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TP2. Le triangle de Pascal
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2
Le triangle de Pascal




Énoncé

Le triangle de Pascal est une présentation des nombres de combinaisons de kk éléments parmi nn sous la forme d’un triangle : pour deux entiers naturels ii et jj avec i⩾j⩾0i \geqslant j \geqslant 0, le nombre de la (i+1)(i + 1)-ième ligne et de la (j+1)(j + 1)-ième colonne vaut (ij)\left(\begin{array}{l}i\\j\end{array}\right).
Ce triangle peut être construit de proche en proche grâce à la relation de Pascal : un coefficient dans ce tableau est égal à la somme du coefficient au-dessus de lui et du coefficient en haut à gauche (voir illustration).

Questions préliminaires :
1. Que valent les coefficients de la première colonne ? De la diagonale ?


2. En utilisant la relation de Pascal, construire « à la main » la cinquième ligne du triangle de Pascal.
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Triangle de Pascal

Pour aller plus loin



Soient aa et bb deux réels et nn un entier naturel. La formule du binôme de Newton stipule que (a+b)n=∑k=0n(nk)ak bn−k(a+b)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a^{k}\ b^{n-k}.
Démontrer cette formule en utilisant un raisonnement par récurrence.
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Objectif

Construire le triangle de Pascal de proche en proche en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. Recopier le tableau ci-dessous et compléter la colonne C. (Fichier téléchargeable ici.)

Tableur triangle de Pascal


2. Quelle formule doit-on saisir puis glisser vers le bas dans la cellule D5 ?


3. Compléter le tableau en saisissant les formules manquantes.


4. Dans la colonne L, afficher pour chaque ligne du tableau la somme des coefficients sur cette ligne.
Quel résultat du cours retrouve‑t‑on ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On souhaite écrire une fonction en Python qui renvoie, pour un entier naturel nn donné, les nn premières lignes du triangle de Pascal.
La ligne 2 sert à construire un tableau de nn lignes et nn colonnes rempli de 0. 

def pascal(n) :
  l = [ [0]*n for x in range(n)]
  for i in range(n) :
    for j in range(n) :
      if j == 0 :
        l[i][j] = ...
      elif ... :
        l[i][j] = ...
      else :
        l[i][j] = ...
  return(l)


1. Compléter la ligne 6 du programme.

2. Un autre cas doit être traité aux lignes 7 et 8. Lequel et de quelle manière ?


3. En utilisant la relation de Pascal, compléter la ligne 10.
3. Pour nn fixé, vérifier que l’on retrouve bien l’identité suivante : ∑k=0n(nk)=2n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=2^{n}.
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