1.
Quel est le cardinal de l’ensemble des parties de E ?
2.
Énumérer ces parties.
89
FLASH
Soit A un ensemble à huit éléments.
1.
Combien y a-t-il de parties de l’ensemble A ?
2.
Combien y a-t-il de parties à trois éléments de l’ensemble A ?
3.
Sans calcul, en déduire le nombre de parties à cinq éléments de l’ensemble A.
90
FLASH
Pour réviser le prochain contrôle, le professeur donne à ses élèves une fiche de dix exercices en leur
demandant d’en travailler cinq.
Combien de combinaisons d’exercices existe-t-il :
1.
sans restriction ?
2.
si l’exercice 8 est imposé ?
3.
si l’exercice 10 n’est à faire qu’en bonus ?
91
[Chercher.]
On considère l’ensemble E={1;2;3;4}.
1.
Donner tous les sous-ensembles de E ayant deux éléments.
2.
En déduire la valeur de (42).
92
[Chercher.]
On considère l’ensemble F={a;b;c;d;e}.
1.
Donner tous les sous-ensembles de F de cardinal 3.
2.
En déduire la valeur de (53).
93
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel.
1.
En utilisant une formule du cours, montrer que (n0)=1.
2.
On suppose que n⩾1.Montrer que (n1)=n.
3.
Que peut-on dire de (nn) et (nn−1) ?
94
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soient A un ensemble non vide de cardinal n et k un entier inférieur ou égal à n.
1.
Soit X une partie de A à k éléments.
Combien d’éléments l’ensemble A\K possède-t-il ?
2.
En déduire, par un argument de dénombrement, que :
(nk)=(nn−k).
95
[Calculer.]◉◉◉
Calculer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice.
1. (101);(4847) ;(550) ; (6463);(5150)
2. (202) ;(3029) ;(501) ;(122) ;(1414)
3. (63) ;(84) ;(104) ;(105) ;(115)
4. (50)−(51)+(52)−(53)+(54)−(55)
96
[Calculer.]
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1.
En utilisant une formule du cours, montrer que :
(n2)=2n(n−1).
2.
Retrouver cette relation à l’aide d’un argument de dénombrement.
97
[Chercher.]
Résoudre les équations suivantes d’inconnue n∈N.
1. (n3)=n
2. (n2)=(n3)
3. 2(n2)=3(n3)
98
[Raisonner.]◉◉◉
Pour tout n∈N∗, on pose
un=(2nn).
Montrer que la suite un est strictement croissante.
99
[Chercher.]]◉◉◉
Aux élections présidentielles de 2017, onze candidats se
sont présentés au premier tour. Si on avait dû organiser
un débat entre chaque paire de candidats, combien de
débats différents auraient eu lieu ?
100
[Raisonner.]
À l’entrée en première, on demande aux élèves de choisir
trois spécialités parmi neuf proposées. Si on ne donne
aucune restriction et qu’on ne tient pas compte des différents
choix de langues étrangères, combien de combinaisons
différentes peut-on générer ?
101
[Chercher.]
Sur une grille de loto, un joueur choisit cinq nombres
entre 1 et 49 inclus puis un nombre « Chance » entre
1 et 10 inclus. Combien existe-t-il de grilles de loto
possibles ?
102
[Modéliser.]◉◉◉
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On place n points sur un plan de telle manière que trois
points ne sont jamais alignés.
1.
On relie deux à deux tous les points par une arête.
Combien d’arêtes a-t-on tracées ?
2.
On classe les n points en deux groupes de taille
k et n−k.
Chaque point du premier groupe est alors relié à chaque point du second groupe par une arête.
Combien d’arêtes a-t-on tracées ?
103
[Communiquer.]
Soient k et n deux entiers naturels tels que
k⩽n.
En utilisant la formule de calcul des coefficients binomiaux, puis en
utilisant un argument de dénombrement, montrer que :
n(n−1k−1)=k(nk).
104
[Communiquer.]
Soient n un entier naturel et A un ensemble
de cardinal 2n.
1.
Combien de parties à n éléments de A existe-t-il ?
2.
On divise l’ensemble A en deux sous-ensembles
disjoints contenant chacun n éléments.
Prendre n éléments dans A revient donc à choisir un entier k entre 0 et n, prendre k éléments dans le premier sous-ensemble puis en choisir n−k dans le second ensemble.
De cette méthode, déduire l’égalité (2nn)=k=0∑n(nk)2.
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