Mathématiques Terminale Spécialité
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Chapitre 6
Cours 1
Notion de continuité
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AFonction continue
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Définitions
Soient f une fonction définie sur un intervalle \text{I} et a un réel appartenant à \text{I}.
- f est continue en \boldsymbol{a} lorsque f admet une limite en a et que cette limite est f(a).
- f est continue sur un intervalle \mathrm{I} lorsqu'elle est continue en a pour tout a \in \mathrm{I}.
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La représentation graphique d'une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.
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Exemple
La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\left\{\begin{aligned}x^{2} \text { si } x&\lt2 \\ 3 \text { si } x&=2 \\ x^{2} \text { si } x&>2\end{aligned}\right. n'est pas continue en 2.
En effet, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x\lt2}} f(x)=4 mais f(2) = 3.
En effet, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x\lt2}} f(x)=4 mais f(2) = 3.
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Application et méthode - 1
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Énoncé
La fonction f est définie sur \mathbb{R} par f(x)=\left\{\begin{array}{r}x+6 \text { si } x \leqslant 3 \\ x^{2} \text { si } x>3\end{array}\right.. Cette fonction est‑elle continue en 3 ?
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Pour étudier la continuité en a d'une fonction f :
1. on calcule la limite de f en a pour x \lt a ;
2. on calcule la limite de f en a pour x > a ;
3. on compare les valeurs obtenues à f(a) : si \lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x>a}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x \lt a}} f(x)=f(a), alors f est continue en a.
1. on calcule la limite de f en a pour x \lt a ;
2. on calcule la limite de f en a pour x > a ;
3. on compare les valeurs obtenues à f(a) : si \lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x>a}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x \lt a}} f(x)=f(a), alors f est continue en a.
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Solution
Limite à gauche : \lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} x+6=9.
Limite à droite : \lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} x^{2}=9.
Limite à droite : \lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} x^{2}=9.
De plus, f(3)=3+6=9.
On a \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x>3}} f(x)=f(3) donc f est continue en 3.
On a \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x>3}} f(x)=f(3) donc f est continue en 3.
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BOpérations et fonctions continues
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Propriété
Toute fonction dérivable sur un intervalle \text{I} est continue sur \text{I}.
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Démonstration
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle \text{I}.
Soient x et a deux réels appartenant à \text{I}.
Pour tout x \neq a, on a f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times(x-a).
Or \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(x-a)=0 et, puisque f est dérivable en a, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a).
Ainsi, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(f(x)-f(a))=f^{\prime}(a) \times 0=0 donc \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=f(a) et f est continue en a.
Soient x et a deux réels appartenant à \text{I}.
Pour tout x \neq a, on a f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times(x-a).
Or \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(x-a)=0 et, puisque f est dérivable en a, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a).
Ainsi, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(f(x)-f(a))=f^{\prime}(a) \times 0=0 donc \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=f(a) et f est continue en a.
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Exemple
Soit la fonction f: x \mapsto x^{3}+1 définie sur \mathbb{R}. f est dérivable sur \mathbb{R}, elle est donc continue sur \mathbb{R}.
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Propriétés
1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle \text{I} sont continues sur cet intervalle.
3. Si f et g sont continues sur \text{I} et si g ne s'annule pas sur \text{I}, alors \frac{f}{g} est continue sur \text{I}.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle \text{I} sont continues sur cet intervalle.
3. Si f et g sont continues sur \text{I} et si g ne s'annule pas sur \text{I}, alors \frac{f}{g} est continue sur \text{I}.
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Si f: \mathrm{I} \rightarrow \mathrm{J} et g: \mathrm{J} \rightarrow \mathbb{R} sont des fonctions continues alors g \circ f est continue sur \text{I}.
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Démonstration
1. Les fonctions polynômes et exponentielle sont dérivables et donc continues sur \mathbb{R}.
2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle \text{I} des fonctions f+g, f \times g et, lorsque g ne s'annule pas sur \text{I}, \frac{f}{g}.
2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle \text{I} des fonctions f+g, f \times g et, lorsque g ne s'annule pas sur \text{I}, \frac{f}{g}.
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Application et méthode - 2
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Énoncé
Soit f la fonction définie sur [0\,;+\infty[ par f(x)=x^{2}+\sqrt{x}. Montrer que f est continue sur [0\,;+\infty[.
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On utilise la continuité des fonctions de référence et les propriétés sur les opérations.
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Solution
f est une somme de fonctions continues sur [0\,;+\infty[, elle est donc continue sur [0\,;+\infty[.
Pour s'entraîner
Exercice p. 202
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