Mathématiques Terminale Spécialité
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Chapitre 1
Cours 3
Combinaisons d'un ensemble fini
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AParties d'un ensemble fini
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Vocabulaire
Une partie d'un ensemble \text{A} est un sous‑ensemble de\text{ A}.
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L'ensemble des parties de \text{A} est souvent noté \mathcal{P}(\mathrm{A}).
\mathcal{P}(\mathrm{A}) est un ensemble d'ensembles.
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Exemple
Si \text{A}=\{1\,; 2\,; 3\}, alors \{1\,; 3\} et \varnothing sont des parties de \text{A}.
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Propriété
Soit \text{A} un ensemble fini à n éléments. Le nombre de parties de \text{A} est égal à 2^{n}.
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On a toujours \varnothing \in \mathcal{P}(\mathrm{A}).
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Démonstration
Pour constituer une partie de \text{A}, il y a deux choix pour chaque élément de \text{A} : l'incorporer dans cette partie ou pas. Puisque \text{A} possède n éléments, cela donne au total 2^n parties possibles. Il y a ainsi autant de parties de \text{A} que de n-uplet de \{0 ; 1\}, soit 2^n.
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BNombre de combinaisons
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Définition
Soit\text{ A} un ensemble fini à n éléments et k un entier naturel inférieur ou égal à n.
Une combinaison de k éléments de \text{A} est une partie de \text{A} de cardinal k.
Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est noté \left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right).
Une combinaison de k éléments de \text{A} est une partie de \text{A} de cardinal k.
Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est noté \left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right).
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Les nombres \left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) sont également appelés coefficients binomiaux et se lisent « k parmi n ».
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Propriétés
Soient n et k deux entiers naturels tels que k \leqslant n. Alors :
1.\left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} et \left(\begin{array}{c}n \\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\n-k\end{array}\right).
2. Relation de Pascal : si 1 \leqslant k \leqslant n-1,\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n-1 \\k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-1 \\k\end{array}\right).
3. De plus,\left(\begin{array}{l}n \\0\end{array}\right)=1. Si n \geqslant 1,\left(\begin{array}{l}n \\1\end{array}\right)=n et si n \geqslant 2,\left(\begin{array}{l}n \\2\end{array}\right)=\frac{n(n-1)}{2}.
1.\left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} et \left(\begin{array}{c}n \\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\n-k\end{array}\right).
2. Relation de Pascal : si 1 \leqslant k \leqslant n-1,\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n-1 \\k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-1 \\k\end{array}\right).
3. De plus,\left(\begin{array}{l}n \\0\end{array}\right)=1. Si n \geqslant 1,\left(\begin{array}{l}n \\1\end{array}\right)=n et si n \geqslant 2,\left(\begin{array}{l}n \\2\end{array}\right)=\frac{n(n-1)}{2}.
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La 2e égalité du point 1. traduit le fait que choisir k objets parmi n revient à choisir les n - k objets qu'on ne prend pas.
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Démonstration
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Propriété
Soit n un entier naturel. Alors \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \\k\end{array}\right)=2^{n}.
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Les combinaisons ne font pas apparaître l'ordre des éléments.
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Démonstration
Soit \text{A} un ensemble fini à n éléments. Pour tout entier naturel k inférieur ou égal à n, on note \text{A}_k l'ensemble des parties de \text{A} composées de k éléments. On a ainsi \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{k}\right)=\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right). Les \text{A}_k sont deux à deux disjoints et leur réunion est \mathcal{P}(\mathrm{A}). Ainsi :
2^{n}=\operatorname{Card}(\mathcal{P}(\mathrm{A}))=\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}\right)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{k}\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right).
2^{n}=\operatorname{Card}(\mathcal{P}(\mathrm{A}))=\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}\right)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{k}\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right).
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Application et méthode - 3
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Énoncé
Dans une grille comportant les nombres 0 à 9 et les lettres \text{A} à \text{F}, il faut choisir trois nombres et deux lettres. Combien de grilles différentes existe‑t‑il ?
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Cocher des nombres ou des lettres sur une grille
revient à choisir un ensemble de nombres ou de
lettres et non pas un k-uplet : il n'y a pas d'ordre.
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Solution
Pour les nombres, il existe \left(\begin{array}{c}
10 \\
3
\end{array}\right)=\frac{10 !}{3 ! 7 !}=120 combinaisons possibles.
Pour les lettres, on dispose de \left(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right)=15 combinaisons.
Au total, il y a donc 120 \times 15=1\:800 grilles possibles.
Pour les lettres, on dispose de \left(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right)=15 combinaisons.
Au total, il y a donc 120 \times 15=1\:800 grilles possibles.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 45
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