Préparer le BAC

Partie A : Conjectures

Le graphique ci‑dessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.


1. Conjecturer le sens de variation de f sur [-4\,; 2].


2. Conjecturer le signe de f(x) sur [-4\,; 2].

Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire

On définit la fonction g sur \mathbb{R} par g(x)=(x+2) \mathrm{e}^{x-1}-1.

1. Calculer g^\prime(x).

2. Étudier le signe de g^\prime(x) sur [-4\,; 2].

3. Dresser le tableau de variations de g sur [-4\,; 2].


4. On admet que g(x) = 0 admet une unique solution \alpha dans \mathbb{R} et que 0{,}20 \lt \alpha \lt 0{,}21.
Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Partie C : Étude de la fonction \boldsymbol{f}

1. Déterminer f^\prime(x) pour tout réel x.

2. Exprimer f^\prime(x) en fonction de g(x).

3. En déduire le signe de f^\prime(x) sur [-4\,; 2].

4. Dresser le tableau de variations de f sur [-4\,; 2].


5. Ces résultats valident‑ils les conjectures de la

partie A

 ?

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Partie A

Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.


1. Déterminer une équation de la droite \mathcal{D}.

2. Donner la valeur de f^{\prime}(1). Justifier.

3. Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.

Partie B

La fonction f est définie sur l'intervalle [0\,; 3] par f(x)=2 x \mathrm{e}^{-0,5 x^{2}}. On note f^\prime la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0\,; 3].

1. Montrer que, pour tout x \in[0\,; 3] :

f^{\prime}(x)=\left(2-2 x^{2}\right) \mathrm{e}^{-0,5 x^{2}}.

2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0\,; 3] et dresser son tableau de variations.
4. a. Déterminer la dérivée seconde f^{\prime\prime} de f et étudier son signe.

b. Étudier la convexité de f sur [0\,; 3].

Partie C

En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par cette fonction f l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d'hiver.
Pour tout x appartenant à l'intervalle [0\,; 3], f(x) représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant x, exprimé en mois.
Un journal affirme que cet hiver le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million.
Que dire de cette affirmation ?

Partie A

On considère la fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} par f(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{-x} où a, b et c désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.
Sur le graphique ci‑dessous, on a représenté la courbe représentative \mathcal{C}_f de la fonction f dans le plan muni du repère orthogonal (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).


On admet que la droite \mathcal{D} passe par \text{A} et est tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point \text{B}.

1. a. À l'aide d'une lecture graphique, déterminer les coordonnées entières des points \text{A} et \text{B}.
En déduire f(-3) et f(0).

b. Montrer qu'une équation de la droite (\mathrm{AB}) est y = x + 3. En déduire la valeur de f^{\prime}(0).

2. a. Montrer que, pour tout x appartenant à \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=\left[-a x^{2}+(2 a-b) x+b-c\right] \mathrm{e}^{-x}.

b. En déduire f^\prime(0), en fonction de b et c.

3. a. En utilisant les questions précédentes, montrer que les réels a, b et c sont solutions du système :

\left\{\begin{aligned} 9 a-3 b+c &=0 \\ b-c &=1 \\ c &=3 \end{aligned}\right..

b. Résoudre le système et en déduire l'expression de f(x) en fonction de x.

Partie B

On suppose que f est définie sur \mathbb{R} par :
1. Vérifier que, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=\left(-x^{2}-2 x+1\right) \mathrm{e}^{-x}.

2. Pour tout réel x, étudier le signe de f^\prime(x) et dresser le tableau de variations de la fonction f sur \mathbb{R}.

3. Calculer une valeur approchée à 10^{-1} près de l'ordonnée de chacun des points de la courbe \mathcal{C}_f où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.