1. Cardinal d’ensembles
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COURS 1
1Cardinal d'ensembles
1
ARéunion disjointe
A
Définition
Soit un ensemble fini.
Le cardinal de , noté , est le nombre d’éléments de l’ensemble .
Remarque
Le cardinal de est parfois noté ou .
Remarque
En particulier .
Définition
Deux ensembles et sont disjoints lorsque .
Propriété (admise)
Soient un entier naturel supérieur ou égal à et des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :
.
Remarque
En particulier, si et sont deux ensembles finis et disjoints,
.
.
BProduit cartésien
B
Définition
Soient et deux ensembles non vides. Le produit cartésien de et est l’ensemble, noté (se lit « croix »), constitué des couples où est un élément de et un élément de .
Plus formellement, .
Remarque
Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.
Exemple
Pour , on a .
Propriété
Soient et deux ensembles finis. Alors : .
Remarque
Si ou
alors .
alors .
NOTATION
Le produit cartésien de par lui-même est noté . Plus généralement, le produit de par lui‑même fois, avec , se note .
Définition
Soient un ensemble et un entier naturel non nul. On appelle -uplet de un élément de .
Remarque
Les coordonnées d’un point dans un repère du plan sont des 2‑uplets de nombres réels.
Propriété
Soient un ensemble fini et un entier naturel non nul.
Alors : .
Application et méthode - 1
Énoncé
Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d’une lettre sélectionnée parmi les lettres , et . Combien de codes peut-on former avec ce système ?
