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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Synthèse
Exercices de synthèse
82
[Représenter, Calculer.]
Pour un nombre réel x, E(x) désigne la partie entière de x, c'est‑à‑dire le nombre entier relatif n tel que n⩽x<n+1.
Soit la fonction f:x↦x×E(x) définie sur R.
1. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur [−2;2].
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2. Calculer x→0x>0limf(x) et x→0x<0limf(x) pour étudier la continuité de f en 0.
83
[Chercher, Calculer.] Déterminer les deux nombres réels k1 et k2 pour que la fonction f:x↦⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧exx2+1x+k1x+1+k2 si x⩽0 si 0<x⩽8 si x>8 soit continue sur R.
84
ALGO
[Calculer, Modéliser.]
1. Démontrer que l'équation x3=−x−5 admet sur R une unique solution α telle que α∈[−2;−1].
2. Donner un encadrement de α à 10−2 près.
3. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de α à 10−n près, n étant un entier donné par l'utilisateur.
85
ALGO
[Raisonner, Modéliser.]
Soient f la fonction définie pour tout x>0 par f(x)=21(x+x5) et (un) la suite définie par :
{u0un+1=1=f(un) pour tout n∈N.
1. Étudier les variations de la fonction f sur ]0;+∞[.
2. Démontrer que (un) est décroissante à partir du rang 1 et qu'elle est minorée.
3. En déduire que (un) converge vers un réel ℓ dont on déterminera la valeur exacte.
4. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de α à 10−n près, n étant un entier donné par l'utilisateur.
86
[Calculer, Communiquer.]
Soit f:x↦xex pour x∈[0;+∞[.
1. Démontrer que l'équation f(x)=1 admet une unique solution α∈[0;+∞[.
2. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 0,1.
3. Soit k∈Z. Donner, selon les valeurs de k, le nombre exact de solutions de l'équation f(x)=k.
87
[Chercher, Raisonner.]
Soit (un) la suite définie par u0=0,1 et, pour tout n∈N, un+1=un+42un+3.
1. Étudier les variations de la fonction f:x↦x+42x+3 sur I=]−4;+∞[.
2. Montrer que, pour tout n∈N, un∈[0;1], puis que (un) est croissante.
3. En déduire que (un) converge et calculer sa limite.
88
[Raisonner, Calculer.]
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) et u0=0,2 où f est la fonction définie sur R par f(x)=x(2−x).
1. Dresser le tableau de variations de f.
Dessinez ici
2. Montrer que [0;1] est stable par f ; autrement dit, que si x∈[0;1], alors f(x)∈[0;1].
3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un∈[0;1].
4. Donner le sens de variation de la suite (un).
5. En déduire la convergence de (un) et déterminer alors sa limite.
89
[Raisonner, Calculer.]
Soit f la fonction définie sur R∖{−1} par f(x)=x+12x+1.
On pose u0=1,5 et, pour tout n∈N, un+1=f(un).
1. Dresser le tableau de variations de f sur [1;2].
Dessinez ici
2. Démontrer que, pour tout x∈[1;2], f(x)∈[1;2].
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a un∈[1;2].
4. Étudier les variations de la suite (un).
5. En déduire la convergence de (un) et déterminer alors sa limite.
90
[Raisonner, Chercher.]
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x)=(3ex−4)e3x.
1. Étudier les variations de f sur R.
2. Pour k∈Z, donner, en justifiant, le nombre de solutions réelles de l'équation f(x)=k.
91
ALGO
[Raisonner, Modéliser.]
On considère la fonctionf définie sur R par : f(x)=1+(−4x2−10x+8)e−0,5x.
1. Étudier les variations de f sur R.
2. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur [−4;−2].
3. On donne l'algorithme suivant.
a←−4b←−2Tant que (b−a)>10−1 faire :m←2a+bp←f(a)×f(m)Si p>0:a←mSinon :b←mFin SiFin Tant que
Compléter le tableau correspondant aux différents passages dans la boucle « Tant que ».
Initialisation
Passage 1
Passage 2
Passage 3
Passage 4
Passage 5
m
−3
Signe de p
<0
a
−4
−4
b
−2
−3
b−a
2
b−a>0,1
Vrai
4. Interpréter les dernières valeurs de a et b dans le contexte de l'exercice.
92
[Raisonner, Représenter.]
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2ex−e−x.
1. Déterminer les limites de f en +∞ et −∞.
2. Dresser le tableau de variations de f sur R.
Dessinez ici
3. Démontrer que, pour tout réel k, l'équation f(x)=k admet une unique solution réelle que l'on notera αk.
4. Déterminer un encadrement de α1 à 10−2 près.
5. Déterminer un encadrement de α10 à 10−2 près.
93
[Raisonner, Modéliser.]
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=1−x2e1−x2.
1. Étudier le sens de variation de f sur [0;+∞[.
2. Sur [0;+∞[, quel est le nombre de solutions de l'équation f(x)=21 ? Justifier.
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, l'équation f(x)=n1 admet deux solutions un et vn appartenant respectivement à l'intervalle [0;1] et à l'intervalle [1;+∞[.
4. Étudier le sens de variation des suites (un) et (vn).
5. Prouver la convergence de la suite (un).
6. Prouver de la même manière la convergence de la
suite (vn).
7. Démontrer que les suites (un) et (vn) ont la même limite.
94
Approfondissement
Équation fonctionnelle
On cherche à déterminer toutes les fonctions continues de R dans R telles que pour tous réels x et y, f(x+y)=f(x)+f(y). Il s'agit de résoudre ce qu'on appelle une équation fonctionnelle.
Partie A : Étude de quelques exemples
1. Montrer que si f est une fonction linéaire, alors f est une fonction solution du problème.
2. Montrer que si f est une fonction affine non linéaire, alors f n'est pas solution du problème.
3. Montrer que la fonction carré n'est pas une fonction solution du problème.
Partie B : Résolution du problème
Soit f une fonction respectant l'équation fonctionnelle de l'énoncé.
1. Calculer f(0) et en déduire que f est impaire sur R.
2. Fixons x∈R. Démontrer par récurrence que f(nx)=nf(x) pour tout n∈N.
3. En utilisant l'imparité de f, étendre ce résultat pour n∈Z.
4.a. En utilisant le fait que, pour tout q∈Z∗, qq=1, montrer que f(q1)=q1f(1).
b. Démontrer que, pour tout r∈Q, f(r)=rf(1).
Indication :r=qp avec p∈Z et q∈Z\{0}.
5. On admet le lemme suivant : « Tout nombre réel est limite d'une suite de rationnels. »
Démontrer que f doit être une fonction linéaire.
95
Approfondissement
Prolongement par continuité
Soient a et b deux nombres réels tels que a<b et f:]a;b]→R une fonction continue sur ]a;b].
Si x→alimf(x) existe et est finie, f est dite prolongeable par continuité en a.
Si on définit g par g=f sur ]a;b] et g(a)=x→alimf(x), alors g est continue sur [a;b].
Étudier le prolongement par continuité des fonctions suivantes.
1.x↦x+1x2−1 définie sur R\{−1} en −1.
2.x↦xsinx définie sur R∗ en 0.
3.x↦xex−1 définie sur ]0;+∞[ en 0.
96
Approfondissement
Démo
Démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires
Soit f continue sur I=[a;b] avec a⩽b et f(a)⩽f(b).
On souhaite démontrer que, pour tout k∈[f(a);f(b)], l'équation f(x)=k admet au moins une solution α sur I. Pour cela, on construit les suites (an) et (bn) telles que [anbn] ait une amplitude de plus en plus petite en utilisant le principe de dichotomie :
si k∈[f(a);f(b)], alors k∈[f(a)f(2a+b)] ou k∈]f(2a+b);f(b)].
On pose a0=a et b0=b.
Si f(2an+bn)⩾k, alors on pose an+1=an et bn+1=2an+bn.
1. Montrer par récurrence sur n∈N que la suite (an) est croissante et que la suite (bn) est décroissante.
2. Montrer que n→+∞lim(bn−an)=0.
3. En déduire que (an) et (bn) convergent vers une même limite α.
4. Conclure en utilisant la continuité de f.
Remarque
Les suites (an) et (bn) sont dites adjacentes.
Voir les approfondissements du chapitre 4 pour plus de détails.
Temps d'échange avec le jury : ce qu'on attend de vous
Exemple de sujet : Fonctions continues non dérivables
Méthode
❯ Laissez‑vous guider par le questionnement du jury.
❯ Exprimez‑vous de manière claire, audible, dans un niveau de langue adapté, en utilisant un vocabulaire mathématique précis.
❯ Écoutez attentivement la question posée pour éviter le hors‑sujet. Si vous n'êtes pas certain de comprendre la question, n'hésitez pas à demander au professeur de la reformuler.
❯ Ne vous précipitez pas : prenez le temps de rassembler vos idées et de clarifier votre propos avant de répondre.
❯ Développez vos réponses : il ne s'agit pas de répondre par « oui » ou « non » à une question. N'hésitez pas à utiliser des exemple ou des contre‑exemples. Le jury attend une explication, une justification.
Tenez-vous bien droit et regardez les examinateurs auxquels vous vous adressez.
Vous avez fait une erreur ? Ce n'est pas grave, vous avez le droit de vous tromper, l'essentiel est de vous corriger !
Exemples de questions sur ce sujet
❯Une fonction qui admet des limites à gauche et à droite différentes en un point est‑elle dérivable en ce point ?
Énoncez précisément les définitions pour réaliser votre démonstration.
❯Donnez un exemple de fonction non continue modélisant une grandeur ou un phénomène réel.
Pensez à des situations utilisant des nombres entiers par exemple.
❯Citez un mathématicien ayant participé à la définition de la notion de continuité actuelle ?
Essayez de donner un maximum d'informations sur cette personne.