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TP2. Méthode de la sécante
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TP / TICE 2


2
Méthode de la sécante





maths spé - chapitre 6 - continuité - TP2. Méthode de la sécante

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+1)ex+xf(x)=(x+1) \mathrm{e}^{x}+x.
On appelle Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff dans un repère (O ;i→ ,j→)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).
On désire obtenir un encadrement de la solution de l’équation f(x)=0f(x) = 0 par la méthode de la sécante.
Pour cela, on localise une solution α\alpha de l’équation f(x)=0f(x) = 0 sur [−1 ;0][-1\,;0], on utilise la corde reliant les points de coordonnées respectives (−1 ;f(−1))(-1\,;f(-1)) et (0 ;f(0))(0\,;f(0)) et l’intersection de cette corde avec l’axe des abscisses pour remplacer [−1 ;0][-1\,;0] par un autre intervalle plus petit contenant α\alpha. On posera Mi\mathrm{M}_{i} le point de coordonnées (xi ;f(xi))\left(x_{i}\,;f\left(x_{i}\right)\right).

Questions préliminaires :
1. Étudier les variations de ff sur R\mathbb{R}.


2. En déduire que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α∈[−1 ;0]\alpha \in[-1\,;0].


3. Soient M0\mathrm{M}_{0} et M1\mathrm{M}_{1} les deux points de Cf\mathcal{C}_f d’abscisses respectives −1-1 et 00. Montrer que la droite (M0M1)\left(\mathrm{M}_{0} \mathrm{M}_{1}\right) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse −0,5-0{,}5.
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Objectif

Obtenir un encadrement de α\alpha par la méthode de la sécante en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
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1. À l’aide de GeoGebra, tracer Cf\mathcal{C}_f et les axes comme indiqué ci‑dessous.

maths spé - chapitre 6 - continuité - TP2. Méthode de la sécante - méthode de résolution 1
maths spé - chapitre 6 - continuité - TP2. Méthode de la sécante - méthode de résolution 1

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2. a. Sur Cf\mathcal{C}_f, placer les points M0\mathrm{M}_0 d’abscisse −1-1 et M1\mathrm{M}_1 d’abscisse 00.

b. Placer le point d’intersection C1\mathrm{C}_1 de (M0M1)\left(\mathrm{M}_{0} \mathrm{M}_{1}\right) et de l’axe des abscisses.

3. M2\mathrm{M}_2 est le point de Cf\mathcal{C}_f de même abscisse que C1\mathrm{C}_1. Construire le point C2\mathrm{C}_2 suivant le même procédé.

4. Déterminer une valeur arrondie à 10−210^{-2} près de l’abscisse de C2\mathrm{C}_2.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

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On construit la suite (xi)(x_i) de la manière suivante :
xix_i est l’abscisse du point d’intersection de la sécante (Mi−2Mi−1)\left(\mathrm{M}_{i-2} \mathrm{M}_{i-1}\right) avec l’axe des abscisses pour i⩾2i \geqslant 2.
On pose x0=−1x_0 = -1 et x1=0x_1 = 0 (abscisses respectives de M0\mathrm{M}_{0} et M1\mathrm{M}_{1}). On obtient alors la formule de récurrence suivante :
xn+1=xn−xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)f(xn)x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{x_{n}-x_{n-1}}{f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n-1}\right)} f\left(x_{n}\right).

On définit enfin le taux d’accroissement par :
f(xn)−f(xn−1)xn−xn−1\dfrac{f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n-1}\right)}{x_{n}-x_{n-1}}.

1. Écrire une fonction f sur Python qui retourne l’image f(x)f(x) de xx par la fonction ff.

2. Compléter la fonction secante ci‑dessous retournant un encadrement de α\alpha. 

from math import *
def f(x):
	return...

def secante(a, b, epsilon):
	x1, x2 = a, b
	accroissement = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1)
	while abs(x2 - x1) > epsilon:
		x1 = x2
		x2 = ...
		accroissement = ...
	return x1, x2

3. Obtenir un encadrement de α\alpha à 10−310^{-3} près.
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Histoire des maths

Cette méthode peut être vue soit comme une variante de la méthode de Newton vue en première (en remplaçant la dérivée par un taux d’accroissement fini), soit comme une itération des méthodes de double fausse position développées dès le Moyen‑Âge. À partir du XVIIe siècle, le travail de Newton a initié une tradition de recherche au problème fondamental de la résolution approchée d’équations fonctionnelles. De nombreux mathématiciens y ont travaillé : Lagrange, Gauss, Legendre, Cauchy, etc.
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