Arrangements et permutations

Soit n un entier naturel non nul. On appelle factorielle de n le nombre :
n !=n \times(n-1) \times \ldots \times 2 \times 1.

Par convention, 0 !=1.

Soient \text{A} un ensemble fini non vide à n éléments et k un entier naturel inférieur ou égal à n. Un arrangement de k éléments de \text{A} (ou \boldsymbol{k}-arrangement) est un k-uplet d'éléments distincts de \text{A}.

Un arrangement de \text{A} peut être interprété comme un tirage avec ordre et sans remise des éléments de \text{A}.

Soient \text{A} un ensemble fini non vide à n éléments et k un entier naturel tel que k \leqslant n.
Le nombre de k-arrangements de \text{A} est égal à :
\mathcal{A}_{n}^{k}=n \times(n-1) \times \ldots \times(n-k+1)=\frac{n !}{(n-k) !}.

Si \text{A}=\varnothing, alors n=k=0 et \mathcal{A}_{n}^{k}=1 : il n'y a qu'un seul sous-ensemble possible pour \text{A} : lui-même. D'où l'importance d'avoir 0 !=1.

Dans une classe de terminale, cinq élèves n'ont pas encore été évalués à l'oral. Dans combien d'ordres différents le professeur peut‑il les interroger, chaque élève n'étant interrogé qu'une et une seule fois ? Combien y a‑t‑il de possibilités s'il n'a le temps d'interroger que trois d'entre eux ?

Il faut traduire les informations de l'énoncé :

• chaque élève est interrogé une seule fois : on a donc un tirage sans remise parmi les élèves ;
• suivant le nombre d'élèves interrogés, on sera dans le cadre d'un arrangement ou d'une permutation.