Équation fonctionnelle
On cherche à déterminer toutes les fonctions continues de
R dans
R telles que pour tous réels
x et
y,
f(x+y)=f(x)+f(y). Il s’agit de résoudre ce qu’on appelle une équation fonctionnelle.
Partie A : Étude de quelques exemples
1. Montrer que si
f est une fonction linéaire, alors
f est une fonction solution du problème.
2. Montrer que si
f est une fonction affine non linéaire, alors
f n’est pas solution du problème.
3. Montrer que la fonction carré n’est pas une fonction solution du problème.
Partie B : Résolution du problème
Soit
f une fonction respectant l'équation fonctionnelle de l'énoncé.
1. Calculer
f(0) et en déduire que
f est impaire sur
R.
2. Fixons
x∈R. Démontrer par récurrence que
f(nx)=nf(x) pour tout
n∈N.
3. En utilisant l’imparité de
f, étendre ce résultat pour
n∈Z.
4. a. En utilisant le fait que, pour tout
q∈Z∗,
qq=1, montrer que
f(q1)=q1f(1).
b. Démontrer que, pour tout
r∈Q,
f(r)=rf(1).
Indication : r=qp avec
p∈Z et
q∈Z\{0}.
5. On admet le lemme suivant : « Tout nombre réel est limite d’une suite de rationnels. »
Démontrer que
f doit être une fonction linéaire.