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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
TP INFO 2
Approximation d'une fonction
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Énoncé
Soit f une fonction définie et dérivable n fois sur un intervalle \mathrm{I}. Soit a \in \mathrm{I}. Alors, pour tout x \in \mathrm{I}, on a
f(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\ldots+\frac{(x-a)^{n}}{n !} f^{(n)}(a)+(x-a)^{n} \mathrm{R}(x)
où \text{R} est une fonction définie au voisinage de a telle que \lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} \mathrm{R}(x)=0.
C'est ce qu'on appelle le développement limité de f en a à l'ordre n.
On rappelle que, pour tout entier n \geqslant 1, n !=1 \times 2 \times \ldots \times n.
où \text{R} est une fonction définie au voisinage de a telle que \lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} \mathrm{R}(x)=0.
C'est ce qu'on appelle le développement limité de f en a à l'ordre n.
On rappelle que, pour tout entier n \geqslant 1, n !=1 \times 2 \times \ldots \times n.
Questions préliminaires :
1. Écrire le développement limité de f à l'ordre 1 en a. De quelle approximation s'agit‑il ?
2. On suppose que 0 \in \mathrm{I}. Que devient le développement limité à l'ordre n de la fonction f en a = 0 ?
On admet que (x-a)^{n} \mathrm{R}(x) est négligeable et que l'on peut donc écrire l'approximation polynomiale à l'ordre n suivante : f(x) \approx f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\ldots+\frac{(x-a)^{n}}{n !} f^{(n)}(a).
1. Écrire le développement limité de f à l'ordre 1 en a. De quelle approximation s'agit‑il ?
2. On suppose que 0 \in \mathrm{I}. Que devient le développement limité à l'ordre n de la fonction f en a = 0 ?
On admet que (x-a)^{n} \mathrm{R}(x) est négligeable et que l'on peut donc écrire l'approximation polynomiale à l'ordre n suivante : f(x) \approx f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\ldots+\frac{(x-a)^{n}}{n !} f^{(n)}(a).
3. Soit f la fonction définie sur [-1 ;+\infty[ par f(x)=\sqrt{1+x}. On se place uniquement sur l'intervalle \mathrm{I}=]-1 ;+\infty[ sur lequel la fonction f est deux fois dérivable.
Démontrer que l'approximation polynomiale à l'ordre 2 de f en 0 est f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}.
Démontrer que l'approximation polynomiale à l'ordre 2 de f en 0 est f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}.
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Objectif
À l'aide d'une des deux méthodes, utiliser les développements limités pour obtenir une approximation de plus en plus précise de la fonction f, définie ci‑dessus, en 0.
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Méthode 1GeoGebra
Ouvrir une nouvelle fenêtre graphique GeoGebra.
GeoGebra
1. Dans la ligne de saisie, définir la fonction f.
2. Créer un curseur n allant de 0 à 10 avec un pas de 1.
3. On souhaite créer la fonction g correspondant à l'approximation polynomiale de f en 0 donnée par son développement limité à l'ordre n.
Pour cela, créer la fonction g de la façon suivante.
4. En fonction des différentes valeurs de n, décrire la courbe représentative de g en fonction de celle de f sur l'intervalle [-0{,}5\,; 0{,}5].
5. Afin de mieux se rendre compte de l'approximation, créer la fonction h définie, pour tout x \in \mathrm{I}, par h(x)=f(x)-g(x) et commenter la courbe obtenue.
2. Créer un curseur n allant de 0 à 10 avec un pas de 1.
3. On souhaite créer la fonction g correspondant à l'approximation polynomiale de f en 0 donnée par son développement limité à l'ordre n.
Pour cela, créer la fonction g de la façon suivante.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
4. En fonction des différentes valeurs de n, décrire la courbe représentative de g en fonction de celle de f sur l'intervalle [-0{,}5\,; 0{,}5].
5. Afin de mieux se rendre compte de l'approximation, créer la fonction h définie, pour tout x \in \mathrm{I}, par h(x)=f(x)-g(x) et commenter la courbe obtenue.
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Méthode 2Tableur
On note g l'approximation polynomiale de f en 0 donnée par son développement limité d'ordre n.
1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous pour x variant de -0{,}9 à 1 avec un pas de 0{,}1. (Fichier téléchargeable .)
2. a. Compléter la colonne B pour obtenir les images de x par f.
b. Quelles formules faut‑il écrire dans les cellules C2 et D2 ? Compléter alors les colonnes C et D.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. a. Compléter la colonne B pour obtenir les images de x par f.
b. Quelles formules faut‑il écrire dans les cellules C2 et D2 ? Compléter alors les colonnes C et D.
3. a. Compléter les colonnes E et F pour obtenir les images de x par une approximation de f à l'ordre 2.
b. Cette approximation est‑elle meilleure que celle à l'ordre 1 ? Justifier.
4. Une approximation de f à l'ordre 3 est f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}.
Une approximation de f à l'ordre 4 est f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}-\frac{5}{64} x^{4}.
Compléter les colonnes G, H, I et J sur le même modèle que précédemment, puis comparer les différentes approximations.
b. Cette approximation est‑elle meilleure que celle à l'ordre 1 ? Justifier.
4. Une approximation de f à l'ordre 3 est f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}.
Une approximation de f à l'ordre 4 est f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}-\frac{5}{64} x^{4}.
Compléter les colonnes G, H, I et J sur le même modèle que précédemment, puis comparer les différentes approximations.
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