Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Travailler les automatismes
P.44-45

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Travailler les automatismes




À L'ORAL

Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !

Enregistreur audio
Voir les réponses

16

Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles disjoints tels que Card(A)=7\operatorname{Card}(\mathrm{A})=7 et Card(B)=4\operatorname{Card}(\mathrm{B})=4.

Déterminer les valeurs de Card(AB)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}), Card(AB)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}), Card(A×B),Card(A2)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B}), \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}^{2}\right) et Card(B3)\operatorname{Card}\left(\mathrm{B}^{3}\right).
Voir les réponses

17

Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :
M=3!×2! ; N=(3×2)! ; P=3!+2! ; Q=(3+2)!\mathrm{M}=3 ! \times 2 ! ; \mathrm{N}=(3 \times 2) ! ; \mathrm{P}=3 !+2 ! ; \mathrm{Q}=(3+2) !
Voir les réponses

18

Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :

R=5!4! ; S=8!10! ; T=6!3! ; U=101!99!\mathrm{R}=\dfrac{5 !}{4 !} ; \mathrm{S}=\dfrac{8 !}{10 !} ; \mathrm{T}=\dfrac{6 !}{3 !} ; \mathrm{U}=\dfrac{101 !}{99 !}

Voir les réponses

19

À l’aide des lettres du mot MATHS :

1. Combien de mots de cinq lettres peut-on construire en autorisant l’utilisation d’une même lettre autant de fois que possible ?


2. Combien de mots de trois lettres peut-on construire en autorisant l’utilisation d’une même lettre autant de fois que possible ?


3. Reprendre les questions 1. et 2. en interdisant la réutilisation d’une lettre dans la construction du mot.
Voir les réponses

20

Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :

V=(52) ; W=(43) ; X=(71) ; Y=(63)\mathrm{V}=\left(\begin{array}{l} 5 \\2\end{array}\right) ; \mathrm{W}=\left(\begin{array}{l} 4 \\3\end{array}\right) ; \mathrm{X}=\left(\begin{array}{l} 7 \\1\end{array}\right) ; \mathrm{Y}=\left(\begin{array}{l} 6 \\3\end{array}\right)

Voir les réponses

21

On considère l’ensemble A={1 ;2 ;3 ;4}\text{A}=\{1 ; 2 ; 3 ; 4\}.
Dans chacun des cas suivants, déterminer s’il s’agit d’un arrangement, d’une permutation, d’une partie, d’un kk‑uplet d’éléments de A\text{A} ou rien de cela.

(1 ;1 ;3 ;4 ;2)(1\ ; 1\ ; 3\ ; 4\ ; 2)


(1 ;3 ;2)(1\ ; 3\ ; 2)


(1 ;5 ;2 ;5)(1\ ; 5\ ; 2\ ; 5)


{3 ;1}\{3\ ; 1\}


(4 ;3 ;2 ;1)(4\ ; 3\ ; 2\ ; 1)


{5 ;2}\{5\ ; 2\}


(4 ;1)(4\ ; 1)


\varnothing
Voir les réponses

22

Lors d’une soirée, les douze invités trinquent tous les uns avec les autres. Chaque invité n’ayant qu’un seul verre, combien de tintements de verre entendra‑t‑on ?
Voir les réponses

Réunions, intersections et produits cartésiens


23
On considère les ensembles A={7 ;8 ;14 ;21}\text{A}=\{7 ; 8 ; 14 ; 21\} et B={5 ;7 ;14 ;25 ;123}\text{B}=\{5 ; 7 ; 14 ; 25 ; 123\}.
Donner les éléments de AB\mathrm{A} \cup \mathrm{B} et de AB\mathrm{A} \cap \mathrm{B}.
Voir les réponses

24
On considère l’ensemble A={1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}\text{A=\{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9\}}.
Déterminer l’ensemble B\text{B} tel que AB\mathrm{A} \cap \mathrm{B}={1;5}=\{1\,; 5\} et AB\mathrm{A} \cup \mathrm{B}={1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ;10 ; 11}=\{1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11\}.
Voir les réponses

25
Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles disjoints tels que Card(A)=11\operatorname{Card}(\mathrm{A})=11 et Card(B)=8\operatorname{Card}(\mathrm{B})=8.
Calculer Card(AB)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) et Card(A×B)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B}).
Voir les réponses

26
Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles disjoints tels que Card(A)=20\operatorname{Card}(\mathrm{A})=20 et Card(AB)=32\operatorname{Card}(\mathrm{A}\cup\mathrm{B})=32.
Calculer Card(B)\operatorname{Card}(\mathrm{B}) et Card(A×B)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B}).
Voir les réponses

27
Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles disjoints tels que Card(A)=9\operatorname{Card}(\mathrm{A})=9 et Card(A×B)=108\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B})=108.
Calculer Card(B)\operatorname{Card}(\mathrm{B}) et Card(AB)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}).
Voir les réponses

28

Soient A\text{A} l’ensemble des lettres {m;a;t;h;s}\{m\,; a\,; t\,; h\,; s\} et B\text{B} l'ensemble {0;1}\{0\,; 1\}.

1. Combien y a-t-il d’éléments dans A×B\text{A} \times \text{B} ?


2. Énumérer tous ces éléments.
Voir les réponses

29
EN SNT

L’adresse IP est un numéro qui identifie chaque ordinateur connecté à internet. Une adresse de type IPv4 est composée de quatre nombres compris entre 0 et 255 inclus.

1. Est‑ce suffisant pour identifier cinq milliards d’ordinateurs de manière unique ?


2. De nouvelles adresses, dites IPv6, utilisant six nombres compris entre 0 et 255 inclus voient le jour.
Combien d’adresses IPv6 existe‑t‑il ?
Voir les réponses

30

En France, les préfixes des numéros de téléphone sont attribués à des opérateurs téléphoniques. Par exemple, tous les numéros commençant par 06 51 sont initialement associés à Free Mobile.
On rappelle qu’en France, un numéro de téléphone est composé de dix chiffres compris entre 0 et 9 inclus.

1. Orange possède tous les numéros commençant par 06 7 et 06 8.
Combien cela représente‑t‑il de numéros ?


2. Bouygues Télécom s’est vu attribuer les numéros débutant par 06 58 jusqu’à 06 68 inclus, ainsi que les numéros commençant par 06 69 suivis d’un chiffre compris entre 0 et 7 inclus. Combien cela représente‑t‑il de numéros de téléphone différents ?
Voir les réponses

31

On construit des nombres à nn chiffres en utilisant uniquement les chiffres 1, 2, 3 et 4. On souhaite construire au moins 1 000 nombres différents.

1. Cette contrainte est-elle respectée lorsque n=2n = 2 ? Lorsque n=3n = 3 ?


2. Déterminer la valeur minimale de nn pour respecter la contrainte de l’énoncé.
Voir les réponses

Factorielle, arrangements et permutations


32

Soit nn un entier naturel. Simplifier les écritures suivantes : (n+1)×n!(n+1) \times n !  ;  (n+2)!(n+1)(n+2)\dfrac{(n+2) !}{(n+1)(n+2)}  ;  (n+5)!(n+7)!\dfrac{(n+5) !}{(n+7) !}.

Voir les réponses

33

Écrire les nombres suivants à l’aide de factorielles.

1. E =\text{E =}13×2×1\dfrac{1}{3 \times 2 \times 1}


2. F =\text{F =} 5×3×2×45 \times 3 \times 2 \times 4


3. G =\text{G =}8×7×68 \times 7 \times 6


4. H =\text{H =}113×14\dfrac{1}{13 \times 14}
Voir les réponses

34
VRAI / FAUX

Soient nn et pp deux entiers naturels tels que n!=p!n! = p!. Peut-on affirmer que n=pn = p ? Justifier.
Voir les réponses

35

On note A\text{A} l’ensemble des lettres {b;i;e;n}\{b\,; i\,; e\,; n\}

1. Donner tous les arrangements à deux éléments de l’ensemble A\text{A}.


2. Combien l’ensemble A\text{A} a-t-il de permutations ?
Voir les réponses

36

Soit A\text{A} un ensemble de cardinal 88.

1. Combien y a-t-il d’arrangements de A\text{A} à trois éléments ?


2. Combien y a-t-il d’arrangements de A\text{A} à un élément ?


3. Combien y a-t-il de permutations de A\text{A} ?
Voir les réponses

37

Huit coureurs sont au départ de la finale d’une course de 100 m.

1. Combien de classements différents peut‑on construire ?


2. Combien de podiums différents existe‑t‑il ?
Voir les réponses

38

Marion a révélé que son mot de passe est composé de toutes les lettres de son prénom, placées dans un ordre différent. Elle craint que quelqu’un tente de le deviner.

1. Combien cela donne‑t‑il de possibilités ?


2. Combien y a‑t‑il de possibilités si le mot de passe n’est en fait constitué que de quatre caractères ?
Voir les réponses

39

Un ensemble A\text{A} possède 720720 permutations. Quel est le cardinal de A\text{A} ?
Voir les réponses

40

Un ensemble B\text{B} possède 306306 2‑arrangements.
Quel est le cardinal de B\text{B} ?
Voir les réponses

Combinaisons


41

On considère l’ensemble A =\text{A =}{7 ; 8 ; 9}\{7 ; 8 ; 9\}.
Énumérer toutes les parties de A.\text{A.}
Voir les réponses

42
Soit B\text{B} un ensemble de cardinal 99.

1. Combien y a‑t‑il de parties de B\text{B} ?


2. Combien y a‑t‑il de parties de B\text{B} à trois éléments ?


3. Sans calcul, donner le nombre de parties de B\text{B} à six éléments.
Voir les réponses

43

Sur une grille de seize cases, on souhaite placer six pions, indiscernables les uns des autres. Une case ne peut comporter qu’un seul pion au maximum.
De combien de manières peut‑on procéder ?
Voir les réponses

44

La belote se joue avec un jeu de 32 cartes, chaque carte possédant une valeur (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As) ainsi qu’une couleur (pique, trèfle, cœur, carreau).

1. Au départ, chaque joueur possède une main de cinq cartes.
a. Combien de mains différentes existe‑t‑il ?


b. Combien de mains ne comportant que des piques existe‑t‑il ?


c. Combien de mains ayant exactement quatre carreaux existe‑t‑il ?


2. À la fin de la deuxième donne, chaque joueur possède alors huit cartes dans sa main.
a. Combien de mains de huit cartes existe-t-il ?


b. Combien de mains de huit cartes ayant exactement cinq cœurs existe‑t‑il ?


c. Même question avec six, sept et huit cœurs.


d. En déduire le nombre de mains de huit cartes avec au moins cinq cœurs.
Voir les réponses

Exercices inversés


45

Construire un énoncé concret de dénombrement dans lequel la quantité à dénombrer s’élève (524)\left(\begin{array}{c} 52 \\ 4 \end{array}\right).
Voir les réponses

46

Construire un ensemble E\text{E} possédant 32 parties.
Voir les réponses

47

On considère un alphabet constitué de nn lettres toutes différentes. Imaginer un énoncé, avec des hypothèses précises, permettant de faire le lien entre le nombre de mots que l’on peut constituer et une méthode utilisant les combinaisons.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.