Par convention, $0!=1$.

Un arrangement de $\text{A}$ peut être interprété comme un tirage avec ordre et sans remise des éléments de $\text{A}$.

Exemple

Si $\text{A}=\{1;2;3;4\}$, alors $(1;3;4)$ et $(1;4;3$) sont deux arrangements de trois éléments de $\text{A}$ : ce sont deux 3-arrangements de$\text{ A}$.

Si $\text{A}=\varnothing$, alors $n=k=0$ et ${\mathcal{A}}_n^k=1$ : il n’y a qu’un seul sous-ensemble possible pour $\text{A}$ : lui-même. D’où l’importance d’avoir $0!=1$.

DÉMONSTRATION

Pour construire un $k$-uplet d’éléments distincts de $\text{A}$, on a $n$ choix pour le premier élément, $n-1$ choix pour le second, … , $n-k+1$ choix pour le $k$‑ième.
Ainsi, le nombre de $k$-arrangements $\text{A}$ est égal à $n\times (n-1)\times \dots \times (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$.

Une permutation est donc un $n$-arrangement.

Exemple

Si $\text{A}$$=\{1;2;3\}$, les permutations de $\text{A}$ sont $(1;2;3)$ ; $(1;3;2)$ ; $(2;1;3)$ ; $(2;3;1)$ ; $(3;1;2)$ et $(3;2;1)$.

Dans une classe de terminale, cinq élèves n’ont pas encore été évalués à l’oral. Dans combien d’ordres différents le professeur peut‑il les interroger, chaque élève n’étant interrogé qu’une et une seule fois ?
Combien y a‑t‑il de possibilités s’il n’a le temps d’interroger que trois d’entre eux ?