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Travailler les automatismes
P.222-223

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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16
Déterminer la fonction dérivée de la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=(x2+8x6)4h(x)=\left(x^{2}+8 x-6\right)^{4}.
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17
Déterminer la fonction dérivée de la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=ex3+5x7g(x)=\mathrm{e}^{x^{3}+5 x-7}.
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18
Déterminer la fonction dérivée de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x43x2+4f(x)=\sqrt{x^{4}-3 x^{2}+4}.
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19
Que peut‑on déduire pour la fonction kk à partir du tableau de signes de sa fonction dérivée kk^\prime ?


maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 19
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20
Que peut‑on déduire pour la fonction kk à partir du tableau de signes de sa dérivée seconde kk^{\prime\prime} ?


maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 19
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Formules de dérivation


Pour les exercices
21
à 
30


Soit ff une fonction définie sur un intervalle I\text{I} par l’expression donnée.
Préciser son ensemble de dérivabilité Df\mathcal{D}_{f^\prime} et déterminer sa fonction dérivée ff^\prime.

21

1. f(x)=x+1xf(x)=\sqrt{x+\dfrac{1}{x}} avec I=]0 ;+[\mathrm{I}=]0 ;+\infty[.


2. f(x)=x23x+5f(x)=\sqrt{x^{2}-3 x+5} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.
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22

1. f(x)=x+xf(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}} avec I=[0 ;+[\mathrm{I}=[0 ;+\infty[.


2. f(x)=x2+exf(x)=\sqrt{x^{2}+\mathrm{e}^{x}} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.
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23

1. f(x)=ex25x+4f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-5 x+4} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.


2. f(x)=ex+1xf(x)=\mathrm{e}^{x+\normalsize\tfrac{1}{x}} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}^*.
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24

1. f(x)=ex+2x7f(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{x+2}{x-7}} avec I=R{7}\mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{7\}.


2. f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x}} avec I=[0 ;+[\mathrm{I}=[0 ;+\infty[.
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25

1. f(x)=(x3+2x2+3x+4)5f(x)=\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x+4\right)^{5} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.


2. f(x)=(x3+1x+x)6f(x)=\left(x^{3}+\dfrac{1}{x}+\sqrt{x}\right)^{6} avec I=]0 ;+[\mathrm{I}=]0 ;+\infty[.
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26

1. f(x)=(x4x+3)4f(x)=\left(\dfrac{x-4}{x+3}\right)^{4} avec I=R{3}\mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{-3\}.


2. f(x)=(3x+5)3f(x)=(\sqrt{3 x+5})^{3} avec I=[53 ;+[\mathrm{I}=\left[-\dfrac{5}{3} ;+\infty\right[.
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27

1. f(x)=(x2+3x+2)2×(2x25x+7)3f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right)^{2} \times\left(2 x^{2}-5 x+7\right)^{3} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.


2. f(x)=(x3+5x2+4)2×ex48x2f(x)=\left(x^{3}+5 x^{2}+4\right)^{2} \times \mathrm{e}^{x^{4}-8 x^{2}} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.
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28

1. f(x)=x2+3x2×(x3+5x8)3f(x)=\sqrt{-x^{2}+3 x-2} \times\left(x^{3}+5 x-8\right)^{3} avec I=[1;2]\mathrm{I}=[1\,; 2].


2. f(x)=ex2+7×x2+4f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}+7} \times \sqrt{x^{2}+4} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.
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29

1. f(x)=2x+3x2x+4f(x)=\dfrac{\sqrt{2 x+3}}{x^{2}-x+4} avec I=[32;+[\mathrm{I}=\left[-\dfrac{3}{2}\,;+\infty\right[.


2. f(x)=ex2+5x+4x+7f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-x^{2}+5 x+4}}{x+7} avec I=R{7}\mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{-7\}.
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30

1. f(x)=(x3+4)5(x2+3x4)3f(x)=\dfrac{\left(x^{3}+4\right)^{5}}{\left(x^{2}+3 x-4\right)^{3}} avec I=R\{4;1}\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{-4\,; 1\}.


2. f(x)=e2x3+x27x+2x2+x+1f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2 x^{3}+x^{2}-7 x+2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.
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Étude de la convexité


31

Pour chacune des fonctions associées aux courbes suivantes, conjecturer la convexité et préciser approximativement les abscisses des éventuels points d’inflexion.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 31

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32

La courbe ci‑dessous est celle d’une fonction ff définie sur [0 ;10][0 ; 10] dont la tangente au point d’abscisse 55 est tracée.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 32

Parmi les quatre courbes ci‑dessous, déterminer celle qui correspond à la courbe de la fonction dérivée ff^\prime de ff. Justifier la réponse.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 32

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33

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée ff^\prime d’une fonction ff définie et dérivable sur [8 ;7][-8 ; 7].

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 33

1. En déduire le sens de variation de ff.


2. Déterminer la convexité de ff.


3. Tracer l’allure d’une courbe pouvant représenter ff.
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34

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée seconde ff^{\prime\prime} d’une fonction ff définie et deux fois dérivable sur [5 ;5][-5 ; 5].

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 34

Déterminer la convexité de ff et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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35

On considère la fonction f f définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=4x315x218x+12f(x)=4 x^{3}-15 x^{2}-18 x+12.
On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction ff.

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2. Établir la convexité de la fonction ff.


3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’inflexion de Cf\mathcal{C}_f.
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36

Voici la courbe d’une fonction ff deux fois dérivable sur R\mathbb{R}.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 36

Parmi les trois courbes suivantes, déterminer celle qui représente la fonction dérivée seconde ff^{\prime\prime} de ff.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 36

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Exercices inversés


37

1. a. Définir deux fonctions ff et gg non constantes sur un intervalle I\mathrm{I}.


b. Déterminer l’expression de la fonction h=fgh=f \circ g.


c. Déterminer l’expression de la fonction =gf\ell =g \circ f.


2. Déterminer les dérivées respectives des fonctions hh et \ell.
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38

On se place dans un repère orthogonal.

1. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie et convexe sur ] ;2[]-\infty ;-2[.

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2. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie sur R\mathbb{R} et qui possède un point d’inflexion d’abscisse 2.2.

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39

Soit ff une fonction définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R}. Dresser un tableau de variations de ff^{\prime\prime} de telle sorte que ff admette deux points d’inflexion dont les abscisses soient opposées.

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