Travailler les automatismes

16

Soient \text{A} et \text{B} deux ensembles disjoints tels que \operatorname{Card}(\mathrm{A})=7 et \operatorname{Card}(\mathrm{B})=4.

Déterminer les valeurs de \operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}), \operatorname{Card}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}), \operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B}), \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}^{2}\right) et \operatorname{Card}\left(\mathrm{B}^{3}\right).

17

Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :
\mathrm{M}=3 ! \times 2 ! ; \mathrm{N}=(3 \times 2) ! ; \mathrm{P}=3 !+2 ! ; \mathrm{Q}=(3+2) !

18

Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :

\mathrm{R}=\frac{5 !}{4 !} ; \mathrm{S}=\frac{8 !}{10 !} ; \mathrm{T}=\frac{6 !}{3 !} ; \mathrm{U}=\frac{101 !}{99 !}

20

Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :

\mathrm{V}=\left(\begin{array}{l} 5 \\2\end{array}\right) ; \mathrm{W}=\left(\begin{array}{l} 4 \\3\end{array}\right) ; \mathrm{X}=\left(\begin{array}{l} 7 \\1\end{array}\right) ; \mathrm{Y}=\left(\begin{array}{l} 6 \\3\end{array}\right)

19

À l'aide des lettres du mot MATHS : 1. Combien de mots de cinq lettres peut-on construire en autorisant l'utilisation d'une même lettre autant de fois que possible ?

2. Combien de mots de trois lettres peut-on construire en autorisant l'utilisation d'une même lettre autant de fois que possible ?

3. Reprendre les questions 1. et 2. en interdisant la réutilisation d'une lettre dans la construction du mot.

23

On considère les ensembles \text{A}=\{7 ; 8 ; 14 ; 21\} et \text{B}=\{5 ; 7 ; 14 ; 25 ; 123\}. Donner les éléments de \mathrm{A} \cup \mathrm{B} et de \mathrm{A} \cap \mathrm{B}.

24

On considère l'ensemble \text{A=\{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9\}}. Déterminer l'ensemble \text{B} tel que \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\{1\,; 5\} et \mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\{1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11\}.

25

Soient \text{A} et \text{B} deux ensembles disjoints tels que \operatorname{Card}(\mathrm{A})=11 et \operatorname{Card}(\mathrm{B})=8. Calculer \operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) et \operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B}).

26

Soient \text{A} et \text{B} deux ensembles disjoints tels que \operatorname{Card}(\mathrm{A})=20 et \operatorname{Card}(\mathrm{A}\cup\mathrm{B})=32. Calculer \operatorname{Card}(\mathrm{B}) et \operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B}).

28

Soient \text{A} l'ensemble des lettres \{m\,; a\,; t\,; h\,; s\} et \text{B} l'ensemble \{0\,; 1\}. 1. Combien y a-t-il d'éléments dans \text{A} \times \text{B} ?

2. Énumérer tous ces éléments.

29

En SNT

L'adresse IP est un numéro qui identifie chaque ordinateur connecté à internet. Une adresse de type IPv4 est composée de quatre nombres compris entre 0 et 255 inclus. 1. Est‑ce suffisant pour identifier cinq milliards d'ordinateurs de manière unique ?

2. De nouvelles adresses, dites IPv6, utilisant six nombres compris entre 0 et 255 inclus voient le jour.
Combien d'adresses IPv6 existe‑t‑il ?

30

En France, les préfixes des numéros de téléphone sont attribués à des opérateurs téléphoniques. Par exemple, tous les numéros commençant par 06 51 sont initialement associés à Free Mobile.
On rappelle qu'en France, un numéro de téléphone est composé de dix chiffres compris entre 0 et 9 inclus. 1. Orange possède tous les numéros commençant par 06 7 et 06 8.
Combien cela représente‑t‑il de numéros ?

2. Bouygues Télécom s'est vu attribuer les numéros débutant par 06 58 jusqu'à 06 68 inclus, ainsi que les numéros commençant par 06 69 suivis d'un chiffre compris entre 0 et 7 inclus. Combien cela représente‑t‑il de numéros de téléphone différents ?

31

On construit des nombres à n chiffres en utilisant uniquement les chiffres 1, 2, 3 et 4. On souhaite construire au moins 1 000 nombres différents. 1. Cette contrainte est-elle respectée lorsque n = 2 ? Lorsque n = 3 ?

2. Déterminer la valeur minimale de n pour respecter la contrainte de l'énoncé.

32

Soit n un entier naturel. Simplifier les écritures suivantes : (n+1) \times n !  ;  \frac{(n+2) !}{(n+1)(n+2)}  ;  \frac{(n+5) !}{(n+7) !}.

34

Vrai / Faux

Soient n et p deux entiers naturels tels que n! = p!. Peut-on affirmer que n = p ? Justifier.

33

Écrire les nombres suivants à l'aide de factorielles. 1. \text{E =}\frac{1}{3 \times 2 \times 1}

2. \text{F =} 5 \times 3 \times 2 \times 4

3. \text{G =}8 \times 7 \times 6

4. \text{H =}\frac{1}{13 \times 14}

35

On note \text{A} l'ensemble des lettres \{b\,; i\,; e\,; n\} 1. Donner tous les arrangements à deux éléments de l'ensemble \text{A}.

2. Combien l'ensemble \text{A} a-t-il de permutations ?

36

Soit \text{A} un ensemble de cardinal 8. 1. Combien y a-t-il d'arrangements de \text{A} à trois éléments ?

2. Combien y a-t-il d'arrangements de \text{A} à un élément ?

3. Combien y a-t-il de permutations de \text{A} ?

37

Huit coureurs sont au départ de la finale d'une course de 100 m. 1. Combien de classements différents peut‑on construire ?

2. Combien de podiums différents existe‑t‑il ?

38

Marion a révélé que son mot de passe est composé de toutes les lettres de son prénom, placées dans un ordre différent. Elle craint que quelqu'un tente de le deviner. 1. Combien cela donne‑t‑il de possibilités ?

2. Combien y a‑t‑il de possibilités si le mot de passe n'est en fait constitué que de quatre caractères ?

39

Un ensemble \text{A} possède 720 permutations. Quel est le cardinal de \text{A} ?

40

Un ensemble \text{B} possède 306 2‑arrangements.
Quel est le cardinal de \text{B} ?

41

On considère l'ensemble \text{A =}\{7 ; 8 ; 9\}.
Énumérer toutes les parties de \text{A.}

43

Sur une grille de seize cases, on souhaite placer six pions, indiscernables les uns des autres. Une case ne peut comporter qu'un seul pion au maximum.
De combien de manières peut‑on procéder ?

42

Soit \text{B} un ensemble de cardinal 9. 1. Combien y a‑t‑il de parties de \text{B} ?

2. Combien y a‑t‑il de parties de \text{B} à trois éléments ?

3. Sans calcul, donner le nombre de parties de \text{B} à six éléments.

45

Construire un énoncé concret de dénombrement dans lequel la quantité à dénombrer s'élève \left(\begin{array}{c} 52 \\ 4 \end{array}\right).

46

Construire un ensemble \text{E} possédant 32 parties.