Le triangle de Pascal est une présentation des nombres de combinaisons de k éléments parmi n sous la forme d'un triangle : pour deux entiers naturels i et j avec i \geqslant j \geqslant 0, le nombre de la (i + 1)-ième ligne et de la (j + 1)-ième colonne vaut \left(\begin{array}{l}i\\j\end{array}\right). Ce triangle peut être construit de proche en proche grâce à la relation de Pascal : un coefficient dans ce tableau est égal à la somme du coefficient au-dessus de lui et du coefficient en haut à gauche (voir illustration).

Schéma du triangle de Pascal montrant la somme de deux coefficients adjacents pour obtenir le coefficient situé en dessous.

Questions préliminaires :
1. Que valent les coefficients de la première colonne ? De la diagonale ?

2. En utilisant la relation de Pascal, construire « à la main » la cinquième ligne du triangle de Pascal.

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Objectif

Construire le triangle de Pascal de proche en proche en utilisant une des deux méthodes.

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Méthode 1
Tableur

1. Recopier le tableau ci-dessous et compléter la colonne C. (Fichier téléchargeable

ici

Capture d'écran d'un tableur affichant le début du triangle de Pascal. Les nombres sont organisés dans un tableau, les lignes et les colonnes sont numérotées.

2. Quelle formule doit-on saisir puis glisser vers le bas dans la cellule D5 ?

3. Compléter le tableau en saisissant les formules manquantes.

4. Dans la colonne L, afficher pour chaque ligne du tableau la somme des coefficients sur cette ligne.
Quel résultat du cours retrouve‑t‑on ?

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Méthode 2
Python

On souhaite écrire une fonction en Python qui renvoie, pour un entier naturel n donné, les n premières lignes du triangle de Pascal.
La ligne 2 sert à construire un tableau de n lignes et n colonnes rempli de 0.

def pascal(n) :
  l = [ [0]*n for x in range(n)]
  for i in range(n) :
    for j in range(n) :
      if j == 0 :
        l[i][j] = ...
      elif ... :
        l[i][j] = ...
      else :
        l[i][j] = ...
  return(l)

1. Compléter la ligne 6 du programme.

2. Un autre cas doit être traité aux lignes 7 et 8. Lequel et de quelle manière ?

3. En utilisant la relation de Pascal, compléter la ligne 10.

4. Pour n fixé, vérifier que l'on retrouve bien l'identité suivante : \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=2^{n}.

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Pour aller plus loin

Soient a et b deux réels et n un entier naturel. La formule du binôme de Newton stipule que (a+b)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a^{k}\ b^{n-k}.
Démontrer cette formule en utilisant un raisonnement par récurrence.

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Mathématiques Terminale Spécialité

Le triangle de Pascal

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