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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Cours 1
Notion de continuité
A
Fonction continue
Définitions
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I.
f est continue en a lorsque f admet une limite en a et que cette limite est f(a).
f est continue sur un intervalle I lorsqu'elle est continue en a pour tout a∈I.
Remarque
La représentation graphique d'une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.
Exemple
La fonction f définie sur R par f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x2 si x3 si xx2 si x<2=2>2 n'est pas continue en 2.
En effet, x→2x>2limf(x)=x→2x<2limf(x)=4 mais f(2)=3.
Application et méthode - 1
Énoncé
La fonction f est définie sur R par f(x)={x+6 si x⩽3x2 si x>3. Cette fonction est‑elle continue en 3 ?
Méthode
Pour étudier la continuité en a d'une fonction f :
1. on calcule la limite de f en a pour x<a ;
2. on calcule la limite de f en a pour x>a ;
3. on compare les valeurs obtenues à f(a) : si x→ax>alimf(x)=x→ax<alimf(x)=f(a), alors f est continue en a.
Solution
Limite à gauche : x→3x<3limf(x)=x→3x<3limx+6=9.
Limite à droite : x→3x>3limf(x)=x→3x>3limx2=9.
De plus, f(3)=3+6=9.
On a x→3x<3limf(x)=x→3x>3limf(x)=f(3) donc f est continue en 3.
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
Soient x et a deux réels appartenant à I.
Pour tout x=a, on a f(x)−f(a)=x−af(x)−f(a)×(x−a).
Or x→alim(x−a)=0 et, puisque f est dérivable en a, x→alimx−af(x)−f(a)=f′(a).
Ainsi, x→alim(f(x)−f(a))=f′(a)×0=0 donc x→alimf(x)=f(a) et f est continue en a.
Exemple
Soit la fonction f:x↦x3+1 définie sur R. f est dérivable sur R, elle est donc continue sur R.
Propriétés
1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle I sont continues sur cet intervalle.
3. Si f et g sont continues sur I et si g ne s'annule pas sur I, alors gf est continue sur I.
Remarque
Si f:I→J et g:J→R sont des fonctions continues alors g∘f est continue sur I.
Démonstration
1. Les fonctions polynômes et exponentielle sont dérivables et donc continues sur R.
2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle I des fonctions f+g, f×g et, lorsque g ne s'annule pas sur I, gf.
Remarque
La continuité de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue est démontrée aux exercices