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Compléments sur la dérivation
P.210-211

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Chapitre 7


Compléments sur la dérivation





maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - Ouverture


Cette image de colonnes de poussières interstellaires situées à environ 7 000 années‑lumière de la Terre a été prise par le télescope spatial Hubble. C’est grâce à des miroirs convexes, une propriété des fonctions étudiée dans ce chapitre, que les astronomes peuvent prendre de telles images.

Capacités attendues - chapitre 7

1. Calculer la dérivée d’une composée de fonctions et utiliser la notation vuv \circ u.
2. Étudier le sens de variation d’une fonction, notamment en faisant intervenir la formule de composition.
3. Déterminer graphiquement et algébriquement la convexité d’une fonction.
4. Déterminer les points d’inflexion d’une courbe représentative d’une fonction.
5. Esquisser une allure possible de la courbe représentative d’une fonction à partir des données des tableaux de variations de ff, ff^\prime ou ff^{\prime \prime}.

Avant de commencer

Prérequis

1. Lire un nombre dérivé graphiquement.
2. Calculer une dérivée à l’aide de la limite du taux d’accroissement.
3. Maîtriser les dérivées des fonctions usuelles.
4. Utiliser les formules des dérivées de somme, produit, inverse, quotient.
5. Écrire une équation de tangente.
6. Déterminer le sens de variation d’une fonction avec le signe de la dérivée.

1
Lire des images et des nombres dérivés

On a représenté en vert la courbe représentative d’une fonction ff définie sur R\mathbb{R} et en rouge quelques‑unes de ses tangentes.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 1

Lire graphiquement les images de 0 ; 1 ; 2 et 3 par la fonction ff ainsi que les nombres dérivés de ff en 0 ; 1 ; 2 et 3.
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2
Utiliser le taux d’accroissement

1. Pour une fonction ff définie sur un intervalle I\text{I}, rappeler la définition du nombre dérivé au point d’abscisse aIa \in \mathrm{I}.


2. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2+7x+6f(x)=3 x^{2}+7 x+6. Utiliser la définition précédente pour prouver que, pour tout réel aa, f(a)=6a+7f^{\prime}(a)=6 a+7.
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3
Connaître les dérivées des fonctions usuelles

Rappeler les dérivées des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée et de la fonction xf(ax+b)x \mapsto f(a x+b)aa et bb sont des réels et ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
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4
Utiliser les formules de dérivation

Calculer les dérivées des fonctions suivantes après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité.

1. f:x2x3+5x2+3x+4f: x \mapsto 2 x^{3}+5 x^{2}+3 x+4 définie sur R\mathbb{R}.


2. g:xex(x24x+3)g: x \mapsto \mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-4 x+3\right) définie sur R\mathbb{R}.


3. h:x1xh: x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} définie sur ]0 ;+[]0 ;+\infty[.


4. k:xx2+5x+23x+1k: x \mapsto \dfrac{x^{2}+5 x+2}{3 x+1} définie sur R\{13}\mathbb{R} \backslash\left\{-\dfrac{1}{3}\right\}.


5. :x3x+1\ell: x \mapsto \sqrt{3 x+1} définie sur [13 ;+[\left[-\dfrac{1}{3} ;+\infty\right[.
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5
Déterminer une équation de tangente

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative au point d’abscisse 11.

1. f:x3x27x+8f: x \mapsto 3 x^{2}-7 x+8 définie sur R\mathbb{R}.


2. g:x5x+6g: x \mapsto \sqrt{5 x+6} définie sur [65 ;+[\left[-\dfrac{6}{5} ;+\infty\right[.


3. h:xexh: x \mapsto \mathrm{e}^{x} définie sur R\mathbb{R}.
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6
Problème

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=19(x3+3x224x+7)f(x)=\dfrac{1}{9}\left(x^{3}+3 x^{2}-24 x+7\right).

1. Dresser le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Déterminer une équation de la tangente T\mathcal{T} à la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 1-1.


3. Déterminer les abscisses des points pour lesquels la tangente à Cf\mathcal{C}_f est horizontale.


4. a. Dresser le tableau de variations de la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x3+3x2+3x+1g(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 et en déduire son signe.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

b. Étudier la position relative entre T\mathcal{T} et Cf\mathcal{C}_f.
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Anecdote

Beaucoup des résultats de ce chapitre font l’objet du premier texte d’analyse publié en 1696 par le Marquis de l’Hôpital (1661‑1704) : Analyse des infiniments petits pour l’intelligence des lignes courbes. Ce dernier a en fait exploité, sans vraiment le mentionner, les leçons que lui avait données contre rémunération le mathématicien suisse Jean Bernoulli (1667‑1748) à partir de 1691.
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