Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle factorielle de $n$ le nombre :
$n!=n\times (n-1)\times \dots \times 2\times 1$.

Par convention, $0!=1$.

Soient $\text{A}$ un ensemble fini non vide à $n$ éléments et $k$ un entier naturel inférieur ou égal à $n$. Un arrangement de $k$ éléments de $\text{A}$ (ou $\mathbf{k}$-arrangement) est un $k$-uplet d'éléments distincts de $\text{A}$.

Un arrangement de $\text{A}$ peut être interprété comme un tirage avec ordre et sans remise des éléments de $\text{A}$.

Soient $\text{A}$ un ensemble fini non vide à $n$ éléments et $k$ un entier naturel tel que $k⩽n$.
Le nombre de $k$-arrangements de $\text{A}$ est égal à :
${\mathcal{A}}_n^k=n\times (n-1)\times \dots \times (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$.

Si $\text{A}=\varnothing$, alors $n=k=0$ et ${\mathcal{A}}_n^k=1$ : il n'y a qu'un seul sous-ensemble possible pour $\text{A}$ : lui-même. D'où l'importance d'avoir $0!=1$.

Dans une classe de terminale, cinq élèves n'ont pas encore été évalués à l'oral. Dans combien d'ordres différents le professeur peut‑il les interroger, chaque élève n'étant interrogé qu'une et une seule fois ? Combien y a‑t‑il de possibilités s'il n'a le temps d'interroger que trois d'entre eux ?

Il faut traduire les informations de l'énoncé :

• chaque élève est interrogé une seule fois : on a donc un tirage sans remise parmi les élèves ;
• suivant le nombre d'élèves interrogés, on sera dans le cadre d'un arrangement ou d'une permutation.