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3. Combinaisons d’un ensemble fini
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Entrainement


3
Combinaisons d’un ensemble fini





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 51 ; 60 ; 70 ; 76 ; 83 ; 95 et 99
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 71 ; 86 et 102
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 63 ; 82 ; 87 et 98

88
FLASH

On note E\text{E} l’ensemble {1 ;2 ;3}\{1\ ; 2\ ; 3\}.

1. Quel est le cardinal de l’ensemble des parties de E\text{E} ?


2. Énumérer ces parties.
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89
FLASH

Soit A\text{A} un ensemble à huit éléments.

1. Combien y a-t-il de parties de l’ensemble A\text{A} ?


2. Combien y a-t-il de parties à trois éléments de l’ensemble A\text{A} ?


3. Sans calcul, en déduire le nombre de parties à cinq éléments de l’ensemble A\text{A}.
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90
FLASH

Pour réviser le prochain contrôle, le professeur donne à ses élèves une fiche de dix exercices en leur demandant d’en travailler cinq.

Combien de combinaisons d’exercices existe-t-il :
1. sans restriction ?


2. si l’exercice 8 est imposé ?


3. si l’exercice 10 n’est à faire qu’en bonus ?
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91
[ Chercher. ]
On considère l’ensemble E={1 ; 2 ; 3 ; 4}\mathrm{E}=\{1 ; 2 ; 3 ; 4\}.

1. Donner tous les sous-ensembles de E\text{E} ayant deux éléments.


2. En déduire la valeur de (42)\left(\begin{array}{l}4 \\2\end{array}\right).
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92
[ Chercher. ]
On considère l’ensemble F={a;b;c;d;e}\mathrm{F}=\{a\,; b\,; c\,; d\,; e\}.

1. Donner tous les sous-ensembles de F\text{F} de cardinal 33.


2. En déduire la valeur de (53)\left(\begin{array}{l}5 \\3\end{array}\right).
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93
[ Raisonner. ]
Soit nn un entier naturel.
1. En utilisant une formule du cours, montrer que (n0)=1\left(\begin{array}{l}n \\0\end{array}\right)=1.


2. On suppose que n1n \geqslant 1.Montrer que (n1)=n\left(\begin{array}{c}n \\1 \end{array}\right)=n.


3. Que peut-on dire de (nn)\left(\begin{array}{l}n \\n\end{array}\right) et (nn1)\left(\begin{array}{c}n \\n-1\end{array}\right) ?
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94
[ Raisonner. ]
[DÉMO]

Soient A\text{A} un ensemble non vide de cardinal nn et kk un entier inférieur ou égal à nn.

1. Soit X\text{X} une partie de A\text{A} à kk éléments.
Combien d’éléments l’ensemble A\K\text{A} \backslash \text{K} possède-t-il ?


2. En déduire, par un argument de dénombrement, que :
(nk)=(nnk).\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n \\ n-k \end{array}\right).
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95
[ Calculer. ] ◉◉
Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice.

1. (101);(4847) \left(\begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array}\right) ;\left(\begin{array}{c} 48 \\ 47 \end{array}\right) ;(550)\left(\begin{array}{c} 55 \\ 0 \end{array}\right) ; (6463);(5150)\left(\begin{array}{c} 64 \\ 63 \end{array}\right) ;\left(\begin{array}{c} 51 \\ 50 \end{array}\right)


2. (202)\left(\begin{array}{c} 20 \\ 2 \end{array}\right) ;(3029)\left(\begin{array}{c} 30 \\ 29 \end{array}\right) ;(501)\left(\begin{array}{c} 50 \\ 1 \end{array}\right) ;(122)\left(\begin{array}{c} 12 \\ 2 \end{array}\right) ;(1414)\left(\begin{array}{c} 14 \\ 14 \end{array}\right)


3. (63)\left(\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right) ;(84)\left(\begin{array}{l} 8 \\ 4 \end{array}\right) ;(104)\left(\begin{array}{l} 10 \\ 4 \end{array}\right) ;(105)\left(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right) ;(115)\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array}\right)


4. (50)(51)+(52)(53)+(54)(55)\left(\begin{array}{l} 5 \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array}\right)
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96
[ Calculer. ]
Soit nn un entier naturel supérieur ou égal à 22.

1. En utilisant une formule du cours, montrer que :

(n2)=n(n1)2.\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)=\dfrac{n(n-1)}{2}.



2. Retrouver cette relation à l’aide d’un argument de dénombrement.
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97
[ Chercher. ]
Résoudre les équations suivantes d’inconnue nNn \in \mathbb{N}.

1. (n3)=n\left(\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}\right)=n


2. (n2)=(n3)\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}\right)


3. 2(n2)=3(n3)2\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)=3\left(\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}\right)
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98
[Raisonner.] ◉◉◉
Pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*}, on pose un=(2nn)u_{n}=\left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right) .

Montrer que la suite unu_n est strictement croissante.
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99
[ Chercher. ] ] ◉◉
Aux élections présidentielles de 2017, onze candidats se sont présentés au premier tour. Si on avait dû organiser un débat entre chaque paire de candidats, combien de débats différents auraient eu lieu ?
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100
[ Raisonner. ]
À l’entrée en première, on demande aux élèves de choisir trois spécialités parmi neuf proposées. Si on ne donne aucune restriction et qu’on ne tient pas compte des différents choix de langues étrangères, combien de combinaisons différentes peut-on générer ?
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101
[ Chercher. ]
Sur une grille de loto, un joueur choisit cinq nombres entre 1 et 49 inclus puis un nombre « Chance » entre 1 et 10 inclus. Combien existe-t-il de grilles de loto possibles ?
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102
[ Modéliser. ] ◉◉
Soit nn un entier naturel supérieur ou égal à 22.
On place nn points sur un plan de telle manière que trois points ne sont jamais alignés.

1. On relie deux à deux tous les points par une arête.
Combien d’arêtes a-t-on tracées ?


2. On classe les nn points en deux groupes de taille kk et nkn - k.
Chaque point du premier groupe est alors relié à chaque point du second groupe par une arête.
Combien d’arêtes a-t-on tracées ?
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103
[ Communiquer. ]
Soient kk et nn deux entiers naturels tels que knk \leqslant n.
En utilisant la formule de calcul des coefficients binomiaux, puis en utilisant un argument de dénombrement, montrer que :
n(n1k11)=k(nk)n\left(\begin{array}{l} n-1 \\ k-11 \end{array}\right)=k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right).

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104
[ Communiquer. ]
Soient nn un entier naturel et A\text{A} un ensemble de cardinal 2n2n.

1. Combien de parties à nn éléments de A\text{A} existe-t-il ?


2. On divise l’ensemble A\text{A} en deux sous-ensembles disjoints contenant chacun nn éléments.
Prendre nn éléments dans A\text{A} revient donc à choisir un entier kk entre 00 et nn, prendre kk éléments dans le premier sous-ensemble puis en choisir nkn - k dans le second ensemble.
De cette méthode, déduire l’égalité (2nn)=k=0n(nk)2\left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)^{2}.
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