Chapitre 1
Cours 1
Cardinal d'ensembles
Soit A un ensemble fini.
Le cardinal de A, noté Card(A), est le nombre d'éléments de l'ensemble A.
Le cardinal de A est parfois noté |A| ou #A.
Deux ensembles A et B sont disjoints lorsque A∩B=∅.
En particulier Card(∅)=0.
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et A1,A2,…,An des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :
Card(A1∪…∪An)=Card(A1)+…+Card(An)=k=1∑nCard(Ak).
En particulier, si A1et A2 sont deux ensembles finis et disjoints, Card(A1∪A2) =Card(A1) +Card(A2).
Soient A et B deux ensembles non vides. Le produit cartésien de A et B est l'ensemble, noté A×B (se lit « A croix B »), constitué des couples (x;y) où x est un élément de A et y un élément de B.
Plus formellement, A×B={(x;y),x∈A,y∈B}.
Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.
Pour A={1;2} et B={3;4}, on a A×B={(1;3);(1;4);(2;3);(2;4)}.
Si A=∅ ou B=∅alors A×B=∅.
Soient A et B deux ensembles finis. Alors : Card(A×B)=Card(A)×Card(B).
Soient A un ensemble et n un entier naturel non nul.
On appelle n-uplet de A un élément de An.
Le produit cartésien de A par lui-même est noté A2. Plus généralement, le produit de A par lui‑même n fois, avec n>1, se note An.
Soient A un ensemble fini et n un entier naturel non nul.
Alors : Card(An)=[Card(A)]n.
Les coordonnées d'un point dans un repère du plan sont des 2‑uplets de nombres réels.
Application et méthode - 1
Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d'une lettre sélectionnée parmi les lettres A, B et C. Combien de codes peut-on former avec ce système ?
Dans un énoncé, un « OU » se traduit très souvent
par une réunion (disjointe ou non). On sépare les
cas de l'énoncé en plusieurs ensembles disjoints :
- pour chaque ensemble formé, on calcule son
cardinal ;
- on calcule la somme des cardinaux ainsi
obtenus pour obtenir le cardinal total.
Appelons
A4,
A5,
A6 l'ensemble des mots de passe composées respectivement de
4,
5 et
6 chiffres et d'une lettre. On a :
- Card(A4)=Card({0;…;9}4×{A;B;C})=104×3=30000;
- Card(A5)=Card({0;…;9}5×{A;B;C})=105×3=300000;
- Card(A6)=Card({0;…;9}6×{A;B;C})=106×3=3000000;
Il y a donc
30000000+300000+30000=3330000 codes possibles.
Pour s'entraîner
Exercices
et
p. 44 et
p.45
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.