Chapitre 6
Cours 1
Notion de continuité
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
AFonction continue
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définitions
Soient f une fonction définie sur un intervalle \text{I} et a un réel appartenant à \text{I}.
- f est continue en \boldsymbol{a} lorsque f admet une limite en a et que cette limite est f(a).
- f est continue sur un intervalle \mathrm{I} lorsqu'elle est continue en a pour tout a \in \mathrm{I}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
La représentation graphique d'une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\left\{\begin{aligned}x^{2} \text { si } x&\lt2 \\ 3 \text { si } x&=2 \\ x^{2} \text { si } x&>2\end{aligned}\right. n'est pas continue en 2.
En effet, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x\lt2}} f(x)=4 mais f(2) = 3.
En effet, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x\lt2}} f(x)=4 mais f(2) = 3.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 1
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
La fonction f est définie sur \mathbb{R} par f(x)=\left\{\begin{array}{r}x+6 \text { si } x \leqslant 3 \\ x^{2} \text { si } x>3\end{array}\right.. Cette fonction est‑elle continue en 3 ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Pour étudier la continuité en a d'une fonction f :
1. on calcule la limite de f en a pour x \lt a ;
2. on calcule la limite de f en a pour x > a ;
3. on compare les valeurs obtenues à f(a) : si \lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x>a}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x \lt a}} f(x)=f(a), alors f est continue en a.
1. on calcule la limite de f en a pour x \lt a ;
2. on calcule la limite de f en a pour x > a ;
3. on compare les valeurs obtenues à f(a) : si \lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x>a}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x \lt a}} f(x)=f(a), alors f est continue en a.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites d éfiler pour voir la suite.
Faites d éfiler pour voir la suite.
Solution
Limite à gauche : \lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} x+6=9.
Limite à droite : \lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} x^{2}=9.
Limite à droite : \lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} x^{2}=9.
De plus, f(3)=3+6=9.
On a \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x>3}} f(x)=f(3) donc f est continue en 3.
On a \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x>3}} f(x)=f(3) donc f est continue en 3.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
BOpérations et fonctions continues
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Toute fonction dérivable sur un intervalle \text{I} est continue sur \text{I}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle \text{I}.
Soient x et a deux réels appartenant à \text{I}.
Pour tout x \neq a, on a f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times(x-a).
Or \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(x-a)=0 et, puisque f est dérivable en a, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a).
Ainsi, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(f(x)-f(a))=f^{\prime}(a) \times 0=0 donc \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=f(a) et f est continue en a.
Soient x et a deux réels appartenant à \text{I}.
Pour tout x \neq a, on a f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times(x-a).
Or \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(x-a)=0 et, puisque f est dérivable en a, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a).
Ainsi, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(f(x)-f(a))=f^{\prime}(a) \times 0=0 donc \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=f(a) et f est continue en a.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Soit la fonction f: x \mapsto x^{3}+1 définie sur \mathbb{R}. f est dérivable sur \mathbb{R}, elle est donc continue sur \mathbb{R}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle \text{I} sont continues sur cet intervalle.
3. Si f et g sont continues sur \text{I} et si g ne s'annule pas sur \text{I}, alors \frac{f}{g} est continue sur \text{I}.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle \text{I} sont continues sur cet intervalle.
3. Si f et g sont continues sur \text{I} et si g ne s'annule pas sur \text{I}, alors \frac{f}{g} est continue sur \text{I}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Si f: \mathrm{I} \rightarrow \mathrm{J} et g: \mathrm{J} \rightarrow \mathbb{R} sont des fonctions continues alors g \circ f est continue sur \text{I}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
1. Les fonctions polynômes et exponentielle sont dérivables et donc continues sur \mathbb{R}.
2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle \text{I} des fonctions f+g, f \times g et, lorsque g ne s'annule pas sur \text{I}, \frac{f}{g}.
2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle \text{I} des fonctions f+g, f \times g et, lorsque g ne s'annule pas sur \text{I}, \frac{f}{g}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 2
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Soit f la fonction définie sur [0\,;+\infty[ par f(x)=x^{2}+\sqrt{x}. Montrer que f est continue sur [0\,;+\infty[.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On utilise la continuité des fonctions de référence et les propriétés sur les opérations.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
f est une somme de fonctions continues sur [0\,;+\infty[, elle est donc continue sur [0\,;+\infty[.
Pour s'entraîner
Exercice p. 202
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
