Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Activités
Histoire des mathématiques

Combinatoire et dénombrement

A
Coefficients binomiaux et triangle de Pascal


Le triangle de Pascal (1623-1662) est un tableau de nombres qui permet de déterminer, par une relation de récurrence, les coefficients binomiaux .
Le triangle est connu des mathématiciens bien avant Pascal (Perse au Xe siècle, Chine au XIIe siècle, etc.) mais Pascal est le premier à proposer, dans son Traité du triangle arithmétique publié en 1654, un ensemble de résultats le concernant. Pour les démontrer, il s'appuie sur le principe de raisonnement par récurrence.
On rappelle que l'on écrit de nos jours :

Maths spécialité - Activités - Histoire des mathématiques - Traité du triangle arithmétique, Blaise Pascal, 1654.
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Crédits : Traité du triangle arithmétique, Blaise Pascal, 1654.
1
Quels sont les coefficients binomiaux présentés dans les cellules C et F du triangle de Pascal ?


2
Le programme ci-dessous rédigé en Python permet d'afficher le triangle de Pascal pour un nombre de lignes demandé.
n = int(input("Nombre de rangs ?"))
l = []

for i in range(n) :
   l.append(1)
 print(l)
 
for k in range(2, n+1) :
   for i in range(1,n+1-k):
      l[i] = l[i-1]+l[i]
    del l[n+1 - k]
    print(l)

À quoi correspondent les variables et dans le tableau ?


3
Tester le programme pour différentes valeurs de .
Comment retrouve-t-on le triangle donné en exemple par Pascal ?


4
Que permet d'afficher le code entre les lignes 4 et 6 ?


5
Examiner les lignes 8 à 12 : que représentent les indices et par comparaison avec le tableau de Pascal ?


6
À partir de cet algorithme, en construire un autre permettant de calculer

Remarque

Python permet de travailler directement avec des variables de type matrice. Un autre algorithme les utilisant est présenté dans le .

B
Un produit extérieur

En 1765, Euler établit un résultat de géométrie à propos de l'alignement du centre de gravité, de l'orthocentre et du centre circonscrit d'un triangle. Pour arriver à ses fins, Euler utilise des calculs de coordonnées. Sa démonstration tient sur vingt pages et est publiée dans un ouvrage du nom de Solution Facile à Certains Problèmes Très Difficiles ! La notion de vecteur n'existait pas...
Hermann Grassmann publie en 1844 son Die Lineale Ausdehnungslehre. Même si, sur le moment, cet ouvrage ne reçoit pas beaucoup d'échos, il a le mérite de proposer, pour la première fois, un algèbre d'ordre nouveau basé sur les vecteurs. Ce sera la naissance des espaces vectoriels. Les vecteurs existent de façon autonome et leurs résultats peuvent être appliqués à de nombreuses théories mathématiques, allant de la géométrie à l'informatique en passant par les polynômes. Malgré l'apparition d'une géométrie sans figure, de nombreuses démonstrations tiennent maintenant en quelques lignes.

Maths - Activité - Histoire des mathématiques - Un produit extérieur - Hermann Grassmann (1809-1877).
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Crédits : Leonard de Selva / Bridgeman

Hermann Grassmann (1809-1877).


Voici des exemples d'axiomes.
Soient , et trois vecteurs et et deux réels.
La somme est définie de façon unique ainsi que le produit par les propriétés suivantes :
  • commutativité : ;
  • associativité : ;
  • il existe un unique vecteur tel que . On note alors ;
  • élément neutre de l'addition : ;
  • distributivité : et ;
  • associativité du produit : ;
  • élément neutre du produit :

Dans ce qui suit, on présente un autre type de produit entre deux vecteurs appelé produit extérieur.
On note le produit extérieur de par , représenté par l'aire orientée du parallélogramme engendré par les vecteurs et .
Maths spécialité - Activité - Histoire des mathématiques - Un produit extérieur
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Maths spécialité - Activité - Histoire des mathématiques - Un produit extérieur
Le zoom est accessible dans la version Premium.

L'aire est orientée signifie que .

1
Expliquer pourquoi .


2
Démontrer les trois propriétés suivantes en s'appuyant sur des considérations géométriques.
a)


b) .


c) .


3
Quelle propriété traduit l'égalité ? Justifier.

Remarque

En donnant un autre mode de calcul à ce produit extérieur pour caractériser cette fois l'orthogonalité entre deux vecteurs de l'espace et en le notant , Willard Gibbs désignera de fait notre actuel produit scalaire.

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