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1. Notion de continuité
P.194-195

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COURS 1


1
Notion de continuité




A
Fonction continue


Définitions

Soient une fonction définie sur un intervalle et un réel appartenant à .
  • est continue en lorsque admet une limite en et que cette limite est .
  • est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en pour tout .

Remarque

La représentation graphique d’une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.

Exemple

La fonction définie sur par n’est pas continue en 2.
En effet, mais .

Application et méthode - 1

Énoncé

La fonction est définie sur par . Cette fonction est‑elle continue en  ?

Solution

Limite à gauche : .
Limite à droite : .
De plus, .
On a donc est continue en 3.


Pour s'entraîner : exercices 23 et 24 p. 202

Méthode

Pour étudier la continuité en d’une fonction  :
1. on calcule la limite de en pour  ;
2. on calcule la limite de en pour  ;
3. on compare les valeurs obtenues à  : si , alors est continue en .

B
Opérations et fonctions continues


Propriété

Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur .

Remarque

Attention, la réciproque est fausse ! Voir les exercices
52
et
53
p. 204
.

DÉMONSTRATION

On considère une fonction définie et dérivable sur un intervalle .
Soient et deux réels appartenant à .
Pour tout , on a .
Or et, puisque est dérivable en , .
Ainsi, donc et est continue en .

Exemple

Soit la fonction définie sur . est dérivable sur , elle est donc continue sur .

Propriétés

1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle sont continues sur cet intervalle.
3. Si et sont continues sur et si ne s’annule pas sur , alors est continue sur .

Remarque

Si et sont des fonctions continues alors est continue sur .

DÉMONSTRATION

1. Les fonctions polynômes et exponentielle sont dérivables et donc continues sur .

2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle des fonctions , et, lorsque ne s’annule pas sur , .

Remarque

La continuité de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue est démontrée aux exercices
52
et
53
p. 204
.

Application et méthode - 2

Énoncé

Soit la fonction définie sur par . Montrer que est continue sur .

Solution

est une somme de fonctions continues sur , elle est donc continue sur .

Pour s'entraîner : exercice 28 p. 202

Méthode

On utilise la continuité des fonctions de référence et les propriétés sur les opérations.

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