1

Notion de continuité

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 54 ; 62 et 80
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 67 et 78
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 69 et 77

46

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont continues en $0$ ? Justifier.

1. $f: x \mapsto x \mathrm{e}^{x}$


2. $g: x \mapsto \sqrt{x}$


3. $h: x \mapsto \dfrac{1}{x}$


4. $k: x \mapsto \dfrac{x}{x+1}$


5. $m: x \mapsto x^{3}+\sqrt{x}$


6. $n: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$

47

Si $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x>3}} f(x)=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x\lt3}} f(x)$, peut‑on conclure que $f$ est continue en $3$ ? Justifier.

48

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\text{I}$.

1. La fonction $f + f \times g$ est‑elle continue sur $\text{I}$ ?


2. La fonction $(f-g)(f+g)$ est‑elle continue sur $\text{I}$ ?


3. La fonction $\dfrac{f-g}{f+g}$ est‑elle continue sur $\text{I}$ ?

49

[Représenter.]
La partie entière d’un réel $x$, notée $\mathrm{E}(x)$, est le nombre entier relatif $n$ tel que $n \leqslant x \lt n+1$.

1. Calculer $\mathrm{E}(3{,}4)$, $\mathrm{E}(2)$ et $\mathrm{E}(-4{,}6)$.


2. Tracer la représentation graphique de la fonction $\mathrm{E}: x \mapsto \mathrm{E}(x)$ sur $[-5\,; 5]$.

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3. Que peut‑on conjecturer graphiquement sur la continuité de la fonction $\mathrm{E}$ ?


4. Calculer $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x >1}} \mathrm{E}(x)$ et $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x \lt 1}} \mathrm{E}(x)$. Conclure.

50

[Raisonner.] ◉◉◉
Justifier la continuité de la fonction $f: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}{x^{2}+1}$ sur $\mathrm{I}=[0\,; +\infty[$.

51

[Modéliser.]
On souhaite utiliser GeoGebra pour étudier la continuité en $0$ de la fonction $f$ définie par : $f: x \mapsto\left\{\begin{array}{r}(x+1) \mathrm{e}^{x} \text { si } x \lt 0 \\ 1 \text { si } x=0 \\ \sqrt{x}(x+1)+1 \text { si } x \lt 0\end{array}\right.$.
1. Recopier et valider les lignes suivantes sur le logiciel.

2. Que peut‑on en conclure ?

52

[Raisonner.] ◉◉◉

[DÉMO]

On considère la fonction $f: x \mapsto \sqrt{x}$ définie pour $x \in[0\,;+\infty]$. Montrer que $f$ est continue en $0$ sans être dérivable en $0$.

53

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soit $f: x \mapsto|x|$ définie sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est continue en $0$ sans être dérivable en $0$.

54

[Calculer.] ◉◉◉
Trouver la valeur de $k$ telle que la fonction définie par $f: x \mapsto\left\{\begin{aligned} x^{2}+\mathrm{e}^{x-1} & \text { si } x \leqslant 1 \\ x+k & \text { si } x>1 \end{aligned}\right.$ soit continue sur $\mathbb{R}$.

55

[Raisonner.]
Justifier la continuité de la fonction $f$ définie sur $] 1\,;+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{1}{x-1}$.

56

[Raisonner.]
Justifier la continuité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{|x|}$.

57

[Communiquer.] ◉◉◉
Justifier la continuité de $f: x \mapsto 1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}$ sur l’intervalle $[-1\,; 1]$.