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Activités - Histoire des mathématiques
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Activités

Histoire des mathématiques




A
Coefficients binomiaux et triangle de Pascal


Le triangle de Pascal (1623-1662) est un tableau de nombres qui permet de déterminer, par une relation de récurrence, les coefficients binomiaux (nk)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right).

Maths spécialité - Activités - Histoire des mathématiques - Traité du triangle arithmétique, Blaise Pascal, 1654.
Traité du triangle arithmétique, Blaise Pascal, 1654.

Le triangle est connu des mathématiciens bien avant Pascal (Perse au Xe siècle, Chine au XIIe siècle, etc.) mais Pascal est le premier à proposer, dans son Traité du triangle arithmétique publié en 1654, un ensemble de résultats le concernant. Pour les démontrer, il s’appuie sur le principe de raisonnement par récurrence.
On rappelle que l’on écrit de nos jours : (nk)=(n1k1)+(n1k).\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} n-1 \\ k-1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right).


1
Quels sont les coefficients binomiaux présentés dans les cellules C et F du triangle de Pascal ?


2
Le programme ci-dessous rédigé en Python permet d’afficher le triangle de Pascal pour un nombre nn de lignes demandé.
n = int(input("Nombre de rangs ?"))
l = []

for i in range(n) :
   l.append(1)
 print(l)
 
for k in range(2, n+1) :
   for i in range(1,n+1-k):
      l[i] = l[i-1]+l[i]
    del l[n+1 - k]
    print(l)

À quoi correspondent les variables nn et kk dans le tableau ?


3
Tester le programme pour différentes valeurs de nn.
Comment retrouve-t-on le triangle donné en exemple par Pascal ?


4
Que permet d’afficher le code entre les lignes 4 et 6 ?


5
Examiner les lignes 8 à 12 : que représentent les indices i\text{i} et kk par comparaison avec le tableau de Pascal ?


6
À partir de cet algorithme, en construire un autre permettant de calculer (nk).\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right).
Voir les réponses

Remarque

Python permet de travailler directement avec des variables de type matrice. Un autre algorithme les utilisant est présenté dans le TP 2 du chapitre 1 page 43.

B
Un produit extérieur


Maths - Activité - Histoire des mathématiques - Un produit extérieur - Hermann Grassmann (1809-1877).

Hermann Grassmann (1809-1877).

En 1765, Euler établit un résultat de géométrie à propos de l’alignement du centre de gravité, de l’orthocentre et du centre circonscrit d’un triangle. Pour arriver à ses fins, Euler utilise des calculs de coordonnées. Sa démonstration tient sur vingt pages et est publiée dans un ouvrage du nom de Solution Facile à Certains Problèmes Très Difficiles ! La notion de vecteur n’existait pas...
Hermann Grassmann publie en 1844 son Die Lineale Ausdehnungslehre. Même si, sur le moment, cet ouvrage ne reçoit pas beaucoup d’échos, il a le mérite de proposer, pour la première fois, un algèbre d’ordre nouveau basé sur les vecteurs. Ce sera la naissance des espaces vectoriels. Les vecteurs existent de façon autonome et leurs résultats peuvent être appliqués à de nombreuses théories mathématiques, allant de la géométrie à l’informatique en passant par les polynômes. Malgré l’apparition d’une géométrie sans figure, de nombreuses démonstrations tiennent maintenant en quelques lignes.

Voici des exemples d’axiomes.
Soient aa, bb et cc trois vecteurs et α\alpha et β\beta deux réels.
La somme a+ba + b est définie de façon unique ainsi que le produit αa\alpha a par les propriétés suivantes :
  • commutativité : a+b=b+aa + b = b + a ;
  • associativité : (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c) ;
  • il existe un unique vecteur dd tel que a+d=ba + d = b. On note alors d=bad = b - a ;
  • élément neutre de l’addition : 0+a=a0 + a = a ;
  • distributivité : (α+β)a=αa+βa(\alpha+\beta) a=\alpha a+\beta a et α(a+b)=αa+αb\alpha(a+b)=\alpha a+\alpha b ;
  • associativité du produit : α(βa)=(αβ)a\alpha(\beta a)=(\alpha \beta) a ;
  • élément neutre du produit : 1a=a.1a = a.

Dans ce qui suit, on présente un autre type de produit entre deux vecteurs appelé produit extérieur.
On note aba \otimes b le produit extérieur de aa par bb, représenté par l’aire orientée du parallélogramme engendré par les vecteurs aa et bb.
Maths spécialité - Activité - Histoire des mathématiques - Un produit extérieur
  
Maths spécialité - Activité - Histoire des mathématiques - Un produit extérieur

L’aire est orientée signifie que ab=baa \otimes b=-b \otimes a.

1
Expliquer pourquoi aa=0a \otimes a=0.


2
Démontrer les trois propriétés suivantes en s’appuyant sur des considérations géométriques.
a) a(αb)=α(ab)a \otimes(\alpha b)=\alpha(a \otimes b)αR.\alpha \in \mathbb{R}.


b) a(b+c)=(ab)+(ac)a \otimes(b+c)=(a \otimes b)+(a \otimes c).


c) (a+b)c=(ac)+(bc)(a+b) \otimes c=(a \otimes c)+(b \otimes c).


3
Quelle propriété traduit l’égalité ab=0a \otimes b=0 ? Justifier.
Voir les réponses

Remarque

En donnant un autre mode de calcul à ce produit extérieur pour caractériser cette fois l’orthogonalité entre deux vecteurs de l’espace et en le notant aba \cdot b, Willard Gibbs désignera de fait notre actuel produit scalaire.
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