Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

2. Arrangements et permutations
P.48-49

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Entrainement


2
Arrangements et permutations





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 51 ; 60 ; 70 ; 76 ; 83 ; 95 et 99
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 71 ; 86 et 102
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 63 ; 82 ; 87 et 98

72
FLASH

Effectuer les calculs suivants sans utiliser la calculatrice.

1!1!


6!6!


4!4!


4!×3!4 ! \times 3 !
Voir les réponses

73
FLASH

Effectuer les calculs suivants sans utiliser la calculatrice.

12!10!\dfrac{12 !}{10 !}


6!8!\dfrac{6 !}{8 !}


2019!2018!\dfrac{2019 !}{2018 !}


9!7!×2!\dfrac{9 !}{7 ! \times 2 !}
Voir les réponses

74
FLASH

Effectuer les calculs suivants sans utiliser la calculatrice.

1. Montrer que, pour tout entier naturel nn, on a :
(n+1)!n!(n+1) ! \geqslant n !


2. Dans quel cas a-t-on égalité ?
Voir les réponses

75
[ Raisonner. ]
On souhaite construire de nouveaux mots avec les lettres du mot MATHS. On ne se souciera pas de savoir si les mots obtenus ont un sens ou non. Chaque lettre ne peut être utilisée qu’une seule fois.

1. Combien de mots de trois lettres peut‑on construire :
a. sans restriction ?


b. sachant que le A est en première position ?


c. sans utiliser la lettre T ?


2. Combien de mots de cinq lettres peut‑on construire :
a. sans restriction ?


b. sachant que le T est en troisième position et le S en dernière position ?
Voir les réponses

76
[ Calculer. ] ◉◉
Soit nn un entier naturel. Simplifier les nombres suivants.

1. (n+1)×n!(n+1) \times n !


2. (n5)!(n7)! \dfrac{(n-5) !}{(n-7) !}, (n7n \geqslant 7)


3. (n+2)!(n+1)(n+2)\dfrac{(n+2) !}{(n+1)(n+2)}


4. 1(n+1)!1n!\dfrac{1}{(n+1) !}-\dfrac{1}{n !}
Voir les réponses

77
[ Calculer. ]
Soit nn un entier naturel. Simplifier les nombres suivants.
1. n!×(n+2)!(n!)2\dfrac{n ! \times(n+2) !}{(n !)^{2}}


2. (n+1)!n!n!(n1)!\dfrac{(n+1) !}{n !}-\dfrac{n !}{(n-1) !}, (n1n \geqslant 1)


3. (2(n+1))!(2n+1)!\dfrac{(2(n+1)) !}{(2 n+1) !}


4. 1(n2)!1n!\dfrac{1}{(n-2) !}-\dfrac{1}{n !}, (n2n \geqslant 2)
Voir les réponses

78
TABLEUR
[ Modéliser. ]
1. Sur tableur, entrer dans la colonne A les entiers de 11 à 3030. Dans la colonne B, calculer la factorielle (fonction FACT sur tableur) de ces nombres.

2. Soit nn un entier naturel non nul. On note S(n)\text{S}(n) le nombre 2πn(ne)n\sqrt{2 \pi n}\left(\dfrac{n}{\mathrm{e}}\right)^{n}. Dans la colonne C du tableur, entrer les images par S\text{S} des nombres de la colonne A.

3. Comparer ces nombres avec ceux de la colonne B.
Voir les réponses

Histoire des maths

Cette approximation de n!n! a été publiée en 1730 par l’Écossais James Stirling dans un traité sur le calcul différentiel (illustration) après son étroite collaboration avec le mathématicien français, exilé à Londres, Abraham de Moivre. Tous deux étaient de proches collaborateurs de Newton.


Histoire des maths

79
PYTHON
[ Modéliser. ]
Écrire une fonction factorielle en Python qui prend en entrée un entier naturel nn et qui renvoie n!n!.



Voir les réponses
Voir les réponses

80
[ Chercher. ]
Soient A\text{A} et B\text{B} deux ensembles finis, non vides et disjoints, de cardinaux respectifs nn et pp.
1. Combien de permutations de AB \text{A}\cup\text{B} existe-t-il ?


2. Combien de permutations de AB \text{A}\cup\text{B} existe‑t‑il si on veut que les éléments de A\text{A} et de B\text{B} ne soient pas mélangés ?
Voir les réponses
Voir les réponses

81
[ Raisonner. ]
Résoudre l’équation suivante d’inconnue nN:n \in \mathbb{N}:
(n+2)!=6n!(n+2) !=6 n !
Voir les réponses

82
TABLEUR
[ Raisonner. ] ◉◉◉
On souhaite déterminer les valeurs de nNn \in \mathbb{N}^{*} pour lesquelles 2nn!nn2^{n} \leqslant n ! \leqslant n^{n}.

Exercice 82

1. Quelles formules doivent être entrées dans les cellules B2 et D2 puis glissées vers le bas dans ce tableau ?


2. Quel nombre doit-on entrer dans la cellule C2 ?


3. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 puis glisser vers le bas pour calculer les factorielles des entiers considérés ici sans utiliser la fonction FACT du tableur ?


4. À partir de quel entier nn semble-t-on avoir 2nn!nn2^{n} \leqslant n ! \leqslant n^{n} ?


5. Démontrer cette conjecture.
Voir les réponses

83
[ Chercher. ] ◉◉
Combien d’entiers naturels distincts pourrait‑on constituer avec trois chiffres différents choisis entre 00 et 99 inclus, chaque chiffre ne pouvant être utilisé qu’une seule fois ?
Voir les réponses
Voir les réponses

84
[ Chercher. ]
Pour réviser ses devoirs à venir, Mathilde décide d’organiser on week-end : ce samedi, elle fera une heure de mathématiques, une heure de physique‑chimie, une heure de philosophie et une heure de LVA.

1. Combien d’emplois du temps différents Mathilde peut-elle avoir ?


2. Mathilde décide de regrouper les mathématiques et la physique-chimie en un seul bloc. Combien a-t-elle alors d’emplois du temps possibles ?
Voir les réponses
Voir les réponses

85
[ Raisonner. ]
Un professeur a préparé un exercice à faire sur une application. Il a utilisé dix questions.
L’application en choisit cinq au hasard et les propose les unes après les autres.
Combien de suites différentes d’exercices peut-on obtenir ?
Voir les réponses
Voir les réponses

86
[ Chercher. ] ◉◉
Pour créer le logo d’un club de mathématiques, on propose d’écrire le mot MATHS et d’en colorer les lettres.
On dispose de cinq couleurs différentes.

1. Combien de coloriages différents est‑il possible de réaliser si l’on peut utiliser une même couleur plusieurs fois ?


2. Même question si l’on ne souhaite utiliser chaque couleur qu’une seule fois.


3. Même question si l’on souhaite que deux lettres adjacentes ne soient pas de la même couleur.


4. On souhaite également ajouter un fond coloré derrière le logo. La couleur de ce fond ne peut alors pas être utilisée pour les lettres. Reprendre les questions 1 à 3 en prenant en compte cette nouvelle information.
Voir les réponses
Voir les réponses

87
[Raisonner.] ◉◉◉
On dispose des chiffres 00, 11, 22 et 33.

1. Combien de nombres à quatre chiffres distincts peut‑on construire à partir de ces quatre chiffres :
a. en autorisant le 00 en première position ?


b. en interdisant le 00 en première position ?


2. Combien de nombres à trois chiffres distincts peut-on constituer à partir de ces quatre chiffres :
a. en interdisant le chiffre 00 en première position ?


b. en autorisant le chiffre 00 en première position et en obligeant le nombre obtenu à être multiple de 33.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.