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Partie 1 : Algèbre et Géométrie
P.28-29

Partie 1
Histoire des mathématiques


Algèbre et géométrie





❚ ❙ ❙ Le raisonnement par récurrence

Le principe du raisonnement par récurrence permet de montrer une proposition indexée sur l’ensemble des entiers naturels est supérieur ou égal à un entier Il suffit alors de démontrer deux points :
  • est vraie pour l’entier (initialisation) ;
  • si est vraie pour un entier quelconque supérieur ou égal à , alors elle reste vraie pour l’entier suivant (hérédité).

Ce raisonnement est encore appelé « raisonnement par induction complète ».
L’histoire des mathématiques fournit de nombreux exemples de raisonnements inductifs : on en trouve dans certaines démonstrations des éléments d’Euclide, chez Archimède ou encore chez Ibn al-Haytham ou Fibonacci.
On attribue à Pascal la première utilisation explicite du raisonnement par induction complète dans son Traité du triangle arithmétique publié en 1654. (voir page 30). Des mathématiciens comme Fermat, Jacques Bernoulli et Euler le réutiliseront rapidement. Il faut attendre la construction axiomatique de l’ensemble par Dedekind (1888) et Peano (1889) qui donneront à ce raisonnement un statut fondamental qu’aucun mathématicien ne lui avait donné jusque là, sinon Grassman en 1861 et de manière confidentielle.

Histoire des mathématiques - aritmetica - algèbre et géométrie

Extrait de la Aritmetica generale e algebra elementare (Peano, 1902).



Maths - Histoire des mathématiques - Algèbre et géométrie - Giuseppe Peano (1858-1932)

Giuseppe Peano (1858-1932).

Question

Retrouver les axiomes de Peano et expliquer en quoi on y reconnaît les principes du raisonnement par récurrence.
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❚ ❙ ❙ Le vecteur : objet géométrique et algébrique

Les mathématiques se développent au début XVIIe siècle sur l’idée d’une analyse algébrique appliquée aux problèmes géométriques et mécaniques (Descartes, Newton et leurs successeurs). Leibniz songe à généraliser cette idée, non sur un repérage permettant d’associer des équations aux grandeurs, mais sur un calcul algébrique directement appliqué aux grandeurs géométriques ou mécaniques. C’est au XIXe siècle que Bellavitis (calcul sur les équipollences, 1835), Hamilton (théorie des quaternions, 1843) ou Grassman (Die Lineale Ausdehnungslehre ou « théorie de l’extension », 1844) réaliseront ce programme en introduisant un calcul vectoriel proche du nôtre (scalaires et vecteurs sont les deux parties d’un quaternion). Les physiciens Maxwell (dans sa théorie de l’électricité et du magnétisme) puis Gibbs imposeront l’usage de ces théories dans la physique moderne.

Maths - Histoire des mathématiques - Algèbre et géométrie - Hermann Grassmann (1809-1877).

Hermann Grassmann (1809-1877).

❚ ❙ ❙ Karen Uhlenbeck

La géométrie a souvent donné naissance aux bases de nouvelles théories mathématiques. De nos jours, la géométrie non euclidienne (voir les pages 142 et 143 du livre de seconde) est en constante évolution.
La mathématicienne Karen Uhlenbeck travaille sur des problèmes géométriques et physiques. Ses recherches font avancer significativement des domaines comme ceux des équations géométriques à dérivées partielles ou la théorie de jauges et des systèmes intégrables. Elle partage ses travaux sur la géométrie des solitons avec la mathématicienne Chuu-Lian Terng. Elle a obtenu de très nombreux hommages et distinctions. En mars 2019, elle devient la première femme à qui le prix Abel est décerné.

Maths - Histoire des mathématiques - Algèbre et géométrie - Breather Wave - Karen Uhlenbeck

Ci-dessus, une surface correspondant à un Breather Wave, représentant une solution aux équations étudiées par Karen Uhlenbeck.

Maths - Histoire des mathématiques - Algèbre et géométrie - Karen Uhlenbeck

Karen Uhlenbeck (née en 1942).

Question

Faire une recherche sur Karen Uhlenbeck et faire le lien entre un de ses domaines d’études et le programme de mathématiques du lycée.
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Galilée
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