Si \text{A}=\{1\,; 2\,; 3\}, alors \{1\,; 3\} et \varnothing sont des parties de \text{A}.

Soit \text{A} un ensemble fini à n éléments. Le nombre de parties de \text{A} est égal à 2^{n}.

On a toujours \varnothing \in \mathcal{P}(\mathrm{A}).

Pour constituer une partie de \text{A}, il y a deux choix pour chaque élément de \text{A} : l'incorporer dans cette partie ou pas. Puisque \text{A} possède n éléments, cela donne au total 2^n parties possibles. Il y a ainsi autant de parties de \text{A} que de n-uplet de \{0 ; 1\}, soit 2^n.

Soient n et k deux entiers naturels tels que k \leqslant n. Alors :
1.\left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} et \left(\begin{array}{c}n \\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\n-k\end{array}\right).
2. Relation de Pascal : si 1 \leqslant k \leqslant n-1,\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n-1 \\k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-1 \\k\end{array}\right).
3. De plus,\left(\begin{array}{l}n \\0\end{array}\right)=1. Si n \geqslant 1,\left(\begin{array}{l}n \\1\end{array}\right)=n et si n \geqslant 2,\left(\begin{array}{l}n \\2\end{array}\right)=\frac{n(n-1)}{2}.

La 2^e égalité du point 1. traduit le fait que choisir k objets parmi n revient à choisir les n - k objets qu'on ne prend pas.

Voir

Activité C

p. 35, exercice

94

p. 50 et exercice

105

p. 35.

Soit \text{A} un ensemble fini à n éléments. Pour tout entier naturel k inférieur ou égal à n, on note \text{A}_k l'ensemble des parties de \text{A} composées de k éléments. On a ainsi \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{k}\right)=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right). Les \text{A}_k sont deux à deux disjoints et leur réunion est \mathcal{P}(\mathrm{A}). Ainsi :
2^{n}=\operatorname{Card}(\mathcal{P}(\mathrm{A}))=\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}\right)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{k}\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right).

Pour les nombres, il existe \left(\begin{array}{c} 10 \\ 3 \end{array}\right)=\frac{10 !}{3 ! 7 !}=120 combinaisons possibles.
Pour les lettres, on dispose de \left(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right)=15 combinaisons.
Au total, il y a donc 120 \times 15=1\:800 grilles possibles.

Exercices

43

et

44

p. 45