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Préparer le bac
P.234-235

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Comment répondre aux questions du bac ?

1
Conjecturer à partir d’un graphique.

Une lecture graphique peut permettre de conjecturer les coordonnées de points ainsi que la dérivée d’une fonction en un point. Pour rappel, correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse .

Voir exercice
99
question 1.

2
Étudier les variations d’une fonction .

Il suffit de démontrer que est dérivable, de déterminer sa dérivée et d’étudier son signe. Étudier le signe de est souvent la partie la plus difficile.
On utilise généralement les études de signe des fonctions usuelles (fonctions affines, polynômes du second degré, fonction exponentielle, etc.). Parfois, il peut être nécessaire d’étudier les variations de la dérivée (donc le signe de la dérivée seconde) pour déterminer le signe de . On peut également passer par l’étude d’une fonction auxiliaire.

Voir exercice
97
partie C

3
Étudier la convexité d’une fonction .

Il suffit de démontrer que est deux fois dérivable et d’étudier le signe de la dérivée seconde.

Voir exercice
98
partie B
97
[D’après bac S, Pondichéry, 2003]
On considère la fonction définie sur par : .

Partie A : Conjectures

Le graphique ci‑dessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice guidé

1. Conjecturer le sens de variation de sur .

Couleurs
Formes
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2. Conjecturer le signe de sur .


Aide
Une conjecture est une hypothèse formulée à partir d’un graphique ou de calculs.


Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire

Remarque
L’étude d’une fonction auxiliaire permet d’obtenir des résultats utiles pour l’étude de la fonction du problème.


On définit la fonction sur par .

1. Calculer .


Aide
Reconnaître la forme de la dérivée pour écrire la formule. Bien définir les fonctions.


2. Étudier le signe de sur .


Aide
Penser à utiliser le signe de la fonction exponentielle.


3. Dresser le tableau de variations de sur .

Couleurs
Formes
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Aide
Le signe de est sans doute utile.


4. On admet que admet une unique solution dans et que .
Déterminer le signe de suivant les valeurs de .


Aide
Identifier le signe des images du tableau de variations établi lors de la question précédente.


Partie C : Étude de la fonction

1. Déterminer pour tout réel .


2. Exprimer en fonction de .


3. En déduire le signe de sur .


Aide
Ne pas oublier d’utiliser les résultats précédents.


4. Dresser le tableau de variations de sur .

Aide
Le signe de est sans doute utile.
Couleurs
Formes
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5. Ces résultats valident‑ils les conjectures de la partie A ?


Aide
Il faut savoir être critique avec la conjecture.
Voir les réponses

98
[D’après bac ES, Antilles-Guyane, septembre 2019]
On donne ci‑dessous la courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle . On note la fonction dérivée de .
La droite est la tangente à la courbe au point d’abscisse . Elle passe par le point de coordonnées et par l’origine du repère.
La tangente à la courbe au point d’abscisse est parallèle à l’axe des abscisses.

Partie A
Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 98

1. Déterminer une équation de la droite .


2. Donner la valeur de . Justifier.


3. Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.


Partie B
La fonction est définie sur l’intervalle par . On note la fonction dérivée de sur l’intervalle .

1. Montrer que, pour tout  :
.


2. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle et dresser son tableau de variations.
Couleurs
Formes
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4. a. Déterminer la dérivée seconde de et étudier son signe.


b. Étudier la convexité de sur .


Partie C
En Europe, les observateurs d’une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu’ils peuvent modéliser par cette fonction l’évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d’hiver.
Pour tout appartenant à l’intervalle , représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l’instant , exprimé en mois.
Un journal affirme que cet hiver le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million.
Que dire de cette affirmation ?
Voir les réponses

99
[D’après bac STI Génie électrique, Métropole, 2004]
Partie A
On considère la fonction définie et dérivable sur par , et désignent trois nombres réels que l’on se propose de déterminer dans cette partie.
Sur le graphique ci‑dessous, on a représenté la courbe représentative de la fonction dans le plan muni du repère orthogonal .

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 99

On admet que la droite passe par et est tangente à la courbe au point .

1. a. À l’aide d’une lecture graphique, déterminer les coordonnées entières des points et .
En déduire et .


b. Montrer qu’une équation de la droite est . En déduire la valeur de .


2. a. Montrer que, pour tout appartenant à , .


b. En déduire , en fonction de et .


3. a. En utilisant les questions précédentes, montrer que les réels , et sont solutions du système :
.


b. Résoudre le système et en déduire l’expression de en fonction de .


Partie B On suppose que est définie sur par :
.

1. Vérifier que, pour tout réel , .


2. Pour tout réel , étudier le signe de et dresser le tableau de variations de la fonction sur .


Couleurs
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3. Calculer une valeur approchée à près de l’ordonnée de chacun des points de la courbe où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
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