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TP2. Approximation d’une fonction
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TP / TICE 2


2
Approximation d’une fonction




Énoncé

Soit ff une fonction définie et dérivable nn fois sur un intervalle I\mathrm{I}. Soit aIa \in \mathrm{I}. Alors, pour tout xIx \in \mathrm{I}, on a
f(x)=f(a)+(xa)f(a)+(xa)22!f(a)++(xa)nn!f(n)(a)+(xa)nR(x)f(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\dfrac{(x-a)^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\ldots+\dfrac{(x-a)^{n}}{n !} f^{(n)}(a)+(x-a)^{n} \mathrm{R}(x)
R\text{R} est une fonction définie au voisinage de aa telle que limxaR(x)=0\lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} \mathrm{R}(x)=0.
C’est ce qu’on appelle le développement limité de ff en aa à l’ordre nn.
On rappelle que, pour tout entier n1n \geqslant 1, n!=1×2××nn !=1 \times 2 \times \ldots \times n.

Questions préliminaires :
1. Écrire le développement limité de ff à l’ordre 11 en aa. De quelle approximation s’agit‑il ?


2. On suppose que 0I0 \in \mathrm{I}. Que devient le développement limité à l’ordre nn de la fonction ff en a=0a = 0 ?


On admet que (xa)nR(x)(x-a)^{n} \mathrm{R}(x) est négligeable et que l’on peut donc écrire l’approximation polynomiale à l’ordre nn suivante : f(x)f(a)+(xa)f(a)+(xa)22!f(a)++(xa)nn!f(n)(a)f(x) \approx f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\dfrac{(x-a)^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\ldots+\dfrac{(x-a)^{n}}{n !} f^{(n)}(a).

3. Soit ff la fonction définie sur [1 ;+[[-1 ;+\infty[ par f(x)=1+xf(x)=\sqrt{1+x}. On se place uniquement sur l’intervalle I=]1 ;+[\mathrm{I}=]-1 ;+\infty[ sur lequel la fonction ff est deux fois dérivable.
Démontrer que l’approximation polynomiale à l’ordre 22 de ff en 00 est f(x)1+12x18x2f(x) \approx 1+\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{8} x^{2}.
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Objectif

À l’aide d’une des deux méthodes, utiliser les développements limités pour obtenir une approximation de plus en plus précise de la fonction ff, définie ci‑dessus, en 00.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

Ouvrir une nouvelle fenêtre graphique GeoGebra.

1. Dans la ligne de saisie, définir la fonction ff.

2. Créer un curseur n allant de 00 à 1010 avec un pas de 11.

3. On souhaite créer la fonction gg correspondant à l’approximation polynomiale de ff en 00 donnée par son développement limité à l’ordre n.
Pour cela, créer la fonction gg de la façon suivante.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - TP2. Approximation d’une fonction

4. En fonction des différentes valeurs de n, décrire la courbe représentative de gg en fonction de celle de ff sur l’intervalle [0,5;0,5][-0{,}5\,; 0{,}5].


5. Afin de mieux se rendre compte de l’approximation, créer la fonction hh définie, pour tout xIx \in \mathrm{I}, par h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)-g(x) et commenter la courbe obtenue.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

On note gg l’approximation polynomiale de ff en 00 donnée par son développement limité d’ordre nn.

1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous pour xx variant de 0,9-0{,}9 à 11 avec un pas de 0,10{,}1. (Fichier téléchargeable ici.)

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - TP2. Approximation d’une fonction

2. a. Compléter la colonne B pour obtenir les images de xx par ff.

b. Quelles formules faut‑il écrire dans les cellules C2 et D2 ? Compléter alors les colonnes C et D.


3. a. Compléter les colonnes E et F pour obtenir les images de xx par une approximation de ff à l’ordre 22.

b. Cette approximation est‑elle meilleure que celle à l’ordre 11 ? Justifier.


4. Une approximation de ff à l’ordre 33 est f(x)1+12x18x2+116x3f(x) \approx 1+\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{8} x^{2}+\dfrac{1}{16}x^{3}.

Une approximation de ff à l’ordre 44 est f(x)1+12x18x2+116x3564x4f(x) \approx 1+\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{8} x^{2}+\dfrac{1}{16}x^{3}-\dfrac{5}{64} x^{4}.

Compléter les colonnes G, H, I et J sur le même modèle que précédemment, puis comparer les différentes approximations.
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