Chargement de l'audio en cours

Plus

1. Cardinal d’ensembles

P.36

COURS 1

1
Cardinal d'ensembles

A
Réunion disjointe

Définition

Soit

A

un ensemble fini.
Le cardinal de

A

, noté

C a r d (A)

, est le nombre d’éléments de l’ensemble

A

Remarque

Le cardinal de

A

est parfois noté

|A|

# A

Remarque

En particulier

C a r d (\emptyset) = 0

Définition

Deux ensembles

A

B

sont disjoints lorsque

A \cap B = \emptyset

Propriété (admise)

Soient

n

un entier naturel supérieur ou égal à

2

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :

C a r d (A_{1} \cup \dots \cup A_{n}) = C a r d (A_{1}) + \dots + C a r d (A_{n}) = k = 1 \sum n C a r d (A_{k})

Remarque

En particulier, si

A_{1}

A_{2}

sont deux ensembles finis et disjoints,

C a r d (A_{1} \cup A_{2})

= C a r d (A_{1})

+ C a r d (A_{2})

B
Produit cartésien

Définition

Soient

A

B

deux ensembles non vides. Le produit cartésien de

A

B

est l’ensemble, noté

A \times B

(se lit «

A

croix

B

»), constitué des couples

(x; y)

où

x

est un élément de

A

y

un élément de

B

.
Plus formellement,

A \times B = {(x; y), x \in A, y \in B}

Remarque

Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.

Exemple

Pour

A = {1; 2} et B = {3; 4}

, on a

A \times B = {(1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4)}

Propriété

Soient

A

B

deux ensembles finis. Alors :

C a r d (A \times B) = C a r d (A) \times C a r d (B)

Remarque

A = \emptyset

B = \emptyset

alors

A \times B = \emptyset

NOTATION

Le produit cartésien de

A

par lui-même est noté

A^{2}

. Plus généralement, le produit de

A

par lui‑même

n

fois, avec

n > 1

, se note

A^{n}

DÉMONSTRATION

Voir exercice
68
p. 47.

Définition

Soient

A

un ensemble et

n

un entier naturel non nul. On appelle $n$ -uplet de

A

un élément de

A^{n}

Remarque

Les coordonnées d’un point dans un repère du plan sont des 2‑uplets de nombres réels.

Propriété

Soient

A

un ensemble fini et

n

un entier naturel non nul.
Alors :

C a r d (A^{n}) = [C a r d (A)]^{n}

DÉMONSTRATION

Voir exercice
69
p. 47.

Application et méthode - 1

Énoncé

Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d’une lettre sélectionnée parmi les lettres

A

B

C

. Combien de codes peut-on former avec ce système ?

Utilisation des cookies

Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.

1Cardinal d'ensembles

ARéunion disjointe

Remarque

Remarque

Remarque

BProduit cartésien

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 1

Énoncé

1
Cardinal d'ensembles

A
Réunion disjointe

B
Produit cartésien