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1. Cardinal d’ensembles

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COURS 1

1
Cardinal d'ensembles

A
Réunion disjointe

Définition

Soit

A

un ensemble fini.
Le cardinal de

A

, noté

C a r d (A)

, est le nombre d’éléments de l’ensemble

A

Remarque

Le cardinal de

A

est parfois noté

|A|

# A

Remarque

En particulier

C a r d (\emptyset) = 0

Définition

Deux ensembles

A

B

sont disjoints lorsque

A \cap B = \emptyset

Propriété (admise)

Soient

n

un entier naturel supérieur ou égal à

2

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :

C a r d (A_{1} \cup \dots \cup A_{n}) = C a r d (A_{1}) + \dots + C a r d (A_{n}) = k = 1 \sum n C a r d (A_{k})

Remarque

En particulier, si

A_{1}

A_{2}

sont deux ensembles finis et disjoints,

C a r d (A_{1} \cup A_{2})

= C a r d (A_{1})

+ C a r d (A_{2})

B
Produit cartésien

Définition

Soient

A

B

deux ensembles non vides. Le produit cartésien de

A

B

est l’ensemble, noté

A \times B

(se lit «

A

croix

B

»), constitué des couples

(x; y)

où

x

est un élément de

A

y

un élément de

B

.
Plus formellement,

A \times B = {(x; y), x \in A, y \in B}

Remarque

Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.

Exemple

Pour

A = {1; 2} et B = {3; 4}

, on a

A \times B = {(1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4)}

Propriété

Soient

A

B

deux ensembles finis. Alors :

C a r d (A \times B) = C a r d (A) \times C a r d (B)

Remarque

A = \emptyset

B = \emptyset

alors

A \times B = \emptyset

NOTATION

Le produit cartésien de

A

par lui-même est noté

A^{2}

. Plus généralement, le produit de

A

par lui‑même

n

fois, avec

n > 1

, se note

A^{n}

DÉMONSTRATION

Voir exercice
68
p. 47.

Définition

Soient

A

un ensemble et

n

un entier naturel non nul. On appelle $n$ -uplet de

A

un élément de

A^{n}

Remarque

Les coordonnées d’un point dans un repère du plan sont des 2‑uplets de nombres réels.

Propriété

Soient

A

un ensemble fini et

n

un entier naturel non nul.
Alors :

C a r d (A^{n}) = [C a r d (A)]^{n}

DÉMONSTRATION

Voir exercice
69
p. 47.

Application et méthode - 1

Énoncé

Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d’une lettre sélectionnée parmi les lettres

A

B

C

. Combien de codes peut-on former avec ce système ?

Méthode

Dans un énoncé, un « OU » se traduit très souvent par une réunion (disjointe ou non). On sépare les cas de l’énoncé en plusieurs ensembles disjoints :

pour chaque ensemble formé, on calcule son cardinal ;
on calcule la somme des cardinaux ainsi obtenus pour obtenir le cardinal total.

Solution

Appelons

A_{4}, A_{5}

A_{6}

l’ensemble des mots de passe composées respectivement de 4, 5 et 6 chiffres et d’une lettre. On a :

$C a r d (A_{4}) = C a r d ({0; \dots; 9}^{4} \times {A; B; C}) = 1 0^{4} \times 3 = 30000$ ;
$C a r d (A_{5}) = C a r d ({0; \dots; 9}^{5} \times {A; B; C}) = 1 0^{5} \times 3 = 300000$ ;
$C a r d (A_{6}) = C a r d ({0; \dots; 9}^{6} \times {A; B; C}) = 1 0^{6} \times 3 = 3000000$ .

Il y a donc

3000000 + 300000 + 30000 = 3330000

codes possibles.

Pour s'entraîner : exercices 28 et 30 p. 44 et 31 p. 45

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1Cardinal d'ensembles

ARéunion disjointe

Remarque

Remarque

Remarque

BProduit cartésien

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 1

Énoncé

Méthode

Solution

1
Cardinal d'ensembles

A
Réunion disjointe

B
Produit cartésien