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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Méthode BAC
Préparer le BAC
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Comment répondre aux questions du bac ?
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1
Conjecturer à partir d'un graphique.
Une lecture graphique peut permettre de conjecturer les coordonnées de points ainsi que la dérivée d'une fonction en un point. Pour rappel, f′(a) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
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2
Étudier les variations d'une fonction f .
Il suffit de démontrer que f est dérivable, de déterminer sa dérivée et d'étudier son signe. Étudier le signe de f′ est souvent la partie la plus difficile.
On utilise généralement les études de signe des fonctions usuelles (fonctions affines, polynômes du second degré, fonction exponentielle, etc.). Parfois, il peut être nécessaire d'étudier les variations de la dérivée (donc le signe de la dérivée seconde) pour déterminer le signe de f′. On peut également passer par l'étude d'une fonction auxiliaire.
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Exercices
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98
[D'après bac ES, Antilles-Guyane, septembre 2019]
On donne ci‑dessous la courbe C représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0;3]. On note f′ la fonction dérivée de f.
La droite D est la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0. Elle passe par le point A de coordonnées (0,5;1) et par l'origine du repère.
La tangente T à la courbe C au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.
Partie A
Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Déterminer une équation de la droite D.
2. Donner la valeur de f′(1). Justifier.
3. Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.
Partie B
La fonction f est définie sur l'intervalle [0;3] par f(x)=2xe−0,5x2. On note f′ la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0;3].
1. Montrer que, pour tout x∈[0;3] :
f′(x)=(2−2x2)e−0,5x2.
2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0;3] et dresser son tableau de variations.
Dessinez ici
4.a. Déterminer la dérivée seconde f′′ de f et étudier son signe.
b. Étudier la convexité de f sur [0;3].
Partie C
En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par cette fonction f l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d'hiver.
Pour tout x appartenant à l'intervalle [0;3], f(x) représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant x, exprimé en mois.
Un journal affirme que cet hiver le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million.
Que dire de cette affirmation ?
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99
[D'après bac STI Génie électrique, Métropole, 2004]
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur R par f(x)=(ax2+bx+c)e−x où a, b et c désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.
Sur le graphique ci‑dessous, on a représenté la courbe représentative Cf de la fonction f dans le plan muni du repère orthogonal (O;i,j).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
On admet que la droite D passe par A et est tangente à la courbe Cf au point B.
1.a. À l'aide d'une lecture graphique, déterminer les coordonnées entières des points A et B.
En déduire f(−3) et f(0).
b. Montrer qu'une équation de la droite (AB) est y=x+3. En déduire la valeur de f′(0).
2.a. Montrer que, pour tout x appartenant à R, f′(x)=[−ax2+(2a−b)x+b−c]e−x.
b. En déduire f′(0), en fonction de b et c.
3.a. En utilisant les questions précédentes, montrer que les réels a, b et c sont solutions du système :
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧9a−3b+cb−cc=0=1=3.
b. Résoudre le système et en déduire l'expression de f(x) en fonction de x.
Partie B
On suppose que f est définie sur R par :
f(x)=(x2+4x+3)e−x.
1. Vérifier que, pour tout réel x, f′(x)=(−x2−2x+1)e−x.
2. Pour tout réel x, étudier le signe de f′(x) et dresser
le tableau de variations de la fonction f sur R.
Dessinez ici
3. Calculer une valeur approchée à 10−1 près de l'ordonnée de chacun des points de la courbe Cf où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
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