Activités

Pour démontrer la dérivabilité de $\varphi$ et $\psi$, on peut utiliser la limite du taux d’accroissement.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{2}+x+1$.

Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa fonction dérivée $f^\prime$.


Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^{2}$.
a) Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa dérivée $g^\prime$.


b) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel $x$ par $\varphi(x)=g(f(x))$ et $h(x)=g^{\prime}(f(x))$.


c) On admet que $\varphi$ est dérivable pour tout réel $a$. Démontrer que, pour tout réel $a$, $\varphi^{\prime}(a)=2(2 a+1)\left(a^{2}+a+1\right)$.




d) En déduire une relation entre $\varphi^{\prime}(a)$, $f^{\prime}(a)$ et $h(a)$.


Soit $k$ la fonction définie par $k(x)=\dfrac{1}{x}$.
a) Donner l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité de la fonction $k$.


b) Déterminer la fonction dérivée $k^\prime$ de $k$.


c) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel $x$ par : $\psi(x)=k(f(x))$ et $p(x)=k^{\prime}(f(x))$.


d) On admet que $\psi$ est dérivable pour tout réel $a$. Déterminer $\psi^{\prime}(a)$.




e) En déduire une relation entre $\psi^{\prime}(a)$, $f^{\prime}(a)$ et $p(a)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty\,; 0[$ par $f(x)=\dfrac{x^{3}+1}{x}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère $(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,; \overrightarrow{j})$.

Justifier que $f$ est dérivable sur $]-\infty\,; 0[$ et déterminer $f^\prime(x)$.


Soit $g$ la fonction définie sur $]-\infty\,; 0[$ par $g(x)=2 x^{3}-1$.
a) Dresser son tableau de variations sur $]-\infty\,; 0[$.

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b) En déduire le signe de $g$ sur $]-\infty\,; 0[$.


En déduire les variations de $f$ sur $]-\infty\,; 0[$.


Soit $\text{A}$ le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $-1$.
a) Écrire une équation de la tangente $\mathrm{T}_\mathrm{A}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $\text{A}$.


b) Représenter $\mathcal{C}_f$ et $\mathrm{T}_\mathrm{A}$ sur la calculatrice ou à l’aide de GeoGebra.

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c) Soit $\text{M}$ un point d’abscisse $x$ situé sur $\mathcal{C}_f$. On note $\text{P}$ le point d’abscisse$x$ situé sur $\mathrm{T}_\mathrm{A}$. Pour tout $x \lt 0$, exprimer $d(x)=y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{P}}$ en fonction de $x$.


d) Étudier le signe de $2 x^{3}+3 x^{2}-1$ puis en déduire les variations de $d$ sur $]-\infty\,; 0[$.


e) Après avoir calculé $d(-1)$, déterminer la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la tangente $\mathrm{T}_\mathrm{A}$ selon les valeurs de $x$.

Afin de réduire au maximum les risques d’incidents, les toboggans sont soumis à des normes et des régulations très strictes, notamment vis‑à‑vis de leur pente maximale. Pour un toboggan de un mètre de haut destiné à une aire de jeu, on estime qu’il est aux normes si la valeur absolue de sa pente ne dépasse à aucun moment $1{,}5$.
Un constructeur veut vendre un nouveau modèle de toboggan modélisé ci‑dessous par $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[0\,; 2]$ par : $f(x)=\left\{\begin{aligned}-\dfrac{x^{2}}{2}+1 & \text { si } x \leqslant 1 \\ \dfrac{x^{2}}{2}-2 x+2 & \text { si } x>1 \end{aligned}\right.$. Avant de le vendre, le constructeur veut s’assurer que ce toboggan respecte bien les normes en vigueur.

Justifier que $f$ est continue sur $[0\,; 2]$.


Donner une expression de la fonction $f^\prime$, dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f^\prime$ est continue sur $[0\,; 2]$.


a) Donner une équation des tangentes à la courbe en $x = 0$, en $x = 0{,}5$, en $x = 1{,}5$ et en $x = 2$.


b) Comparer les pentes des tangentes à la courbe en $x = 0$ et en $x = 0{,}5$. Puis comparer les pentes des tangentes à la courbe en $x = 1{,}5$ et en $x = 2$. Comment semble évoluer la pente du toboggan entre $0$ et $1$ ? Comment semble évoluer la pente du toboggan entre $1$ et $2$ ? En quel point la valeur absolue de la pente semble‑t‑elle être maximale ?


a) Donner une expression de la fonction dérivée de la fonction dérivée de $f$ notée $f^{\prime\prime}$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f^{\prime}$.


b) Sur quel intervalle la fonction $f^{\prime}$ est‑elle croissante ? Sur quel intervalle la fonction $f^{\prime}$ est‑elle décroissante ? En quel point admet‑elle un extremum ? Combien vaut‑il ?


c) Sur quel intervalle la fonction $f$ semble‑t‑elle convexe ? Sur quel intervalle la fonction $f$ semble‑t‑elle concave ?


En conclusion, ce nouveau modèle de toboggan respecte‑t‑il bien les normes en vigueur ?