Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 6

Exercices

Travailler les automatismes

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À l'oral

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Enregistreur audio

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Les fonctions représentées par les courbes ci‑dessous semblent‑elles continues ? Justifier.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 18

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19
La proposition suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier. « Si

f

est dérivable en

a

, alors

f

est continue en

a

. » La réciproque est‑elle vraie ?

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20
Soit

f

une fonction continue sur

R

dont voici le tableau de variations.

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Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l'équation

f (x) = 0

sur

R

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21
En utilisant le tableau de variations de l'exercice 20, quel est le nombre de solutions réelles de : 1.

f (x) = 3

f (x) = - 1

f (x) = - 5

f (x) = 2

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22
Soit

f

une fonction continue sur

[0; 5]

dont voici le tableau de variations.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 22

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Quel est le nombre exact de solutions de l'équation

f (x) = 1

sur

[0; 5]

? Justifier.

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Démontrer la continuité

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23
Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = {x + 5 7 si x ⩽ 2 si x > 2

f

est‑elle continue en

2

? Justifier.

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24
Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f : x \mapsto {2 x + 5 - x + 14 si x ⩽ 3 si x > 3

f

est‑elle continue en

3

? Justifier.

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25
Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f : x \mapsto {x^{2} + x x + 1 si x > 0 si x ⩽ 0

f

est‑elle continue en

0

? Justifier.

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

26
Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = {x^{2} - x^{3} + 2 si x ⩽ 1 si x > 1

f

est‑elle continue en

1

? Justifier.

f

est‑elle continue sur

R

? Justifier.

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27
Soit

f : x \mapsto {e^{3 x} + 1 2 + x si x ⩽ 0 si x > 0

. 1.

f

est‑elle continue en

0

? Justifier.

f

est‑elle continue sur

R

? Justifier.

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28
Soit une fonction

f

définie sur

R^{+}

par

f (x) = e^{x} (x^{2} + 3) x

. Justifier que

f

est continue sur

R^{+}

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Théorème des valeurs intermédiaires

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29
On considère la fonction

f

définie sur

R

par :

f (x) = x^{3} - x - 1

1. L'équation

f (x) = 0

admet‑elle au moins une solution sur

[0; 3]

? Justifier.

2. Même question sur l'intervalle

[1; 3]

3. Même question sur l'intervalle

[0; 1]

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30
Soit

f : x \mapsto e^{x}

définie sur

R

. 1. Pour quelles valeurs de

k

l'équation

f (x) = k

admet‑elle au moins une solution réelle ?

2. Pour quelles valeurs de

k

l'équation

f (x) = k

n'admet‑elle aucune solution réelle ?

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31
L'équation

e^{3 x + 1} = 3 x

admet‑elle au moins une solution réelle ? Justifier.

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Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

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Pour les exercices
32
à
34

La fonction

f

est continue sur

R

avec le tableau de variations suivant.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 32 à 34

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32
1. L'équation

f (x) = - 4

admet‑elle au moins une solution sur

] - \infty; 4]

? Sur

[4; + \infty [

? Justifier.

2. Mêmes questions pour l'équation

f (x) = 3

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33
L'équation

f (x) = 0

admet‑elle une unique solution sur

] - \infty; 4]

? Justifier.

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34
L'équation

f (x) = - 6

admet‑elle une unique solution sur

[4; + \infty]

? Sur

R

? Justifier.

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Pour les exercices
35
à
37

La fonction

f

est continue sur

R

avec le tableau de variations suivant.

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35
L'équation

f (x) = 0

admet‑elle au moins une solution sur

] - \infty; 1]

? Sur

[1; + \infty [

? Justifier.

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36
Quel est le nombre exact de solutions de l'équation

f (x) = 5

sur

R

? De

f (x) = - 5

? Justifier.

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37
Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 1

. 1. Déterminer les variations de

f

sur

R

2. Justifier alors que

f (x) = 2

admet trois solutions sur

[- 4; 4]

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38
Soit

h

la fonction définie sur

R

par

h (x) = x^{3} + 3 x - 5

. 1. Justifier que l'équation

h (x) = 0

n'admet qu'une seule solution sur

R

2. Déterminer une valeur approchée à

1 0^{- 2}

près de cette solution.

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Application aux suites

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39
On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 4

et, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = \frac{6}{u _{n} + 1}

. 1. Déterminer la fonction

f

telle que, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = f (u_{n}) .

2. Vérifier que si

x \in [0; 6]

, alors

f (x) \in [0; 6]

3. On admet que la suite

(u_{n})

converge vers un réel

ℓ \in [0; 6]

. Déterminer la valeur de

ℓ

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40
On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 2

et, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = u_{n} + 4

. 1. Déterminer la fonction

f

telle que, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = f (u_{n}) .

2. Vérifier que si

x \in [2; 5]

, alors

f (x) \in [2; 5]

3. On admet que la suite

(u_{n})

converge vers un réel

ℓ \in [2; 5]

. Déterminer la valeur de

ℓ

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Pour les exercices
41
à
43

f

est une fonction définie sur un intervalle

I

(u_{n})

désigne une suite définie par récurrence par

u_{n + 1} = f (u_{n})

. On admet que

(u_{n})

converge vers un réel

ℓ

. Dans chaque cas, déterminer les valeurs possibles de

ℓ

pour la fonction

f

et l'intervalle

I

donnés.

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f : x \mapsto x^{2}

I = [0; 1]

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f : x \mapsto \frac{1}{1 + x}

I =] - 1; + \infty [

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f : x \mapsto e^{1 - x}

I = [0; e]

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Exercices inversés

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44
On a

x \to 2 x < 2 lim f (x) = 4

x \to 2 x > 2 lim f (x) = 8

f (2) = 6

donc

f

n'est pas continue en

2

. Donner un exemple de fonction

f

correspondant aux limites citées ci‑dessus.

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45
On écrit : « Sur

] - \infty; - 2]

, le maximum de

f

vaut

5

donc l'équation n'admet pas de solution. Sur

[- 2; + \infty [

f

est continue et strictement croissante donc prend une unique fois chaque valeur comprise entre

2

+ \infty

donc l'équation admet une unique solution. » Donner une équation possible en lien avec cet exercice et proposer un tableau de variations de la fonction

f

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