$n$ personnes décident de jouer à un jeu. Chacun devra offrir un cadeau à une personne du groupe sélectionnée au hasard. Pour cela, on souhaite mettre en place un programme qui génère aléatoirement une permutation de l'ensemble des entiers naturels de 1 à $n$. Les participants sont numérotés de 1 à $n$. Si le $j$-ième nombre de la permutation vaut $i$, alors la personne $j$ devra faire un cadeau à la personne $i$.
Questions préliminaires :
1. Rappeler la définition d'une permutation d'un ensemble à $n$ éléments.

2. Combien de permutations existe‑t‑il dans cette situation ?

Pour un entier naturel $\mathbf{n}$ non nul fixé, générer aléatoirement une permutation de l'ensemble des entiers naturels de 1 à $\mathbf{n}$ en utilisant une des deux méthodes.

Ces méthodes ont un inconvénient : il se peut que les permutations aient un « point fixe », c'est-à-dire, dans notre cas, qu'un participant s'offre un cadeau à lui‑même.
Proposer une amélioration des méthodes décrites ci-dessus pour éviter ce désagrément.