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1. Cardinal d’ensembles
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COURS 1


1
Cardinal d'ensembles




A
Réunion disjointe


Définition
Soit A\text{A} un ensemble fini.
Le cardinal de A\text{A}, noté Card⁡(A)\operatorname{Card}(\mathrm{A}), est le nombre d’éléments de l’ensemble A\text{A}.

Remarque

Le cardinal de A\text{A} est parfois noté |A|\text{|A|} ou #A\# \mathrm{A}.

Remarque

En particulier Card⁡(∅)=0\operatorname{Card}(\varnothing)=0.

Définition
Deux ensembles A\text{A} et B\text{B} sont disjoints lorsque A∩B=∅\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\varnothing.

Propriété (admise)
Soient nn un entier naturel supérieur ou égal à 22 et A1,A2,…,An\mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, …, \mathrm{A}_{n} des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :
Card⁡(A1∪…∪An)=Card⁡(A1)+…+Card⁡(An)=∑k=1nCard⁡(Ak)\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}\right)=\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1}\right)+\ldots+\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{n}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{k}\right).

Remarque

En particulier, si A1\text A_{1}et A2\text A_{2} sont deux ensembles finis et disjoints, Card⁡(A1∪A2)\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1} \cup \mathrm{A}_{2}\right)
=Card⁡(A1)=\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1}\right) +Card⁡(A2)+\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{2}\right).

B
Produit cartésien


Définition

Soient A\text{A} et B\text{ B} deux ensembles non vides. Le produit cartésien de A\text{A} et B\text{ B} est l’ensemble, noté A×B \text{A} \times \text{B} (se lit « A\text{A} croix B\text{B} »), constitué des couples (x ;y)(x\,; y) où xx est un élément de A\text{A} et yy un élément de B\text{B}.
Plus formellement, A×B={(x ;y),x∈A,y∈B}\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(x\,; y), x \in \mathrm{A}, y \in \mathrm{B}\}.

Remarque

Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.

Exemple
Pour A={1 ;2} et B={3 ;4}\mathrm{A}=\{1 \,; 2\} \text { et } \mathrm{B}=\{3 \,; 4\}, on a A×B={(1 ;3) ;(1 ;4) ;(2 ;3) ;(2 ;4)}\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(1\,; 3) \,;(1 \,; 4) \,;(2 \,; 3) \,;(2 \,; 4)\}.

Propriété
Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles finis. Alors : Card⁡(A×B)=Card⁡(A)×Card⁡(B)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B})=\operatorname{Card}(\mathrm{A}) \times \operatorname{Card}(\mathrm{B}).

Remarque

Si A=∅\text{A}=\varnothing ou B=∅\text{B}=\varnothing
alors A×B=∅\text{A}\times \text{B}=\varnothing.

NOTATION
Le produit cartésien de A\text{A} par lui-même est noté A2\mathrm{A}^{2}. Plus généralement, le produit de A\text{A} par lui‑même nn fois, avec n>1n > 1, se note An\mathrm{A}^{n}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
68
p. 47.

Définition
Soient A\text{A} un ensemble et n n un entier naturel non nul. On appelle n\boldsymbol{n}-uplet de A\text{A} un élément de An\text{A}^{n}.

Remarque

Les coordonnées d’un point dans un repère du plan sont des 2‑uplets de nombres réels.

Propriété
Soient A\text{A} un ensemble fini et nn un entier naturel non nul.
Alors : Card⁡(An)=[Card⁡(A)]n\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}^{n}\right)=[\operatorname{Card}(\mathrm{A})]^{n}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
69
p. 47.

Application et méthode - 1

Énoncé

Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d’une lettre sélectionnée parmi les lettres A\text{A}, B\text{B} et C\text{C}. Combien de codes peut-on former avec ce système ?

Méthode

Dans un énoncé, un « OU » se traduit très souvent par une réunion (disjointe ou non). On sépare les cas de l’énoncé en plusieurs ensembles disjoints :
  • pour chaque ensemble formé, on calcule son cardinal ;
  • on calcule la somme des cardinaux ainsi obtenus pour obtenir le cardinal total.

Solution


Appelons A4,A5\text{A}_{4}, \text{A}_{5} et A6\text{A}_{6} l’ensemble des mots de passe composées respectivement de 4, 5 et 6 chiffres et d’une lettre. On a :
  • Card⁡(A4)=Card⁡({0 ;… ;9}4×{A ;B ;C})=104×3=30 000\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{4}\right)=\operatorname{Card}\left(\{0\,; \ldots\,; 9\}^{4} \times\{\mathrm{A}\,; \mathrm{B}\,; \mathrm{C}\}\right)=10^{4} \times 3=30\,000 ;
  • Card⁡(A5)=Card⁡({0 ;… ;9}5×{A ;B ;C})=105×3=300 000\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{5}\right)=\operatorname{Card}\left(\{0\,; \ldots\,; 9\}^{5} \times\{\mathrm{A}\,; \mathrm{B}\,; \mathrm{C}\}\right)=10^{5} \times 3=300\,000 ;
  • Card⁡(A6)=Card⁡({0 ;… ;9}6×{A ;B ;C})=106×3=3 000 000\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{6}\right)=\operatorname{Card}\left(\{0\,; \ldots\,; 9\}^{6} \times\{\mathrm{A}\,; \mathrm{B}\,; \mathrm{C}\}\right)=10^{6} \times 3=3 000 000.

Il y a donc 3 000 000+300 000+30 000=3 330 0003 000 000 + 300 000 + 30 000 = 3 330 000 codes possibles.

Pour s'entraîner : exercices 28 et 30 p. 44 et 31 p. 45
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