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2. Arrangements et permutations
P.37-38

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COURS 2


2
Arrangements et permutations




A
Arrangements d’un ensemble


Définition

Soit nn un entier naturel non nul. On appelle factorielle de nn le nombre :
n!=n×(n1)××2×1n !=n \times(n-1) \times \ldots \times 2 \times 1.

Remarque

Par convention, 0!=10 !=1.

Définition

Soient A\text{A} un ensemble fini non vide à nn éléments et kk un entier naturel inférieur ou égal à nn. Un arrangement de kk éléments de A\text{A} (ou k\boldsymbol{k}-arrangement) est un kk-uplet d'éléments distincts de A\text{A}.

Remarque

Un arrangement de A\text{A} peut être interprété comme un tirage avec ordre et sans remise des éléments de A\text{A}.

Exemple

Si A={1;2;3;4}\text{A}=\{1\,;2\,;3\,;4\}, alors (1;3;4)(1\,; 3\,; 4) et (1;4;3(1\,; 4\,; 3) sont deux arrangements de trois éléments de A\text{A} : ce sont deux 3-arrangements de A\text{ A}.

Propriété

Soient A\text{A} un ensemble fini non vide à nn éléments et kk un entier naturel tel que knk \leqslant n.
Le nombre de kk-arrangements de A\text{A} est égal à :
Ank=n×(n1)××(nk+1)=n!(nk)!\mathcal{A}_{n}^{k}=n \times(n-1) \times \ldots \times(n-k+1)=\dfrac{n !}{(n-k) !}.

Remarque

Si A=\text{A}=\varnothing, alors n=k=0n=k=0 et Ank=1\mathcal{A}_{n}^{k}=1 : il n’y a qu’un seul sous-ensemble possible pour A\text{A} : lui-même. D’où l’importance d’avoir 0!=10 !=1.

DÉMONSTRATION

Pour construire un kk-uplet d’éléments distincts de A\text{A}, on a nn choix pour le premier élément, n1n - 1 choix pour le second, … , nk+1n - k + 1 choix pour le kk‑ième.
Ainsi, le nombre de kk-arrangements A\text{A} est égal à n×(n1)××(nk+1)=n!(nk)!n \times(n-1) \times \ldots \times(n-k+1)=\dfrac{n !}{(n-k) !}.

B
Permutations d’un ensemble


Définition

Soit A\text{A} un ensemble fini non vide à nn éléments.
Une permutation de A\text{A} est un nn-uplet d’éléments distincts de A\text{A}.

Remarque

Une permutation est donc un nn-arrangement.

Exemple

Si A\text{A}={1;2;3}=\{1\,;2\,; 3\}, les permutations de A\text{A} sont (1;2;3)(1\,;2\,;3) ; (1;3;2)(1\,;3\,;2) ; (2;1;3)(2\,;1\,;3) ; (2;3;1)(2\,;3\,;1) ; (3;1;2)(3\,;1\,;2) et (3;2;1)(3\,;2\,;1).

Propriété (admise)

Le nombre de permutations d’un ensemble fini non vide à nn éléments est n!.n!.

Application et méthode - 2

Énoncé

Dans une classe de terminale, cinq élèves n’ont pas encore été évalués à l’oral. Dans combien d’ordres différents le professeur peut‑il les interroger, chaque élève n’étant interrogé qu’une et une seule fois ?
Combien y a‑t‑il de possibilités s’il n’a le temps d’interroger que trois d’entre eux ?

Solution


On assimile l’ordre de passage à un tirage avec ordre et sans remise parmi les cinq élèves : on établit donc une permutation de ces cinq élèves. Le nombre d’ordres de passage est donc :
5!=5×4×3×2×1=1205 !=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120.

Pour trois élèves, on a un 3-arrangement :
5!(53)!=5×4×3=60\dfrac{5 !}{(5-3) !}=5 \times 4 \times 3=60.
Pour s'entraîner : exercices 38, 39 et 40 p. 45

Méthode

Il faut traduire les informations de l’énoncé :
  • chaque élève est interrogé une seule fois : on a donc un tirage sans remise parmi les élèves ;
  • suivant le nombre d’élèves interrogés, on sera dans le cadre d’un arrangement ou d’une permutation.
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