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Combinatoire et dénombrement
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Chapitre 1


Combinatoire et dénombrement





Combinatoire et dénombrement - Ouverture - rubikscube

Capacités attendues - chapitre 1

1. Dans le cadre d’un problème de dénombrement, utiliser une représentation adaptée (ensembles, arbres, tableaux, diagrammes) et reconnaître les objets à dénombrer.

2. Effectuer des dénombrements simples dans des situations issues de divers domaines scientifiques (informatique, génétique, théorie des jeux, probabilités, etc.).


Le Rubik’s Cube compte 43 252 003 274 489 856 000 configurations différentes dans sa version la plus célèbre (faces constituées de neuf cubes). En supposant qu’un humain puisse tester une combinaison chaque seconde, il lui faudrait donc plus de 1 371 512 027 000 années pour toutes les rencontrer, soit environ 300 fois l’âge de la Terre.

Avant de commencer

Prérequis

1. Déterminer les termes d’une suite définie explicitement ou par récurrence.
2. Manipuler les expressions littérales faisant intervenir des quotients, des puissances, etc.
3. Exprimer l’union ou l’intersection de deux ensembles ou événements.
4. Construire un arbre des possibilités d’une expérience aléatoire.
5. Modéliser un phénomène discret à l’aide d’une suite.
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1
Déterminer les termes d’une suite

Dans chacun des cas suivants, déterminer les quatre premiers termes de la suite (un)(u_n).

1. Pour tout nN,un=2n21n \in \mathbb{N}, u_{n}=2 n^{2}-1.


2. u0=2u_{0}=-2 et, pour tout nN,un+1=(un)2n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\left(u_{n}\right)^{2}.


3. u0=1u_{0}=1 et, pour tout nN,un+1=2un3nn \in \mathbb{N}, u_{n+1}=2 u_{n}-3 n .
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2
Exprimer le terme suivant

Soit nn un entier naturel. Dans chacun des cas suivants, exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.

1. un=2n2+4n3u_{n}=2 n^{2}+4 n-3


2. un=2nn+3u_{n}=\dfrac{2 n}{n+3}


3. un=3n3n2+2n+7u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3 n^{2}+2 n+7}
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3
Simplifier une expression

Soit nn un entier naturel.
Simplifier les expressions suivantes.

1. 1n+11n+3\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+3}


2. nn+1×n+1n+2×n+2n+3\dfrac{n}{n+1} \times \dfrac{n+1}{n+2} \times \dfrac{n+2}{n+3}


3. n24n+2\dfrac{n^{2}-4}{n+2}


4. n(n+1)(n+2)2nn+2\dfrac{n(n+1)}{(n+2)^{2}}-\dfrac{n}{n+2}
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4
Déterminer des réunions et des intersections

On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse au numéro de la face obtenue.

1. Quelles sont les issues réalisant les événements suivants ?
a. A\text{A} : « Le nombre obtenu est pair. »


b. B\text{B} : « Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3. »


2. Décrire par une phrase les événements AB\mathrm{A} \cup \mathrm{B} et AB\mathrm{A} \cap \mathrm{B} et donner les issues qui réalisent ces événements.


3. Donner deux événements C\text{C} et D\text{D} incompatibles tels que CD={1;2;4;5}.\mathrm{C} \cup \mathrm{D} =\{1 \,; 2 \,; 4 \,; 5\}.
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5
Modéliser avec un arbre des possibilités

On possède une urne dans laquelle sont placées une boule rouge, une boule bleue, une boule verte et une boule jaune. On tire successivement et avec remise deux boules de l’urne.

1. a. Construire l’arbre des possibilités de cette expérience aléatoire.
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b. Quelles sont les issues possibles ?


2. Combien d’issues réalisent l’événement :
a. « La boule verte n’a pas été tirée. » ?


b. « La boule jaune a été tirée deux fois. » ?


3. On ne remet plus la boule dans l’urne après l’avoir tirée.
Construire l’arbre des possibilités associé à cette nouvelle expérience.
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6
Problème

Lisa possède un dé en forme de tétraèdre régulier. Les quatre faces sont numérotées de 1 à 4. Elle jette ce dé puis regarde le numéro de la face située sur le dessous. Si le nombre est différent de 4, elle le lance une seconde fois et regarde de nouveau le nombre obtenu.

1. Réaliser un arbre des possibilités associé à cette expérience. Combien a‑t‑on d’issues possibles ?
Couleurs
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2. Si elle n’obtient pas de 4 sur le second lancer, Lisa lance une troisième fois le dé. Combien a-t-on maintenant d’issues possibles ? Lisa décide de poursuivre l’expérience : elle lance le dé tant qu’elle n’obtient pas de 4 mais n’ira pas au-delà de nn lancers, nn étant un entier naturel non nul. On note unu_{n} le nombre d’issues de cette expérience.


3. Déterminer u1u_{1}, u2u_{2} et u3u_{3}.


4. Justifier que, pour tout entier n1n \geqslant 1, un+1=3un+1u_{n+1}=3 u_{n}+1.


5. Calculer les termes u4 aˋ u7u_{4} \text { à } u_{7}.
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Anecdote

Si l’on souhaite ranger ses nn paires de chaussettes dans pp tiroirs et que n>pn > p, il y aura alors au moins un tiroir qui contiendra deux paires de chaussettes ou plus. Ce principe porte le nom de « principe des tiroirs » ou « principe des pigeonniers » et a été énoncé en 1834 par le mathématicien allemand Gustave Lejeune Dirichlet (1805‑1859).
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