En particulier, si A1et A2 sont deux ensembles finis et disjoints, Card(A1∪A2) =Card(A1)+Card(A2).
B
Produit cartésien
Définition
Soient A et B deux ensembles non vides. Le produit cartésien de A et B est l’ensemble, noté A×B (se lit « A croix B »), constitué des couples (x;y) où x est un élément de A et y un élément de B.
Plus formellement, A×B={(x;y),x∈A,y∈B}.
Remarque
Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.
Exemple
Pour A={1;2} et B={3;4}, on a A×B={(1;3);(1;4);(2;3);(2;4)}.
Propriété
Soient A et B deux ensembles finis. Alors : Card(A×B)=Card(A)×Card(B).
Remarque
Si A=∅ ou B=∅ alors A×B=∅.
NOTATION
Le produit cartésien de A par lui-même est noté A2. Plus généralement, le produit de A par lui‑même n fois, avec n>1, se note An.
Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d’une lettre sélectionnée parmi les lettres A, B et C. Combien de codes peut-on former avec ce système ?
Méthode
Dans un énoncé, un « OU » se traduit très souvent
par une réunion (disjointe ou non). On sépare les
cas de l’énoncé en plusieurs ensembles disjoints :
pour chaque ensemble formé, on calcule son
cardinal ;
on calcule la somme des cardinaux ainsi
obtenus pour obtenir le cardinal total.
Solution
Appelons A4,A5 et A6 l’ensemble des mots de passe composées respectivement de 4, 5 et 6 chiffres et d’une lettre. On a :
Card(A4)=Card({0;…;9}4×{A;B;C})=104×3=30000 ;
Card(A5)=Card({0;…;9}5×{A;B;C})=105×3=300000 ;
Card(A6)=Card({0;…;9}6×{A;B;C})=106×3=3000000.
Il y a donc 3000000+300000+30000=3330000 codes possibles.
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