Synthèse

82

[Représenter, Calculer.]
Pour un nombre réel $x$, $\mathrm{E}(x)$ désigne la partie entière de $x$, c’est‑à‑dire le nombre entier relatif $n$ tel que $n⩽x<n+1$.
Soit la fonction $f:x\mapsto x\times \mathrm{E}(x)$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur $[-2;2]$.


2. Calculer $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)$ pour étudier la continuité de $f$ en $0$.

83

[Chercher, Calculer.]
Déterminer les deux nombres réels $k_1$ et $k_2$ pour que la fonction
$f:x\mapsto \{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^x& \text{ si }x⩽0\\ \frac{x+k_1}{x^2+1}& \text{ si }0<x⩽8\\ \sqrt{x+1}+k_2& \text{ si }x>8\end{array}$ soit continue sur $\mathbb{R}$.

84

ALGO

[Calculer, Modéliser.]
1. Démontrer que l’équation $x^3=-x-5$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$ telle que $\alpha \in [-2;-1]$.


2. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.


3. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-n}$ près, $n$ étant un entier donné par l’utilisateur.

85

ALGO

[Raisonner, Modéliser.]
Soient $f$ la fonction définie pour tout $x>0$ par $f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{5}{x}\right)$ et $(u_n)$ la suite définie par :
1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty [$.

2. Démontrer que $(u_n)$ est décroissante à partir du rang 1 et qu’elle est minorée.


3. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ dont on déterminera la valeur exacte.


4. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-n}$ près, $n$ étant un entier donné par l’utilisateur.

86

[Calculer, Communiquer.]
Soit $f:x\mapsto \sqrt{x}{\mathrm{e}}^x$ pour $x\in [0;+\infty [$.

1. Démontrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha \in [0;+\infty [$.


2. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,1$.


3. Soit $k\in \mathbb{Z}$. Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre exact de solutions de l’équation $f(x)=k$.

87

[Chercher, Raisonner.]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0,1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}$.

1. Étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto \frac{2x+3}{x+4}$ sur $\mathrm{I}=]-4;+\infty [$.

2. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\in [0;1]$, puis que $(u_n)$ est croissante.


3. En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

88

[Raisonner, Calculer.]
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $u_0=0,2$ où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(2-x)$.

1. Dresser le tableau de variations de $f$.


2. Montrer que $[0;1]$ est stable par $f$ ; autrement dit, que si $x\in [0;1]$, alors $f(x)\in [0;1]$.


3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\in [0;1]$.


4. Donner le sens de variation de la suite $(u_n)$.

5. En déduire la convergence de $(u_n)$ et déterminer alors sa limite.

89

[Raisonner, Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ par $f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$.
On pose $u_0=1,5$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[1;2]$.


2. Démontrer que, pour tout $x\in [1;2]$, $f(x)\in [1;2]$.


3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\in [1;2]$.


4. Étudier les variations de la suite $(u_n)$.

5. En déduire la convergence de $(u_n)$ et déterminer alors sa limite.

90

[Raisonner, Chercher.]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. Pour $k\in \mathbb{Z}$, donner, en justifiant, le nombre de solutions réelles de l’équation $f(x)=k$.

91

ALGO

[Raisonner, Modéliser.]
On considère la fonction$f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-4;-2]$.


3. On donne l’algorithme suivant.


Compléter le tableau correspondant aux différents passages dans la boucle « Tant que ».



4. Interpréter les dernières valeurs de $a$ et $b$ dans le contexte de l’exercice.

92

[Raisonner, Représenter.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.


3. Démontrer que, pour tout réel $k$, l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution réelle que l’on notera ${\alpha }_k$.


4. Déterminer un encadrement de ${\alpha }_1$ à $10^{-2}$ près.


5. Déterminer un encadrement de ${\alpha }_{10}$ à $10^{-2}$ près.

93

[Raisonner, Modéliser.]
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=1-x^2{\mathrm{e}}^{1-x^2}$.

1. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty [$.

2. Sur $[0;+\infty [$, quel est le nombre de solutions de l’équation $f(x)=\frac{1}{2}$ ? Justifier.


3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, l’équation $f(x)=\frac{1}{n}$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$ appartenant respectivement à l’intervalle $[0;1]$ et à l’intervalle $[1;+\infty [$.


4. Étudier le sens de variation des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.


5. Prouver la convergence de la suite $(u_n)$.


6. Prouver de la même manière la convergence de la suite $(v_n)$.


7. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont la même limite.

94

APPROFONDISSEMENT

Équation fonctionnelle

On cherche à déterminer toutes les fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que pour tous réels $x$ et $y$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Il s’agit de résoudre ce qu’on appelle une équation fonctionnelle.

Partie A : Étude de quelques exemples

1. Montrer que si $f$ est une fonction linéaire, alors $f$ est une fonction solution du problème.


2. Montrer que si $f$ est une fonction affine non linéaire, alors $f$ n’est pas solution du problème.


3. Montrer que la fonction carré n’est pas une fonction solution du problème.


Partie B : Résolution du problème

Soit $f$ une fonction respectant l'équation fonctionnelle de l'énoncé.

1. Calculer $f(0)$ et en déduire que $f$ est impaire sur $\mathbb{R}$.


2. Fixons $x\in \mathbb{R}$. Démontrer par récurrence que $f(nx)=nf(x)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.


3. En utilisant l’imparité de $f$, étendre ce résultat pour $n\in \mathbb{Z}$.


4. a. En utilisant le fait que, pour tout $q\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$, $\frac{q}{q}=1$, montrer que $f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)$.


b. Démontrer que, pour tout $r\in \mathbb{Q}$, $f(r)=rf(1)$.

Indication : $r=\frac{p}{q}$ avec $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$.

5. On admet le lemme suivant : « Tout nombre réel est limite d’une suite de rationnels. »
Démontrer que $f$ doit être une fonction linéaire.

95

APPROFONDISSEMENT

Prolongement par continuité

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$ et $f:]a;b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $]a;b]$.
Si $\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }f(x)$ existe et est finie, $f$ est dite prolongeable par continuité en $a$.
Si on définit $g$ par $g=f$ sur $]a;b]$ et $g(a)=\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }f(x)$, alors $g$ est continue sur $[a;b]$.
Étudier le prolongement par continuité des fonctions suivantes.

1. $x\mapsto \frac{x^2-1}{x+1}$ définie sur $\mathbb{R}\backslash \{-1\}$ en $-1$.


2. $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ en $0$.


3. $x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}$ définie sur $]0;+\infty [$ en $0$.

96

APPROFONDISSEMENT

[DÉMO]

Démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ continue sur $\mathrm{I}=[a;b]$ avec $a⩽b$ et $f(a)⩽f(b)$.
On souhaite démontrer que, pour tout $k\in [f(a);f(b)]$, l’équation $f(x)=k$ admet au moins une solution $\alpha$ sur $\text{I}$. Pour cela, on construit les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $\left[a_n{b}_n\right]$ ait une amplitude de plus en plus petite en utilisant le principe de dichotomie :
si $k\in [f(a);f(b)]$, alors $k\in \left[f(a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]$ ou $k\in \left]f\left(\frac{a+b}{2}\right);f(b)\right]$.
On pose $a_0=a$ et $b_0=b$.
Si $f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)⩾k$, alors on pose $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$.

1. Montrer par récurrence sur $n\in \mathbb{N}$ que la suite $(a_n)$ est croissante et que la suite $(b_n)$ est décroissante.


2. Montrer que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(b_n-a_n\right)=0$.


3. En déduire que $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers une même limite $\alpha$.


4. Conclure en utilisant la continuité de $f$.


Remarque : les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont dites adjacentes.
Voir les approfondissements du chapitre 4 pour plus de détails.