Soit f une fonction définie et dérivable n fois sur un intervalle I. Soit a∈I. Alors, pour tout x∈I, on a f(x)=f(a)+(x−a)f′(a)+2!(x−a)2f′′(a)+…+n!(x−a)nf(n)(a)+(x−a)nR(x)
où R est une fonction définie au voisinage de a telle que x→alimR(x)=0.
C’est ce qu’on appelle le développement limité de f en a à l’ordre n.
On rappelle que, pour tout entier n⩾1, n!=1×2×…×n.
Questions préliminaires : 1. Écrire le développement limité de f à l’ordre 1 en a. De quelle approximation s’agit‑il ?
2. On suppose que 0∈I. Que devient le développement limité à l’ordre n de la fonction f en a=0 ?
On admet que (x−a)nR(x) est négligeable et que l’on peut donc écrire l’approximation polynomiale à l’ordre n suivante : f(x)≈f(a)+(x−a)f′(a)+2!(x−a)2f′′(a)+…+n!(x−a)nf(n)(a).
3. Soit f la fonction définie sur [−1;+∞[ par f(x)=1+x. On se place uniquement sur l’intervalle I=]−1;+∞[ sur lequel la fonction f est deux fois dérivable.
Démontrer que l’approximation polynomiale à l’ordre 2 de f en 0 est f(x)≈1+21x−81x2.
Objectif
À l’aide d’une des deux méthodes, utiliser les développements limités pour obtenir une approximation de plus en plus précise de la fonction f, définie ci‑dessus, en 0.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
Ouvrir une nouvelle fenêtre graphique GeoGebra.
1. Dans la ligne de saisie, définir la fonction f.
2. Créer un curseur n allant de 0 à 10 avec un pas de 1.
3. On souhaite créer la fonction g correspondant à l’approximation polynomiale de f en 0 donnée par son développement limité à l’ordre n.
Pour cela, créer la fonction g de la façon suivante.
4. En fonction des différentes valeurs de n, décrire la courbe représentative de g en fonction de celle de f sur l’intervalle [−0,5;0,5].
5. Afin de mieux se rendre compte de l’approximation, créer la fonction h définie, pour tout x∈I, par h(x)=f(x)−g(x) et commenter la courbe obtenue.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR
On note g l’approximation polynomiale de f en 0 donnée par son développement limité d’ordre n.
1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous pour x variant de −0,9 à 1 avec un pas de 0,1. (Fichier téléchargeable ici.)
2.a. Compléter la colonne B pour obtenir les images de x par f.
b. Quelles formules faut‑il écrire dans les cellules C2 et D2 ? Compléter alors les colonnes C et D.
3.a. Compléter les colonnes E et F pour obtenir les images de x par une approximation de f à l’ordre 2.
b. Cette approximation est‑elle meilleure que celle à l’ordre 1 ? Justifier.
4. Une approximation de f à l’ordre 3 est f(x)≈1+21x−81x2+161x3.
Une approximation de f à l’ordre 4 est f(x)≈1+21x−81x2+161x3−645x4.
Compléter les colonnes G, H, I et J sur le même modèle que précédemment, puis comparer les différentes approximations.
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