Synthèse

82

[Représenter, Calculer.]
Pour un nombre réel $x$, $\mathrm{E}(x)$ désigne la partie entière de $x$, c’est‑à‑dire le nombre entier relatif $n$ tel que $n \leqslant x \lt n+1$.
Soit la fonction $f: x \mapsto x \times \mathrm{E}(x)$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur $[-2\,;2]$.

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2. Calculer $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} f(x)$ et $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \lt 0}} f(x)$ pour étudier la continuité de $f$ en $0$.

83

[Chercher, Calculer.]
Déterminer les deux nombres réels $k_1$ et $k_2$ pour que la fonction
$f: x\mapsto\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x} & \text { si } x \leqslant 0 \\ \dfrac{x+k_{1}}{x^{2}+1} & \text { si } 0 \lt x \leqslant 8 \\ \sqrt{x+1}+k_{2} & \text { si } x>8\end{array}\right.$ soit continue sur $\mathbb{R}$.

84

ALGO

[Calculer, Modéliser.]
1. Démontrer que l’équation $x^{3}=-x-5$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$ telle que $\alpha \in[-2 ;-1]$.


2. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.


3. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-n}$ près, $n$ étant un entier donné par l’utilisateur.

85

ALGO

[Raisonner, Modéliser.]
Soient $f$ la fonction définie pour tout $x > 0$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{5}{x}\right)$ et $(u_n)$ la suite définie par : $\left\{\begin{aligned}u_{0}&=1 \\ u_{n+1}&=f\left(u_{n}\right)\end{aligned}\right.$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $] 0 ;+\infty[$.

2. Démontrer que $(u_n)$ est décroissante à partir du rang 1 et qu’elle est minorée.


3. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ dont on déterminera la valeur exacte.


4. Écrire un algorithme permettant de déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-n}$ près, $n$ étant un entier donné par l’utilisateur.

86

[Calculer, Communiquer.]
Soit $f: x \mapsto \sqrt{x} \mathrm{e}^{x}$ pour $x \in[0 ;+\infty[$.

1. Démontrer que l’équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha \in[0 ;+\infty[$.


2. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0{,}1$.


3. Soit $k \in \mathbb{Z}$. Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre exact de solutions de l’équation $f(x) = k$.

87

[Chercher, Raisonner.]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0{,}1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{2 u_{n}+3}{u_{n}+4}$.

1. Étudier les variations de la fonction $f: x \mapsto \dfrac{2 x+3}{x+4}$ sur $\mathrm{I}=]-4\,;+\infty[$.

2. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n} \in[0\,;1]$, puis que $(u_n)$ est croissante.


3. En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

88

[Raisonner, Calculer.]
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ et $u_0=0{,}2$ où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(2-x)$.

1. Dresser le tableau de variations de $f$.

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2. Montrer que $[0\,;1]$ est stable par $f$ ; autrement dit, que si $x \in[0\,;1]$, alors $f(x) \in[0\,;1]$.


3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} \in[0\,;1]$.


4. Donner le sens de variation de la suite $(u_n)$.

5. En déduire la convergence de $(u_n)$ et déterminer alors sa limite.

89

[Raisonner, Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x)=\dfrac{2 x+1}{x+1}$.
On pose $u_0=1{,}5$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.

1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[1 ; 2]$.

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2. Démontrer que, pour tout $x \in[1\,;2]$, $f(x) \in[1\,;2]$.


3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \in[1\,;2]$.


4. Étudier les variations de la suite $(u_n)$.

5. En déduire la convergence de $(u_n)$ et déterminer alors sa limite.

90

[Raisonner, Chercher.]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\left(3 \mathrm{e}^{x}-4\right) \mathrm{e}^{3 x}$.
1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. Pour $k \in \mathbb{Z}$, donner, en justifiant, le nombre de solutions réelles de l’équation $f(x) = k$.

91

ALGO

[Raisonner, Modéliser.]
On considère la fonction$f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=1+\left(-4 x^{2}-10 x+8\right) \mathrm{e}^{-0,5 x}$.
1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-4\,; -2]$.


3. On donne l’algorithme suivant.

$\boxed{ \begin{array} { l } {a} \leftarrow {-4} \\ {b} \leftarrow {-2} \\ \text {Tant que } {(b-a)>10^{-1}} \text { faire :} \\ \quad {m} \leftarrow {\dfrac{a+b}{2}} \\ \quad {p} \leftarrow {f(a) \times f(m)} \\ \quad \text {Si } {p>0 :} \\ \quad \quad {a} \leftarrow {m} \\ \quad \text {Sinon :} \\ \quad \quad {b} \leftarrow {m} \\ \quad \text {Fin Si}\\ \text {Fin Tant que} \\ \end{array} }$

Compléter le tableau correspondant aux différents passages dans la boucle « Tant que ».



4. Interpréter les dernières valeurs de $a$ et $b$ dans le contexte de l’exercice.

92

[Raisonner, Représenter.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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3. Démontrer que, pour tout réel $k$, l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution réelle que l’on notera $\alpha_k$.


4. Déterminer un encadrement de $\alpha_1$ à $10^{-2}$ près.


5. Déterminer un encadrement de $\alpha_{10}$ à $10^{-2}$ près.

93

[Raisonner, Modéliser.]
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=1-x^{2} \mathrm{e}^{1-x^{2}}$.

1. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0 ;+\infty[$.

2. Sur $[0 ;+\infty[$, quel est le nombre de solutions de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ ? Justifier.


3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, l’équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$ appartenant respectivement à l’intervalle $[0\,; 1]$ et à l’intervalle $[1\,;+\infty[$.


4. Étudier le sens de variation des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.


5. Prouver la convergence de la suite $(u_n)$.


6. Prouver de la même manière la convergence de la suite $(v_n)$.


7. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont la même limite.

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APPROFONDISSEMENT

Équation fonctionnelle

On cherche à déterminer toutes les fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que pour tous réels $x$ et $y$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Il s’agit de résoudre ce qu’on appelle une équation fonctionnelle.

Partie A : Étude de quelques exemples

1. Montrer que si $f$ est une fonction linéaire, alors $f$ est une fonction solution du problème.


2. Montrer que si $f$ est une fonction affine non linéaire, alors $f$ n’est pas solution du problème.


3. Montrer que la fonction carré n’est pas une fonction solution du problème.


Partie B : Résolution du problème

Soit $f$ une fonction respectant l'équation fonctionnelle de l'énoncé.

1. Calculer $f(0)$ et en déduire que $f$ est impaire sur $\mathbb{R}$.


2. Fixons $x \in \mathbb{R}$. Démontrer par récurrence que $f(n x)=n f(x)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.


3. En utilisant l’imparité de $f$, étendre ce résultat pour $n \in \mathbb{Z}$.


4. a. En utilisant le fait que, pour tout $q \in \mathbb{Z}^{*}$, $\dfrac{q}{q}=1$, montrer que $f\left(\dfrac{1}{q}\right)=\dfrac{1}{q} f(1)$.


b. Démontrer que, pour tout $r \in \mathbb{Q}$, $f(r)=r f(1)$.

Indication : $r=\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}$.

5. On admet le lemme suivant : « Tout nombre réel est limite d’une suite de rationnels. »
Démontrer que $f$ doit être une fonction linéaire.

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APPROFONDISSEMENT

Prolongement par continuité

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a \lt b$ et $f:] a\,;b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue sur $]a\,;b]$.
Si $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)$ existe et est finie, $f$ est dite prolongeable par continuité en $a$.
Si on définit $g$ par $g=f$ sur $]a\,;b]$ et $g(a)=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)$, alors $g$ est continue sur $[a\,;b]$.
Étudier le prolongement par continuité des fonctions suivantes.

1. $x \mapsto \dfrac{x^{2}-1}{x+1}$ définie sur $\mathbb{R} \backslash\{-1\}$ en $-1$.


2. $x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ en $0$.


3. $x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}$ définie sur $]0\,;+\infty[$ en $0$.

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APPROFONDISSEMENT

[DÉMO]

Démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ continue sur $\mathrm{I}=[a\,;b]$ avec $a \leqslant b$ et $f(a) \leqslant f(b)$.
On souhaite démontrer que, pour tout $k \in[f(a)\,;f(b)]$, l’équation $f(x) = k$ admet au moins une solution $\alpha$ sur $\text{I}$. Pour cela, on construit les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $\left[a_{n}\,b_{n}\right]$ ait une amplitude de plus en plus petite en utilisant le principe de dichotomie :
si $k \in[f(a)\,;f(b)]$, alors $k \in\left[f(a)\,f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right]$ ou $k \in\left] f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\,;f(b)\right]$.
On pose $a_0=a$ et $b_0=b$.
Si $f\left(\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) \geqslant k$, alors on pose $a_{n+1}=a_{n}$ et $b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}$.

1. Montrer par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que la suite $(a_n)$ est croissante et que la suite $(b_n)$ est décroissante.


2. Montrer que $\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0$.


3. En déduire que $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers une même limite $\alpha$.


4. Conclure en utilisant la continuité de $f$.


Remarque : les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont dites adjacentes.
Voir les approfondissements du chapitre 4 pour plus de détails.