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Partie 1 : Algèbre et Géométrie
P.28-29

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Partie 1
Histoire des mathématiques


Algèbre et géométrie





❚ ❙ ❙ Le raisonnement par récurrence

Le principe du raisonnement par récurrence permet de montrer une proposition Pn\mathcal{P}_{n} indexée sur l’ensemble des entiers naturels nnnn est supérieur ou égal à un entier n0.n_0. Il suffit alors de démontrer deux points :
  • Pn\mathcal{P}_{n} est vraie pour l’entier n0n_0 (initialisation) ;
  • si Pn\mathcal{P}_{n} est vraie pour un entier quelconque kk supérieur ou égal à n0n_0, alors elle reste vraie pour l’entier suivant k+1k + 1 (hérédité).

Ce raisonnement est encore appelé « raisonnement par induction complète ».
L’histoire des mathématiques fournit de nombreux exemples de raisonnements inductifs : on en trouve dans certaines démonstrations des éléments d’Euclide, chez Archimède ou encore chez Ibn al-Haytham ou Fibonacci.
On attribue à Pascal la première utilisation explicite du raisonnement par induction complète dans son Traité du triangle arithmétique publié en 1654. (voir page 30). Des mathématiciens comme Fermat, Jacques Bernoulli et Euler le réutiliseront rapidement. Il faut attendre la construction axiomatique de l’ensemble N\N par Dedekind (1888) et Peano (1889) qui donneront à ce raisonnement un statut fondamental qu’aucun mathématicien ne lui avait donné jusque là, sinon Grassman en 1861 et de manière confidentielle.

Histoire des mathématiques - aritmetica - algèbre et géométrie

Extrait de la Aritmetica generale e algebra elementare (Peano, 1902).



Maths - Histoire des mathématiques - Algèbre et géométrie - Giuseppe Peano (1858-1932)

Giuseppe Peano (1858-1932).

Question

Retrouver les axiomes de Peano et expliquer en quoi on y reconnaît les principes du raisonnement par récurrence.
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❚ ❙ ❙ Le vecteur : objet géométrique et algébrique

Les mathématiques se développent au début XVIIe siècle sur l’idée d’une analyse algébrique appliquée aux problèmes géométriques et mécaniques (Descartes, Newton et leurs successeurs). Leibniz songe à généraliser cette idée, non sur un repérage permettant d’associer des équations aux grandeurs, mais sur un calcul algébrique directement appliqué aux grandeurs géométriques ou mécaniques. C’est au XIXe siècle que Bellavitis (calcul sur les équipollences, 1835), Hamilton (théorie des quaternions, 1843) ou Grassman (Die Lineale Ausdehnungslehre ou « théorie de l’extension », 1844) réaliseront ce programme en introduisant un calcul vectoriel proche du nôtre (scalaires et vecteurs sont les deux parties d’un quaternion). Les physiciens Maxwell (dans sa théorie de l’électricité et du magnétisme) puis Gibbs imposeront l’usage de ces théories dans la physique moderne.

Maths - Histoire des mathématiques - Algèbre et géométrie - Hermann Grassmann (1809-1877).

Hermann Grassmann (1809-1877).

❚ ❙ ❙ Karen Uhlenbeck

La géométrie a souvent donné naissance aux bases de nouvelles théories mathématiques. De nos jours, la géométrie non euclidienne (voir les pages 142 et 143 du livre de seconde) est en constante évolution.
La mathématicienne Karen Uhlenbeck travaille sur des problèmes géométriques et physiques. Ses recherches font avancer significativement des domaines comme ceux des équations géométriques à dérivées partielles ou la théorie de jauges et des systèmes intégrables. Elle partage ses travaux sur la géométrie des solitons avec la mathématicienne Chuu-Lian Terng. Elle a obtenu de très nombreux hommages et distinctions. En mars 2019, elle devient la première femme à qui le prix Abel est décerné.

Maths - Histoire des mathématiques - Algèbre et géométrie - Breather Wave - Karen Uhlenbeck

Ci-dessus, une surface correspondant à un Breather Wave, représentant une solution aux équations étudiées par Karen Uhlenbeck.

Maths - Histoire des mathématiques - Algèbre et géométrie - Karen Uhlenbeck

Karen Uhlenbeck (née en 1942).

Question

Faire une recherche sur Karen Uhlenbeck et faire le lien entre un de ses domaines d’études et le programme de mathématiques du lycée.
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Eras

  1. 1500 - 1600 : La Renaissance Italienne
  2. 1600 - 1730 : Fort développement des sciences
  3. 1730 - 1840 : L'âge d’or de l’analyse
  4. 1840 - 1930 : L’essor des mathématiques
  5. 1930 - 2020 : L’essor des mathématiques

Évènements

  1. 1564 - 1642 :<i data-reactroot="">Galilée</i> | Mathématicien, physicien et astronome, il pose les bases de la démarche scientifique. Il est instruit aux mathématiques par deux élèves de Tartaglia. Il considère que : “...l&#x27;univers,... est écrit en langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques,...”. Pour lui, les mathématiques sont le langage de la nature et il les utilise de façon rigoureuse dans toutes ses démarches scientifiques. C’est ainsi qu’il est considéré aussi comme le père de la physique dont il développera la mécanique et la cinématique. La condamnation par l’inquisition en 1616 de sa thèse copernicienne sur le système héliocentrique, et sa remarque : “et pourtant, elle tourne!” resteront célèbres. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Galil%C3%A9e_(savant)" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Galilée.
  2. 1623 - 1662 :Blaise Pascal | Pascal n’est pas connu seulement pour ses travaux en mathématiques et en physiques, mais aussi pour son œuvre philosophique. Enfant précoce, il assiste dès l&#x27;âge de 14 ans aux enseignements de Mersenne. A 16 ans, il publie un traité de géométrie projective et laisse son nom à un théorème. A 19 ans, il invente une machine à calculer et en construira une vingtaine d’exemplaire. Dans ses échanges épistolaires avec Fermat, ils reprennent le problème des partis sous la forme du “problème du Chevalier de Mérée” et y apportent une solution qui formera une base à des premiers calculs de probabilité. Il propose un triangle arithmétique qui garde encore son nom. Sur la fin de sa vie, il travaille sur le calcul infinitésimal. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Blaise Pascal.
  3. 1643 - 1727 :<i data-reactroot="">Isaac Newton</i> | L’apport scientifique de Newton est considérable. Il aime les mathématiques qu’il a découvert à travers les œuvres d’Euclide, de Descartes, de Viète et de Wallis. Mais, c’est principalement pour ses recherches en astronomie et en physiques (lois universelles du mouvement, de la gravitation, décomposition de la lumière,...) qu’il développe des nouvelles méthodes mathématiques, telles les calculs sur les séries de puissances et le calcul sur les fluxions. Ce dernier point, en parallèle avec les travaux de Leibniz, jette les premières bases d’un calcul infinitésimal exploitable. En décrivant les règles à appliquer aux forces, on lui doit un des premiers concepts de vecteurs. Certainement par peur des critiques, Newton ne publie pas ses résultats et c’est souvent de façon posthume que ses manuscrits sont imprimés. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Isaac Newton.
  4. 1646 - 1716 :<i data-reactroot="">Gottfried Wilhelm Leibniz</i> | Philosophe et mathématicien, Leibniz œuvre fortement au développement et à la défense des sciences. On lui doit beaucoup de nouvelles notations, comme le symbole de l’intégrale <span data-light-editor-katex="\int" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\int</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.11112em;vertical-align:-0.30612em;"></span><span class="mop op-symbol small-op" style="margin-right:0.19445em;position:relative;top:-0.0005599999999999772em;">∫</span></span></span></span></span></span>, celui de la notation différentielle <span data-light-editor-katex="dx" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">dx</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">d</span><span class="mord mathdefault">x</span></span></span></span></span></span>, le <span data-light-editor-katex="\cdot" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>⋅</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\cdot</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.44445em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">⋅</span></span></span></span></span></span> pour la multiplication et <span data-light-editor-katex=":" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>:</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">:</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mrel">:</span></span></span></span></span></span> pour la division. Il généralise le symbole <span data-light-editor-katex="=" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>=</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">=</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.36687em;vertical-align:0em;"></span><span class="mrel">=</span></span></span></span></span></span> introduit par Recorde et utilise pour la première fois les termes “variable” et “fonction”, même si cette notion reste assez différente de notre concept actuel. C’est en travaillant sur une série proposée par Huygens qu’il développe parallèlement à Newton les premières bases d’un calcul infinitésimal exploitable. Il laisse sur la fin de sa vie les premiers travaux de ce qu’on appellera plus tard le “déterminant”. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Gottfried Wilhelm Leibniz.
  5. 1803 - 1880 :<i data-reactroot="">Giusto Bellavitis</i> | Autodidacte, il se passionne pour la géométrie et publie un grand nombre de travaux. Il devient professeur de géométrie à l&#x27;université de Padoue en 1845. Ses recherches sur l&#x27;équipollence de segments de droites sont la base des calculs vectoriels repris par Grassmann. Outre en géométrie analytique et algébrique, on lui doit aussi des résultats sur la théorie des nombres. Bellavitis s’est opposé à la naissance des géométries non euclidiennes. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Giusto_Bellavitis" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Giusto Bellavitis.
  6. 1805 - 1865 :William Hamilton | Mathématicien, physicien et astronome, il est surnommé le Lagrange Irlandais. A 22 ans, même sans être encore diplômé, ses compétences font qu’il est nommée à la chaire d’astronomie du collège de la Trinité de Dublin. Il est le premier à jeter les bases d’une théorie rigoureuse sur les nombres complexes. Ses travaux sur les vecteurs et les quaternions l’amène à définir ce qui sera appelé plus tard le produit scalaire. Un théorème sur la résolution des équations polynomiales de degré 5 porte son nom. Certaines de ses recherches ont permis le développement de la mécanique quantique.<br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à William Hamilton.
  7. 1809 - 1877 :<i data-reactroot="">Hermann Günther Grassmann</i> | Mathématicien, physicien et linguiste (indianiste), Grassmann est le fondateur de la théorie sur les espaces vectoriels. Ses calculs sont un nouvel exemple de calculs sur des éléments autres que les nombres. Il apporte le produit d’un vecteur par un réel, le produit vectoriel et la construction de l’algèbre extérieur qui en découle. Avec Abel, Galois et Cantor, il fera partie des “mathématiciens malheureux” du XIX<sup class="sc-iyvyFf iVwNQC lls-viewer-sup">e</sup> s. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hermann_Gra%C3%9Fmann.jpg" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Hermann Grassmann.
  8. 1831 - 1879 :James Clerk Maxwell | Principalement physicien, il est connu pour avoir regroupé l’électricité, le magnétisme et l’induction sous un seul ensemble d’équations mathématiques qui portent son nom (équations de Maxwell, équations différentielles à 20 variables). Ses publications permettent une forte diffusion de la notion moderne de vecteurs et ses travaux en sciences physiques sont considérés comme ceux ayant laissé la plus grande influence sur la recherche du XX<sup class="sc-iyvyFf iVwNQC lls-viewer-sup">e</sup> s, en particulier celles sur la relativité restreinte et la mécanique quantique. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à James Clerk Maxwell.
  9. 1831 - 1916 :<i data-reactroot="">Richard Dedekind</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Richard Dedekind</i>.
  10. 1833 - 1915 :<i data-reactroot="">Henri Auguste Delannoy </i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Auguste_Delannoy" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Henri Auguste Delannoy</i>.
  11. 1839 - 1903 :<i data-reactroot="">Josiah Willard Gibbs</i> | Willard Gibbs est un ingénieur, physicien et mathématicien. Il crée avec Maxwell et Boltzmann, la mécanique statistique, et travaille sur l’application de la thermodynamique à la chimie. Pour ses propres besoins de recherche, notamment en astronomie ou pour ses études sur la lumière, il utilise le calcul vectoriel qu’il enseigne comme éléments d’analyse vectorielle y apportant, entre autres, la notation “<span data-light-editor-katex="\cdot" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>⋅</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\cdot</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.44445em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">⋅</span></span></span></span></span></span>” pour le produit scalaire. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbs" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Willard Gibbs.
  12. 1841 - 1920 :<i data-reactroot="">Charles-Ange Laisant</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Charles-Ange_Laisant" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Charles-Ange Laisant</i>.
  13. 1850 - 1925 :<i data-reactroot="">Oliver Heaviside</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Oliver Heaviside</i>.
  14. 1858 - 1932 :<i data-reactroot="">Giuseppe Peano</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Giuseppe Peano</i>.
  15. 1942 - :<i data-reactroot="">Karen Uhlenbeck</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Karen_Uhlenbeck" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Karen Uhlenbeck</i>.
  16. 1949 - :<i data-reactroot="">Chuu-Lian Terng</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Chuu-Lian_Terng" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Chuu-Lian Terng</i>.
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