1

Notion de continuité

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

46

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont continues en $0$ ? Justifier.

1. $f:x\mapsto x{\mathrm{e}}^x$


2. $g:x\mapsto \sqrt{x}$


3. $h:x\mapsto \frac{1}{x}$


4. $k:x\mapsto \frac{x}{x+1}$


5. $m:x\mapsto x^3+\sqrt{x}$


6. $n:x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}$

47

Si $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }f(x)$, peut‑on conclure que $f$ est continue en $3$ ? Justifier.

48

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\text{I}$.

1. La fonction $f+f\times g$ est‑elle continue sur $\text{I}$ ?


2. La fonction $(f-g)(f+g)$ est‑elle continue sur $\text{I}$ ?


3. La fonction $\frac{f-g}{f+g}$ est‑elle continue sur $\text{I}$ ?

49

[Représenter.]
La partie entière d’un réel $x$, notée $\mathrm{E}(x)$, est le nombre entier relatif $n$ tel que $n⩽x<n+1$.

1. Calculer $\mathrm{E}(3,4)$, $\mathrm{E}(2)$ et $\mathrm{E}(-4,6)$.


2. Tracer la représentation graphique de la fonction $\mathrm{E}:x\mapsto \mathrm{E}(x)$ sur $[-5;5]$.

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3. Que peut‑on conjecturer graphiquement sur la continuité de la fonction $\mathrm{E}$ ?


4. Calculer $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\mathrm{E}(x)$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\mathrm{E}(x)$. Conclure.

50

[Raisonner.] ◉◉◉
Justifier la continuité de la fonction $f:x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x\sqrt{x}}{x^2+1}$ sur $\mathrm{I}=[0;+\infty [$.

51

[Modéliser.]
On souhaite utiliser GeoGebra pour étudier la continuité en $0$ de la fonction $f$ définie par : $f:x\mapsto \{\begin{array}{r}(x+1){\mathrm{e}}^x\text{ si }x<0\\ 1\text{ si }x=0\\ \sqrt{x}(x+1)+1\text{ si }x<0\end{array}$.
1. Recopier et valider les lignes suivantes sur le logiciel.

2. Que peut‑on en conclure ?

52

[Raisonner.] ◉◉◉

[DÉMO]

On considère la fonction $f:x\mapsto \sqrt{x}$ définie pour $x\in [0;+\infty ]$. Montrer que $f$ est continue en $0$ sans être dérivable en $0$.

53

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soit $f:x\mapsto |x|$ définie sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est continue en $0$ sans être dérivable en $0$.

54

[Calculer.] ◉◉◉
Trouver la valeur de $k$ telle que la fonction définie par $f:x\mapsto \{\begin{array}{rl}{x}^2+{\mathrm{e}}^{x-1}& \text{ si }x⩽1\\ x+k& \text{ si }x>1\end{array}$ soit continue sur $\mathbb{R}$.

55

[Raisonner.]
Justifier la continuité de la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty [$ par $f(x)=x-\frac{1}{x-1}$.

56

[Raisonner.]
Justifier la continuité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{|x|}$.

57

[Communiquer.] ◉◉◉
Justifier la continuité de $f:x\mapsto 1-x^2+\sqrt{1-x^2}$ sur l’intervalle $[-1;1]$.