Une partie d’un ensemble A est un sous‑ensemble de A.
NOTATION
L’ensemble des parties de A est souvent noté P(A). P(A) est un ensemble d’ensembles.
Exemple
Si A={1;2;3}, alors {1;3} et ∅ sont des parties de A.
Propriété
Soit A un ensemble fini à n éléments. Le nombre de parties de A est égal à 2n.
Remarque
On a toujours ∅∈P(A).
DÉMONSTRATION
Pour constituer une partie de A, il y a deux choix pour chaque élément de A : l’incorporer dans cette partie ou pas. Puisque A possède n éléments, cela donne au total 2n parties possibles. Il y a ainsi autant de parties de A que de n-uplet de {0;1}, soit 2n.
B
Nombre de combinaisons
Définition
Soit A un ensemble fini à n éléments et k un entier naturel inférieur ou égal à n.
Une combinaison de k éléments de A est une partie de A de cardinal k.
Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est noté (nk).
Remarque
Les nombres (nk) sont également appelés coefficients binomiaux et se lisent « k parmi n ».
Propriété
Soient n et k deux entiers naturels tels que k⩽n. Alors : 1.(nk)=k!(n−k)!n! et (nk)=(nn−k). 2. Relation de Pascal : si 1⩽k⩽n−1,(nk)=(n−1k−1)+(n−1k). 3. De plus,(n0)=1. Si n⩾1,(n1)=n et si n⩾2,(n2)=2n(n−1).
Remarque
La 2e égalité du point 1. traduit le fait que choisir k objets parmi n revient à choisir les n−k objets qu’on ne prend pas.
Les combinaisons ne font pas apparaître l’ordre des éléments.
Propriété
Soit n un entier naturel. Alors k=0∑n(nk)=2n.
DÉMONSTRATION
Soit A un ensemble fini à n éléments. Pour tout entier naturel k inférieur ou égal à n, on note Ak l’ensemble des parties de A composées de k éléments. On a ainsi Card(Ak)=(nk). Les Ak sont deux à deux disjoints et leur réunion est P(A). Ainsi :
Dans une grille comportant les nombres 0 à 9 et les lettres A à F, il faut choisir trois nombres et deux lettres. Combien de grilles différentes existe‑t‑il ?
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