Partie A : Approche intuitive de la vie courante
Le sous‑marin nucléaire d’attaque (SNA) Casabianca de la Marine nationale atteint une profondeur maximale de plus de 300 m. S’il plonge de la surface vers sa profondeur maximale, est‑il passé, à un moment donné, par la profondeur 200 m ? 100 m ? 400 m ? Comment l’expliquer ?
La flèche du pont levant de la Seyne‑sur‑Mer, créée par Gustave Eiffel, atteint une hauteur de 40 m en position levée. En position basse, on définit sa hauteur à 0 m. Est‑il vrai que, pour passer de la position levée à la position baissée, l’altitude de la flèche prend toutes les valeurs comprises entre 0 m et 40 m ? Justifier.
Partie B : Approche mathématique
a) Le cube d’un nombre peut‑il être égal à son triple ? Justifier.
b) Le cube d’un nombre et son triple peuvent‑ils différer de 1 ? De 2 ? Peut‑on avoir n’importe quel écart
k∈R ? On pourra utiliser GeoGebra ou la calculatrice et représenter les fonctions
x3−3x−1,
x3−3x−2, etc.
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Soit
g la fonction définie sur
R par
g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0 si x<01 si x=0x+2 si x>0.
Représenter cette fonction dans un repère.
Que peut‑on dire du nombre de solutions de l’équation
g(x)=k suivant les valeurs de
k ?
Soit
f:x↦x3−3x. Quelle différence entre
f et
g permet d’expliquer que, pour certaines valeurs de
k, les équations proposées admettent ou non une solution ?