Si \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x>3}} f(x)=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x), peut‑on conclure que f est continue en 3 ? Justifier.

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Flash

Soient f et g deux fonctions continues sur \text{I}.

1. La fonction f + f \times g est‑elle continue sur \text{I} ?

2. La fonction (f-g)(f+g) est‑elle continue sur \text{I} ?

3. La fonction \frac{f-g}{f+g} est‑elle continue sur \text{I} ?

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Flash

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont continues en 0 ? Justifier.

1. f: x \mapsto x \mathrm{e}^{x}

2. g: x \mapsto \sqrt{x}

3. h: x \mapsto \frac{1}{x}

4. k: x \mapsto \frac{x}{x+1}

5. m: x \mapsto x^{3}+\sqrt{x}

6. n: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}

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49
[Représenter.]
La partie entière d'un réel x, notée \mathrm{E}(x), est le nombre entier relatif n tel que n \leqslant x \lt n+1.

1. Calculer \mathrm{E}(3{,}4), \mathrm{E}(2) et \mathrm{E}(-4{,}6).

2. Tracer la représentation graphique de la fonction \mathrm{E}: x \mapsto \mathrm{E}(x) sur [-5\,; 5].

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

3. Que peut‑on conjecturer graphiquement sur la continuité de la fonction \mathrm{E} ?

4. Calculer \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x >1}} \mathrm{E}(x) et \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x \lt 1}} \mathrm{E}(x). Conclure.

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[Raisonner.]
Justifier la continuité de la fonction f: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}{x^{2}+1} sur \mathrm{I}=[0\,; +\infty[.

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51
[Modéliser.]

On souhaite utiliser GeoGebra pour étudier la continuité en 0 de la fonction f définie par :

f: x \mapsto\left\{\begin{array}{r}(x+1) \mathrm{e}^{x} \text { si } x \lt 0 \\ 1 \text { si } x=0 \\ \sqrt{x}(x+1)+1 \text { si } x \lt 0\end{array}\right..

1. Recopier et valider les lignes suivantes sur le logiciel.

Image de deux équations mathématiques montrant le calcul de limites à gauche et à droite.

2. Que peut‑on en conclure ?

GeoGebra

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Démo

[Raisonner.]
On considère la fonction f: x \mapsto \sqrt{x} définie pour x \in[0\,;+\infty]. Montrer que f est continue en 0 sans être dérivable en 0.

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Démo

[Raisonner.]
Soit f: x \mapsto|x| définie sur \mathbb{R}. Montrer que f est continue en 0 sans être dérivable en 0.

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[Calculer.]
Trouver la valeur de k telle que la fonction définie par f: x \mapsto\left\{\begin{aligned} x^{2}+\mathrm{e}^{x-1} & \text { si } x \leqslant 1 \\ x+k & \text { si } x>1 \end{aligned}\right. soit continue sur \mathbb{R}.

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55
[Raisonner.]
Justifier la continuité de la fonction f définie sur ] 1\,;+\infty[ par f(x)=x-\frac{1}{x-1}.

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56
[Raisonner.]
Justifier la continuité de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{|x|}.

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[Communiquer.]
Justifier la continuité de f: x \mapsto 1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}} sur l'intervalle [-1\,; 1].

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