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1. Notion de continuité
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Entraînement


1
Notion de continuité





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

46
FLASH

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont continues en 00 ? Justifier.

1. f:xxexf: x \mapsto x \mathrm{e}^{x}


2. g:xxg: x \mapsto \sqrt{x}


3. h:x1xh: x \mapsto \dfrac{1}{x}


4. k:xxx+1k: x \mapsto \dfrac{x}{x+1}


5. m:xx3+xm: x \mapsto x^{3}+\sqrt{x}


6. n:xexex+1n: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}
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47
FLASH

Si limx3x>3f(x)=limx3x<3f(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x>3}} f(x)=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x), peut‑on conclure que ff est continue en 33 ? Justifier.
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48
FLASH

Soient ff et gg deux fonctions continues sur I\text{I}.

1. La fonction f+f×gf + f \times g est‑elle continue sur I\text{I} ?


2. La fonction (fg)(f+g)(f-g)(f+g) est‑elle continue sur I\text{I} ?


3. La fonction fgf+g\dfrac{f-g}{f+g} est‑elle continue sur I\text{I} ?
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49
[Représenter.]
La partie entière d’un réel xx, notée E(x)\mathrm{E}(x), est le nombre entier relatif nn tel que nx<n+1n \leqslant x \lt n+1.

1. Calculer E(3,4)\mathrm{E}(3{,}4), E(2)\mathrm{E}(2) et E(4,6)\mathrm{E}(-4{,}6).


2. Tracer la représentation graphique de la fonction E:xE(x)\mathrm{E}: x \mapsto \mathrm{E}(x) sur [5;5][-5\,; 5].

Couleurs
Formes
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3. Que peut‑on conjecturer graphiquement sur la continuité de la fonction E\mathrm{E} ?


4. Calculer limx1x>1E(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x >1}} \mathrm{E}(x) et limx1x<1E(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x \lt 1}} \mathrm{E}(x). Conclure.
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50
[Raisonner.] ◉◉
Justifier la continuité de la fonction f:xexxx2+1f: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}{x^{2}+1} sur I=[0;+[\mathrm{I}=[0\,; +\infty[.
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51
[Modéliser.]
On souhaite utiliser GeoGebra pour étudier la continuité en 00 de la fonction ff définie par :
f:x{(x+1)ex si x<01 si x=0x(x+1)+1 si x<0f: x \mapsto\left\{\begin{array}{r}(x+1) \mathrm{e}^{x} \text { si } x \lt 0 \\ 1 \text { si } x=0 \\ \sqrt{x}(x+1)+1 \text { si } x \lt 0\end{array}\right..

1. Recopier et valider les lignes suivantes sur le logiciel.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 51

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2. Que peut‑on en conclure ?
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52
[Raisonner.] ◉◉
[DÉMO]

On considère la fonction f:xxf: x \mapsto \sqrt{x} définie pour x[0;+]x \in[0\,;+\infty]. Montrer que ff est continue en 00 sans être dérivable en 00.
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53
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit f:xxf: x \mapsto|x| définie sur R\mathbb{R}. Montrer que ff est continue en 00 sans être dérivable en 00.
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54
[Calculer.] ◉◉
Trouver la valeur de kk telle que la fonction définie par f:x{x2+ex1 si x1x+k si x>1f: x \mapsto\left\{\begin{aligned} x^{2}+\mathrm{e}^{x-1} & \text { si } x \leqslant 1 \\ x+k & \text { si } x>1 \end{aligned}\right. soit continue sur R\mathbb{R}.
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55
[Raisonner.]
Justifier la continuité de la fonction ff définie sur ]1;+[] 1\,;+\infty[ par f(x)=x1x1f(x)=x-\dfrac{1}{x-1}.
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56
[Raisonner.]
Justifier la continuité de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^{|x|}.
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57
[Communiquer.] ◉◉◉
Justifier la continuité de f:x1x2+1x2f: x \mapsto 1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}} sur l’intervalle [1;1][-1\,; 1].
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