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Continuité
P.190-191

Chapitre 6


Continuité





Electro-cardiogramme - Continuité


L’électrocardiogramme est le tracé papier de l’activité électrique du cœur suivant différents canaux.
On peut considérer que cette activité électrique est une fonction du temps. Les irrégularités et discontinuités de l’électrocardiogramme peuvent permettre aux cardiologues de repérer des anomalies.

Capacités attendues - chapitre 6

1. Comprendre et utiliser la définition de la continuité d’une fonction.
2. Connaître et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et un de ses corollaires.
3. Étudier les solutions d’une équation du type  : existence, unicité, encadrement.
4. Pour une fonction continue d’un intervalle dans lui‑même, étudier une suite définie par une relation de récurrence .

Avant de commencer

Prérequis

1. Connaître et manipuler les fonctions de références.
2. Calculer des dérivées.
3. Obtenir un sens de variation à partir de la dérivée.
4. Calculer la limite d’une fonction.
5. Connaître et manipuler les suites.
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1
Connaître la fonction exponentielle

1. Dresser le tableau de variations de la fonction exponentielle.

Dessinez ici


2. Préciser les limites aux bornes de son ensemble de définition.
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2
Calculer des dérivées

Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de dérivabilité et la dérivée de la fonction définie sur .

1. ,


2. ,


3. ,


4. ,
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3
Étudier les variations sans dérivation

Soit une fonction définie sur .
Étudier les variations de sans calculer sa dérivée.
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4
Étudier une fonction

Soit une fonction définie et dérivable sur .

1. Déterminer une expression de la dérivée de .


2. Étudier les variations de sur .


3. À l’aide de la calculatrice, tracer la courbe représentative de .

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5
Calculer des limites simples

Déterminer les limites suivantes.

1.


2.


3.


4.
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6
Calculer des limites de fonctions

Soient , et les fonctions définies sur leur ensemble de définition par , et .

1. Calculer les limites de , et en .


2. Calculer les limites de , et en .


3. Calculer .
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7
Valider ou rejeter une affirmation

Donner la (ou les) bonne(s) réponse(s) en justifiant.

1. La fonction exponentielle est :





2. Pour tout , la dérivée de et sont réels est :






3. L’inéquation a pour ensemble de solutions :





4. Soit une suite telle que, pour tout entier , .



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8
Problème

Soit la suite définie, pour tout , par : .

1. Calculer et .


2. Montrer par récurrence sur que, pour tout , .


3. Que peut‑on dire de la convergence de  ?
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Anecdote

Jusqu’au XIXe siècle, les mathématiciens pensaient que les fonctions continues étaient aussi dérivables, sauf peut‑être en de rares points. Le mathématicien et logicien Pragois Bernard Bolzano (1781‑1848) a donné vers 1833 le premier exemple d’une fonction continue partout mais dérivable nulle part !
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