Soit n un entier naturel non nul. On appelle factorielle de n le nombre :
n!=n×(n−1)×…×2×1.
Remarque
Par convention, 0!=1.
Définition
Soient A un ensemble fini non vide à n éléments et k un entier naturel inférieur ou égal à n. Un arrangement de k éléments de A (ou k-arrangement) est un k-uplet d'éléments distincts de A.
Remarque
Un arrangement de A peut être interprété comme un tirage avec ordre et sans remise des éléments de A.
Exemple
Si A={1;2;3;4}, alors (1;3;4) et (1;4;3) sont deux arrangements de trois éléments de A : ce sont deux 3-arrangements de A.
Propriété
Soient A un ensemble fini non vide à n éléments et k un entier naturel tel que k⩽n. Le nombre de k-arrangements de A est égal à :
Ank=n×(n−1)×…×(n−k+1)=(n−k)!n!.
Remarque
Si A=∅, alors n=k=0 et Ank=1 : il n’y a qu’un seul sous-ensemble possible pour A : lui-même. D’où l’importance d’avoir 0!=1.
DÉMONSTRATION
Pour construire un k-uplet d’éléments distincts de A, on a n choix pour le premier élément, n−1 choix pour le second, … , n−k+1 choix pour le k‑ième.
Ainsi, le nombre de k-arrangements A est égal à n×(n−1)×…×(n−k+1)=(n−k)!n!.
B
Permutations d’un ensemble
Définition
Soit A un ensemble fini non vide à n éléments.
Une permutation de A est un n-uplet d’éléments distincts de A.
Remarque
Une permutation est donc un n-arrangement.
Exemple
Si A={1;2;3},
les permutations de A sont
(1;2;3) ;
(1;3;2) ;
(2;1;3) ;
(2;3;1) ;
(3;1;2) et
(3;2;1).
Propriété (admise)
Le nombre de permutations d’un ensemble fini non vide à n éléments est n!.
Application et méthode - 2
Énoncé
Dans une classe de terminale, cinq élèves n’ont pas encore été évalués à l’oral. Dans combien d’ordres différents le professeur peut‑il les interroger, chaque élève n’étant interrogé qu’une et une seule fois ?
Combien y a‑t‑il de possibilités s’il n’a le temps d’interroger que trois d’entre eux ?
Solution
On assimile l’ordre de passage à un tirage avec ordre et sans remise parmi les cinq élèves : on établit donc une permutation de ces cinq élèves. Le nombre d’ordres de passage est donc : 5!=5×4×3×2×1=120.
Pour trois élèves, on a un 3-arrangement : (5−3)!5!=5×4×3=60.
chaque élève est interrogé une seule fois : on a donc un tirage sans remise parmi les élèves ;
suivant le nombre d’élèves interrogés, on sera dans le cadre d’un arrangement ou d’une permutation.
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