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16
Déterminer la fonction dérivée de la fonction h définie sur R par h(x)=(x2+8x−6)4.
17
Déterminer la fonction dérivée de la fonction g définie sur R par g(x)=ex3+5x−7.
18
Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie sur R par f(x)=x4−3x2+4.
19
Que peut‑on déduire pour la fonction k à partir du tableau de signes de sa fonction dérivée k′ ?
20
Que peut‑on déduire pour la fonction k à partir du tableau de signes de sa dérivée seconde k′′ ?
Formules de dérivation
Pour les exercices
21
à
30
Soit f une fonction définie sur un intervalle I par l’expression donnée.
Préciser son ensemble de dérivabilité Df′ et déterminer sa fonction dérivée f′.
21
1.f(x)=x+x1 avec I=]0;+∞[.
2.f(x)=x2−3x+5 avec I=R.
22
1.f(x)=x+x avec I=[0;+∞[.
2.f(x)=x2+ex avec I=R.
23
1.f(x)=ex2−5x+4 avec I=R.
2.f(x)=ex+x1 avec I=R∗.
24
1.f(x)=ex−7x+2 avec I=R∖{7}.
2.f(x)=ex avec I=[0;+∞[.
25
1.f(x)=(x3+2x2+3x+4)5 avec I=R.
2.f(x)=(x3+x1+x)6 avec I=]0;+∞[.
26
1.f(x)=(x+3x−4)4 avec I=R∖{−3}.
2.f(x)=(3x+5)3 avec I=[−35;+∞[.
27
1.f(x)=(x2+3x+2)2×(2x2−5x+7)3 avec I=R.
2.f(x)=(x3+5x2+4)2×ex4−8x2 avec I=R.
28
1.f(x)=−x2+3x−2×(x3+5x−8)3 avec I=[1;2].
2.f(x)=e−x2+7×x2+4 avec I=R.
29
1.f(x)=x2−x+42x+3 avec I=[−23;+∞[.
2.f(x)=x+7e−x2+5x+4 avec I=R∖{−7}.
30
1.f(x)=(x2+3x−4)3(x3+4)5 avec I=R\{−4;1}.
2.f(x)=x2+x+1e2x3+x2−7x+2 avec I=R.
Étude de la convexité
31
Pour chacune des fonctions associées aux courbes suivantes, conjecturer la convexité et préciser approximativement les abscisses des éventuels points d’inflexion.
32
La courbe ci‑dessous est celle d’une fonction f définie sur [0;10] dont la tangente au point d’abscisse 5 est tracée.
Parmi les quatre courbes ci‑dessous, déterminer celle qui correspond à la courbe de la fonction dérivée f′ de f. Justifier la réponse.
33
Voici le tableau de variations de la fonction dérivée f′ d’une fonction f définie et dérivable sur [−8;7].
1. En déduire le sens de variation de f.
2. Déterminer la convexité de f.
3. Tracer l’allure d’une courbe pouvant représenter f.
Dessinez ici
34
Voici le tableau de variations de la fonction dérivée seconde f′′ d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur [−5;5].
Déterminer la convexité de f et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
35
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x)=4x3−15x2−18x+12.
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
1. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
Dessinez ici
2. Établir la convexité de la fonction f.
3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’inflexion de Cf.
36
Voici la courbe d’une fonction f deux fois dérivable sur R.
Parmi les trois courbes suivantes, déterminer celle qui représente la fonction dérivée seconde f′′ de f.
Exercices inversés
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1.a. Définir deux fonctions f et g non constantes sur un intervalle I.
b. Déterminer l’expression de la fonction h=f∘g.
c. Déterminer l’expression de la fonction ℓ=g∘f.
2. Déterminer les dérivées respectives des fonctions h et ℓ.
38
On se place dans un repère orthogonal.
1. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie et convexe sur ]−∞;−2[.
Dessinez ici
2. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie sur R et qui possède un point d’inflexion d’abscisse 2.
Dessinez ici
39
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur R. Dresser un tableau de variations de f′′ de telle sorte que f admette deux points d’inflexion dont les abscisses soient opposées.
Dessinez ici
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