Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

1. Cardinal d'ensembles
P.46-47

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Entraînement


1
Cardinal d’ensembles





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 51 ; 60 ; 70 ; 76 ; 83 ; 95 et 99
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 71 ; 86 et 102
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 63 ; 82 ; 87 et 98

48
FLASH

Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles finis tels que Card(A)=27,Card(B)=15\operatorname{Card}(\mathrm{A})=27, \operatorname{Card}(\mathrm{B})=15 et Card(AB)=35\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=35.
Les ensembles A\text{A} et B\text{B} sont‑ils disjoints ? Justifier.

Voir les réponses

49
FLASH

Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles finis disjoints tels que Card(A)=7\operatorname{Card}(\mathrm{A})=7 et Card(B)=9\operatorname{Card}(\mathrm{B})=9.
Que valent Card(AB)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) et Card(A×B)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B}) ?

Voir les réponses

50
FLASH

Dans sa garde-robe, Camille possède cinq pulls, trois pantalons et deux paires de chaussettes. Combien de tenues différentes constituées d’un pull, d’un pantalon et d’une paire de chaussettes peut-on créer ?

Voir les réponses

51
[Raisonner.] ◉◉
On considère l’ensemble A={2 ; 4 ; 6 ; 8}\text{A}=\{2 ; 4 ; 6 ; 8\}.
Déterminer l’ensemble B\text{B}, disjoint de A\text{A}, tel que :
A\text{A} \cup B={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}\text{B} = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9\}.

Voir les réponses

52
[ Raisonner. ]
Parmi tous les nombres entiers de 11 à 100100, combien s’écrivent avec le chiffre 33 ?

Voir les réponses

53
[ Raisonner. ]
Une entreprise produit des assiettes. Chacune de ces pièces est susceptible de présenter un défaut de forme, un défaut de taille ou les deux simultanément.
On contrôle un lot d’assiettes fabriquées un jour donné.
Les résultats sont présentés dans le diagramme ci-dessous.

Exercice 53

Combien d’assiettes ont été contrôlées ce jour-là ?
Voir les réponses

54
[ Représenter. ]
On considère l’ensemble A\text{A} des diviseurs positifs de 2424 et l’ensemble B\text{B} des diviseurs positifs de 4242. Représenter ces deux ensembles sous la forme d’un diagramme et préciser les cardinaux de A\text{A}, B\text{B}, AB\text{A}\cup\text{B} et AB\text{A}\cap\text{B}.

Voir les réponses

55
[ Raisonner. ] ◉◉
On a demandé à des personnes les langues étrangères qu’elles maîtrisaient parmi l’anglais, l’espagnol et l’italien. Les résultats de ce sondage sont consignés dans le diagramme de Venn suivant.

Exercice 55

On note respectivement A\text{A}, E\text{E} et I\text{I} les ensembles de personnes parlant anglais, espagnol et italien.

1. Combien de personnes ont été interrogées ?


2. Déterminer les cardinaux des ensembles A, E\text{A, E} et I\text{I}.


3. Déterminer les cardinaux des ensembles A\text{A}\cup I\text{I}, A\text{A} \cap E\text{E} et I\text{I} \cap E\text{E}.


4. Combien de personnes parlent au moins deux langues étrangères parmi les trois langues considérées ?
Voir les réponses

56
[ Raisonner. ]
Soient A\text{A} et E\text{E} deux ensembles finis tels que AE\text{A}\subset\text{E}.
On appelle complémentaire de A\text{A} dans E\text{E} l’ensemble, noté A\overline{\mathrm{A}} ou E\text{E} \ A\text{A}, tel que AA=\text{A} \cap \overline{\mathrm{A}}=\varnothing et AA=E\mathrm{A} \cup \overline{\mathrm{A}}=\mathrm{E}.
Montrer que Card(A)=Card(E)Card(A)\operatorname{Card}(\overline{\mathrm{A}})=\operatorname{Card}(\mathrm{E})-\operatorname{Card}(\mathrm{A}).

Voir les réponses

57
[ Raisonner. ]
Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles. On appelle différence de A\text{A} et B\text{B} l’ensemble, noté A\B\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}, des éléments de A\text{A} qui ne sont pas dans B\text{B}.

1. Recopier le diagramme suivant et y hachurer de trois couleurs différentes les zones représentant les ensembles A\B\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}, B\A\mathrm{B} \backslash \mathrm{A} et AB\text{A}\cap \text{B}.

Exercice 57

2. Justifier que ces trois ensembles sont disjoints.


3. Que vaut (A\B\text{A} \backslash \text{B}) \cup (AB)(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) ?


4. En déduire la formule du crible :
Card(AB)=Card(A)+Card(B)Card(AB)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\operatorname{Card}(\mathrm{A})+\operatorname{Card}(\mathrm{B})-\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
Voir les réponses

58
[ Modéliser. ]
Dans une association sportive de 84 membres, 60 personnes font du football et 42 font du basketball. Combien pratiquent les deux sports sachant que tout le monde en pratique au moins un ? On pourra se servir de la formule de l’exercice précédent.

Voir les réponses

59
[ Raisonner. ]
Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles. On appelle différence symétrique de A\text{A} et B\text{B} l’ensemble, noté AΔB\mathrm{A} \Delta \mathrm{B}, défini par AΔB=(AB)\(AB)\text{A}\Delta \text{B}=(\text{A}\cup\text{B}) \backslash(\text{A} \cap \text{B}).

1. Avec un diagramme, représenter les ensembles A\text{A} et B\text{B} et y hachurer la zone correspondant à AΔB\mathrm{A} \Delta \mathrm{B}.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Montrer que :
Card(AΔB)=Card(A)+Card(B)2Card(AB)\operatorname{Card}(\mathrm{A} \Delta \mathrm{B})=\operatorname{Card}(\mathrm{A})+\operatorname{Card}(\mathrm{B})-2 \operatorname{Card}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
Voir les réponses

60
[ Chercher. ] ◉◉
Soient E={1 ; 3 ; 7}\text{E} = \{1 ; 3 ; 7\} et F={2 ; 3}\text{F} = \{2 ; 3\}.
Énumérer tous les éléments de E×F\text{E} \times \text{F} puis de F×E\text{F} \times \text{E}.
Voir les réponses

61
[ Chercher. ]
Soit E\text{E} l’ensemble {π ; 2 ; 4}\{\pi ; \sqrt{2} ; 4\}.
Lister tous les éléments de E2\text{E}^2.
Voir les réponses

62
[ Chercher. ]
Déterminer quatre 3-uplets de E ={0;1}\text{E =}\{0\,; 1\}. Combien en existe‑t‑il ?
Voir les réponses

63
[ Raisonner. ] ◉◉◉
Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles finis et disjoints. On sait que Card(AB)=23\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=23 et Card(A×B)=132\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B})=132. Déterminer Card(A)\operatorname{Card}(\mathrm{A}) et Card(B)\operatorname{Card}(\mathrm{B}) sachant que Card(A)<Card(B)\operatorname{Card}(\text{A})\lt \operatorname{Card}(\text{B}) .
Voir les réponses

64
[ Raisonner. ]
Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles finis tels que Card(A3×B2)=3 087\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}^{3} \times \mathrm{B}^{2}\right)=3 087. Déterminer Card(A)\operatorname{Card}(\mathrm{A}) et Card(B)\operatorname{Card}(\mathrm{B}).
Voir les réponses

65
[ Raisonner. ]
Un restaurant propose quatre entrées, deux plats et trois desserts. Trois menus sont proposés : un menu entrée-plat-dessert, un entrée-plat et un plat-dessert.
Combien de menus différents peut‑on composer ?
Voir les réponses

66
[ Modéliser. ]
On considère les lettres A, B, C et D.
1. Combien de mots de quatre lettres peut-on écrire, ces lettres pouvant être utilisées plusieurs fois ? On ne fera pas attention au sens éventuel du mot.


2. Combien de mots de cinq ou six lettres peut-on écrire ?
Voir les réponses

67
[ Raisonner. ]
En 1961, l’écrivain Raymond Queneau écrit le livre Cent mille milliards de poèmes, qui contient dix pages, dont chacune est découpée en quatorze vers interchangeables. Le lecteur peut alors composer son poème en sélectionnant les vers les uns après les autres. Expliquer le titre de cette œuvre.
Voir les réponses

68
[ Raisonner. ]
[DÉMO]

On considère deux ensembles A\text{A} et B\text{B} de cardinaux respectifs nn et pp. On souhaite montrer que :
Card(A×B)=np \operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B})=n p.
1. Cette formule est-elle vraie si \text{A }ou B\text{B} est vide ?


2. On note a1a_{1}, ... , ana_{n} les éléments de A\text{A} et b1b_1, … , bpb_p les éléments de B\text{B}. De plus, pour un entier naturel ii inférieur ou égal à pp, on note Ai\text{A}_i l’ensemble A×{bi}\text{A} \times\left\{b_{i}\right\}.
a. Décrire les éléments de l’ensemble Ai\text{A}_i. Combien y en a-t-il ?


b. Les ensembles Ai\text{A}_i sont-ils disjoints ?Justifier.


c. Que vaut l’union de tous les Ai\text{A}_i pour ii variant de 1 à pp ?


d. Conclure.

Voir les réponses

69
[ Raisonner. ]
[DÉMO]

Soient A\text{A} un ensemble fini et nn un entier naturel non nul. Démontrer par récurrence la proposition :
Card(An)=[Card(A)]n\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}^{n}\right)=[\operatorname{Card}(\mathrm{A})]^{n}.
Voir les réponses

70
[ Modéliser. ] ◉◉
On dispose d’une pièce de monnaie qu’on lance à nn reprises. À chaque lancer, on note le côté sur lequel la pièce est tombée : P\text{P} pour pile et F\text{F} pour face. On construit ainsi un mot de nn lettres sur l’alphabet {P ; F}\{\mathrm{P} ; \mathrm{F}\}.

1. Construire un arbre des issues de cette expérience pour les cas n=2n=2 et n=3n=3.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Dans le cas général, quel est le nombre d’issues de cette expérience ?
Voir les réponses

71
[ Raisonner. ] ◉◉
Un trigramme est une figure composée de trois lignes parallèles, chacune pouvant être coupée en deux morceaux ou non.
Le drapeau de la Corée du Sud présente par exemple quatre trigrammes entourant un Tajitu bleu et rouge.

1. Combien de trigrammes différents peut-on constituer ?


2. Construire les trigrammes ne figurant pas sur ce drapeau.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


Drapeau de la Corée du Sud
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.