Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Cours 1

Notion de continuité

A
Fonction continue

Définitions
Soient une fonction définie sur un intervalle et un réel appartenant à .
  • est continue en lorsque admet une limite en et que cette limite est .
  • est continue sur un intervalle lorsqu'elle est continue en pour tout .

Remarque

La représentation graphique d'une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.
Exemple
La fonction définie sur par n'est pas continue en 2.
En effet, mais .
Application et méthode - 1
Énoncé
La fonction est définie sur par . Cette fonction est‑elle continue en  ?

Méthode

Pour étudier la continuité en d'une fonction  :
1. on calcule la limite de en pour  ;
2. on calcule la limite de en pour  ;
3. on compare les valeurs obtenues à  : si , alors est continue en .
Solution
Limite à gauche : .
Limite à droite : .
De plus, .
On a donc est continue en 3.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 202

B
Opérations et fonctions continues

Propriété
Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur .

Remarque

Attention, la réciproque est fausse ! Voir les exercices et p. 204.
Démonstration
On considère une fonction définie et dérivable sur un intervalle
Soient et deux réels appartenant à
Pour tout , on a
Or et, puisque est dérivable en , .
Ainsi, donc et est continue en .
Exemple
Soit la fonction définie sur . est dérivable sur , elle est donc continue sur .
Propriétés
1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle sont continues sur cet intervalle.
3. Si et sont continues sur et si ne s'annule pas sur , alors est continue sur .

Remarque

Si et sont des fonctions continues alors est continue sur
Démonstration
1. Les fonctions polynômes et exponentielle sont dérivables et donc continues sur .

2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle des fonctions , et, lorsque ne s'annule pas sur , .

Remarque

La continuité de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue est démontrée aux exercices et p. 204.
Application et méthode - 2
Énoncé
Soit la fonction définie sur par . Montrer que est continue sur .

Méthode

On utilise la continuité des fonctions de référence et les propriétés sur les opérations.
Solution
est une somme de fonctions continues sur , elle est donc continue sur .

Pour s'entraîner
Exercice p. 202

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