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TP2. Approximation d’une fonction
P.221

TP / TICE 2


2
Approximation d’une fonction




Énoncé

Soit une fonction définie et dérivable fois sur un intervalle . Soit . Alors, pour tout , on a

est une fonction définie au voisinage de telle que .
C’est ce qu’on appelle le développement limité de en à l’ordre .
On rappelle que, pour tout entier , .

Questions préliminaires :
1. Écrire le développement limité de à l’ordre en . De quelle approximation s’agit‑il ?


2. On suppose que . Que devient le développement limité à l’ordre de la fonction en  ?


On admet que est négligeable et que l’on peut donc écrire l’approximation polynomiale à l’ordre suivante : .

3. Soit la fonction définie sur par . On se place uniquement sur l’intervalle sur lequel la fonction est deux fois dérivable.
Démontrer que l’approximation polynomiale à l’ordre de en est .
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Objectif

À l’aide d’une des deux méthodes, utiliser les développements limités pour obtenir une approximation de plus en plus précise de la fonction , définie ci‑dessus, en .
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

Ouvrir une nouvelle fenêtre graphique GeoGebra.

1. Dans la ligne de saisie, définir la fonction .

2. Créer un curseur n allant de à avec un pas de .

3. On souhaite créer la fonction correspondant à l’approximation polynomiale de en donnée par son développement limité à l’ordre n.
Pour cela, créer la fonction de la façon suivante.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - TP2. Approximation d’une fonction

4. En fonction des différentes valeurs de n, décrire la courbe représentative de en fonction de celle de sur l’intervalle .


5. Afin de mieux se rendre compte de l’approximation, créer la fonction définie, pour tout , par et commenter la courbe obtenue.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

On note l’approximation polynomiale de en donnée par son développement limité d’ordre .

1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous pour variant de à avec un pas de . (Fichier téléchargeable ici.)

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - TP2. Approximation d’une fonction

2. a. Compléter la colonne B pour obtenir les images de par .

b. Quelles formules faut‑il écrire dans les cellules C2 et D2 ? Compléter alors les colonnes C et D.


3. a. Compléter les colonnes E et F pour obtenir les images de par une approximation de à l’ordre .

b. Cette approximation est‑elle meilleure que celle à l’ordre  ? Justifier.


4. Une approximation de à l’ordre est .

Une approximation de à l’ordre est .

Compléter les colonnes G, H, I et J sur le même modèle que précédemment, puis comparer les différentes approximations.
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