Exercices de synthèse

84

ALGO

[Calculer, Modéliser.]

1. Démontrer que l'équation x^{3}=-x-5 admet sur \mathbb{R} une unique solution \alpha telle que \alpha \in[-2 ;-1].

2. Donner un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.

3. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de \alpha à 10^{-n} près, n étant un entier donné par l'utilisateur.

85

ALGO

[Raisonner, Modéliser.]

Soient f la fonction définie pour tout x > 0 par {f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{5}{x}\right)} et (u_n) la suite définie par :

1. Étudier les variations de la fonction f sur ] 0 ;+\infty[.

2. Démontrer que (u_n) est décroissante à partir du rang 1 et qu'elle est minorée.

3. En déduire que (u_n) converge vers un réel \ell dont on déterminera la valeur exacte.

4. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de \alpha à 10^{-n} près, n étant un entier donné par l'utilisateur.

88

[Raisonner, Calculer.]
On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) et u_0=0{,}2 où f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x(2-x).

1. Dresser le tableau de variations de f.

2. Montrer que [0\,;1] est stable par f ; autrement dit, que si x \in[0\,;1], alors f(x) \in[0\,;1].

3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_{n} \in[0\,;1].

4. Donner le sens de variation de la suite (u_n).

5. En déduire la convergence de (u_n) et déterminer alors sa limite.

89

[Raisonner, Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} \setminus \{-1\} par f(x)=\frac{2 x+1}{x+1}.
On pose u_0=1{,}5 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

1. Dresser le tableau de variations de f sur [1 ; 2].

2. Démontrer que, pour tout x \in[1\,;2], f(x) \in[1\,;2].

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a u_{n} \in[1\,;2].

4. Étudier les variations de la suite (u_n).

5. En déduire la convergence de (u_n) et déterminer alors sa limite.

90

[Raisonner, Chercher.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

1. Étudier les variations de f sur \mathbb{R}.

2. Pour k \in \mathbb{Z}, donner, en justifiant, le nombre de solutions réelles de l'équation f(x) = k.

91

ALGO

[Raisonner, Modéliser.]

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=1+\left(-4 x^{2}-10 x+8\right) \mathrm{e}^{-0,5 x}.

1. Étudier les variations de f sur \mathbb{R}.

2. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution \alpha sur [-4\,; -2].

3. On donne l'algorithme suivant.

Compléter le tableau correspondant aux différents passages dans la boucle « Tant que ».


4. Interpréter les dernières valeurs de a et b dans le contexte de l'exercice.

92

[Raisonner, Représenter.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}.

1. Déterminer les limites de f en +\infty et -\infty.

2. Dresser le tableau de variations de f sur \mathbb{R}.

3. Démontrer que, pour tout réel k, l'équation f(x) = k admet une unique solution réelle que l'on notera \alpha_k.

4. Déterminer un encadrement de \alpha_1 à 10^{-2} près.

5. Déterminer un encadrement de \alpha_{10} à 10^{-2} près.

93

[Raisonner, Modéliser.]
Soit f la fonction définie sur [0\,;+\infty[ par f(x)=1-x^{2} \mathrm{e}^{1-x^{2}}.

1. Étudier le sens de variation de f sur [0 ;+\infty[.

2. Sur [0 ;+\infty[, quel est le nombre de solutions de l'équation f(x)=\frac{1}{2} ? Justifier.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, l'équation f(x)=\frac{1}{n} admet deux solutions u_n et v_n appartenant respectivement à l'intervalle [0\,; 1] et à l'intervalle [1\,;+\infty[.

4. Étudier le sens de variation des suites (u_n) et (v_n).

5. Prouver la convergence de la suite (u_n).

6. Prouver de la même manière la convergence de la suite (v_n).

7. Démontrer que les suites (u_n) et (v_n) ont la même limite.

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Approfondissement

Équation fonctionnelle

On cherche à déterminer toutes les fonctions continues de \mathbb{R} dans \mathbb{R} telles que pour tous réels x et y, f(x+y)=f(x)+f(y). Il s'agit de résoudre ce qu'on appelle une équation fonctionnelle.

Partie A : Étude de quelques exemples

1. Montrer que si f est une fonction linéaire, alors f est une fonction solution du problème.

2. Montrer que si f est une fonction affine non linéaire, alors f n'est pas solution du problème.

3. Montrer que la fonction carré n'est pas une fonction solution du problème.

Partie B : Résolution du problème

Soit f une fonction respectant l'équation fonctionnelle de l'énoncé.

1. Calculer f(0) et en déduire que f est impaire sur \mathbb{R}.

2. Fixons x \in \mathbb{R}. Démontrer par récurrence que f(n x)=n f(x) pour tout n \in \mathbb{N}.

3. En utilisant l'imparité de f, étendre ce résultat pour n \in \mathbb{Z}.

4. a. En utilisant le fait que, pour tout q \in \mathbb{Z}^{*}, \frac{q}{q}=1, montrer que f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q} f(1).

b. Démontrer que, pour tout r \in \mathbb{Q}, f(r)=r f(1).

Indication : r=\frac{p}{q} avec p \in \mathbb{Z} et q \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}.

5. On admet le lemme suivant : « Tout nombre réel est limite d'une suite de rationnels. »
Démontrer que f doit être une fonction linéaire.

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Approfondissement

Démo

Démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires

Soit f continue sur \mathrm{I}=[a\,;b] avec a \leqslant b et f(a) \leqslant f(b).
On souhaite démontrer que, pour tout k \in[f(a)\,;f(b)], l'équation f(x) = k admet au moins une solution \alpha sur \text{I}. Pour cela, on construit les suites (a_n) et (b_n) telles que \left[a_{n}\,b_{n}\right] ait une amplitude de plus en plus petite en utilisant le principe de dichotomie :
si k \in[f(a)\,;f(b)], alors k \in\left[f(a)\,f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right] ou k \in\left] f\left(\frac{a+b}{2}\right)\,;f(b)\right].
On pose a_0=a et b_0=b.
Si f\left(\frac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) \geqslant k, alors on pose a_{n+1}=a_{n} et b_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}.

1. Montrer par récurrence sur n \in \mathbb{N} que la suite (a_n) est croissante et que la suite (b_n) est décroissante.

2. Montrer que \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0.

3. En déduire que (a_n) et (b_n) convergent vers une même limite \alpha.

4. Conclure en utilisant la continuité de f.

Méthode

❯ Laissez‑vous guider par le questionnement du jury.

❯ Exprimez‑vous de manière claire, audible, dans un niveau de langue adapté, en utilisant un vocabulaire mathématique précis.

❯ Écoutez attentivement la question posée pour éviter le hors‑sujet. Si vous n'êtes pas certain de comprendre la question, n'hésitez pas à demander au professeur de la reformuler.

❯ Ne vous précipitez pas : prenez le temps de rassembler vos idées et de clarifier votre propos avant de répondre.

❯ Développez vos réponses : il ne s'agit pas de répondre par « oui » ou « non » à une question. N'hésitez pas à utiliser des exemple ou des contre‑exemples. Le jury attend une explication, une justification.

• Tenez-vous bien droit et regardez les examinateurs auxquels vous vous adressez.
• Vous avez fait une erreur ? Ce n'est pas grave, vous avez le droit de vous tromper, l'essentiel est de vous corriger !

Exemples de questions sur ce sujet

❯ Une fonction qui admet des limites à gauche et à droite différentes en un point est‑elle dérivable en ce point ?
Énoncez précisément les définitions pour réaliser votre démonstration.

❯ Donnez un exemple de fonction non continue modélisant une grandeur ou un phénomène réel.
Pensez à des situations utilisant des nombres entiers par exemple.

❯ Citez un mathématicien ayant participé à la définition de la notion de continuité actuelle ?
Essayez de donner un maximum d'informations sur cette personne.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14