Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Activités
P.212-213

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Activités




A
De nouvelles formules de dérivation



Objectif
Découvrir les formules de dérivation des composées de fonctions.


Soit la fonction définie sur par .

1
Justifier que est dérivable sur et déterminer sa fonction dérivée .


2
Soit la fonction définie sur par .
a) Justifier que est dérivable sur et déterminer sa dérivée .


b) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel par et .


c) On admet que est dérivable pour tout réel . Démontrer que, pour tout réel , .


Aide
Utiliser la dérivée d’un produit de fonctions pour calculer .


d) En déduire une relation entre , et .


3
Soit la fonction définie par .
a) Donner l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité de la fonction .


b) Déterminer la fonction dérivée de .


c) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel par : et .


d) On admet que est dérivable pour tout réel . Déterminer .


Aide
Utiliser la dérivée d’un quotient de fonctions pour calculer .


e) En déduire une relation entre , et .
Voir les réponses


Bilan

Pour toute fonction définie sur un intervalle , conjecturer une formule pour la dérivée de et, si ne s’annule pas sur , de .
Voir les réponses

Remarque

Pour démontrer la dérivabilité de et , on peut utiliser la limite du taux d’accroissement.

B
Position relative d’une courbe par rapport à ses tangentes



Objectif
Découvrir la notion de fonction convexe.


Soit la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère .

1
Justifier que est dérivable sur et déterminer .


2
Soit la fonction définie sur par .
a) Dresser son tableau de variations sur .

Couleurs
Formes
Dessinez ici

b) En déduire le signe de sur .


3
En déduire les variations de sur .


4
Soit le point de d’abscisse .
a) Écrire une équation de la tangente à la courbe au point .


b) Représenter et sur la calculatrice ou à l’aide de GeoGebra.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
c) Soit un point d’abscisse situé sur . On note le point d’abscisse situé sur . Pour tout , exprimer en fonction de .


d) Étudier le signe de puis en déduire les variations de sur .


e) Après avoir calculé , déterminer la position de par rapport à la tangente selon les valeurs de .


Aide
Pour déterminer la position entre deux courbes, on étudie le signe de la différence des expressions des fonctions.
Voir les réponses


Bilan

Lorsqu’une courbe représentative est placée au‑dessus de ses tangentes, on dit qu’elle est convexe. À l’aide d’une représentation graphique, conjecturer un intervalle sur lequel la fonction est convexe.
Que se passe‑t‑il pour la tangente au niveau du point  ?

Voir les réponses

C
Modélisation d’un toboggan



Objectif
Découvrir le lien entre fonction convexe et le sens de variation de sa fonction dérivée.


Afin de réduire au maximum les risques d’incidents, les toboggans sont soumis à des normes et des régulations très strictes, notamment vis‑à‑vis de leur pente maximale. Pour un toboggan de un mètre de haut destiné à une aire de jeu, on estime qu’il est aux normes si la valeur absolue de sa pente ne dépasse à aucun moment .
Un constructeur veut vendre un nouveau modèle de toboggan modélisé ci‑dessous par , la courbe représentative d’une fonction définie sur par :
.
Avant de le vendre, le constructeur veut s’assurer que ce toboggan respecte bien les normes en vigueur.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - Activité C - Modélisation d’un toboggan

1
Justifier que est continue sur .


2
Donner une expression de la fonction , dérivée de la fonction . Montrer que est continue sur .


3
a) Donner une équation des tangentes à la courbe en , en , en et en .


b) Comparer les pentes des tangentes à la courbe en et en . Puis comparer les pentes des tangentes à la courbe en et en . Comment semble évoluer la pente du toboggan entre et  ? Comment semble évoluer la pente du toboggan entre et  ? En quel point la valeur absolue de la pente semble‑t‑elle être maximale ?


4
a) Donner une expression de la fonction dérivée de la fonction dérivée de notée . En déduire le tableau de variations de la fonction .


b) Sur quel intervalle la fonction est‑elle croissante ? Sur quel intervalle la fonction est‑elle décroissante ? En quel point admet‑elle un extremum ? Combien vaut‑il ?


c) Sur quel intervalle la fonction semble‑t‑elle convexe ? Sur quel intervalle la fonction semble‑t‑elle concave ?


5
En conclusion, ce nouveau modèle de toboggan respecte‑t‑il bien les normes en vigueur ?
Voir les réponses


Bilan

Quel lien peut‑on conjecturer entre la convexité et le sens de variation de la dérivée d’une fonction ?
Voir les réponses

Modélisation d’un toboggan
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.