1

Cardinal d’ensembles

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 51 ; 60 ; 70 ; 76 ; 83 ; 95 et 99
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 71 ; 86 et 102
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 63 ; 82 ; 87 et 98

48

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux ensembles finis tels que $\operatorname{Card}(\mathrm{A})=27, \operatorname{Card}(\mathrm{B})=15$ et $\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=35$.
Les ensembles $\text{A}$ et $\text{B}$ sont‑ils disjoints ? Justifier.

49

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux ensembles finis disjoints tels que $\operatorname{Card}(\mathrm{A})=7$ et $\operatorname{Card}(\mathrm{B})=9$.
Que valent $\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})$ et $\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B})$ ?

50

Dans sa garde-robe, Camille possède cinq pulls, trois pantalons et deux paires de chaussettes. Combien de tenues différentes constituées d’un pull, d’un pantalon et d’une paire de chaussettes peut-on créer ?

51

[Raisonner.] ◉◉◉
On considère l’ensemble $\text{A}=\{2 ; 4 ; 6 ; 8\}$.
Déterminer l’ensemble $\text{B}$, disjoint de $\text{A}$, tel que :
$\text{A}$ $\cup$ $\text{B} = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9\}$.

52

[ Raisonner. ]
Parmi tous les nombres entiers de $1$ à $100$, combien s’écrivent avec le chiffre $3$ ?

53

[ Raisonner. ]
Une entreprise produit des assiettes. Chacune de ces pièces est susceptible de présenter un défaut de forme, un défaut de taille ou les deux simultanément.
On contrôle un lot d’assiettes fabriquées un jour donné.
Les résultats sont présentés dans le diagramme ci-dessous.

Combien d’assiettes ont été contrôlées ce jour-là ?

54

[ Représenter. ]
On considère l’ensemble $\text{A}$ des diviseurs positifs de $24$ et l’ensemble $\text{B}$ des diviseurs positifs de $42$. Représenter ces deux ensembles sous la forme d’un diagramme et préciser les cardinaux de $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{A}\cup\text{B}$ et $\text{A}\cap\text{B}$.

55

[ Raisonner. ] ◉◉◉
On a demandé à des personnes les langues étrangères qu’elles maîtrisaient parmi l’anglais, l’espagnol et l’italien. Les résultats de ce sondage sont consignés dans le diagramme de Venn suivant.

On note respectivement $\text{A}$, $\text{E}$ et $\text{I}$ les ensembles de personnes parlant anglais, espagnol et italien.

1. Combien de personnes ont été interrogées ?


2. Déterminer les cardinaux des ensembles $\text{A, E}$ et $\text{I}$.


3. Déterminer les cardinaux des ensembles $\text{A}$$\cup$ $\text{I}$, $\text{A}$ $\cap$ $\text{E}$ et $\text{I}$ $\cap$ $\text{E}$.


4. Combien de personnes parlent au moins deux langues étrangères parmi les trois langues considérées ?

56

[ Raisonner. ]
Soient $\text{A}$ et $\text{E}$ deux ensembles finis tels que $\text{A}\subset\text{E}$.
On appelle complémentaire de $\text{A}$ dans $\text{E}$ l’ensemble, noté $\overline{\mathrm{A}}$ ou $\text{E}$ \ $\text{A}$, tel que $\text{A} \cap \overline{\mathrm{A}}=\varnothing$ et $\mathrm{A} \cup \overline{\mathrm{A}}=\mathrm{E}$.
Montrer que $\operatorname{Card}(\overline{\mathrm{A}})=\operatorname{Card}(\mathrm{E})-\operatorname{Card}(\mathrm{A})$.

57

[ Raisonner. ]
Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux ensembles. On appelle différence de $\text{A}$ et $\text{B}$ l’ensemble, noté $\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}$, des éléments de $\text{A}$ qui ne sont pas dans $\text{B}$.

1. Recopier le diagramme suivant et y hachurer de trois couleurs différentes les zones représentant les ensembles $\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}$, $\mathrm{B} \backslash \mathrm{A}$ et $\text{A}\cap \text{B}$.

2. Justifier que ces trois ensembles sont disjoints.


3. Que vaut ($\text{A} \backslash \text{B}$) $\cup$ $(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ ?


4. En déduire la formule du crible :
$\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\operatorname{Card}(\mathrm{A})+\operatorname{Card}(\mathrm{B})-\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$.

58

[ Modéliser. ]
Dans une association sportive de 84 membres, 60 personnes font du football et 42 font du basketball. Combien pratiquent les deux sports sachant que tout le monde en pratique au moins un ? On pourra se servir de la formule de l’exercice précédent.

59

[ Raisonner. ]
Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux ensembles. On appelle différence symétrique de $\text{A}$ et $\text{B}$ l’ensemble, noté $\mathrm{A} \Delta \mathrm{B}$, défini par $\text{A}\Delta \text{B}=(\text{A}\cup\text{B}) \backslash(\text{A} \cap \text{B})$.

1. Avec un diagramme, représenter les ensembles $\text{A}$ et $\text{B}$ et y hachurer la zone correspondant à $\mathrm{A} \Delta \mathrm{B}$.

2. Montrer que :
$\operatorname{Card}(\mathrm{A} \Delta \mathrm{B})=\operatorname{Card}(\mathrm{A})+\operatorname{Card}(\mathrm{B})-2 \operatorname{Card}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$.

60

[ Chercher. ] ◉◉◉
Soient $\text{E} = \{1 ; 3 ; 7\}$ et $\text{F} = \{2 ; 3\}$.
Énumérer tous les éléments de $\text{E} \times \text{F}$ puis de $\text{F} \times \text{E}$.

61

[ Chercher. ]
Soit $\text{E}$ l’ensemble $\{\pi ; \sqrt{2} ; 4\}$.
Lister tous les éléments de $\text{E}^2$.

62

[ Chercher. ]
Déterminer quatre 3-uplets de $\text{E =}\{0\,; 1\}$. Combien en existe‑t‑il ?

63

[ Raisonner. ] ◉◉◉
Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux ensembles finis et disjoints. On sait que $\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=23$ et $\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B})=132$. Déterminer $\operatorname{Card}(\mathrm{A})$ et $\operatorname{Card}(\mathrm{B})$ sachant que $\operatorname{Card}(\text{A})\lt \operatorname{Card}(\text{B})$.

64

[ Raisonner. ]
Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux ensembles finis tels que $\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}^{3} \times \mathrm{B}^{2}\right)=3 087$. Déterminer $\operatorname{Card}(\mathrm{A})$ et $\operatorname{Card}(\mathrm{B})$.

65

[ Raisonner. ]
Un restaurant propose quatre entrées, deux plats et trois desserts. Trois menus sont proposés : un menu entrée-plat-dessert, un entrée-plat et un plat-dessert.
Combien de menus différents peut‑on composer ?

66

[ Modéliser. ]
On considère les lettres A, B, C et D.
1. Combien de mots de quatre lettres peut-on écrire, ces lettres pouvant être utilisées plusieurs fois ? On ne fera pas attention au sens éventuel du mot.


2. Combien de mots de cinq ou six lettres peut-on écrire ?

67

[ Raisonner. ]
En 1961, l’écrivain Raymond Queneau écrit le livre Cent mille milliards de poèmes, qui contient dix pages, dont chacune est découpée en quatorze vers interchangeables. Le lecteur peut alors composer son poème en sélectionnant les vers les uns après les autres. Expliquer le titre de cette œuvre.

68

[ Raisonner. ]

[DÉMO]

On considère deux ensembles $\text{A}$ et $\text{B}$ de cardinaux respectifs $n$ et $p$. On souhaite montrer que :
$\operatorname{Card}(\mathrm{A} \times \mathrm{B})=n p$. 1. Cette formule est-elle vraie si $\text{A }$ou $\text{B}$ est vide ?


2. On note $a_{1}$, ... , $a_{n}$ les éléments de $\text{A}$ et $b_1$, … , $b_p$ les éléments de $\text{B}$. De plus, pour un entier naturel $i$ inférieur ou égal à $p$, on note $\text{A}_i$ l’ensemble $\text{A} \times\left\{b_{i}\right\}$.
a. Décrire les éléments de l’ensemble $\text{A}_i$. Combien y en a-t-il ?

b. Les ensembles $\text{A}_i$ sont-ils disjoints ?Justifier.


c. Que vaut l’union de tous les $\text{A}_i$ pour $i$ variant de 1 à $p$ ?

d. Conclure.

69

[ Raisonner. ]

[DÉMO]

Soient $\text{A}$ un ensemble fini et $n$ un entier naturel non nul. Démontrer par récurrence la proposition :
$\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}^{n}\right)=[\operatorname{Card}(\mathrm{A})]^{n}$.

70

[ Modéliser. ] ◉◉◉
On dispose d’une pièce de monnaie qu’on lance à $n$ reprises. À chaque lancer, on note le côté sur lequel la pièce est tombée : $\text{P}$ pour pile et $\text{F}$ pour face. On construit ainsi un mot de $n$ lettres sur l’alphabet $\{\mathrm{P} ; \mathrm{F}\}$.

1. Construire un arbre des issues de cette expérience pour les cas $n=2$ et $n=3$.

2. Dans le cas général, quel est le nombre d’issues de cette expérience ?

71

[ Raisonner. ] ◉◉◉
Un trigramme est une figure composée de trois lignes parallèles, chacune pouvant être coupée en deux morceaux ou non.
Le drapeau de la Corée du Sud présente par exemple quatre trigrammes entourant un Tajitu bleu et rouge.

1. Combien de trigrammes différents peut-on constituer ?


2. Construire les trigrammes ne figurant pas sur ce drapeau.