[D’après bac ES, Antilles-Guyane, septembre 2019]
On donne ci‑dessous la courbe
C représentative d’une fonction
f définie et dérivable sur l’intervalle
[0;3]. On note
f′ la fonction dérivée de
f.
La droite
D est la tangente à la courbe
C au point d’abscisse
0. Elle passe par le point
A de coordonnées
(0,5;1) et par l’origine du repère.
La tangente
T à la courbe
C au point d’abscisse
1 est parallèle à l’axe des abscisses.
Partie A
Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.
1. Déterminer une équation de la droite
D.
2. Donner la valeur de
f′(1). Justifier.
3. Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.
Partie B
La fonction
f est définie sur l’intervalle
[0;3] par
f(x)=2xe−0,5x2. On note
f′ la fonction dérivée de
f sur l’intervalle
[0;3].
1. Montrer que, pour tout
x∈[0;3] :
f′(x)=(2−2x2)e−0,5x2.
2. Étudier les variations de la fonction
f sur l’intervalle
[0;3] et dresser son tableau de variations.
4. a. Déterminer la dérivée seconde
f′′ de
f et étudier son signe.
b. Étudier la convexité de
f sur
[0;3].
Partie C
En Europe, les observateurs d’une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu’ils peuvent modéliser par cette fonction
f l’évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d’hiver.
Pour tout
x appartenant à l’intervalle
[0;3],
f(x) représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l’instant
x, exprimé en mois.
Un journal affirme que cet hiver le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million.
Que dire de cette affirmation ?