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Activités
P.192-193




Activités




A
Approche de la continuité



Objectif
Découvrir la notion de continuité en un point, graphiquement puis algébriquement.


Approche de la continuité

Partie A : Point de vue graphique
On considère les représentations graphiques et des fonctions suivantes : et .
1
Quelle différence graphique observe-t-on entre et  ?


2
Parmi les deux courbes et , quelle est celle qui semble alors représenter une fonction continue ?


Partie B : Point de vue algébrique
On considère les fonctions et précédentes.

1
a) Calculer , et .


b) Que peut‑on constater ? On dit que est continue en .


2
a) Calculer , et .


b) Que peut‑on constater ? On dit que n'est pas continue en .
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Approche de la continuité - Bolzano

Histoire des maths

Bernard Bolzano (1781‑1848) est un des premiers à avoir proposé une définition logique de la notion de continuité fondée sur la seule notion de limite.
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Bilan

Soit une fonction définie sur un intervalle . Comment définir graphiquement et algébriquement que est continue en un réel  ?
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B
À la découverte du théorème des valeurs intermédiaires



Objectif
Découvrir le principe du théorème des valeurs intermédiaires.


Continuité - Activité B - À la découverte des valeurs intermédiaires - sous-marin nucléaire d'attaque

Continuité - Activité B - À la découverte des valeurs intermédiaires - pont levant de la Seyne‑sur‑Mer, créé par Gustave Eiffel

Partie A : Approche intuitive de la vie courante

1
Le sous‑marin nucléaire d’attaque (SNA) Casabianca de la Marine nationale atteint une profondeur maximale de plus de 300 m. S’il plonge de la surface vers sa profondeur maximale, est‑il passé, à un moment donné, par la profondeur 200 m ? 100 m ? 400 m ? Comment l’expliquer ?


2
La flèche du pont levant de la Seyne‑sur‑Mer, créée par Gustave Eiffel, atteint une hauteur de 40 m en position levée. En position basse, on définit sa hauteur à 0 m. Est‑il vrai que, pour passer de la position levée à la position baissée, l’altitude de la flèche prend toutes les valeurs comprises entre 0 m et 40 m ? Justifier.


Partie B : Approche mathématique

1
a) Le cube d’un nombre peut‑il être égal à son triple ? Justifier.


b) Le cube d’un nombre et son triple peuvent‑ils différer de 1 ? De 2 ? Peut‑on avoir n’importe quel écart  ? On pourra utiliser GeoGebra ou la calculatrice et représenter les fonctions , , etc.

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2
Soit la fonction définie sur par .
Représenter cette fonction dans un repère.


3
Que peut‑on dire du nombre de solutions de l’équation suivant les valeurs de  ?


4
Soit . Quelle différence entre et permet d’expliquer que, pour certaines valeurs de , les équations proposées admettent ou non une solution ?
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Bilan

Soient une fonction et un réel compris entre et . Donner une condition suffisante pour que l’équation admette au moins une solution dans .
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C
Suites et continuité



Objectif
Étudier une suite du type est continue d’un intervalle dans lui‑même.


On désire étudier la suite définie par et, pour tout , .

Partie A
On considère la fonction définie sur par .

1
Étudier les variations de sur .


Aide
Si , alors .


2
Montrer que, si , alors .


3
Justifier que est continue et résoudre dans l’équation .


Partie B

1
À l’aide de GeoGebra, tracer la courbe représentative de et la droite d’équation .

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2
En utilisant le graphique, représenter les trois premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses en s’aidant de la représentation ci‑contre.

Continuité - Activité C - Suites et continuité


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3
Conjecturer alors les variations et la limite de la suite .


4
Justifier que .


5
Si converge vers une limite , que peut‑on dire de  ?


6
En déduire la valeur de , en utilisant les résultats des questions 4 et 5 et ceux de la question 3 de la partie A.
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Continuité - Activité C - Suites et continuité - Émile Picard

Histoire des maths

Ce résultat est un cas particulier de ce que l’on appelle le point fixe d’une équation fonctionnelle.
Ces résultats ont été introduits et démontrés par deux grands fondateurs de l’analyse fonctionnelle, le Français Émile Picard (1856‑1941) et le Polonais Stephan Banach (1892‑1945).
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Bilan

Si une suite est définie par récurrence par est une fonction continue d’un intervalle sur lui‑même et que converge vers un nombre , comment peut‑on trouver la valeur exacte ou approchée de  ?
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