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Synthèse
P.207-209

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82
[Représenter, Calculer.]
Pour un nombre réel xx, E(x)\mathrm{E}(x) désigne la partie entière de xx, c’est‑à‑dire le nombre entier relatif nn tel que nx<n+1n \leqslant x \lt n+1.
Soit la fonction f:xx×E(x)f: x \mapsto x \times \mathrm{E}(x) définie sur R\mathbb{R}.

1. Tracer la courbe représentative de la fonction ff sur [2;2][-2\,;2].

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2. Calculer limx0x>0f(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} f(x) et limx0x<0f(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \lt 0}} f(x) pour étudier la continuité de ff en 00.
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83
[Chercher, Calculer.]
Déterminer les deux nombres réels k1k_1 et k2k_2 pour que la fonction
f:x{ex si x0x+k1x2+1 si 0<x8x+1+k2 si x>8f: x\mapsto\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x} & \text { si } x \leqslant 0 \\ \dfrac{x+k_{1}}{x^{2}+1} & \text { si } 0 \lt x \leqslant 8 \\ \sqrt{x+1}+k_{2} & \text { si } x>8\end{array}\right. soit continue sur R\mathbb{R}.
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84
ALGO
[Calculer, Modéliser.]
1. Démontrer que l’équation x3=x5x^{3}=-x-5 admet sur R\mathbb{R} une unique solution α\alpha telle que α[2 ;1]\alpha \in[-2 ;-1].


2. Donner un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.


3. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de α\alpha à 10n10^{-n} près, nn étant un entier donné par l’utilisateur.


  
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85
ALGO
[Raisonner, Modéliser.]
Soient ff la fonction définie pour tout x>0x > 0 par f(x)=12(x+5x)f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{5}{x}\right) et (un)(u_n) la suite définie par :
{u0=1un+1=f(un)\left\{\begin{aligned}u_{0}&=1 \\ u_{n+1}&=f\left(u_{n}\right)\end{aligned}\right. pour tout nNn \in \mathbb{N}.

1. Étudier les variations de la fonction ff sur ]0 ;+[] 0 ;+\infty[.


2. Démontrer que (un)(u_n) est décroissante à partir du rang 1 et qu’elle est minorée.


3. En déduire que (un)(u_n) converge vers un réel \ell dont on déterminera la valeur exacte.


4. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de α\alpha à 10n10^{-n} près, nn étant un entier donné par l’utilisateur.





Histoire des maths

Cette méthode d’approximation d’une racine carrée est générale (en remplaçant 5 par tout autre nombre positif) et on en trouve une explication dans les Métriques de Héron d’Alexandrie (Ier siècle après J.-C.), mathématicien également connu pour ses inventions mécaniques.

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86
[Calculer, Communiquer.]
Soit f:xxexf: x \mapsto \sqrt{x} \mathrm{e}^{x} pour x[0 ;+[x \in[0 ;+\infty[.

1. Démontrer que l’équation f(x)=1f(x) = 1 admet une unique solution α[0 ;+[\alpha \in[0 ;+\infty[.


2. Déterminer un encadrement de α\alpha d’amplitude 0,10{,}1.


3. Soit kZk \in \mathbb{Z}. Donner, selon les valeurs de kk, le nombre exact de solutions de l’équation f(x)=kf(x) = k.
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87
[Chercher, Raisonner.]
Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=0,1u_0=0{,}1 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=2un+3un+4u_{n+1}=\dfrac{2 u_{n}+3}{u_{n}+4}.

1. Étudier les variations de la fonction f:x2x+3x+4f: x \mapsto \dfrac{2 x+3}{x+4} sur I=]4;+[\mathrm{I}=]-4\,;+\infty[.


2. Montrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un[0;1]u_{n} \in[0\,;1], puis que (un)(u_n) est croissante.


3. En déduire que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.
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88
[Raisonner, Calculer.]
On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) et u0=0,2u_0=0{,}2ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x(2x)f(x)=x(2-x).

1. Dresser le tableau de variations de ff.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Montrer que [0;1][0\,;1] est stable par ff ; autrement dit, que si x[0;1]x \in[0\,;1], alors f(x)[0;1]f(x) \in[0\,;1].


3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, un[0;1]u_{n} \in[0\,;1].


4. Donner le sens de variation de la suite (un)(u_n).


5. En déduire la convergence de (un)(u_n) et déterminer alors sa limite.
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89
[Raisonner, Calculer.]
Soit f f la fonction définie sur R{1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} par f(x)=2x+1x+1f(x)=\dfrac{2 x+1}{x+1}.
On pose u0=1,5u_0=1{,}5 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

1. Dresser le tableau de variations de ff sur [1 ; 2][1 ; 2].

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Démontrer que, pour tout x[1;2]x \in[1\,;2], f(x)[1;2]f(x) \in[1\,;2].


3. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, on a un[1;2]u_{n} \in[1\,;2].


4. Étudier les variations de la suite (un)(u_n).


5. En déduire la convergence de (un)(u_n) et déterminer alors sa limite.
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90
[Raisonner, Chercher.]
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=(3ex4)e3xf(x)=\left(3 \mathrm{e}^{x}-4\right) \mathrm{e}^{3 x}.

1. Étudier les variations de ff sur R\mathbb{R}.


2. Pour kZk \in \mathbb{Z}, donner, en justifiant, le nombre de solutions réelles de l’équation f(x)=kf(x) = k.
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91
ALGO
[Raisonner, Modéliser.]
On considère la fonctionf f définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=1+(4x210x+8)e0,5xf(x)=1+\left(-4 x^{2}-10 x+8\right) \mathrm{e}^{-0,5 x}.

1. Étudier les variations de f f sur R\mathbb{R}.


2. Démontrer que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur [4;2][-4\,; -2].


3. On donne l’algorithme suivant.

a4b2Tant que (ba)>101 faire :ma+b2pf(a)×f(m)Si p>0:amSinon :bmFin SiFin Tant que \boxed{ \begin{array} { l } {a} \leftarrow {-4} \\ {b} \leftarrow {-2} \\ \text {Tant que } {(b-a)>10^{-1}} \text { faire :} \\ \quad {m} \leftarrow {\dfrac{a+b}{2}} \\ \quad {p} \leftarrow {f(a) \times f(m)} \\ \quad \text {Si } {p>0 :} \\ \quad \quad {a} \leftarrow {m} \\ \quad \text {Sinon :} \\ \quad \quad {b} \leftarrow {m} \\ \quad \text {Fin Si}\\ \text {Fin Tant que} \\ \end{array} }

Compléter le tableau correspondant aux différents passages dans la boucle « Tant que ».

Initialisation Passage 1 Passage 2 Passage 3 Passage 4 Passage 5
m\boldsymbol{m} 3-3
Signe de p\boldsymbol{p} <0\lt 0
a\boldsymbol{a} 4-4 4-4
b\boldsymbol{b} 2-2 3-3
ba\boldsymbol{b-a} 22
ba\boldsymbol{b-a}>0,1\boldsymbol{ > 0{,}1} Vrai


4. Interpréter les dernières valeurs de aa et bb dans le contexte de l’exercice.
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92
[Raisonner, Représenter.]
Soit f f la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=exex2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}.

1. Déterminer les limites de ff en ++\infty et -\infty.


2. Dresser le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. Démontrer que, pour tout réel kk, l’équation f(x)=kf(x) = k admet une unique solution réelle que l’on notera αk\alpha_k.


4. Déterminer un encadrement de α1\alpha_1 à 10210^{-2} près.


5. Déterminer un encadrement de α10\alpha_{10} à 10210^{-2} près.
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93
[Raisonner, Modéliser.]
Soit f f la fonction définie sur [0;+[[0\,;+\infty[ par f(x)=1x2e1x2f(x)=1-x^{2} \mathrm{e}^{1-x^{2}}.

1. Étudier le sens de variation de ff sur [0 ;+[[0 ;+\infty[.


2. Sur [0 ;+[[0 ;+\infty[, quel est le nombre de solutions de l’équation f(x)=12f(x)=\dfrac{1}{2} ? Justifier.


3. Démontrer que, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 22, l’équation f(x)=1nf(x)=\dfrac{1}{n} admet deux solutions unu_n et vnv_n appartenant respectivement à l’intervalle [0;1][0\,; 1] et à l’intervalle [1;+[[1\,;+\infty[.


4. Étudier le sens de variation des suites (un)(u_n) et (vn)(v_n).


5. Prouver la convergence de la suite (un)(u_n).


6. Prouver de la même manière la convergence de la suite (vn)(v_n).


7. Démontrer que les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) ont la même limite.
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94
APPROFONDISSEMENT

Équation fonctionnelle

On cherche à déterminer toutes les fonctions continues de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R} telles que pour tous réels xx et yy, f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y). Il s’agit de résoudre ce qu’on appelle une équation fonctionnelle.

Partie A : Étude de quelques exemples

1. Montrer que si ff est une fonction linéaire, alors ff est une fonction solution du problème.


2. Montrer que si ff est une fonction affine non linéaire, alors ff n’est pas solution du problème.


3. Montrer que la fonction carré n’est pas une fonction solution du problème.


Partie B : Résolution du problème

Soit ff une fonction respectant l'équation fonctionnelle de l'énoncé.

1. Calculer f(0)f(0) et en déduire que ff est impaire sur R\mathbb{R}.


2. Fixons xRx \in \mathbb{R}. Démontrer par récurrence que f(nx)=nf(x)f(n x)=n f(x) pour tout nNn \in \mathbb{N}.


3. En utilisant l’imparité de ff, étendre ce résultat pour nZn \in \mathbb{Z}.


4. a. En utilisant le fait que, pour tout qZq \in \mathbb{Z}^{*}, qq=1\dfrac{q}{q}=1, montrer que f(1q)=1qf(1)f\left(\dfrac{1}{q}\right)=\dfrac{1}{q} f(1).


b. Démontrer que, pour tout rQr \in \mathbb{Q}, f(r)=rf(1)f(r)=r f(1).

Indication : r=pqr=\dfrac{p}{q} avec pZp \in \mathbb{Z} et qZ\{0}q \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}.

5. On admet le lemme suivant : « Tout nombre réel est limite d’une suite de rationnels. »
Démontrer que ff doit être une fonction linéaire.
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95
APPROFONDISSEMENT

Prolongement par continuité

Soient aa et b b deux nombres réels tels que a<ba \lt b et f:]a;b]Rf:] a\,;b] \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue sur ]a;b]]a\,;b].
Si limxaf(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x) existe et est finie, ff est dite prolongeable par continuité en aa.
Si on définit gg par g=fg=f sur ]a;b]]a\,;b] et g(a)=limxaf(x)g(a)=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x), alors gg est continue sur [a;b][a\,;b].
Étudier le prolongement par continuité des fonctions suivantes.

1. xx21x+1x \mapsto \dfrac{x^{2}-1}{x+1} définie sur R\{1}\mathbb{R} \backslash\{-1\} en 1-1.


2. xsinxxx \mapsto \dfrac{\sin x}{x} définie sur R\mathbb{R}^{*} en 00.


3. xex1xx \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x} définie sur ]0;+[]0\,;+\infty[ en 00.
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96
APPROFONDISSEMENT
[DÉMO]

Démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires

Soit ff continue sur I=[a;b]\mathrm{I}=[a\,;b] avec aba \leqslant b et f(a)f(b)f(a) \leqslant f(b).
On souhaite démontrer que, pour tout k[f(a);f(b)]k \in[f(a)\,;f(b)], l’équation f(x)=kf(x) = k admet au moins une solution α\alpha sur I\text{I}. Pour cela, on construit les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) telles que [anbn]\left[a_{n}\,b_{n}\right] ait une amplitude de plus en plus petite en utilisant le principe de dichotomie :
si k[f(a);f(b)]k \in[f(a)\,;f(b)], alors k[f(a)f(a+b2)]k \in\left[f(a)\,f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right] ou k]f(a+b2);f(b)]k \in\left] f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\,;f(b)\right].
On pose a0=aa_0=a et b0=bb_0=b.
Si f(an+bn2)kf\left(\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) \geqslant k, alors on pose an+1=ana_{n+1}=a_{n} et bn+1=an+bn2b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}.

1. Montrer par récurrence sur nNn \in \mathbb{N} que la suite (an)(a_n) est croissante et que la suite (bn)(b_n) est décroissante.


2. Montrer que limn+(bnan)=0\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0.


3. En déduire que (an)(a_n) et (bn)(b_n) convergent vers une même limite α\alpha.


4. Conclure en utilisant la continuité de ff.


Remarque : les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) sont dites adjacentes.
Voir les approfondissements du chapitre 4 pour plus de détails.
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Spécialité
;  ;  ;  ;  ;  ;  et  p. 432

Le Grand Oral

Répondre aux questions du jury

Temps d’échange avec le jury : ce qu’on attend de vous


Exemple de sujet : Fonctions continues non dérivables


Méthode

Laissez‑vous guider par le questionnement du jury.

Exprimez‑vous de manière claire, audible, dans un niveau de langue adapté, en utilisant un vocabulaire mathématique précis.

Écoutez attentivement la question posée pour éviter le hors‑sujet. Si vous n’êtes pas certain de comprendre la question, n’hésitez pas à demander au professeur de la reformuler.

Ne vous précipitez pas : prenez le temps de rassembler vos idées et de clarifier votre propos avant de répondre.

Développez vos réponses : il ne s’agit pas de répondre par « oui » ou « non » à une question. N’hésitez pas à utiliser des exemple ou des contre‑exemples. Le jury attend une explication, une justification.

  • Tenez-vous bien droit et regardez les examinateurs auxquels vous vous adressez.
  • Vous avez fait une erreur ? Ce n’est pas grave, vous avez le droit de vous tromper, l’essentiel est de vous corriger !


Exemples de questions sur ce sujet

Une fonction qui admet des limites à gauche et à droite différentes en un point est‑elle dérivable en ce point ?
Énoncez précisément les définitions pour réaliser votre démonstration.

Donnez un exemple de fonction non continue modélisant une grandeur ou un phénomène réel.
Pensez à des situations utilisant des nombres entiers par exemple.

Citez un mathématicien ayant participé à la définition de la notion de continuité actuelle ?
Essayez de donner un maximum d’informations sur cette personne.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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