Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I.
f est continue en a lorsque f admet une limite en a et que cette limite est f(a).
f est continue sur un intervalle I lorsqu’elle est continue en a pour tout a∈I.
Remarque
La représentation graphique d’une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.
Exemple
La fonction f définie sur R par f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x2 si x3 si xx2 si x<2=2>2 n’est pas continue en 2.
En effet, x→2x>2limf(x)=x→2x<2limf(x)=4 mais f(2)=3.
Application et méthode - 1
Énoncé
La fonction f est définie sur R par f(x)={x+6 si x⩽3x2 si x>3. Cette fonction est‑elle continue en 3 ?
Solution
Limite à gauche : x→3x<3limf(x)=x→3x<3limx+6=9.
Limite à droite : x→3x>3limf(x)=x→3x>3limx2=9.
De plus, f(3)=3+6=9.
On a x→3x<3limf(x)=x→3x>3limf(x)=f(3) donc f est continue en 3.
Pour étudier la continuité en a d’une fonction f :
1. on calcule la limite de f en a pour x<a ;
2. on calcule la limite de f en a pour x>a ;
3. on compare les valeurs obtenues à f(a) : si x→ax>alimf(x)=x→ax<alimf(x)=f(a), alors f est continue en a.
B
Opérations et fonctions continues
Propriété
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.
Remarque
Attention, la réciproque est fausse ! Voir les exercices
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
Soient x et a deux réels appartenant à I.
Pour tout x=a, on a f(x)−f(a)=x−af(x)−f(a)×(x−a).
Or x→alim(x−a)=0 et, puisque f est dérivable en a, x→alimx−af(x)−f(a)=f′(a).
Ainsi, x→alim(f(x)−f(a))=f′(a)×0=0 donc x→alimf(x)=f(a) et f est continue en a.
Exemple
Soit la fonction f:x↦x3+1 définie sur R. f est dérivable sur R, elle est donc continue sur R.
Propriétés
1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle I sont continues sur cet intervalle.
3. Si f et g sont continues sur I et si g ne s’annule pas sur I, alors gf est continue sur I.
Remarque
Si f:I→J et g:J→R sont des fonctions continues alors g∘f est continue sur I.
DÉMONSTRATION
1. Les fonctions polynômes et exponentielle sont dérivables et donc continues sur R.
2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle I des fonctions f+g, f×g et, lorsque g ne s’annule pas sur I, gf.
Remarque
La continuité de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue est démontrée aux exercices
On utilise la continuité des fonctions de référence et les propriétés sur les opérations.
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