Questions préliminaires :
1. Écrire le développement limité de f à l'ordre 1 en a. De quelle approximation s'agit‑il ?

2. On suppose que 0 \in \mathrm{I}. Que devient le développement limité à l'ordre n de la fonction f en a = 0 ?

On admet que (x-a)^{n} \mathrm{R}(x) est négligeable et que l'on peut donc écrire l'approximation polynomiale à l'ordre n suivante : f(x) \approx f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\ldots+\frac{(x-a)^{n}}{n !} f^{(n)}(a).

3. Soit f la fonction définie sur [-1 ;+\infty[ par f(x)=\sqrt{1+x}. On se place uniquement sur l'intervalle \mathrm{I}=]-1 ;+\infty[ sur lequel la fonction f est deux fois dérivable.
Démontrer que l'approximation polynomiale à l'ordre 2 de f en 0 est f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}.

1. Dans la ligne de saisie, définir la fonction f.

2. Créer un curseur n allant de 0 à 10 avec un pas de 1.

3. On souhaite créer la fonction g correspondant à l'approximation polynomiale de f en 0 donnée par son développement limité à l'ordre n.
Pour cela, créer la fonction g de la façon suivante.


4. En fonction des différentes valeurs de n, décrire la courbe représentative de g en fonction de celle de f sur l'intervalle [-0{,}5\,; 0{,}5].

5. Afin de mieux se rendre compte de l'approximation, créer la fonction h définie, pour tout x \in \mathrm{I}, par h(x)=f(x)-g(x) et commenter la courbe obtenue.

1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous pour x variant de -0{,}9 à 1 avec un pas de 0{,}1. (Fichier téléchargeable

ici

.)


2. a. Compléter la colonne B pour obtenir les images de x par f.

b. Quelles formules faut‑il écrire dans les cellules C2 et D2 ? Compléter alors les colonnes C et D.

3. a. Compléter les colonnes E et F pour obtenir les images de x par une approximation de f à l'ordre 2.

b. Cette approximation est‑elle meilleure que celle à l'ordre 1 ? Justifier.

4. Une approximation de f à l'ordre 3 est f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}.

Une approximation de f à l'ordre 4 est f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}-\frac{5}{64} x^{4}.

Compléter les colonnes G, H, I et J sur le même modèle que précédemment, puis comparer les différentes approximations.