Partie A : Point de vue graphique
On considère les représentations graphiques ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ des fonctions suivantes : $f:x\mapsto x+2$ et $g:x\mapsto \{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^x\text{ si }x<1\\ x\text{ sinon }\end{array}$.
Quelle différence graphique observe-t-on entre ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ ?


Parmi les deux courbes ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$, quelle est celle qui semble alors représenter une fonction continue ?


Partie B : Point de vue algébrique
On considère les fonctions $f$ et $g$ précédentes.

a) Calculer $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)$, $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)$ et $f(1)$.


b) Que peut‑on constater ? On dit que $f$ est continue en $1$.


a) Calculer $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }g(x)$, $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }g(x)$ et $g(1)$.


b) Que peut‑on constater ? On dit que $g$ n'est pas continue en $1$.

Partie A : Approche intuitive de la vie courante

Le sous‑marin nucléaire d’attaque (SNA) Casabianca de la Marine nationale atteint une profondeur maximale de plus de 300 m. S’il plonge de la surface vers sa profondeur maximale, est‑il passé, à un moment donné, par la profondeur 200 m ? 100 m ? 400 m ? Comment l’expliquer ?


La flèche du pont levant de la Seyne‑sur‑Mer, créée par Gustave Eiffel, atteint une hauteur de 40 m en position levée. En position basse, on définit sa hauteur à 0 m. Est‑il vrai que, pour passer de la position levée à la position baissée, l’altitude de la flèche prend toutes les valeurs comprises entre 0 m et 40 m ? Justifier.


Partie B : Approche mathématique

a) Le cube d’un nombre peut‑il être égal à son triple ? Justifier.


b) Le cube d’un nombre et son triple peuvent‑ils différer de 1 ? De 2 ? Peut‑on avoir n’importe quel écart $k\in \mathbb{R}$ ? On pourra utiliser GeoGebra ou la calculatrice et représenter les fonctions $x^3-3x-1$, $x^3-3x-2$, etc.


Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\{\begin{array}{r}0\text{ si }x<0\\ 1\text{ si }x=0\\ x+2\text{ si }x>0\end{array}$.
Représenter cette fonction dans un repère.

Que peut‑on dire du nombre de solutions de l’équation $g(x)=k$ suivant les valeurs de $k$ ?


Soit $f:x\mapsto x^3-3x$. Quelle différence entre $f$ et $g$ permet d’expliquer que, pour certaines valeurs de $k$, les équations proposées admettent ou non une solution ?

On désire étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}}$.

Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{I}=[-1;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{2}}$.

Étudier les variations de $f$ sur $\text{I}$.




Montrer que, si $0⩽x⩽1$, alors $0⩽f(x)⩽1$.


Justifier que $f$ est continue et résoudre dans $[0;+\infty [$ l’équation $f(x)=x$.


Partie B

À l’aide de GeoGebra, tracer la courbe représentative de ${\mathcal{C}}_f$ et la droite d’équation $y=x$.

En utilisant le graphique, représenter les trois premiers termes de la suite $(u_n)$ sur l’axe des abscisses en s’aidant de la représentation ci‑contre.

Conjecturer alors les variations et la limite de la suite $(u_n)$.


Justifier que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_{n+1}$.


Si $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$, que peut‑on dire de $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }f\left(u_n\right)$ ?


En déduire la valeur de $\ell$, en utilisant les résultats des questions 4 et 5 et ceux de la question 3 de la partie A.