Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x+1)ex+x.
On appelle Cf la courbe représentative de f dans un repère (O;i,j).
On désire obtenir un encadrement de la solution de l’équation f(x)=0 par la méthode de la sécante.
Pour cela, on localise une solution α de l’équation f(x)=0 sur [−1;0], on utilise la corde reliant les points de coordonnées respectives (−1;f(−1)) et (0;f(0)) et l’intersection de cette corde avec l’axe des abscisses pour remplacer [−1;0] par un autre intervalle plus petit contenant α. On posera Mi le point de coordonnées (xi;f(xi)).
Questions préliminaires : 1. Étudier les variations de f sur R.
2. En déduire que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α∈[−1;0].
3. Soient M0 et M1 les deux points de Cf d’abscisses respectives −1 et 0. Montrer que la droite (M0M1) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse −0,5.
Voir les réponses
Objectif
Obtenir un encadrement de α par la méthode de la sécante en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
Voir les réponses
1. À l’aide de GeoGebra, tracer Cf et les axes comme indiqué ci‑dessous.
Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2.a. Sur Cf, placer les points M0 d’abscisse −1 et M1 d’abscisse 0.
b. Placer le point d’intersection C1 de (M0M1) et de l’axe des abscisses.
3.M2 est le point de Cf de même abscisse que C1. Construire le point C2 suivant le même procédé.
4. Déterminer une valeur arrondie à 10−2 près de l’abscisse de C2.
Voir les réponses
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
Voir les réponses
On construit la suite (xi) de la manière suivante : xi est l’abscisse du point d’intersection de la sécante (Mi−2Mi−1) avec l’axe des abscisses pour i⩾2.
On pose x0=−1 et x1=0 (abscisses respectives de M0 et M1). On obtient alors la formule de récurrence suivante :
xn+1=xn−f(xn)−f(xn−1)xn−xn−1f(xn).
On définit enfin le taux d’accroissement par :
xn−xn−1f(xn)−f(xn−1).
1. Écrire une fonction f sur Python qui retourne l’image f(x) de x par la fonction f.
2. Compléter la fonction secante ci‑dessous retournant un encadrement de α.
from math import *
def f(x):
return...
def secante(a, b, epsilon):
x1, x2 = a, b
accroissement = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1)
while abs(x2 - x1) > epsilon:
x1 = x2
x2 = ...
accroissement = ...
return x1, x2
3. Obtenir un encadrement de α à 10−3 près.
Voir les réponses
Histoire des maths
Cette méthode peut être vue soit comme une variante de la méthode de Newton vue en première (en remplaçant la dérivée par un taux d’accroissement fini), soit comme une itération des méthodes de double fausse position développées dès le Moyen‑Âge. À partir du XVIIe siècle, le travail de Newton a initié une tradition de recherche au problème fondamental de la résolution approchée d’équations fonctionnelles. De nombreux mathématiciens y ont travaillé : Lagrange, Gauss, Legendre, Cauchy, etc.
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.