Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Cours 2

Arrangements et permutations

A
Arrangements d'un ensemble

Définition
Soit un entier naturel non nul. On appelle factorielle de le nombre :
.

Remarque

Par convention, .
Définition
Soient un ensemble fini non vide à éléments et un entier naturel inférieur ou égal à . Un arrangement de éléments de (ou -arrangement) est un -uplet d'éléments distincts de .

Remarque

Un arrangement de peut être interprété comme un tirage avec ordre et sans remise des éléments de .
Exemple
Si , alors et ) sont deux arrangements de trois éléments de : ce sont deux 3-arrangements de.
Propriété
Soient un ensemble fini non vide à éléments et un entier naturel tel que .
Le nombre de -arrangements de est égal à :
.

Remarque

Si , alors et  : il n'y a qu'un seul sous-ensemble possible pour  : lui-même. D'où l'importance d'avoir .
Démonstration
Pour construire un -uplet d'éléments distincts de , on a choix pour le premier élément, choix pour le second, … , choix pour le ‑ième.
Ainsi, le nombre de -arrangements est égal à .

B
Permutations d'un ensemble

Définition
Soit un ensemble fini non vide à éléments.
Une permutation de est un -uplet d'éléments distincts de .

Remarque

Une permutation est donc un -arrangement.
Exemple
Si , les permutations de sont  ;  ;  ;  ; et .
Propriété (admise)
Le nombre de permutations d'un ensemble fini non vide à éléments est
Application et méthode - 2
Énoncé
Dans une classe de terminale, cinq élèves n'ont pas encore été évalués à l'oral. Dans combien d'ordres différents le professeur peut‑il les interroger, chaque élève n'étant interrogé qu'une et une seule fois ? Combien y a‑t‑il de possibilités s'il n'a le temps d'interroger que trois d'entre eux ?

Méthode

Il faut traduire les informations de l'énoncé :
  • chaque élève est interrogé une seule fois : on a donc un tirage sans remise parmi les élèves ;
  • suivant le nombre d'élèves interrogés, on sera dans le cadre d'un arrangement ou d'une permutation.
Solution
On assimile l'ordre de passage à un tirage avec ordre et sans remise parmi les cinq élèves : on établit donc une permutation de ces cinq élèves. Le nombre d'ordres de passage est donc : Pour trois élèves, on a un 3-arrangement :

Pour s'entraîner
Exercices  ; et p. 45

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