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Activités
P.192-193

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A
Approche de la continuité



Objectif
Découvrir la notion de continuité en un point, graphiquement puis algébriquement.


Approche de la continuité

Partie A : Point de vue graphique
On considère les représentations graphiques Cf\mathcal{C}_{f} et Cg\mathcal{C}_{g} des fonctions suivantes : f:xx+2f: x \mapsto x+2 et g:x{ex si x<1x sinon g: x \mapsto\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x} \text { si } x\lt1 \\ x \text { sinon }\end{array}\right..
1
Quelle différence graphique observe-t-on entre Cf\mathcal{C}_{f} et Cg\mathcal{C}_{g} ?


2
Parmi les deux courbes Cf\mathcal{C}_{f} et Cg\mathcal{C}_{g}, quelle est celle qui semble alors représenter une fonction continue ?


Partie B : Point de vue algébrique
On considère les fonctions ff et gg précédentes.

1
a) Calculer limx1x<1f(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x\lt1}} f(x), limx1x>1f(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x>1}} f(x) et f(1)f(1).


b) Que peut‑on constater ? On dit que ff est continue en 11.


2
a) Calculer limx1x<1g(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x\lt1}} g(x), limx1x>1g(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x>1}} g(x) et g(1)g(1).


b) Que peut‑on constater ? On dit que gg n'est pas continue en 11.
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Approche de la continuité - Bolzano

Histoire des maths

Bernard Bolzano (1781‑1848) est un des premiers à avoir proposé une définition logique de la notion de continuité fondée sur la seule notion de limite.
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Bilan

Soit f\boldsymbol{f} une fonction définie sur un intervalle I\boldsymbol{\text{I}}. Comment définir graphiquement et algébriquement que f\boldsymbol{f} est continue en un réel aI\boldsymbol{a \in \mathrm{I}} ?
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B
À la découverte du théorème des valeurs intermédiaires



Objectif
Découvrir le principe du théorème des valeurs intermédiaires.


Continuité - Activité B - À la découverte des valeurs intermédiaires - sous-marin nucléaire d'attaque

Continuité - Activité B - À la découverte des valeurs intermédiaires - pont levant de la Seyne‑sur‑Mer, créé par Gustave Eiffel

Partie A : Approche intuitive de la vie courante

1
Le sous‑marin nucléaire d’attaque (SNA) Casabianca de la Marine nationale atteint une profondeur maximale de plus de 300 m. S’il plonge de la surface vers sa profondeur maximale, est‑il passé, à un moment donné, par la profondeur 200 m ? 100 m ? 400 m ? Comment l’expliquer ?


2
La flèche du pont levant de la Seyne‑sur‑Mer, créée par Gustave Eiffel, atteint une hauteur de 40 m en position levée. En position basse, on définit sa hauteur à 0 m. Est‑il vrai que, pour passer de la position levée à la position baissée, l’altitude de la flèche prend toutes les valeurs comprises entre 0 m et 40 m ? Justifier.


Partie B : Approche mathématique

1
a) Le cube d’un nombre peut‑il être égal à son triple ? Justifier.


b) Le cube d’un nombre et son triple peuvent‑ils différer de 1 ? De 2 ? Peut‑on avoir n’importe quel écart kRk \in \mathbb{R} ? On pourra utiliser GeoGebra ou la calculatrice et représenter les fonctions x33x1x^{3}-3 x-1, x33x2x^{3}-3 x-2, etc.

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2
Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)={0 si x<01 si x=0x+2 si x>0g(x)=\left\{\begin{array}{r}0 \text { si } x\lt0 \\ 1 \text { si } x=0 \\ x+2 \text { si } x>0\end{array}\right..
Représenter cette fonction dans un repère.

3
Que peut‑on dire du nombre de solutions de l’équation g(x)=kg(x) = k suivant les valeurs de kk ?


4
Soit f:xx33xf: x \mapsto x^{3}-3 x. Quelle différence entre ff et gg permet d’expliquer que, pour certaines valeurs de kk, les équations proposées admettent ou non une solution ?
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Bilan

Soient une fonction f:[a;b]R\boldsymbol{f:[a\,; b] \rightarrow \mathbb{R}} et k\boldsymbol{k} un réel compris entre f(a)\boldsymbol{f(a)} et f(b)\boldsymbol{f(b)}. Donner une condition suffisante pour que l’équation f(x)=k\boldsymbol{f(x) = k} admette au moins une solution dans [a;b]\boldsymbol{[a\,; b]}.
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C
Suites et continuité



Objectif
Étudier une suite du type un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)ff est continue d’un intervalle dans lui‑même.


On désire étudier la suite (un)(u_n) définie par u0=2u_0 = 2 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=1+un2u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_{n}}{2}}.

Partie A
On considère la fonction ff définie sur I=[1;+[\mathrm{I}=[-1\,; +\infty[ par f(x)=1+x2f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}}.

1
Étudier les variations de ff sur I\text{I}.


Aide
Si g(x)=ax+bg(x)=\sqrt{a x+b}, alors g(x)=a2ax+bg^{\prime}(x)=\dfrac{a}{2 \sqrt{a x+b}}.


2
Montrer que, si 0x10 \leqslant x \leqslant 1, alors 0f(x)10 \leqslant f(x) \leqslant 1.


3
Justifier que ff est continue et résoudre dans [0;+[[0\,; +\infty[ l’équation f(x)=xf(x) = x.


Partie B

1
À l’aide de GeoGebra, tracer la courbe représentative de Cf\mathcal{C}_f et la droite d’équation y=xy = x.

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2
En utilisant le graphique, représenter les trois premiers termes de la suite (un)(u_n) sur l’axe des abscisses en s’aidant de la représentation ci‑contre.

Continuité - Activité C - Suites et continuité


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3
Conjecturer alors les variations et la limite de la suite (un)(u_n).


4
Justifier que limn+un=limn+un+1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n+1}.


5
Si (un)(u_n) converge vers une limite \ell, que peut‑on dire de limn+f(un)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} f\left(u_{n}\right) ?


6
En déduire la valeur de \ell, en utilisant les résultats des questions 4 et 5 et ceux de la question 3 de la partie A.
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Continuité - Activité C - Suites et continuité - Émile Picard

Histoire des maths

Ce résultat est un cas particulier de ce que l’on appelle le point fixe d’une équation fonctionnelle.
Ces résultats ont été introduits et démontrés par deux grands fondateurs de l’analyse fonctionnelle, le Français Émile Picard (1856‑1941) et le Polonais Stephan Banach (1892‑1945).
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Bilan

Si une suite (un)\boldsymbol{(u_n)} est définie par récurrence par un+1=f(un)\boldsymbol{u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)}f\boldsymbol{f} est une fonction continue d’un intervalle I\boldsymbol{\text{I}} sur lui‑même et que (un)\boldsymbol{(u_n)} converge vers un nombre α\boldsymbol{\alpha}, comment peut‑on trouver la valeur exacte ou approchée de α\boldsymbol{\alpha} ?
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