- 2}

près de cette solution.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application aux suites

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

39
On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 4

et, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = \frac{6}{u _{n} + 1}

. 1. Déterminer la fonction

f

telle que, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = f (u_{n}) .

2. Vérifier que si

x \in [0; 6]

, alors

f (x) \in [0; 6]

3. On admet que la suite

(u_{n})

converge vers un réel

ℓ \in [0; 6]

. Déterminer la valeur de

ℓ

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

40
On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 2

et, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = u_{n} + 4

. 1. Déterminer la fonction

f

telle que, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = f (u_{n}) .

2. Vérifier que si

x \in [2; 5]

, alors

f (x) \in [2; 5]

3. On admet que la suite

(u_{n})

converge vers un réel

ℓ \in [2; 5]

. Déterminer la valeur de

ℓ

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Pour les exercices
41
à
43

f

est une fonction définie sur un intervalle

I

(u_{n})

désigne une suite définie par récurrence par

u_{n + 1} = f (u_{n})

. On admet que

(u_{n})

converge vers un réel

ℓ

. Dans chaque cas, déterminer les valeurs possibles de

ℓ

pour la fonction

f

et l'intervalle

I

donnés.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

f : x \mapsto x^{2}

I = [0; 1]

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

f : x \mapsto \frac{1}{1 + x}

I =] - 1; + \infty [

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

f : x \mapsto e^{1 - x}

I = [0; e]

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercices inversés

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

44
On a

x \to 2 x < 2 lim f (x) = 4

x \to 2 x > 2 lim f (x) = 8

f (2) = 6

donc

f

n'est pas continue en

2

. Donner un exemple de fonction

f

correspondant aux limites citées ci‑dessus.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

45
On écrit : « Sur

] - \infty; - 2]

, le maximum de

f

vaut

5

donc l'équation n'admet pas de solution. Sur

[- 2; + \infty [

f

est continue et strictement croissante donc prend une unique fois chaque valeur comprise entre

2

+ \infty

donc l'équation admet une unique solution. » Donner une équation possible en lien avec cet exercice et proposer un tableau de variations de la fonction

f

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Page suivante

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Rappels de première

Ch. 1Combinatoire et dénombrement

Ch. 2 Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3 Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4 Suites

Ch. 5Limites de fonctions

Ch. 6Continuité

Ch. 7Compléments sur la dérivation

Ch. 8Logarithme népérien

Ch. 9Fonctions trigonométriques

Ch. 10Primitives - Équations différentielles

Ch. 11Calcul intégral

Ch. 12Loi binomiale

Ch. 13Sommes de variables aléatoires

Ch. 14Loi des grands nombres

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Travailler les automatismes

Pour les exercices 32 à 34

Pour les exercices 35 à 37

Pour les exercices 41 à 43

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4
Suites

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Pour les exercices
32
à
34

Pour les exercices
35
à
37

Pour les exercices
41
à
43