Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Cours 1

Cardinal d'ensembles

A
Réunion disjointe

Définition
Soit un ensemble fini.
Le cardinal de , noté , est le nombre d'éléments de l'ensemble .

Remarque

Le cardinal de est parfois noté ou .
Définition
Deux ensembles et sont disjoints lorsque .

Remarque

En particulier .
Propriété (admise)
Soient un entier naturel supérieur ou égal à et des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :
.

Remarque

En particulier, si et sont deux ensembles finis et disjoints, .

B
Produit cartésien

Définition
Soient et deux ensembles non vides. Le produit cartésien de et est l'ensemble, noté (se lit «  croix  »), constitué des couples est un élément de et un élément de .
Plus formellement, .

Remarque

Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.
Exemple
Pour , on a .

Remarque

Si ou alors .
Propriété
Soient et deux ensembles finis. Alors : .
Démonstration
Voir exercice p. 47.
Définition
Soient un ensemble et un entier naturel non nul. On appelle -uplet de un élément de .

Notation

Le produit cartésien de par lui-même est noté . Plus généralement, le produit de par lui‑même fois, avec , se note .
Propriété
Soient un ensemble fini et un entier naturel non nul.
Alors : .

Remarque

Les coordonnées d'un point dans un repère du plan sont des 2‑uplets de nombres réels.
Démonstration
Voir exercice p. 47.
Application et méthode - 1
Énoncé
Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d'une lettre sélectionnée parmi les lettres , et . Combien de codes peut-on former avec ce système ?

Méthode

Dans un énoncé, un « OU » se traduit très souvent par une réunion (disjointe ou non). On sépare les cas de l'énoncé en plusieurs ensembles disjoints :
  • pour chaque ensemble formé, on calcule son cardinal ;
  • on calcule la somme des cardinaux ainsi obtenus pour obtenir le cardinal total.
Solution
Appelons , , l'ensemble des mots de passe composées respectivement de , et chiffres et d'une lettre. On a :

Il y a donc codes possibles.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 44 et p.45

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