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Activités
P.212-213

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A
De nouvelles formules de dérivation

Remarque

Pour démontrer la dérivabilité de φ\varphi et ψ\psi, on peut utiliser la limite du taux d’accroissement.


Objectif
Découvrir les formules de dérivation des composées de fonctions.


Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+x+1f(x)=x^{2}+x+1.

1
Justifier que ff est dérivable sur R\mathbb{R} et déterminer sa fonction dérivée ff^\prime.


2
Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x2g(x)=x^{2}.
a) Justifier que gg est dérivable sur R\mathbb{R} et déterminer sa dérivée gg^\prime.


b) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel xx par φ(x)=g(f(x))\varphi(x)=g(f(x)) et h(x)=g(f(x))h(x)=g^{\prime}(f(x)).


c) On admet que φ\varphi est dérivable pour tout réel aa. Démontrer que, pour tout réel aa, φ(a)=2(2a+1)(a2+a+1)\varphi^{\prime}(a)=2(2 a+1)\left(a^{2}+a+1\right).


Aide
Utiliser la dérivée d’un produit de fonctions pour calculer φ\varphi^{\prime}.


d) En déduire une relation entre φ(a)\varphi^{\prime}(a), f(a)f^{\prime}(a) et h(a)h(a).


3
Soit kk la fonction définie par k(x)=1xk(x)=\dfrac{1}{x}.
a) Donner l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité de la fonction kk.


b) Déterminer la fonction dérivée kk^\prime de kk.


c) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel xx par : ψ(x)=k(f(x))\psi(x)=k(f(x)) et p(x)=k(f(x))p(x)=k^{\prime}(f(x)).


d) On admet que ψ\psi est dérivable pour tout réel aa. Déterminer ψ(a)\psi^{\prime}(a).


Aide
Utiliser la dérivée d’un quotient de fonctions pour calculer ψ\psi^{\prime}.


e) En déduire une relation entre ψ(a)\psi^{\prime}(a), f(a)f^{\prime}(a) et p(a)p(a).
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Bilan

Pour toute fonction u\boldsymbol{u} définie sur un intervalle I\boldsymbol{\mathrm{I}}, conjecturer une formule pour la dérivée de u2\boldsymbol{u^2} et, si u\boldsymbol{u} ne s’annule pas sur I\boldsymbol{\mathrm{I}}, de 1u\boldsymbol{\dfrac{1}{u}}.
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B
Position relative d’une courbe par rapport à ses tangentes



Objectif
Découvrir la notion de fonction convexe.


Soit ff la fonction définie sur ];0[]-\infty\,; 0[ par f(x)=x3+1xf(x)=\dfrac{x^{3}+1}{x}.
On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (O;i;j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,; \overrightarrow{j}).

1
Justifier que ff est dérivable sur ];0[]-\infty\,; 0[ et déterminer f(x)f^\prime(x).


2
Soit gg la fonction définie sur ];0[]-\infty\,; 0[ par g(x)=2x31g(x)=2 x^{3}-1.
a) Dresser son tableau de variations sur ];0[]-\infty\,; 0[.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

b) En déduire le signe de gg sur ];0[]-\infty\,; 0[.


3
En déduire les variations de ff sur ];0[]-\infty\,; 0[.


4
Soit A\text{A} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse 1-1.
a) Écrire une équation de la tangente TA\mathrm{T}_\mathrm{A} à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point A\text{A}.


b) Représenter Cf\mathcal{C}_f et TA\mathrm{T}_\mathrm{A} sur la calculatrice ou à l’aide de GeoGebra.

Lancer le module Geogebra
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c) Soit M\text{M} un point d’abscisse xx situé sur Cf\mathcal{C}_f. On note P\text{P} le point d’abscissex x situé sur TA\mathrm{T}_\mathrm{A}. Pour tout x<0x \lt 0, exprimer d(x)=yMyPd(x)=y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{P}} en fonction de xx.


d) Étudier le signe de 2x3+3x212 x^{3}+3 x^{2}-1 puis en déduire les variations de dd sur ];0[]-\infty\,; 0[.


e) Après avoir calculé d(1)d(-1), déterminer la position de Cf\mathcal{C}_f par rapport à la tangente TA\mathrm{T}_\mathrm{A} selon les valeurs de xx.


Aide
Pour déterminer la position entre deux courbes, on étudie le signe de la différence des expressions des fonctions.
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Bilan

Lorsqu’une courbe représentative est placée au‑dessus de ses tangentes, on dit qu’elle est convexe. À l’aide d’une représentation graphique, conjecturer un intervalle sur lequel la fonction f\boldsymbol{f} est convexe.
Que se passe‑t‑il pour la tangente au niveau du point A\boldsymbol{\mathrm{A}} ?

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C
Modélisation d’un toboggan


Modélisation d’un toboggan


Objectif
Découvrir le lien entre fonction convexe et le sens de variation de sa fonction dérivée.


Afin de réduire au maximum les risques d’incidents, les toboggans sont soumis à des normes et des régulations très strictes, notamment vis‑à‑vis de leur pente maximale. Pour un toboggan de un mètre de haut destiné à une aire de jeu, on estime qu’il est aux normes si la valeur absolue de sa pente ne dépasse à aucun moment 1,51{,}5.
Un constructeur veut vendre un nouveau modèle de toboggan modélisé ci‑dessous par Cf\mathcal{C}_f, la courbe représentative d’une fonction ff définie sur [0;2][0\,; 2] par :
f(x)={x22+1 si x1x222x+2 si x>1f(x)=\left\{\begin{aligned}-\dfrac{x^{2}}{2}+1 & \text { si } x \leqslant 1 \\ \dfrac{x^{2}}{2}-2 x+2 & \text { si } x>1 \end{aligned}\right..
Avant de le vendre, le constructeur veut s’assurer que ce toboggan respecte bien les normes en vigueur.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - Activité C - Modélisation d’un toboggan

1
Justifier que ff est continue sur [0;2][0\,; 2].


2
Donner une expression de la fonction ff^\prime, dérivée de la fonction ff. Montrer que ff^\prime est continue sur [0;2][0\,; 2].


3
a) Donner une équation des tangentes à la courbe en x=0x = 0, en x=0,5x = 0{,}5, en x=1,5x = 1{,}5 et en x=2x = 2.


b) Comparer les pentes des tangentes à la courbe en x=0x = 0 et en x=0,5x = 0{,}5. Puis comparer les pentes des tangentes à la courbe en x=1,5x = 1{,}5 et en x=2x = 2. Comment semble évoluer la pente du toboggan entre 00 et 11 ? Comment semble évoluer la pente du toboggan entre 11 et 22 ? En quel point la valeur absolue de la pente semble‑t‑elle être maximale ?


4
a) Donner une expression de la fonction dérivée de la fonction dérivée de ff notée ff^{\prime\prime}. En déduire le tableau de variations de la fonction ff^{\prime}.


b) Sur quel intervalle la fonction ff^{\prime} est‑elle croissante ? Sur quel intervalle la fonction ff^{\prime} est‑elle décroissante ? En quel point admet‑elle un extremum ? Combien vaut‑il ?


c) Sur quel intervalle la fonction ff semble‑t‑elle convexe ? Sur quel intervalle la fonction ff semble‑t‑elle concave ?


5
En conclusion, ce nouveau modèle de toboggan respecte‑t‑il bien les normes en vigueur ?
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Bilan

Quel lien peut‑on conjecturer entre la convexité et le sens de variation de la dérivée d’une fonction ?
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