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2. Arrangements et permutations
P.37-38

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COURS 2


2
Arrangements et permutations




A
Arrangements d’un ensemble


Définition

Soit un entier naturel non nul. On appelle factorielle de le nombre :
.

Remarque

Par convention, .

Définition

Soient un ensemble fini non vide à éléments et un entier naturel inférieur ou égal à . Un arrangement de éléments de (ou -arrangement) est un -uplet d'éléments distincts de .

Remarque

Un arrangement de peut être interprété comme un tirage avec ordre et sans remise des éléments de .

Exemple

Si , alors et ) sont deux arrangements de trois éléments de : ce sont deux 3-arrangements de.

Propriété

Soient un ensemble fini non vide à éléments et un entier naturel tel que .
Le nombre de -arrangements de est égal à :
.

Remarque

Si , alors et  : il n’y a qu’un seul sous-ensemble possible pour  : lui-même. D’où l’importance d’avoir .

DÉMONSTRATION

Pour construire un -uplet d’éléments distincts de , on a choix pour le premier élément, choix pour le second, … , choix pour le ‑ième.
Ainsi, le nombre de -arrangements est égal à .

B
Permutations d’un ensemble


Définition

Soit un ensemble fini non vide à éléments.
Une permutation de est un -uplet d’éléments distincts de .

Remarque

Une permutation est donc un -arrangement.

Exemple

Si , les permutations de sont ; ; ; ; et .

Propriété (admise)

Le nombre de permutations d’un ensemble fini non vide à éléments est

Application et méthode - 2

Énoncé

Dans une classe de terminale, cinq élèves n’ont pas encore été évalués à l’oral. Dans combien d’ordres différents le professeur peut‑il les interroger, chaque élève n’étant interrogé qu’une et une seule fois ?
Combien y a‑t‑il de possibilités s’il n’a le temps d’interroger que trois d’entre eux ?

Solution


On assimile l’ordre de passage à un tirage avec ordre et sans remise parmi les cinq élèves : on établit donc une permutation de ces cinq élèves. Le nombre d’ordres de passage est donc :
.

Pour trois élèves, on a un 3-arrangement :
.
Pour s'entraîner : exercices 38, 39 et 40 p. 45

Méthode

Il faut traduire les informations de l’énoncé :
  • chaque élève est interrogé une seule fois : on a donc un tirage sans remise parmi les élèves ;
  • suivant le nombre d’élèves interrogés, on sera dans le cadre d’un arrangement ou d’une permutation.
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