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1. Cardinal d’ensembles
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COURS 1


1
Cardinal d'ensembles




A
Réunion disjointe


Définition

Soit un ensemble fini.
Le cardinal de , noté , est le nombre d’éléments de l’ensemble .

Remarque

Le cardinal de est parfois noté ou .

Remarque

En particulier .

Définition

Deux ensembles et sont disjoints lorsque .

Propriété (admise)

Soient un entier naturel supérieur ou égal à et des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :
.

Remarque

En particulier, si et sont deux ensembles finis et disjoints,
.

B
Produit cartésien


Définition

Soient et deux ensembles non vides. Le produit cartésien de et est l’ensemble, noté (se lit «  croix  »), constitué des couples est un élément de et un élément de .
Plus formellement, .

Remarque

Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.

Exemple

Pour , on a .

Propriété

Soient et deux ensembles finis. Alors : .

Remarque

Si ou
alors .

NOTATION

Le produit cartésien de par lui-même est noté . Plus généralement, le produit de par lui‑même fois, avec , se note .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
68
p. 47
.

Définition

Soient un ensemble et un entier naturel non nul. On appelle -uplet de un élément de .

Remarque

Les coordonnées d’un point dans un repère du plan sont des 2‑uplets de nombres réels.

Propriété

Soient un ensemble fini et un entier naturel non nul.
Alors : .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
69
p. 47
.

Application et méthode - 1

Énoncé

Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d’une lettre sélectionnée parmi les lettres , et . Combien de codes peut-on former avec ce système ?

Méthode

Dans un énoncé, un « OU » se traduit très souvent par une réunion (disjointe ou non). On sépare les cas de l’énoncé en plusieurs ensembles disjoints :
  • pour chaque ensemble formé, on calcule son cardinal ;
  • on calcule la somme des cardinaux ainsi obtenus pour obtenir le cardinal total.

Solution


Appelons et l’ensemble des mots de passe composées respectivement de 4, 5 et 6 chiffres et d’une lettre. On a :
  •  ;
  •  ;
  • .

Il y a donc codes possibles.

Pour s'entraîner : exercices 28 et 30 p. 44 et 31 p. 45
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