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1. Notion de continuité

P.194-195

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COURS 1

1
Notion de continuité

A
Fonction continue

Définitions

Soient

f

une fonction définie sur un intervalle

I

a

un réel appartenant à

I

$f$ est continue en $a$ lorsque $f$ admet une limite en $a$ et que cette limite est $f (a)$ .
$f$ est continue sur un intervalle $I$ lorsqu’elle est continue en $a$ pour tout $a \in I$ .

Remarque

La représentation graphique d’une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.

Exemple

La fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x^{2} si x 3 si x x^{2} si x < 2 = 2 > 2

n’est pas continue en 2.
En effet,

x \to 2 x > 2 lim f (x) = x \to 2 x < 2 lim f (x) = 4

mais

f (2) = 3

Application et méthode - 1

Énoncé

La fonction

f

est définie sur

R

par

f (x) = {x + 6 si x ⩽ 3 x^{2} si x > 3

. Cette fonction est‑elle continue en

3

Solution

Limite à gauche :

x \to 3 x < 3 lim f (x) = x \to 3 x < 3 lim x + 6 = 9

.
Limite à droite :

x \to 3 x > 3 lim f (x) = x \to 3 x > 3 lim x^{2} = 9

.
De plus,

f (3) = 3 + 6 = 9

.
On a

x \to 3 x < 3 lim f (x) = x \to 3 x > 3 lim f (x) = f (3)

donc

f

est continue en 3.

Pour s'entraîner : exercices 23 et 24 p. 202

Méthode

Pour étudier la continuité en

a

d’une fonction

f

:
1. on calcule la limite de

f

a

pour

x < a

;
2. on calcule la limite de

f

a

pour

x > a

;
3. on compare les valeurs obtenues à

f (a)

: si

x \to a x > a lim f (x) = x \to a x < a lim f (x) = f (a)

, alors

f

est continue en

a

B
Opérations et fonctions continues

Propriété

Toute fonction dérivable sur un intervalle

I

est continue sur

I

Remarque

Attention, la réciproque est fausse ! Voir les exercices

p. 204.

DÉMONSTRATION

On considère une fonction

f

définie et dérivable sur un intervalle

I

.
Soient

x

a

deux réels appartenant à

I

.
Pour tout

x \neq = a

, on a

f (x) - f (a) = \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} \times (x - a)

.
Or

x \to a lim (x - a) = 0

et, puisque

f

est dérivable en

a

x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = f^{'} (a)

.
Ainsi,

x \to a lim (f (x) - f (a)) = f^{'} (a) \times 0 = 0

donc

x \to a lim f (x) = f (a)

f

est continue en

a

Exemple

Soit la fonction

f : x \mapsto x^{3} + 1

définie sur

R

f

est dérivable sur

R

, elle est donc continue sur

R

Propriétés

1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle

I

sont continues sur cet intervalle.
3. Si

f

g

sont continues sur

I

et si

g

ne s’annule pas sur

I

, alors

\frac{f}{g}

est continue sur

I

Remarque

f : I \to J

g : J \to R

sont des fonctions continues alors

g \circ f

est continue sur

I

DÉMONSTRATION

1. Les fonctions polynômes et exponentielle sont dérivables et donc continues sur

R

.

2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle

I

des fonctions

f + g

f \times g

et, lorsque

g

ne s’annule pas sur

I

\frac{f}{g}

Remarque

La continuité de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue est démontrée aux exercices

p. 204.

Application et méthode - 2

Énoncé

Soit

f

la fonction définie sur

[0; + \infty [

par

f (x) = x^{2} + x

. Montrer que

f

est continue sur

[0; + \infty [

Solution

f

est une somme de fonctions continues sur

[0; + \infty [

, elle est donc continue sur

[0; + \infty [

Pour s'entraîner : exercice 28 p. 202

Méthode

On utilise la continuité des fonctions de référence et les propriétés sur les opérations.

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1Notion de continuité

AFonction continue

Remarque

Application et méthode - 1

Énoncé

Solution

Méthode

BOpérations et fonctions continues

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

Application et méthode - 2

Énoncé

Solution

Méthode

1
Notion de continuité

A
Fonction continue

B
Opérations et fonctions continues