Approximation d'une fonction

Questions préliminaires :
1. Écrire le développement limité de $f$ à l'ordre $1$ en $a$. De quelle approximation s'agit‑il ?

2. On suppose que $0\in \mathrm{I}$. Que devient le développement limité à l'ordre $n$ de la fonction $f$ en $a=0$ ?

On admet que $(x-a{)}^n\mathrm{R}(x)$ est négligeable et que l'on peut donc écrire l'approximation polynomiale à l'ordre $n$ suivante : $f(x)\approx f(a)+(x-a)f^{\prime }(a)+\frac{(x-a{)}^2}{2!}{f}^{\prime \prime }(a)+\dots +\frac{(x-a{)}^n}{n!}{f}^{(n)}(a)$.

3. Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$. On se place uniquement sur l'intervalle $\mathrm{I}=]-1;+\infty [$ sur lequel la fonction $f$ est deux fois dérivable.
Démontrer que l'approximation polynomiale à l'ordre $2$ de $f$ en $0$ est $f(x)\approx 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2$.

1. Dans la ligne de saisie, définir la fonction $f$.

2. Créer un curseur n allant de $0$ à $10$ avec un pas de $1$.

3. On souhaite créer la fonction $g$ correspondant à l'approximation polynomiale de $f$ en $0$ donnée par son développement limité à l'ordre n.
Pour cela, créer la fonction $g$ de la façon suivante.


4. En fonction des différentes valeurs de n, décrire la courbe représentative de $g$ en fonction de celle de $f$ sur l'intervalle $[-0,5;0,5]$.

5. Afin de mieux se rendre compte de l'approximation, créer la fonction $h$ définie, pour tout $x\in \mathrm{I}$, par $h(x)=f(x)-g(x)$ et commenter la courbe obtenue.

1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous pour $x$ variant de $-0,9$ à $1$ avec un pas de $0,1$. (Fichier téléchargeable

ici

.)


2. a. Compléter la colonne B pour obtenir les images de $x$ par $f$.

b. Quelles formules faut‑il écrire dans les cellules C2 et D2 ? Compléter alors les colonnes C et D.

3. a. Compléter les colonnes E et F pour obtenir les images de $x$ par une approximation de $f$ à l'ordre $2$.

b. Cette approximation est‑elle meilleure que celle à l'ordre $1$ ? Justifier.

4. Une approximation de $f$ à l'ordre $3$ est $f(x)\approx 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3$.

Une approximation de $f$ à l'ordre $4$ est $f(x)\approx 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{64}{x}^4$.

Compléter les colonnes G, H, I et J sur le même modèle que précédemment, puis comparer les différentes approximations.