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1. Notion de continuité
P.194-195

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COURS 1


1
Notion de continuité




A
Fonction continue


Définitions

Soient ff une fonction définie sur un intervalle I\text{I} et aa un réel appartenant à I\text{I}.
  • ff est continue en a\boldsymbol{a} lorsque ff admet une limite en aa et que cette limite est f(a)f(a).
  • ff est continue sur un intervalle I\mathrm{I} lorsqu’elle est continue en aa pour tout aIa \in \mathrm{I}.

Remarque

La représentation graphique d’une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.

Exemple

La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)={x2 si x<23 si x=2x2 si x>2f(x)=\left\{\begin{aligned}x^{2} \text { si } x&\lt2 \\ 3 \text { si } x&=2 \\ x^{2} \text { si } x&>2\end{aligned}\right. n’est pas continue en 2.
En effet, limx2x>2f(x)=limx2x<2f(x)=4\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x\lt2}} f(x)=4 mais f(2)=3f(2) = 3.

Application et méthode - 1

Énoncé

La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par f(x)={x+6 si x3x2 si x>3f(x)=\left\{\begin{array}{r}x+6 \text { si } x \leqslant 3 \\ x^{2} \text { si } x>3\end{array}\right.. Cette fonction est‑elle continue en 33 ?

Solution

Limite à gauche : limx3x<3f(x)=limx3x<3x+6=9\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} x+6=9.
Limite à droite : limx3x>3f(x)=limx3x>3x2=9\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x\gt3}} x^{2}=9.
De plus, f(3)=3+6=9f(3)=3+6=9.
On a limx3x<3f(x)=limx3x>3f(x)=f(3)\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow 3 \\ x>3}} f(x)=f(3) donc ff est continue en 3.


Pour s'entraîner : exercices 23 et 24 p. 202

Méthode

Pour étudier la continuité en aa d’une fonction ff :
1. on calcule la limite de ff en aa pour x<ax \lt a ;
2. on calcule la limite de ff en aa pour x>ax > a ;
3. on compare les valeurs obtenues à f(a)f(a) : si limxax>af(x)=limxax<af(x)=f(a)\lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x>a}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x \lt a}} f(x)=f(a), alors ff est continue en aa.

B
Opérations et fonctions continues


Propriété

Toute fonction dérivable sur un intervalle I\text{I} est continue sur I\text{I}.

Remarque

Attention, la réciproque est fausse ! Voir les exercices
52
et
53
p. 204
.

DÉMONSTRATION

On considère une fonction ff définie et dérivable sur un intervalle I\text{I}.
Soient xx et aa deux réels appartenant à I\text{I}.
Pour tout xax \neq a, on a f(x)f(a)=f(x)f(a)xa×(xa)f(x)-f(a)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \times(x-a).
Or limxa(xa)=0\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(x-a)=0 et, puisque ff est dérivable en aa, limxaf(x)f(a)xa=f(a)\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a).
Ainsi, limxa(f(x)f(a))=f(a)×0=0\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(f(x)-f(a))=f^{\prime}(a) \times 0=0 donc limxaf(x)=f(a)\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=f(a) et ff est continue en aa.

Exemple

Soit la fonction f:xx3+1f: x \mapsto x^{3}+1 définie sur R\mathbb{R}. ff est dérivable sur R\mathbb{R}, elle est donc continue sur R\mathbb{R}.

Propriétés

1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle I\text{I} sont continues sur cet intervalle.
3. Si ff et gg sont continues sur I\text{I} et si gg ne s’annule pas sur I\text{I}, alors fg\dfrac{f}{g} est continue sur I\text{I}.

Remarque

Si f:IJf: \mathrm{I} \rightarrow \mathrm{J} et g:JRg: \mathrm{J} \rightarrow \mathbb{R} sont des fonctions continues alors gfg \circ f est continue sur I\text{I}.

DÉMONSTRATION

1. Les fonctions polynômes et exponentielle sont dérivables et donc continues sur R\mathbb{R}.

2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle I\text{I} des fonctions f+gf+g, f×gf \times g et, lorsque gg ne s’annule pas sur I\text{I}, fg\dfrac{f}{g}.

Remarque

La continuité de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue est démontrée aux exercices
52
et
53
p. 204
.

Application et méthode - 2

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur [0;+[[0\,;+\infty[ par f(x)=x2+xf(x)=x^{2}+\sqrt{x}. Montrer que ff est continue sur [0;+[[0\,;+\infty[.

Solution

ff est une somme de fonctions continues sur [0;+[[0\,;+\infty[, elle est donc continue sur [0;+[[0\,;+\infty[.

Pour s'entraîner : exercice 28 p. 202

Méthode

On utilise la continuité des fonctions de référence et les propriétés sur les opérations.

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