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TP2. Méthode de la sécante
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TP / TICE 2


2
Méthode de la sécante





maths spé - chapitre 6 - continuité - TP2. Méthode de la sécante

Énoncé

Soit la fonction définie sur par .
On appelle la courbe représentative de dans un repère .
On désire obtenir un encadrement de la solution de l’équation par la méthode de la sécante.
Pour cela, on localise une solution de l’équation sur , on utilise la corde reliant les points de coordonnées respectives et et l’intersection de cette corde avec l’axe des abscisses pour remplacer par un autre intervalle plus petit contenant . On posera le point de coordonnées .

Questions préliminaires :
1. Étudier les variations de sur .


2. En déduire que l’équation admet une unique solution .


3. Soient et les deux points de d’abscisses respectives et . Montrer que la droite coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse .
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Objectif

Obtenir un encadrement de par la méthode de la sécante en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
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1. À l’aide de GeoGebra, tracer et les axes comme indiqué ci‑dessous.

maths spé - chapitre 6 - continuité - TP2. Méthode de la sécante - méthode de résolution 1
maths spé - chapitre 6 - continuité - TP2. Méthode de la sécante - méthode de résolution 1

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2. a. Sur , placer les points d’abscisse et d’abscisse .

b. Placer le point d’intersection de et de l’axe des abscisses.

3. est le point de de même abscisse que . Construire le point suivant le même procédé.

4. Déterminer une valeur arrondie à près de l’abscisse de .
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

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On construit la suite de la manière suivante :
est l’abscisse du point d’intersection de la sécante avec l’axe des abscisses pour .
On pose et (abscisses respectives de et ). On obtient alors la formule de récurrence suivante :
.

On définit enfin le taux d’accroissement par :
.

1. Écrire une fonction f sur Python qui retourne l’image de par la fonction .

2. Compléter la fonction secante ci‑dessous retournant un encadrement de .

from math import *
def f(x):
	return...

def secante(a, b, epsilon):
	x1, x2 = a, b
	accroissement = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1)
	while abs(x2 - x1) > epsilon:
		x1 = x2
		x2 = ...
		accroissement = ...
	return x1, x2

3. Obtenir un encadrement de à près.
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Histoire des maths

Cette méthode peut être vue soit comme une variante de la méthode de Newton vue en première (en remplaçant la dérivée par un taux d’accroissement fini), soit comme une itération des méthodes de double fausse position développées dès le Moyen‑Âge. À partir du XVIIe siècle, le travail de Newton a initié une tradition de recherche au problème fondamental de la résolution approchée d’équations fonctionnelles. De nombreux mathématiciens y ont travaillé : Lagrange, Gauss, Legendre, Cauchy, etc.
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