3

Combinaisons d’un ensemble fini

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 51 ; 60 ; 70 ; 76 ; 83 ; 95 et 99
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 71 ; 86 et 102
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 63 ; 82 ; 87 et 98

88

On note $\text{E}$ l’ensemble $\{1\ ; 2\ ; 3\}$.

1. Quel est le cardinal de l’ensemble des parties de $\text{E}$ ?


2. Énumérer ces parties.

89

Soit $\text{A}$ un ensemble à huit éléments.

1. Combien y a-t-il de parties de l’ensemble $\text{A}$ ?


2. Combien y a-t-il de parties à trois éléments de l’ensemble $\text{A}$ ?


3. Sans calcul, en déduire le nombre de parties à cinq éléments de l’ensemble $\text{A}$.

90

Pour réviser le prochain contrôle, le professeur donne à ses élèves une fiche de dix exercices en leur demandant d’en travailler cinq.

Combien de combinaisons d’exercices existe-t-il :
1. sans restriction ?


2. si l’exercice 8 est imposé ?


3. si l’exercice 10 n’est à faire qu’en bonus ?

91

[ Chercher. ]
On considère l’ensemble $\mathrm{E}=\{1 ; 2 ; 3 ; 4\}$.

1. Donner tous les sous-ensembles de $\text{E}$ ayant deux éléments.


2. En déduire la valeur de $\left(\begin{array}{l}4 \\2\end{array}\right)$.

92

[ Chercher. ]
On considère l’ensemble $\mathrm{F}=\{a\,; b\,; c\,; d\,; e\}$.

1. Donner tous les sous-ensembles de $\text{F}$ de cardinal $3$.


2. En déduire la valeur de $\left(\begin{array}{l}5 \\3\end{array}\right)$.

93

[ Raisonner. ]
Soit $n$ un entier naturel.
1. En utilisant une formule du cours, montrer que $\left(\begin{array}{l}n \\0\end{array}\right)=1$.


2. On suppose que $n \geqslant 1$.Montrer que $\left(\begin{array}{c}n \\1 \end{array}\right)=n$.


3. Que peut-on dire de $\left(\begin{array}{l}n \\n\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}n \\n-1\end{array}\right)$ ?

94

[ Raisonner. ]

[DÉMO]

Soient $\text{A}$ un ensemble non vide de cardinal $n$ et $k$ un entier inférieur ou égal à $n$.

1. Soit $\text{X}$ une partie de $\text{A}$ à $k$ éléments.
Combien d’éléments l’ensemble $\text{A} \backslash \text{K}$ possède-t-il ?

2. En déduire, par un argument de dénombrement, que :
$\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n \\ n-k \end{array}\right).$

95

[ Calculer. ] ◉◉◉
Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice.

1. $\left(\begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array}\right) ;\left(\begin{array}{c} 48 \\ 47 \end{array}\right)$ ;$\left(\begin{array}{c} 55 \\ 0 \end{array}\right)$ ; $\left(\begin{array}{c} 64 \\ 63 \end{array}\right) ;\left(\begin{array}{c} 51 \\ 50 \end{array}\right)$


2. $\left(\begin{array}{c} 20 \\ 2 \end{array}\right)$ ;$\left(\begin{array}{c} 30 \\ 29 \end{array}\right)$ ;$\left(\begin{array}{c} 50 \\ 1 \end{array}\right)$ ;$\left(\begin{array}{c} 12 \\ 2 \end{array}\right)$ ;$\left(\begin{array}{c} 14 \\ 14 \end{array}\right)$


3. $\left(\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right)$ ;$\left(\begin{array}{l} 8 \\ 4 \end{array}\right)$ ;$\left(\begin{array}{l} 10 \\ 4 \end{array}\right)$ ;$\left(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right)$ ;$\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array}\right)$


4. $\left(\begin{array}{l} 5 \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array}\right)$

96

[ Calculer. ]
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

1. En utilisant une formule du cours, montrer que :

$\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)=\dfrac{n(n-1)}{2}.$


2. Retrouver cette relation à l’aide d’un argument de dénombrement.

97

[ Chercher. ]
Résoudre les équations suivantes d’inconnue $n \in \mathbb{N}$.

1. $\left(\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}\right)=n$


2. $\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}\right)$


3. $2\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)=3\left(\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}\right)$

98

[Raisonner.] ◉◉◉
Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, on pose $u_{n}=\left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right)$.

Montrer que la suite $u_n$ est strictement croissante.

99

[ Chercher. ] ] ◉◉◉
Aux élections présidentielles de 2017, onze candidats se sont présentés au premier tour. Si on avait dû organiser un débat entre chaque paire de candidats, combien de débats différents auraient eu lieu ?

100

[ Raisonner. ]
À l’entrée en première, on demande aux élèves de choisir trois spécialités parmi neuf proposées. Si on ne donne aucune restriction et qu’on ne tient pas compte des différents choix de langues étrangères, combien de combinaisons différentes peut-on générer ?

101

[ Chercher. ]
Sur une grille de loto, un joueur choisit cinq nombres entre 1 et 49 inclus puis un nombre « Chance » entre 1 et 10 inclus. Combien existe-t-il de grilles de loto possibles ?

102

[ Modéliser. ] ◉◉◉
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
On place $n$ points sur un plan de telle manière que trois points ne sont jamais alignés.

1. On relie deux à deux tous les points par une arête.
Combien d’arêtes a-t-on tracées ?

2. On classe les $n$ points en deux groupes de taille $k$ et $n - k$.
Chaque point du premier groupe est alors relié à chaque point du second groupe par une arête.
Combien d’arêtes a-t-on tracées ?

103

[ Communiquer. ]
Soient $k$ et $n$ deux entiers naturels tels que $k \leqslant n$.
En utilisant la formule de calcul des coefficients binomiaux, puis en utilisant un argument de dénombrement, montrer que :
$n\left(\begin{array}{l} n-1 \\ k-11 \end{array}\right)=k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)$.

104

[ Communiquer. ]
Soient $n$ un entier naturel et $\text{A}$ un ensemble de cardinal $2n$.

1. Combien de parties à $n$ éléments de $\text{A}$ existe-t-il ?


2. On divise l’ensemble $\text{A}$ en deux sous-ensembles disjoints contenant chacun $n$ éléments.
Prendre $n$ éléments dans $\text{A}$ revient donc à choisir un entier $k$ entre $0$ et $n$, prendre $k$ éléments dans le premier sous-ensemble puis en choisir $n - k$ dans le second ensemble.
De cette méthode, déduire l’égalité $\left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)^{2}$.