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Comment répondre aux questions du bac ?

1
Conjecturer à partir d’un graphique.

Une lecture graphique peut permettre de conjecturer les coordonnées de points ainsi que la dérivée d’une fonction en un point. Pour rappel, f(a)f^\prime(a) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de ff au point d’abscisse aa.

Voir exercice
99
question 1.

2
Étudier les variations d’une fonction f\boldsymbol{f} .

Il suffit de démontrer que ff est dérivable, de déterminer sa dérivée et d’étudier son signe. Étudier le signe de ff^\prime est souvent la partie la plus difficile.
On utilise généralement les études de signe des fonctions usuelles (fonctions affines, polynômes du second degré, fonction exponentielle, etc.). Parfois, il peut être nécessaire d’étudier les variations de la dérivée (donc le signe de la dérivée seconde) pour déterminer le signe de ff^\prime. On peut également passer par l’étude d’une fonction auxiliaire.

Voir exercice
97
partie C

3
Étudier la convexité d’une fonction f\boldsymbol{f}.

Il suffit de démontrer que ff est deux fois dérivable et d’étudier le signe de la dérivée seconde.

Voir exercice
98
partie B
97
[D’après bac S, Pondichéry, 2003]
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x2ex1x22f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{x-1}-\dfrac{x^{2}}{2}.

Partie A : Conjectures

Le graphique ci‑dessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice guidé

1. Conjecturer le sens de variation de ff sur [4;2][-4\,; 2].

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Conjecturer le signe de f(x)f(x) sur [4;2][-4\,; 2].


Aide
Une conjecture est une hypothèse formulée à partir d’un graphique ou de calculs.


Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire

Remarque
L’étude d’une fonction auxiliaire permet d’obtenir des résultats utiles pour l’étude de la fonction du problème.


On définit la fonction gg sur R\mathbb{R} par g(x)=(x+2)ex11g(x)=(x+2) \mathrm{e}^{x-1}-1.

1. Calculer g(x)g^\prime(x).


Aide
Reconnaître la forme de la dérivée pour écrire la formule. Bien définir les fonctions.


2. Étudier le signe de g(x)g^\prime(x) sur [4;2][-4\,; 2].


Aide
Penser à utiliser le signe de la fonction exponentielle.


3. Dresser le tableau de variations de gg sur [4;2][-4\,; 2].

Couleurs
Formes
Dessinez ici

Aide
Le signe de gg^\prime est sans doute utile.


4. On admet que g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution α\alpha dans R\mathbb{R} et que 0,20<α<0,210{,}20 \lt \alpha \lt 0{,}21.
Déterminer le signe de g(x)g(x) suivant les valeurs de xx.


Aide
Identifier le signe des images du tableau de variations établi lors de la question précédente.


Partie C : Étude de la fonction f\boldsymbol{f}

1. Déterminer f(x)f^\prime(x) pour tout réel xx.


2. Exprimer f(x)f^\prime(x) en fonction de g(x)g(x).


3. En déduire le signe de f(x)f^\prime(x) sur [4;2][-4\,; 2].


Aide
Ne pas oublier d’utiliser les résultats précédents.


4. Dresser le tableau de variations de ff sur [4;2][-4\,; 2].

Aide
Le signe de ff^\prime est sans doute utile.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

5. Ces résultats valident‑ils les conjectures de la partie A ?


Aide
Il faut savoir être critique avec la conjecture.
Voir les réponses

98
[D’après bac ES, Antilles-Guyane, septembre 2019]
On donne ci‑dessous la courbe C\mathcal{C} représentative d’une fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [0;3][0\,; 3]. On note ff^\prime la fonction dérivée de ff.
La droite D\mathcal{D} est la tangente à la courbe C\mathcal{C} au point d’abscisse 00. Elle passe par le point A\text{A} de coordonnées (0,5;1)(0{,}5\,; 1) et par l’origine du repère.
La tangente T\text{T} à la courbe C\mathcal{C} au point d’abscisse 11 est parallèle à l’axe des abscisses.

Partie A
Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 98

1. Déterminer une équation de la droite D\mathcal{D}.


2. Donner la valeur de f(1)f^{\prime}(1). Justifier.


3. Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.


Partie B
La fonction ff est définie sur l’intervalle [0;3][0\,; 3] par f(x)=2xe0,5x2f(x)=2 x \mathrm{e}^{-0,5 x^{2}}. On note ff^\prime la fonction dérivée de ff sur l’intervalle [0;3][0\,; 3].

1. Montrer que, pour tout x[0;3]x \in[0\,; 3] :
f(x)=(22x2)e0,5x2f^{\prime}(x)=\left(2-2 x^{2}\right) \mathrm{e}^{-0,5 x^{2}}.


2. Étudier les variations de la fonction ff sur l’intervalle [0;3][0\,; 3] et dresser son tableau de variations.
Couleurs
Formes
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4. a. Déterminer la dérivée seconde ff^{\prime\prime} de ff et étudier son signe.


b. Étudier la convexité de ff sur [0;3][0\,; 3].


Partie C
En Europe, les observateurs d’une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu’ils peuvent modéliser par cette fonction ff l’évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d’hiver.
Pour tout xx appartenant à l’intervalle [0;3][0\,; 3], f(x)f(x) représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l’instant xx, exprimé en mois.
Un journal affirme que cet hiver le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million.
Que dire de cette affirmation ?
Voir les réponses

99
[D’après bac STI Génie électrique, Métropole, 2004]
Partie A
On considère la fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=(ax2+bx+c)exf(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{-x}aa, bb et cc désignent trois nombres réels que l’on se propose de déterminer dans cette partie.
Sur le graphique ci‑dessous, on a représenté la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff dans le plan muni du repère orthogonal (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 99

On admet que la droite D\mathcal{D} passe par A\text{A} et est tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point B\text{B}.

1. a. À l’aide d’une lecture graphique, déterminer les coordonnées entières des points A\text{A} et B\text{B}.
En déduire f(3)f(-3) et f(0)f(0).


b. Montrer qu’une équation de la droite (AB)(\mathrm{AB}) est y=x+3y = x + 3. En déduire la valeur de f(0)f^{\prime}(0).


2. a. Montrer que, pour tout xx appartenant à R\mathbb{R}, f(x)=[ax2+(2ab)x+bc]exf^{\prime}(x)=\left[-a x^{2}+(2 a-b) x+b-c\right] \mathrm{e}^{-x}.


b. En déduire f(0)f^\prime(0), en fonction de bb et cc.


3. a. En utilisant les questions précédentes, montrer que les réels aa, bb et cc sont solutions du système :
{9a3b+c=0bc=1c=3\left\{\begin{aligned} 9 a-3 b+c &=0 \\ b-c &=1 \\ c &=3 \end{aligned}\right..


b. Résoudre le système et en déduire l’expression de f(x)f(x) en fonction de xx.


Partie B On suppose que ff est définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=(x2+4x+3)exf(x)=\left(x^{2}+4 x+3\right) \mathrm{e}^{-x}.

1. Vérifier que, pour tout réel xx, f(x)=(x22x+1)exf^{\prime}(x)=\left(-x^{2}-2 x+1\right) \mathrm{e}^{-x}.


2. Pour tout réel xx, étudier le signe de f(x)f^\prime(x) et dresser le tableau de variations de la fonction ff sur R\mathbb{R}.


Couleurs
Formes
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3. Calculer une valeur approchée à 10110^{-1} près de l’ordonnée de chacun des points de la courbe Cf\mathcal{C}_f où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
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