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Travailler les automatismes
P.44-45




Travailler les automatismes




À L'ORAL

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16

Soient et deux ensembles disjoints tels que et .

Déterminer les valeurs de , , et .
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17

Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :

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18

Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :



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19

À l’aide des lettres du mot MATHS :

1. Combien de mots de cinq lettres peut-on construire en autorisant l’utilisation d’une même lettre autant de fois que possible ?


2. Combien de mots de trois lettres peut-on construire en autorisant l’utilisation d’une même lettre autant de fois que possible ?


3. Reprendre les questions 1. et 2. en interdisant la réutilisation d’une lettre dans la construction du mot.
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20

Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :



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21

On considère l’ensemble .
Dans chacun des cas suivants, déterminer s’il s’agit d’un arrangement, d’une permutation, d’une partie, d’un ‑uplet d’éléments de ou rien de cela.




















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22

Lors d’une soirée, les douze invités trinquent tous les uns avec les autres. Chaque invité n’ayant qu’un seul verre, combien de tintements de verre entendra‑t‑on ?
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Réunions, intersections et produits cartésiens


23
On considère les ensembles et .
Donner les éléments de et de .
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24
On considère l’ensemble .
Déterminer l’ensemble tel que et .
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25
Soient et deux ensembles disjoints tels que et .
Calculer et .
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26
Soient et deux ensembles disjoints tels que et .
Calculer et .
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27
Soient et deux ensembles disjoints tels que et .
Calculer et .
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28

Soient l’ensemble des lettres et l'ensemble .

1. Combien y a-t-il d’éléments dans  ?


2. Énumérer tous ces éléments.
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29
EN SNT

L’adresse IP est un numéro qui identifie chaque ordinateur connecté à internet. Une adresse de type IPv4 est composée de quatre nombres compris entre 0 et 255 inclus.

1. Est‑ce suffisant pour identifier cinq milliards d’ordinateurs de manière unique ?


2. De nouvelles adresses, dites IPv6, utilisant six nombres compris entre 0 et 255 inclus voient le jour.
Combien d’adresses IPv6 existe‑t‑il ?
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30

En France, les préfixes des numéros de téléphone sont attribués à des opérateurs téléphoniques. Par exemple, tous les numéros commençant par 06 51 sont initialement associés à Free Mobile.
On rappelle qu’en France, un numéro de téléphone est composé de dix chiffres compris entre 0 et 9 inclus.

1. Orange possède tous les numéros commençant par 06 7 et 06 8.
Combien cela représente‑t‑il de numéros ?


2. Bouygues Télécom s’est vu attribuer les numéros débutant par 06 58 jusqu’à 06 68 inclus, ainsi que les numéros commençant par 06 69 suivis d’un chiffre compris entre 0 et 7 inclus. Combien cela représente‑t‑il de numéros de téléphone différents ?
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31

On construit des nombres à chiffres en utilisant uniquement les chiffres 1, 2, 3 et 4. On souhaite construire au moins 1 000 nombres différents.

1. Cette contrainte est-elle respectée lorsque  ? Lorsque  ?


2. Déterminer la valeur minimale de pour respecter la contrainte de l’énoncé.
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Factorielle, arrangements et permutations


32

Soit un entier naturel. Simplifier les écritures suivantes :   ;    ;  .

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33

Écrire les nombres suivants à l’aide de factorielles.

1.


2.


3.


4.
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34
VRAI / FAUX

Soient et deux entiers naturels tels que . Peut-on affirmer que  ? Justifier.
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35

On note l’ensemble des lettres

1. Donner tous les arrangements à deux éléments de l’ensemble .


2. Combien l’ensemble a-t-il de permutations ?
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36

Soit un ensemble de cardinal .

1. Combien y a-t-il d’arrangements de à trois éléments ?


2. Combien y a-t-il d’arrangements de à un élément ?


3. Combien y a-t-il de permutations de  ?
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37

Huit coureurs sont au départ de la finale d’une course de 100 m.

1. Combien de classements différents peut‑on construire ?


2. Combien de podiums différents existe‑t‑il ?
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38

Marion a révélé que son mot de passe est composé de toutes les lettres de son prénom, placées dans un ordre différent. Elle craint que quelqu’un tente de le deviner.

1. Combien cela donne‑t‑il de possibilités ?


2. Combien y a‑t‑il de possibilités si le mot de passe n’est en fait constitué que de quatre caractères ?
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39

Un ensemble possède permutations. Quel est le cardinal de  ?
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40

Un ensemble possède 2‑arrangements.
Quel est le cardinal de  ?
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Combinaisons


41

On considère l’ensemble .
Énumérer toutes les parties de
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42
Soit un ensemble de cardinal .

1. Combien y a‑t‑il de parties de  ?


2. Combien y a‑t‑il de parties de à trois éléments ?


3. Sans calcul, donner le nombre de parties de à six éléments.
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43

Sur une grille de seize cases, on souhaite placer six pions, indiscernables les uns des autres. Une case ne peut comporter qu’un seul pion au maximum.
De combien de manières peut‑on procéder ?
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44

La belote se joue avec un jeu de 32 cartes, chaque carte possédant une valeur (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As) ainsi qu’une couleur (pique, trèfle, cœur, carreau).

1. Au départ, chaque joueur possède une main de cinq cartes.
a. Combien de mains différentes existe‑t‑il ?


b. Combien de mains ne comportant que des piques existe‑t‑il ?


c. Combien de mains ayant exactement quatre carreaux existe‑t‑il ?


2. À la fin de la deuxième donne, chaque joueur possède alors huit cartes dans sa main.
a. Combien de mains de huit cartes existe-t-il ?


b. Combien de mains de huit cartes ayant exactement cinq cœurs existe‑t‑il ?


c. Même question avec six, sept et huit cœurs.


d. En déduire le nombre de mains de huit cartes avec au moins cinq cœurs.
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Exercices inversés


45

Construire un énoncé concret de dénombrement dans lequel la quantité à dénombrer s’élève .
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46

Construire un ensemble possédant 32 parties.
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47

On considère un alphabet constitué de lettres toutes différentes. Imaginer un énoncé, avec des hypothèses précises, permettant de faire le lien entre le nombre de mots que l’on peut constituer et une méthode utilisant les combinaisons.
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