Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !
Enregistreur audio
18
Les fonctions représentées par les courbes ci‑dessous semblent‑elles continues ? Justifier.
Voir les réponses
19
La proposition suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. » La réciproque est‑elle vraie ?
Voir les réponses
20
Soit f une fonction continue sur R dont voici le tableau de variations.
Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f(x)=0 sur R.
Voir les réponses
21
En utilisant le tableau de variations de l'exercice 20, quel est le nombre de solutions réelles de :
1.f(x)=3 ?
2.f(x)=−1 ?
3.f(x)=−5 ?
4.f(x)=2 ?
Voir les réponses
22
Soit f une fonction continue sur [0;5] dont voici le tableau de variations.
Quel est le nombre exact de solutions de l’équation f(x)=1 sur [0;5] ? Justifier.
Voir les réponses
Démontrer la continuité
23
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x)={x+57 si x⩽2 si x>2.
f est‑elle continue en 2 ? Justifier.
Voir les réponses
24
Soit f la fonction définie sur R par :
f:x↦{2x+5−x+14 si x⩽3 si x>3.
f est‑elle continue en 3 ? Justifier.
Voir les réponses
25
Soit f la fonction définie sur R par :
f:x↦{x2+xx+1 si x>0 si x⩽0.
f est‑elle continue en 0 ? Justifier.
Voir les réponses
26
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x)={x2−x3+2 si x⩽1 si x>1.
1.f est‑elle continue en 1 ? Justifier.
2.f est‑elle continue sur R ? Justifier.
Voir les réponses
27
Soit f:x↦{e3x+12+x si x⩽0 si x>0.
1.f est‑elle continue en 0 ? Justifier.
2.f est‑elle continue sur R ? Justifier.
Voir les réponses
28
Soit une fonction f définie sur R+ par f(x)=ex(x2+3)x.
Justifier que f est continue sur R+.
Voir les réponses
Théorème des valeurs intermédiaires
29
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x)=x3−x−1.
1. L’équation f(x)=0 admet‑elle au moins une solution sur [0;3] ? Justifier.
2. Même question sur l’intervalle [1;3].
3. Même question sur l’intervalle [0;1].
Voir les réponses
30
Soit f:x↦ex définie sur R.
1. Pour quelles valeurs de k l’équation f(x)=k admet‑elle au moins une solution réelle ?
2. Pour quelles valeurs de k l’équation f(x)=k n'admet‑elle aucune solution réelle ?
Voir les réponses
31
L’équation e3x+1=3x admet‑elle au moins une solution réelle ? Justifier.
Voir les réponses
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Pour les exercices
32
à
34
La fonction f est continue sur R avec le tableau de variations suivant.
32
1. L’équation f(x)=−4 admet‑elle au moins une solution sur ]−∞;4] ? Sur [4;+∞[ ? Justifier.
2. Mêmes questions pour l’équation f(x)=3.
Voir les réponses
33
L’équation f(x)=0 admet‑elle une unique solution sur ]−∞;4] ? Justifier.
Voir les réponses
34
L’équation f(x)=−6 admet‑elle une unique solution sur [4;+∞] ? Sur R ? Justifier.
Voir les réponses
Pour les exercices
35
et
36
La fonction f est continue sur R avec le tableau de variations suivant.
35
L’équation f(x)=0 admet‑elle au moins une solution sur ]−∞;1] ? Sur [1;+∞[ ? Justifier.
Voir les réponses
36
Quel est le nombre exact de solutions de l’équation f(x)=5 sur R ? De f(x)=−5 ? Justifier.
Voir les réponses
37
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x3+3x2−1.
1. Déterminer les variations de f sur R.
2. Justifier alors que f(x)=2 admet trois solutions sur [−4;4].
Voir les réponses
38
Soit h la fonction définie sur R par h(x)=x3+3x−5.
1. Justifier que l’équation h(x)=0 n’admet qu’une seule solution sur R.
2. Déterminer une valeur approchée à 10−2 près de cette solution.
Voir les réponses
Application aux suites
39
On considère la suite (un) définie par u0=4 et, pour tout n∈N, un+1=un+16.
1. Déterminer la fonction f telle que, pour tout n∈N, un+1=f(un).
2. Vérifier que si x∈[0;6], alors f(x)∈[0;6].
3. On admet que la suite (un) converge vers un réel ℓ∈[0;6]. Déterminer la valeur de ℓ.
Voir les réponses
40
On considère la suite (un) définie par u0=2 et, pour tout n∈N, un+1=un+4.
1. Déterminer la fonction f telle que, pour tout n∈N, un+1=f(un).
2. Vérifier que si x∈[2;5], alors f(x)∈[2;5].
3. On admet que la suite (un) converge vers un réel ℓ∈[2;5]. Déterminer la valeur de ℓ.
Voir les réponses
Pour les exercices
41
à
43
f est une fonction définie sur un intervalle I et (un) désigne une suite définie par récurrence par un+1=f(un). On admet que (un) converge vers un réel ℓ. Dans chaque cas, déterminer les valeurs possibles de ℓ pour la fonction f et l’intervalle I donnés.
41
f:x↦x2 et I=[0;1].
Voir les réponses
42
f:x↦1+x1 et I=]−1;+∞[.
Voir les réponses
43
f:x↦e1−x et I=[0;e].
Voir les réponses
Exercices inversés
44
On a x→2x<2limf(x)=4, x→2x>2limf(x)=8 et f(2)=6 donc f n’est pas continue en 2.
Donner un exemple de fonction f correspondant aux limites citées ci‑dessus.
Voir les réponses
45
On écrit : « Sur ]−∞;−2], le maximum de f vaut 5 donc l’équation n’admet pas de solution. Sur [−2;+∞[, f est continue et strictement croissante donc prend une unique fois chaque valeur comprise entre 2 et +∞ donc l’équation admet une unique solution. »
Donner une équation possible en lien avec cet exercice et proposer un tableau de variations de la fonction f.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.