Exercices de synthèse

105

Démo

[ Raisonner. ]
Soient \text{A} un ensemble à n éléments tel que n > 1 et a un élément de \text{A}. On considère un entier k tel que 1 \leqslant k \leqslant n-1.

1. Combien existe‑t‑il de combinaisons de k éléments de \text{A} ?

2. Combien existe-t-il de combinaisons de k éléments de \text{A} qui contiennent l'élément a ?

3. Combien existe-t-il de combinaisons de k éléments de \text{A} qui ne contiennent pas l'élément a ?

4. En déduire la relation de Pascal : \left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right).

5. Démontrer cette relation en utilisant la formule :

\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}.

106

Python

[ Modéliser. ]
On considère l'ensemble \text{A}=\{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13\}.
À l'aide de Python, on a programmé un algorithme permettant de générer toutes les parties de \text{A} à deux éléments.

A = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]
PartieDeux = []
ListeTemp = []

for i in range(len(A)):
  for j in range(i+1, len(A)):
    ListeTemp.append(A[i])
    ListeTemp.append(A[j])
    PartieDeux.append(ListeTemp)
    ListeTemp = []

print(PartieDeux)
  

1. Expliquer le fonctionnement de cet algorithme.

2. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de générer toutes les parties de \text{A} à trois éléments.

109

[ Calculer, Chercher. ]
On possède un dé à six faces, numérotées de 1 à 6.

1. On lance ce dé et on regarde le nombre du dessus.
a. Combien cette expérience compte‑t‑elle d'issues ?

b. Combien y a‑t‑il d'événements ?

2. On lance le dé six fois et on note à chaque lancer 1 si on obtient la face numérotée 1 et 0 dans les autres cas. On construit ainsi un 6-uplet de \{0 ; 1\}.
a. Combien y a-t-il d'issues possibles à cette expérience ?

b. On considère l'événement \text{E} : « On a obtenu un nombre pair de fois le nombre 1. »
Combien d'issues réalisent l'événement \text{E} ?

110

[ Modéliser, Calculer. ]

Au Mastermind, un premier joueur entre un code en plaçant quatre pions de couleurs différentes parmi six couleurs possibles. Le second joueur doit alors deviner ce code. À chacune de ses propositions, le premier joueur donne le nombre de pions de couleurs bien placés ainsi que le nombre de pions dont la couleur figure dans le code mais qui ne sont pas au bon emplacement.
Par exemple, dans le cas ci-après, le premier joueur répondra qu'un pion est bien placé et que deux autres sont mal placés, sans préciser lesquels.

1. Combien de codes secrets existe‑t‑il ?

2. Le second joueur fait un premier essai. Combien de possibilités reste‑t‑il si le premier joueur lui répond :
a. que deux pions sont bien placés et que deux autres sont mal placés ?

b. que deux pions sont bien placés et qu'un pion est mal placé ?

c. qu'un pion est bien placé qu'un autre est mal placé ?

111

[ Chercher. ]
Le tiercé est un pari hippique : le parieur doit pronostiquer les trois chevaux qui arriveront en tête à la fin d'une course de dix chevaux, dans l'ordre ou dans le désordre.

1. Combien de combinaisons de trois chevaux existe‑t‑il si on tient compte de l'ordre d'arrivée ?

2. Combien y en a‑t‑il si on ne tient pas compte de l'ordre d'arrivée ?

112

[ Calculer, Modéliser. ]
Soit n un entier naturel dont la décomposition en produits de facteurs premiers est n_{1}^{p_{1}} \times n_{2}^{p_{2}} \times \ldots \times n_{k}^{p_{k}}.
Par exemple, 18 = 2^1 \times 3^2.
On a ici n = 18, n_1 = 2 et n_2 = 3 associés aux exposants p_1 = 1 et p_2 = 2.
Avec 25 = 5^2, on a n = 25, n_1 = 5 et p_1 = 2.

1. Combien de diviseurs positifs possède 18 ? Et 25 ?

2. Dans le cas général, combien de diviseurs positifs possède n ?

3. Donner le nombre de diviseurs positifs de 120.

4. Quel est le plus petit entier naturel ayant exactement 35 diviseurs positifs et dont la décomposition en facteurs premiers fait intervenir au moins deux facteurs premiers distincts.

113

[ Calculer, Modéliser. ]
Lors de la Seconde Guerre mondiale, les Allemands utilisaient la machine Enigma pour s'envoyer des messages chiffrés incompréhensibles pour leurs opposants.
Cette machine chiffrait les informations en faisant passer un courant électrique à travers divers composants : en pressant une lettre sur le clavier, on faisait s'allumer une nouvelle lettre, qui était ajoutée au message codé. Le chiffrement d'Enigma était réputé inviolable, la machine nécessitant de nombreux réglages. Pour déchiffrer les messages interceptés, il fallait retrouver tous les réglages utilisés par les Allemands pour l'envoyer.
Pour ne rien arranger aux affaires des Alliés, ces réglages étaient modifiés chaque jour.

1. Le premier élément de la machine est une série de trois rotors qui permettent de réaliser les premières connexions électriques. Ces rotors sont choisis parmi cinq modèles et l'ordre de positionnement dans la machine est important. Combien de configuration différentes ces rotors permettent-ils ?

2. Chaque rotor peut être placé sur 26 positions différentes, correspondant aux 26 lettres de l'alphabet. Combien de positions différentes peut-on donner à l'ensemble des trois rotors choisis ?

3. La dernière étape consiste à réaliser un câblage sur un tableau de connexion. Vingt lettres sont reliées deux à deux et six restent inchangées.
a. Combien de manières différentes a‑t‑on de choisir six lettres inchangées parmi 26 ?

b. Les vingt lettres restantes sont alors reliées deux à deux par un câble. Pour le réaliser, on choisit deux lettres parmi les vingt que l'on relie, puis deux nouvelles lettres parmi les dix-huit restantes et ainsi de suite. L'ordre de sélection des câbles n'étant pas important, combien a-t-on de câblages possibles ?

4. En déduire un ordre de grandeur du nombre de réglages possibles de la machine Enigma.

114

[ Calculer, Raisonner. ]

Formule du binôme de Newton

Partie A : Démonstration de la formule

On souhaite démontrer que, pour tous réels a et b et pour tout entier naturel non nul n,
(a+b)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) a^{k} \ b^{n-k}.

1. a. Démontrer que l'égalité est vraie pour n = 1.

b. Démontrer que l'égalité est vraie pour n = 2.

c. Démontrer que l'égalité est vraie pour n = 3.

2. On veut montrer l'égalité par récurrence. Pour tout entier naturel n non nul, on note \text{P}_n la propriété :
« Pour tous réels a et b et pour tout entier naturel non nul n, (a+b)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) a^{k} \ b^{n-k}. »
On a déjà montré l'initialisation pour n = 1.
Soit donc un entier k \in \mathbb{N}^{*} tel que \text{P}_k est vraie. On souhaite montrer que P_{k+1} est vraie.

a. En remarquant que (a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}, montrer que
(a+b)^{k+1}=\displaystyle\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{l} k \\ i \end{array}\right) a^{i+1} b^{k-i}+\displaystyle\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{l} k \\ i \end{array}\right) a^{i} b^{k-i+1}.

b. Justifier que la première somme vaut \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}\left(\begin{array}{c} k \\ i-1 \end{array}\right) a^{i} b^{k-i+1}
et donc que (a+b)^{k+1}=\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}\left(\begin{array}{c} k \\ i-1 \end{array}\right) a^{i} b^{k-i+1}+\displaystyle\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c} k \\ i \end{array}\right) a^{i} b^{k-i+1}.

c. On peut ajouter les deux sommes si les indices de sommation sont les mêmes. On va donc isoler les termes correspondant à i = k + 1 dans la première somme et à i = 0 dans la seconde somme. En déduire que

(a+b)^{k+1}=a^{k+1}+b^{k+1}+\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\left(\left(\begin{array}{c} k \\ i-1 \end{array}\right)+\right. \left.\left(\begin{array}{l} k \\ i \end{array}\right)\right) a^{i} b^{k-i+1}.

d. En utilisant la formule de Pascal, montrer que (a+b)^{k+1}=a^{k+1}+b^{k+1}+\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\left(\begin{array}{c} k+1 \\ i \end{array}\right) a^{i} b^{k+1-i}.

e. Terminer le raisonnement.

Partie B : Applications

Développer, pour tout réel a, (a+2)^3 et (a+2)^5.

115

Approfondissement

Soient \text{A} un ensemble non vide à n éléments et k un entier naturel. On souhaite déterminer le nombre de combinaisons de k éléments de \text{A} avec répétitions.
Si on note \left\{x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right\} les éléments de \text{A}, cela revient à construire un n-uplet \left(k_{1} ; k_{2} ; \ldots ; k_{n}\right) de \{0 ; 1 ; \ldots ; k\}.
L‘entier k_i représente le nombre de fois où on a choisi l‘élément x_i et la somme des k_i vaut k.
Par exemple, si \text{A}=\{a ; b ; c ; d\} et k=6, le n-uplet (0\,; 2\,; 3\,; 1) correspond au choix de 0 fois a, 2 fois b, 3 fois c et 1 fois d.

1. On considère le mot 000…0, où le chiffre 0 apparaît n + k - 1 fois. On souhaite remplacer k de ces 0 par 1. De combien de manières différentes peut‑on procéder ?

2. Comment faire correspondre à ce nouveau mot un n-uplet \left(k_{1} ; k_{2} ; \ldots ; k_{n}\right) comme défini dans l'énoncé ?

3. En déduire que le nombre de combinaisons à k éléments de \text{A}, avec répétitions, est \left(\begin{array}{c} n+k-1 \\ k \end{array}\right).

4. Application 1 : On dispose de fleurs jaunes, roses, rouges et bleues et on souhaite faire un bouquet de dix fleurs. Combien de bouquets différents peut‑on constituer ?

5. Application 2 : Combien de triplets (x\,; y\,; z) d'entiers naturels tels que x + y + z = 50 existe‑t‑il ?

Méthode

❯ Pour certains, le sujet que vous allez présenter le jour du Grand Oral est évident. Pour d'autres, ce choix est un exercice difficile. Voici quelques astuces !

❯ Si vous fourmillez d'idées :

• ne vous censurez pas ! Dans un premier temps, toutes les idées sont bonnes à prendre ;
• faites une liste des différents sujets qui vous intéressent et sélectionnez ceux qui vous motivent. Parmi cette liste, choisissez le sujet qui vous attire le plus.

❯ Si vous avez des difficultés à trouver un sujet :

• réfléchissez à vos centres d'intérêt, cela vous aidera à trouver un sujet qui vous motive ;
• regardez les thèmes proposés par les TP ou les exercices d'approfondissement du manuel ;
• discutez avec votre enseignant et vos proches, ils pourront certainement vous aider.

Exemples de sujet en lien avec ce chapitre

❯ Beaucoup de sujets liés aux probabilités utilisent des notions de ce chapitre. Le chapitre 12 notamment pourra vous donner des idées.

❯ Le triangle de Pascal (voir l'activité

p. 30

et le

TP. 2 p. 43

) peut également être une piste intéressante si vous aimez l'approche historique des mathématiques.

❯ D'une façon générale, tous les processus de tirage au sort sont liés à ce chapitre (tirage du loto, jeux de casino, répartition en groupes des équipes d'une coupe du monde, etc.).

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14