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3. Combinaisons d'un ensemble fini
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COURS 3


3
Combinaisons d’un ensemble fini




A
Parties d’un ensemble fini


Vocabulaire

Une partie d’un ensemble est un sous‑ensemble de.

NOTATION

L’ensemble des parties de est souvent noté .
est un ensemble d’ensembles.

Exemple

Si , alors et sont des parties de .

Propriété

Soit un ensemble fini à éléments. Le nombre de parties de est égal à .

Remarque

On a toujours .

DÉMONSTRATION

Pour constituer une partie de , il y a deux choix pour chaque élément de  : l’incorporer dans cette partie ou pas. Puisque possède éléments, cela donne au total parties possibles. Il y a ainsi autant de parties de que de -uplet de , soit .

B
Nombre de combinaisons


Définition

Soit un ensemble fini à éléments et un entier naturel inférieur ou égal à .
Une combinaison de éléments de est une partie de de cardinal
Le nombre de combinaisons de éléments parmi est noté .

Remarque

Les nombres sont également appelés coefficients binomiaux et se lisent «  parmi  ».

Propriété

Soient et deux entiers naturels tels que . Alors :
1. et .
2. Relation de Pascal : si .
3. De plus,. Si et si .

Remarque

La 2e égalité du point 1. traduit le fait que choisir objets parmi revient à choisir les objets qu’on ne prend pas.

DÉMONSTRATION

Voir Activité
C
p. 35
, exercice
94
p. 50
et exercice
105
p. 35
.

Remarque

Les combinaisons ne font pas apparaître l’ordre des éléments.

Propriété

Soit un entier naturel. Alors .

DÉMONSTRATION

Soit un ensemble fini à éléments. Pour tout entier naturel inférieur ou égal à , on note l’ensemble des parties de composées de éléments. On a ainsi . Les sont deux à deux disjoints et leur réunion est . Ainsi :
.

Application et méthode - 3

Énoncé

Dans une grille comportant les nombres 0 à 9 et les lettres à , il faut choisir trois nombres et deux lettres. Combien de grilles différentes existe‑t‑il ?