Notion de continuité

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ et $a$ un réel appartenant à $\text{I}$.

• $f$ est continue en $\mathbf{a}$ lorsque $f$ admet une limite en $a$ et que cette limite est $f(a)$.
• $f$ est continue sur un intervalle $\mathrm{I}$ lorsqu'elle est continue en $a$ pour tout $a\in \mathrm{I}$.

La représentation graphique d'une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\{\begin{array}{r}x+6\text{ si }x⩽3\\ x^2\text{ si }x>3\end{array}$. Cette fonction est‑elle continue en $3$ ?

Pour étudier la continuité en $a$ d'une fonction $f$ :
1. on calcule la limite de $f$ en $a$ pour $x<a$ ;
2. on calcule la limite de $f$ en $a$ pour $x>a$ ;
3. on compare les valeurs obtenues à $f(a)$ : si $\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x>a\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x<a\end{array}}{\lim }f(x)=f(a)$, alors $f$ est continue en $a$.

Toute fonction dérivable sur un intervalle $\text{I}$ est continue sur $\text{I}$.

Attention, la réciproque est fausse ! Voir les exercices

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et

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p. 204.

1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle $\text{I}$ sont continues sur cet intervalle.
3. Si $f$ et $g$ sont continues sur $\text{I}$ et si $g$ ne s'annule pas sur $\text{I}$, alors $\frac{f}{g}$ est continue sur $\text{I}$.

Si $f:\mathrm{I}\to \mathrm{J}$ et $g:\mathrm{J}\to \mathbb{R}$ sont des fonctions continues alors $g\circ f$ est continue sur $\text{I}.$

1. Les fonctions polynômes et exponentielle sont dérivables et donc continues sur $\mathbb{R}$.

2. et 3. Les opérations sur les limites permettent de démontrer la continuité sur un intervalle $\text{I}$ des fonctions $f+g$, $f\times g$ et, lorsque $g$ ne s'annule pas sur $\text{I}$, $\frac{f}{g}$.

La continuité de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue est démontrée aux exercices

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et

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p. 204.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=x^2+\sqrt{x}$. Montrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty [$.

On utilise la continuité des fonctions de référence et les propriétés sur les opérations.