TP2. Approximation d’une fonction
P.221
TP / TICE 2
2Approximation d’une fonction
2
Énoncé
Soit une fonction définie et dérivable fois sur un intervalle . Soit . Alors, pour tout , on a
où est une fonction définie au voisinage de telle que .
C’est ce qu’on appelle le développement limité de en à l’ordre .
On rappelle que, pour tout entier , .
Questions préliminaires :
1. Écrire le développement limité de à l’ordre en . De quelle approximation s’agit‑il ?
2. On suppose que . Que devient le développement limité à l’ordre de la fonction en ?
On admet que est négligeable et que l’on peut donc écrire l’approximation polynomiale à l’ordre suivante : .
3. Soit la fonction définie sur par . On se place uniquement sur l’intervalle sur lequel la fonction est deux fois dérivable.
Démontrer que l’approximation polynomiale à l’ordre de en est .
où est une fonction définie au voisinage de telle que .
C’est ce qu’on appelle le développement limité de en à l’ordre .
On rappelle que, pour tout entier , .
Questions préliminaires :
1. Écrire le développement limité de à l’ordre en . De quelle approximation s’agit‑il ?
2. On suppose que . Que devient le développement limité à l’ordre de la fonction en ?
On admet que est négligeable et que l’on peut donc écrire l’approximation polynomiale à l’ordre suivante : .
3. Soit la fonction définie sur par . On se place uniquement sur l’intervalle sur lequel la fonction est deux fois dérivable.
Démontrer que l’approximation polynomiale à l’ordre de en est .
Objectif
À l’aide d’une des deux méthodes, utiliser les développements limités pour obtenir une approximation de plus en plus précise de la fonction , définie ci‑dessus, en .
Objectif
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
Ouvrir une nouvelle fenêtre graphique GeoGebra.
1. Dans la ligne de saisie, définir la fonction .
2. Créer un curseur n allant de à avec un pas de .
3. On souhaite créer la fonction correspondant à l’approximation polynomiale de en donnée par son développement limité à l’ordre n.
Pour cela, créer la fonction de la façon suivante.
4. En fonction des différentes valeurs de n, décrire la courbe représentative de en fonction de celle de sur l’intervalle .
5. Afin de mieux se rendre compte de l’approximation, créer la fonction définie, pour tout , par et commenter la courbe obtenue.
Lancer le module Geogebra
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR
On note l’approximation polynomiale de en donnée par son développement limité d’ordre .
1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous pour variant de à avec un pas de . (Fichier téléchargeable ici.)
2. a. Compléter la colonne B pour obtenir les images de par .
b. Quelles formules faut‑il écrire dans les cellules C2 et D2 ? Compléter alors les colonnes C et D.
3. a. Compléter les colonnes E et F pour obtenir les images de par une approximation de à l’ordre .
b. Cette approximation est‑elle meilleure que celle à l’ordre ? Justifier.
4. Une approximation de à l’ordre est .
Une approximation de à l’ordre est .
Compléter les colonnes G, H, I et J sur le même modèle que précédemment, puis comparer les différentes approximations.