Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ et $a$ un réel appartenant à $\text{I}$.

• $f$ est continue en $\mathbf{a}$ lorsque $f$ admet une limite en $a$ et que cette limite est $f(a)$.
• $f$ est continue sur un intervalle $\mathrm{I}$ lorsqu'elle est continue en $a$ pour tout $a\in \mathrm{I}$.

La représentation graphique d'une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\{\begin{array}{rl}{x}^2\text{ si }x& <2\\ 3\text{ si }x& =2\\ x^2\text{ si }x& >2\end{array}$ n'est pas continue en 2.
En effet, $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }f(x)=4$ mais $f(2)=3$.

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\{\begin{array}{r}x+6\text{ si }x⩽3\\ x^2\text{ si }x>3\end{array}$. Cette fonction est‑elle continue en $3$ ?

Pour étudier la continuité en $a$ d'une fonction $f$ :
1. on calcule la limite de $f$ en $a$ pour $x<a$ ;
2. on calcule la limite de $f$ en $a$ pour $x>a$ ;
3. on compare les valeurs obtenues à $f(a)$ : si $\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x>a\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x<a\end{array}}{\lim }f(x)=f(a)$, alors $f$ est continue en $a$.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $\text{I}.$
Soient $x$ et $a$ deux réels appartenant à $\text{I}.$
Pour tout $x\ne a$, on a $f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\times (x-a).$
Or $\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }(x-a)=0$ et, puisque $f$ est dérivable en $a$, $\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$.
Ainsi, $\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }(f(x)-f(a))=f^{\prime }(a)\times 0=0$ donc $\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }f(x)=f(a)$ et $f$ est continue en $a$.

Soit la fonction $f:x\mapsto x^3+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$.

1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle $\text{I}$ sont continues sur cet intervalle.
3. Si $f$ et $g$ sont continues sur $\text{I}$ et si $g$ ne s'annule pas sur $\text{I}$, alors $\frac{f}{g}$ est continue sur $\text{I}$.

Si $f:\mathrm{I}\to \mathrm{J}$ et $g:\mathrm{J}\to \mathbb{R}$ sont des fonctions continues alors $g\circ f$ est continue sur $\text{I}.$

$f$ est une somme de fonctions continues sur $[0;+\infty [$, elle est donc continue sur $[0;+\infty [$.

Exercice

28

p. 202