Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+x+1$.

Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa fonction dérivée $f^{\prime }$.


Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2$.
a) Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa dérivée $g^{\prime }$.


b) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel $x$ par $\phi (x)=g(f(x))$ et $h(x)=g^{\prime }(f(x))$.


c) On admet que $\phi$ est dérivable pour tout réel $a$. Démontrer que, pour tout réel $a$, ${\phi }^{\prime }(a)=2(2a+1)\left(a^2+a+1\right)$.




d) En déduire une relation entre ${\phi }^{\prime }(a)$, $f^{\prime }(a)$ et $h(a)$.


Soit $k$ la fonction définie par $k(x)=\frac{1}{x}$.
a) Donner l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité de la fonction $k$.


b) Déterminer la fonction dérivée $k^{\prime }$ de $k$.


c) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel $x$ par : $\psi (x)=k(f(x))$ et $p(x)=k^{\prime }(f(x))$.


d) On admet que $\psi$ est dérivable pour tout réel $a$. Déterminer ${\psi }^{\prime }(a)$.




e) En déduire une relation entre ${\psi }^{\prime }(a)$, $f^{\prime }(a)$ et $p(a)$.

Pour démontrer la dérivabilité de $\phi$ et $\psi$, on peut utiliser la limite du taux d’accroissement.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ;0[$ par $f(x)=\frac{x^3+1}{x}$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.

Justifier que $f$ est dérivable sur $]-\infty ;0[$ et déterminer $f^{\prime }(x)$.


Soit $g$ la fonction définie sur $]-\infty ;0[$ par $g(x)=2x^3-1$.
a) Dresser son tableau de variations sur $]-\infty ;0[$.


b) En déduire le signe de $g$ sur $]-\infty ;0[$.


En déduire les variations de $f$ sur $]-\infty ;0[$.


Soit $\text{A}$ le point de ${\mathcal{C}}_f$ d’abscisse $-1$.
a) Écrire une équation de la tangente ${\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}$ à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point $\text{A}$.


b) Représenter ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}$ sur la calculatrice ou à l’aide de GeoGebra.

c) Soit $\text{M}$ un point d’abscisse $x$ situé sur ${\mathcal{C}}_f$. On note $\text{P}$ le point d’abscisse$x$ situé sur ${\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}$. Pour tout $x<0$, exprimer $d(x)=y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{P}}$ en fonction de $x$.


d) Étudier le signe de $2x^3+3x^2-1$ puis en déduire les variations de $d$ sur $]-\infty ;0[$.


e) Après avoir calculé $d(-1)$, déterminer la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à la tangente ${\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}$ selon les valeurs de $x$.

Afin de réduire au maximum les risques d’incidents, les toboggans sont soumis à des normes et des régulations très strictes, notamment vis‑à‑vis de leur pente maximale. Pour un toboggan de un mètre de haut destiné à une aire de jeu, on estime qu’il est aux normes si la valeur absolue de sa pente ne dépasse à aucun moment $1,5$.
Un constructeur veut vendre un nouveau modèle de toboggan modélisé ci‑dessous par ${\mathcal{C}}_f$, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par : Avant de le vendre, le constructeur veut s’assurer que ce toboggan respecte bien les normes en vigueur.

Justifier que $f$ est continue sur $[0;2]$.


Donner une expression de la fonction $f^{\prime }$, dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f^{\prime }$ est continue sur $[0;2]$.


a) Donner une équation des tangentes à la courbe en $x=0$, en $x=0,5$, en $x=1,5$ et en $x=2$.


b) Comparer les pentes des tangentes à la courbe en $x=0$ et en $x=0,5$. Puis comparer les pentes des tangentes à la courbe en $x=1,5$ et en $x=2$. Comment semble évoluer la pente du toboggan entre $0$ et $1$ ? Comment semble évoluer la pente du toboggan entre $1$ et $2$ ? En quel point la valeur absolue de la pente semble‑t‑elle être maximale ?


a) Donner une expression de la fonction dérivée de la fonction dérivée de $f$ notée $f^{\prime \prime }$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f^{\prime }$.


b) Sur quel intervalle la fonction $f^{\prime }$ est‑elle croissante ? Sur quel intervalle la fonction $f^{\prime }$ est‑elle décroissante ? En quel point admet‑elle un extremum ? Combien vaut‑il ?


c) Sur quel intervalle la fonction $f$ semble‑t‑elle convexe ? Sur quel intervalle la fonction $f$ semble‑t‑elle concave ?


En conclusion, ce nouveau modèle de toboggan respecte‑t‑il bien les normes en vigueur ?