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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Cours 1
Cardinal d'ensembles
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A
Réunion disjointe
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Définition
Soit A un ensemble fini.
Le cardinal de A, noté Card(A), est le nombre d'éléments de l'ensemble A.
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Remarque
Le cardinal de A est parfois noté |A| ou #A.
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Définition
Deux ensembles A et B sont disjoints lorsque A∩B=∅.
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Remarque
En particulier Card(∅)=0.
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Propriété (admise)
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et A1,A2,…,An des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors : Card(A1∪…∪An)=Card(A1)+…+Card(An)=k=1∑nCard(Ak).
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Remarque
En particulier, si A1et A2 sont deux ensembles finis et disjoints, Card(A1∪A2)=Card(A1)+Card(A2).
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B
Produit cartésien
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Définition
Soient A et B deux ensembles non vides. Le produit cartésien de A et B est l'ensemble, noté A×B (se lit « A croix B »), constitué des couples (x;y) où x est un élément de A et y un élément de B.
Plus formellement, A×B={(x;y),x∈A,y∈B}.
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Remarque
Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.
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Exemple
Pour A={1;2} et B={3;4}, on a A×B={(1;3);(1;4);(2;3);(2;4)}.
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Remarque
Si A=∅ ou B=∅alors A×B=∅.
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Propriété
Soient A et B deux ensembles finis. Alors : Card(A×B)=Card(A)×Card(B).
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Application et méthode - 1
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Énoncé
Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d'une lettre sélectionnée parmi les lettres A, B et C. Combien de codes peut-on former avec ce système ?
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Méthode
Dans un énoncé, un « OU » se traduit très souvent
par une réunion (disjointe ou non). On sépare les
cas de l'énoncé en plusieurs ensembles disjoints :
pour chaque ensemble formé, on calcule son
cardinal ;
on calcule la somme des cardinaux ainsi
obtenus pour obtenir le cardinal total.
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Solution
Appelons A4, A5, A6 l'ensemble des mots de passe composées respectivement de 4, 5 et 6 chiffres et d'une lettre. On a :
Card(A4)=Card({0;…;9}4×{A;B;C})=104×3=30000;
Card(A5)=Card({0;…;9}5×{A;B;C})=105×3=300000;
Card(A6)=Card({0;…;9}6×{A;B;C})=106×3=3000000;
Il y a donc 30000000+300000+30000=3330000 codes possibles.