Mathématiques Terminale Spécialité
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Chapitre 6
TP INFO 2
Méthode de la sécante
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Énoncé
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=(x+1) \mathrm{e}^{x}+x.
On appelle \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans un repère (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).
On désire obtenir un encadrement de la solution de l'équation f(x) = 0 par la méthode de la sécante.
Pour cela, on localise une solution \alpha de l'équation f(x) = 0 sur [-1\,;0], on utilise la corde reliant les points de coordonnées respectives (-1\,;f(-1)) et (0\,;f(0)) et l'intersection de cette corde avec l'axe des abscisses pour remplacer [-1\,;0] par un autre intervalle plus petit contenant \alpha. On posera \mathrm{M}_{i} le point de coordonnées \left(x_{i}\,;f\left(x_{i}\right)\right).
Questions préliminaires :
1. Étudier les variations de f sur \mathbb{R}.
2. En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution \alpha \in[-1\,;0].
3. Soient \mathrm{M}_{0} et \mathrm{M}_{1} les deux points de \mathcal{C}_f d'abscisses respectives -1 et 0. Montrer que la droite \left(\mathrm{M}_{0} \mathrm{M}_{1}\right) coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse -0{,}5.
On désire obtenir un encadrement de la solution de l'équation f(x) = 0 par la méthode de la sécante.
Pour cela, on localise une solution \alpha de l'équation f(x) = 0 sur [-1\,;0], on utilise la corde reliant les points de coordonnées respectives (-1\,;f(-1)) et (0\,;f(0)) et l'intersection de cette corde avec l'axe des abscisses pour remplacer [-1\,;0] par un autre intervalle plus petit contenant \alpha. On posera \mathrm{M}_{i} le point de coordonnées \left(x_{i}\,;f\left(x_{i}\right)\right).
Questions préliminaires :
1. Étudier les variations de f sur \mathbb{R}.
2. En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution \alpha \in[-1\,;0].
3. Soient \mathrm{M}_{0} et \mathrm{M}_{1} les deux points de \mathcal{C}_f d'abscisses respectives -1 et 0. Montrer que la droite \left(\mathrm{M}_{0} \mathrm{M}_{1}\right) coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse -0{,}5.
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Objectif
Obtenir un encadrement de \alpha par la méthode de la sécante en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1GeoGebra
1. À l'aide de GeoGebra, tracer \mathcal{C}_f et les axes comme indiqué ci‑dessous.
2. a. Sur \mathcal{C}_f, placer les points \mathrm{M}_0 d'abscisse -1 et \mathrm{M}_1 d'abscisse 0.
b. Placer le point d'intersection \mathrm{C}_1 de \left(\mathrm{M}_{0} \mathrm{M}_{1}\right) et de l'axe des abscisses.
3. \mathrm{M}_2 est le point de \mathcal{C}_f de même abscisse que \mathrm{C}_1. Construire le point \mathrm{C}_2 suivant le même procédé.
4. Déterminer une valeur arrondie à 10^{-2} près de l'abscisse de \mathrm{C}_2.
2. a. Sur \mathcal{C}_f, placer les points \mathrm{M}_0 d'abscisse -1 et \mathrm{M}_1 d'abscisse 0.
b. Placer le point d'intersection \mathrm{C}_1 de \left(\mathrm{M}_{0} \mathrm{M}_{1}\right) et de l'axe des abscisses.
3. \mathrm{M}_2 est le point de \mathcal{C}_f de même abscisse que \mathrm{C}_1. Construire le point \mathrm{C}_2 suivant le même procédé.
4. Déterminer une valeur arrondie à 10^{-2} près de l'abscisse de \mathrm{C}_2.
GeoGebra
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Méthode 2Python
On construit la suite (x_i) de la manière suivante :
x_i est l'abscisse du point d'intersection de la sécante \left(\mathrm{M}_{i-2} \mathrm{M}_{i-1}\right) avec l'axe des abscisses pour i \geqslant 2.
On pose x_0 = -1 et x_1 = 0 (abscisses respectives de \mathrm{M}_{0} et \mathrm{M}_{1}). On obtient alors la formule de récurrence suivante :
On définit enfin le taux d'accroissement par :
x_i est l'abscisse du point d'intersection de la sécante \left(\mathrm{M}_{i-2} \mathrm{M}_{i-1}\right) avec l'axe des abscisses pour i \geqslant 2.
On pose x_0 = -1 et x_1 = 0 (abscisses respectives de \mathrm{M}_{0} et \mathrm{M}_{1}). On obtient alors la formule de récurrence suivante :
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n-1}\right)} f\left(x_{n}\right).
On définit enfin le taux d'accroissement par :
\frac{f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n-1}\right)}{x_{n}-x_{n-1}}.
1. Écrire une fonction f sur Python qui retourne l'image f(x) de x par la fonction f.
2. Compléter la fonction secante ci‑dessous retournant un encadrement de \alpha.
3. Obtenir un encadrement de \alpha à 10^{-3} près.
from math import * def f(x): return... def secante(a, b, epsilon): x1, x2 = a, b accroissement = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1) while abs(x2 - x1) > epsilon: x1 = x2 x2 = ... accroissement = ... return x1, x2
3. Obtenir un encadrement de \alpha à 10^{-3} près.
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