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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4
Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 7

Exercices

Travailler les automatismes

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16
Déterminer la fonction dérivée de la fonction

h

définie sur

R

par

h (x) = (x^{2} + 8 x - 6)^{4}

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17
Déterminer la fonction dérivée de la fonction

g

définie sur

R

par

g (x) = e^{x^{3} + 5 x - 7}

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18
Déterminer la fonction dérivée de la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 4

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19
Que peut‑on déduire pour la fonction

k

à partir du tableau de signes de sa fonction dérivée

k^{'}

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20
Que peut‑on déduire pour la fonction

k

à partir du tableau de signes de sa dérivée seconde

k^{''}

Tableau: signe de la dérivée seconde d'une fonction pour x=-8, 2, 4. Valeurs négatives, nulles et positives.

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Formules de dérivation

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Pour les exercices
21
à
31

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

par l'expression donnée.
Préciser son ensemble de dérivabilité

D_{f^{'}}

et déterminer sa fonction dérivée

f^{'}

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21

1.

f (x) = x + \frac{1}{x}

avec

I =] 0; + \infty [

f (x) = x^{2} - 3 x + 5

avec

I = R

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22

1.

f (x) = x + x

avec

I = [0; + \infty [

f (x) = x^{2} + e^{x}

avec

I = R

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23

1.

f (x) = e^{x^{2} - 5 x + 4}

avec

I = R

f (x) = e^{x + \frac{1}{x}}

avec

I = R^{*}

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24

1.

f (x) = e^{\frac{x + 2}{x - 7}}

avec

I = R ∖ {7}

f (x) = e^{x}

avec

I = [0; + \infty [

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25

1.

f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 4)^{5}

avec

I = R

f (x) = (x^{3} + \frac{1}{x} + x)^{6}

avec

I =] 0; + \infty [

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26

1.

f (x) = (\frac{x - 4}{x + 3})^{4}

avec

I = R ∖ {- 3}

f (x) = (3 x + 5)^{3}

avec

I = [- \frac{5}{3}; + \infty [

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27

1.

f (x) = (x^{2} + 3 x + 2)^{2} \times (2 x^{2} - 5 x + 7)^{3}

avec

I = R

f (x) = (x^{3} + 5 x^{2} + 4)^{2} \times e^{x^{4} - 8 x^{2}}

avec

I = R

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28

1.

f (x) = - x^{2} + 3 x - 2 \times (x^{3} + 5 x - 8)^{3}

avec

I = [1; 2]

f (x) = e^{- x^{2} + 7} \times x^{2} + 4

avec

I = R

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29

1.

f (x) = \frac{2 x + 3}{x ^{2} - x + 4}

avec

I = [- \frac{3}{2}; + \infty [

f (x) = \frac{e ^{- x^{2} + 5 x + 4}}{x + 7}

avec

I = R ∖ {- 7}

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30

1.

f (x) = \frac{( x ^{3} + 4 ) ^{5}}{( x ^{2} + 3 x - 4 ) ^{3}}

avec

I = R \ {- 4; 1}

f (x) = \frac{e ^{2 x^{3} + x^{2} - 7 x + 2}}{x ^{2} + x + 1}

avec

I = R

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Étude de la convexité

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Pour chacune des fonctions associées aux courbes suivantes, conjecturer la convexité et préciser approximativement les abscisses des éventuels points d'inflexion.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 31

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La courbe ci‑dessous est celle d'une fonction

f

définie sur

[0; 10]

dont la tangente au point d'abscisse

5

est tracée.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 32

Parmi les quatre courbes ci‑dessous, déterminer celle qui correspond à la courbe de la fonction dérivée

f^{'}

f

. Justifier la réponse.

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33

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée

f^{'}

d'une fonction

f

définie et dérivable sur

[- 8; 7]

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 33

1. En déduire le sens de variation de

f

2. Déterminer la convexité de

f

3. Tracer l'allure d'une courbe pouvant représenter

f

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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34

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée seconde

f^{''}

d'une fonction

f

définie et deux fois dérivable sur

[- 5; 5]

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 34

Déterminer la convexité de

f

et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

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35

On considère la fonction

f

définie sur

R

par :

f (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} - 18 x + 12

On note

C_{f}

la courbe représentative de

f

dans un repère orthogonal.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction

f

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2. Établir la convexité de la fonction

f

3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de

C_{f}

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Voici la courbe d'une fonction

f

deux fois dérivable sur

R

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 36

Parmi les trois courbes suivantes, déterminer celle qui représente la fonction dérivée seconde

f^{''}

f

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Exercices inversés

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37

1. a. Définir deux fonctions

f

g

non constantes sur un intervalle

I

b. Déterminer l'expression de la fonction

h = f \circ g

c. Déterminer l'expression de la fonction

ℓ = g \circ f

2. Déterminer les dérivées respectives des fonctions

h

ℓ

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38

On se place dans un repère orthogonal.

1. Tracer la courbe représentative d'une fonction définie et convexe sur

] - \infty; - 2 [

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2. Tracer la courbe représentative d'une fonction définie sur

R

et qui possède un point d'inflexion d'abscisse

2.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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39

Soit

f

une fonction définie et deux fois dérivable sur

R

. Dresser un tableau de variations de

f^{''}

de telle sorte que

f

admette deux points d'inflexion dont les abscisses soient opposées.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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Ch. 3 Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4 Suites

Ch. 5Limites de fonctions

Ch. 6Continuité

Ch. 7Compléments sur la dérivation

Ch. 8Logarithme népérien

Ch. 9Fonctions trigonométriques

Ch. 10Primitives - Équations différentielles

Ch. 11Calcul intégral

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Ch. 13Sommes de variables aléatoires

Ch. 14Loi des grands nombres

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Combinatoire et dénombrement

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Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

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Suites

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

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Compléments sur la dérivation

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Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

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Primitives - Équations différentielles

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Loi binomiale

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Sommes de variables aléatoires

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Loi des grands nombres

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21
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