Mathématiques Terminale Spécialité
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Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
TP INFO 1
Les mystérieux donateurs
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Énoncé
n personnes décident de jouer à un jeu. Chacun devra offrir un cadeau à une personne du groupe sélectionnée au hasard. Pour cela, on souhaite mettre en place un programme qui génère aléatoirement une permutation de l'ensemble des entiers naturels de 1 à n. Les participants sont numérotés de 1 à n.
Si le j-ième nombre de la permutation vaut i, alors la personne j devra faire un cadeau à la personne i.
Questions préliminaires :
1. Rappeler la définition d'une permutation d'un ensemble à n éléments.
2. Combien de permutations existe‑t‑il dans cette situation ?
Questions préliminaires :
1. Rappeler la définition d'une permutation d'un ensemble à n éléments.
2. Combien de permutations existe‑t‑il dans cette situation ?
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Objectif
Pour un entier naturel \boldsymbol{n} non nul fixé, générer aléatoirement une permutation de l'ensemble des entiers naturels de 1 à \boldsymbol{n} en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1Python
On souhaite compléter le programme ci‑dessous. La fonction choice du module random permet de choisir uniformément au hasard un élément de la liste placée en argument.
from random import*
def permutation_alea(n) :
liste = list(range(... , ...))
resultat = []
for i in range(n) :
choix = choice(liste)
resultat ...
...
return resultat
1.
Compléter la ligne 4 afin de générer les entiers de 1 à n.
2. Compléter les lignes 8 et 9 pour ajouter l'élément choisi au résultat et le retirer des choix possibles.
3. Est‑on certain d'avoir généré une permutation de l'ensemble des entiers naturels de 1 à n avec ce programme ? Justifier.
2. Compléter les lignes 8 et 9 pour ajouter l'élément choisi au résultat et le retirer des choix possibles.
3. Est‑on certain d'avoir généré une permutation de l'ensemble des entiers naturels de 1 à n avec ce programme ? Justifier.
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Méthode 2Tableur
On prendra ici le cas n = 10.
1.
Dans la colonne A d'une feuille de calcul, inscrire les nombres entiers de 1 à 10.
2.
a.
Que permet de faire la formule \text{=ALEA()} ?
b.
Dans la cellule B1, entrer la formule \boldsymbol{\text{=ALEA()}} puis l'étirer vers le bas.
3.
Dans la colonne C, à l'aide de la formule RANG du tableur, classer les résultats de la colonne B de la plus grande valeur à la plus petite. On attribue ainsi à la plus grande valeur le nombre 1 et le nombre 10 à la plus petite.
On obtient un résultat semblable à celui ci‑dessous.
4.
Où la permutation générée se situe-t-elle ?
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Ces méthodes ont un inconvénient : il se peut que les permutations aient un « point fixe », c'est-à-dire, dans notre cas, qu'un participant s'offre un cadeau à lui‑même.
Proposer une amélioration des méthodes décrites ci-dessus pour éviter ce désagrément.
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