Compléments sur la dérivation
P.210-211
Chapitre 7
Compléments sur la dérivation
Cette image de colonnes de poussières interstellaires situées à environ 7 000 années‑lumière de la Terre a été prise par le télescope spatial Hubble. C’est grâce à des miroirs convexes, une propriété des fonctions étudiée dans ce chapitre, que les astronomes peuvent prendre de telles images.
Capacités attendues - chapitre 7
1. Calculer la dérivée d’une composée de fonctions et utiliser la notation .
2. Étudier le sens de variation d’une fonction, notamment en faisant intervenir la formule de composition.
3. Déterminer graphiquement et algébriquement la convexité d’une fonction.
4. Déterminer les points d’inflexion d’une courbe représentative d’une fonction.
5. Esquisser une allure possible de la courbe représentative d’une fonction à partir des données des tableaux de variations de , ou .
2. Étudier le sens de variation d’une fonction, notamment en faisant intervenir la formule de composition.
3. Déterminer graphiquement et algébriquement la convexité d’une fonction.
4. Déterminer les points d’inflexion d’une courbe représentative d’une fonction.
5. Esquisser une allure possible de la courbe représentative d’une fonction à partir des données des tableaux de variations de , ou .
Avant de commencer
Prérequis
1. Lire un nombre dérivé graphiquement.
2. Calculer une dérivée à l’aide de la limite du taux d’accroissement.
3. Maîtriser les dérivées des fonctions usuelles.
4. Utiliser les formules des dérivées de somme, produit, inverse, quotient.
5. Écrire une équation de tangente.
6. Déterminer le sens de variation d’une fonction avec le signe de la dérivée.
2. Calculer une dérivée à l’aide de la limite du taux d’accroissement.
3. Maîtriser les dérivées des fonctions usuelles.
4. Utiliser les formules des dérivées de somme, produit, inverse, quotient.
5. Écrire une équation de tangente.
6. Déterminer le sens de variation d’une fonction avec le signe de la dérivée.
1
Lire des images et des nombres dérivés
On a représenté en vert la courbe représentative d’une fonction définie sur et en rouge quelques‑unes de ses tangentes.
1
Lire graphiquement les images de 0 ; 1 ; 2 et 3 par la fonction ainsi que les nombres dérivés de en 0 ; 1 ; 2 et 3.
2
Utiliser le taux d’accroissement
1. Pour une fonction définie sur un intervalle , rappeler la définition du nombre dérivé au point d’abscisse .2
2. Soit la fonction définie sur par . Utiliser la définition précédente pour prouver que, pour tout réel , .
3
Connaître les dérivées des fonctions usuelles
Rappeler les dérivées des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée et de la fonction où et sont des réels et une fonction dérivable sur .3
4
Utiliser les formules de dérivation
Calculer les dérivées des fonctions suivantes après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité.
4
1. définie sur .
2. définie sur .
3. définie sur .
4. définie sur .
5. définie sur .
5
Déterminer une équation de tangente
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative au point d’abscisse .
5
1. définie sur .
2. définie sur .
3. définie sur .
6
Problème
Soit la fonction définie sur par :
6
.
1. Dresser le tableau de variations de sur .
Dessinez ici
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative au point d’abscisse .
3. Déterminer les abscisses des points pour lesquels la tangente à est horizontale.
4. a. Dresser le tableau de variations de la fonction définie sur par et en déduire son signe.
Dessinez ici
b. Étudier la position relative entre et .
Anecdote
Beaucoup des résultats de ce chapitre font l’objet du premier texte d’analyse publié en 1696 par le Marquis de l’Hôpital (1661‑1704) : Analyse des infiniments petits pour l’intelligence des lignes courbes. Ce dernier a en fait exploité, sans vraiment le mentionner, les leçons que lui avait données contre rémunération le mathématicien suisse Jean Bernoulli (1667‑1748) à partir de 1691.