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Synthèse
P.207-209

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Synthèse





82
[Représenter, Calculer.]
Pour un nombre réel , désigne la partie entière de , c’est‑à‑dire le nombre entier relatif tel que .
Soit la fonction définie sur .

1. Tracer la courbe représentative de la fonction sur .

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2. Calculer et pour étudier la continuité de en .
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83
[Chercher, Calculer.]
Déterminer les deux nombres réels et pour que la fonction
soit continue sur .
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84
ALGO
[Calculer, Modéliser.]
1. Démontrer que l’équation admet sur une unique solution telle que .


2. Donner un encadrement de à près.


3. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de à près, étant un entier donné par l’utilisateur.


  
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85
ALGO
[Raisonner, Modéliser.]
Soient la fonction définie pour tout par et la suite définie par :
pour tout .

1. Étudier les variations de la fonction sur .


2. Démontrer que est décroissante à partir du rang 1 et qu’elle est minorée.


3. En déduire que converge vers un réel dont on déterminera la valeur exacte.


4. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de à près, étant un entier donné par l’utilisateur.





Histoire des maths

Cette méthode d’approximation d’une racine carrée est générale (en remplaçant 5 par tout autre nombre positif) et on en trouve une explication dans les Métriques de Héron d’Alexandrie (Ier siècle après J.-C.), mathématicien également connu pour ses inventions mécaniques.

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86
[Calculer, Communiquer.]
Soit pour .

1. Démontrer que l’équation admet une unique solution .


2. Déterminer un encadrement de d’amplitude .


3. Soit . Donner, selon les valeurs de , le nombre exact de solutions de l’équation .
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87
[Chercher, Raisonner.]
Soit la suite définie par et, pour tout , .

1. Étudier les variations de la fonction sur .


2. Montrer que, pour tout , , puis que est croissante.


3. En déduire que converge et calculer sa limite.
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88
[Raisonner, Calculer.]
On considère la suite définie pour tout entier naturel par et est la fonction définie sur par .

1. Dresser le tableau de variations de .

Dessinez ici

2. Montrer que est stable par  ; autrement dit, que si , alors .


3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .


4. Donner le sens de variation de la suite .


5. En déduire la convergence de et déterminer alors sa limite.
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89
[Raisonner, Calculer.]
Soit la fonction définie sur par .
On pose et, pour tout , .

1. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

2. Démontrer que, pour tout , .


3. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a .


4. Étudier les variations de la suite .


5. En déduire la convergence de et déterminer alors sa limite.
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90
[Raisonner, Chercher.]
On considère la fonction définie sur par :
.

1. Étudier les variations de sur .


2. Pour , donner, en justifiant, le nombre de solutions réelles de l’équation .
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91
ALGO
[Raisonner, Modéliser.]
On considère la fonction définie sur par :
.

1. Étudier les variations de sur .


2. Démontrer que l’équation admet une unique solution sur .


3. On donne l’algorithme suivant.


Compléter le tableau correspondant aux différents passages dans la boucle « Tant que ».

Initialisation Passage 1 Passage 2 Passage 3 Passage 4 Passage 5
Signe de
Vrai


4. Interpréter les dernières valeurs de et dans le contexte de l’exercice.
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92
[Raisonner, Représenter.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer les limites de en et .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. Démontrer que, pour tout réel , l’équation admet une unique solution réelle que l’on notera .


4. Déterminer un encadrement de à près.


5. Déterminer un encadrement de à près.
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93
[Raisonner, Modéliser.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Étudier le sens de variation de sur .


2. Sur , quel est le nombre de solutions de l’équation  ? Justifier.


3. Démontrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , l’équation admet deux solutions et appartenant respectivement à l’intervalle et à l’intervalle .


4. Étudier le sens de variation des suites et .


5. Prouver la convergence de la suite .


6. Prouver de la même manière la convergence de la suite .


7. Démontrer que les suites et ont la même limite.
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94
APPROFONDISSEMENT

Équation fonctionnelle

On cherche à déterminer toutes les fonctions continues de dans telles que pour tous réels et , . Il s’agit de résoudre ce qu’on appelle une équation fonctionnelle.

Partie A : Étude de quelques exemples

1. Montrer que si est une fonction linéaire, alors est une fonction solution du problème.


2. Montrer que si est une fonction affine non linéaire, alors n’est pas solution du problème.


3. Montrer que la fonction carré n’est pas une fonction solution du problème.


Partie B : Résolution du problème

Soit une fonction respectant l'équation fonctionnelle de l'énoncé.

1. Calculer et en déduire que est impaire sur .


2. Fixons . Démontrer par récurrence que pour tout .


3. En utilisant l’imparité de , étendre ce résultat pour .


4. a. En utilisant le fait que, pour tout , , montrer que .


b. Démontrer que, pour tout , .

Indication : avec et .

5. On admet le lemme suivant : « Tout nombre réel est limite d’une suite de rationnels. »
Démontrer que doit être une fonction linéaire.
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95
APPROFONDISSEMENT

Prolongement par continuité

Soient et deux nombres réels tels que et une fonction continue sur .
Si existe et est finie, est dite prolongeable par continuité en .
Si on définit par sur et , alors est continue sur .
Étudier le prolongement par continuité des fonctions suivantes.

1. définie sur en .


2. définie sur en .


3. définie sur en .
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96
APPROFONDISSEMENT
[DÉMO]

Démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires

Soit continue sur avec et .
On souhaite démontrer que, pour tout , l’équation admet au moins une solution sur . Pour cela, on construit les suites et telles que ait une amplitude de plus en plus petite en utilisant le principe de dichotomie :
si , alors ou .
On pose et .
Si , alors on pose et .

1. Montrer par récurrence sur que la suite est croissante et que la suite est décroissante.


2. Montrer que .


3. En déduire que et convergent vers une même limite .


4. Conclure en utilisant la continuité de .


Remarque : les suites et sont dites adjacentes.
Voir les approfondissements du chapitre 4 pour plus de détails.
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Spécialité
;  ;  ;  ;  ;  ;  et  p. 432

Le Grand Oral

Répondre aux questions du jury

Temps d’échange avec le jury : ce qu’on attend de vous


Exemple de sujet : Fonctions continues non dérivables


Méthode

Laissez‑vous guider par le questionnement du jury.

Exprimez‑vous de manière claire, audible, dans un niveau de langue adapté, en utilisant un vocabulaire mathématique précis.

Écoutez attentivement la question posée pour éviter le hors‑sujet. Si vous n’êtes pas certain de comprendre la question, n’hésitez pas à demander au professeur de la reformuler.

Ne vous précipitez pas : prenez le temps de rassembler vos idées et de clarifier votre propos avant de répondre.

Développez vos réponses : il ne s’agit pas de répondre par « oui » ou « non » à une question. N’hésitez pas à utiliser des exemple ou des contre‑exemples. Le jury attend une explication, une justification.

  • Tenez-vous bien droit et regardez les examinateurs auxquels vous vous adressez.
  • Vous avez fait une erreur ? Ce n’est pas grave, vous avez le droit de vous tromper, l’essentiel est de vous corriger !


Exemples de questions sur ce sujet

Une fonction qui admet des limites à gauche et à droite différentes en un point est‑elle dérivable en ce point ?
Énoncez précisément les définitions pour réaliser votre démonstration.

Donnez un exemple de fonction non continue modélisant une grandeur ou un phénomène réel.
Pensez à des situations utilisant des nombres entiers par exemple.

Citez un mathématicien ayant participé à la définition de la notion de continuité actuelle ?
Essayez de donner un maximum d’informations sur cette personne.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14