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TP2. Méthode de la sécante

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TP / TICE 2

2
Méthode de la sécante

Énoncé

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = (x + 1) e^{x} + x

.
On appelle

C_{f}

la courbe représentative de

f

dans un repère

(O; i, j)

.
On désire obtenir un encadrement de la solution de l’équation

f (x) = 0

par la méthode de la sécante.
Pour cela, on localise une solution

α

de l’équation

f (x) = 0

sur

[- 1; 0]

, on utilise la corde reliant les points de coordonnées respectives

(- 1; f (- 1))

(0; f (0))

et l’intersection de cette corde avec l’axe des abscisses pour remplacer

[- 1; 0]

par un autre intervalle plus petit contenant

α

. On posera

M_{i}

le point de coordonnées

(x_{i}; f (x_{i}))

.

Questions préliminaires :
1. Étudier les variations de

f

sur

R

2. En déduire que l’équation

f (x) = 0

admet une unique solution

α \in [- 1; 0]

3. Soient

M_{0}

M_{1}

les deux points de

C_{f}

d’abscisses respectives

- 1

0

. Montrer que la droite

(M_{0} M_{1})

coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse

- 0, 5

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Objectif

Obtenir un encadrement de $α$ par la méthode de la sécante en utilisant une des deux méthodes.

MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

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1. À l’aide de GeoGebra, tracer

C_{f}

et les axes comme indiqué ci‑dessous.

maths spé - chapitre 6 - continuité - TP2. Méthode de la sécante - méthode de résolution 1

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2. a. Sur

C_{f}

, placer les points

M_{0}

d’abscisse

- 1

M_{1}

d’abscisse

0

.

b. Placer le point d’intersection

C_{1}

(M_{0} M_{1})

et de l’axe des abscisses.

3.

M_{2}

est le point de

C_{f}

de même abscisse que

C_{1}

. Construire le point

C_{2}

suivant le même procédé.

4. Déterminer une valeur arrondie à

1 0^{- 2}

près de l’abscisse de

C_{2}

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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

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On construit la suite

(x_{i})

de la manière suivante :

x_{i}

est l’abscisse du point d’intersection de la sécante

(M_{i - 2} M_{i - 1})

avec l’axe des abscisses pour

i ⩾ 2

.
On pose

x_{0} = - 1

x_{1} = 0

(abscisses respectives de

M_{0}

M_{1}

). On obtient alors la formule de récurrence suivante :

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n} - x _{n - 1}}{f ( x _{n} ) - f ( x _{n - 1} )} f (x_{n})

On définit enfin le taux d’accroissement par :

\frac{f ( x _{n} ) - f ( x _{n - 1} )}{x _{n} - x _{n - 1}}

1. Écrire une fonction f sur Python qui retourne l’image

f (x)

x

par la fonction

f

.

2. Compléter la fonction secante ci‑dessous retournant un encadrement de

α

from math import *
def f(x):
	return...

def secante(a, b, epsilon):
	x1, x2 = a, b
	accroissement = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1)
	while abs(x2 - x1) > epsilon:
		x1 = x2
		x2 = ...
		accroissement = ...
	return x1, x2

3. Obtenir un encadrement de

α

1 0^{- 3}

près.

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Histoire des maths

Cette méthode peut être vue soit comme une variante de la méthode de Newton vue en première (en remplaçant la dérivée par un taux d’accroissement fini), soit comme une itération des méthodes de double fausse position développées dès le Moyen‑Âge. À partir du XVII^e siècle, le travail de Newton a initié une tradition de recherche au problème fondamental de la résolution approchée d’équations fonctionnelles. De nombreux mathématiciens y ont travaillé : Lagrange, Gauss, Legendre, Cauchy, etc.

2Méthode de la sécante

Énoncé

Objectif

Histoire des maths

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Méthode de la sécante