Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1){\mathrm{e}}^x+x$. On appelle ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
On désire obtenir un encadrement de la solution de l'équation $f(x)=0$ par la méthode de la sécante.
Pour cela, on localise une solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=0$ sur $[-1;0]$, on utilise la corde reliant les points de coordonnées respectives $(-1;f(-1))$ et $(0;f(0))$ et l'intersection de cette corde avec l'axe des abscisses pour remplacer $[-1;0]$ par un autre intervalle plus petit contenant $\alpha$. On posera ${\mathrm{M}}_i$ le point de coordonnées $\left(x_i;f\left(x_i\right)\right)$.

Questions préliminaires :
1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in [-1;0]$.

3. Soient ${\mathrm{M}}_0$ et ${\mathrm{M}}_1$ les deux points de ${\mathcal{C}}_f$ d'abscisses respectives $-1$ et $0$. Montrer que la droite $\left({\mathrm{M}}_0{\mathrm{M}}_1\right)$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $-0,5$.

Obtenir un encadrement de $\alpha$ par la méthode de la sécante en utilisant une des deux méthodes.