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À L'ORAL

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16

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\left(x^{2}+8 x-6\right)^{4}$.

17

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\mathrm{e}^{x^{3}+5 x-7}$.

18

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^{4}-3 x^{2}+4}$.

19

Que peut‑on déduire pour la fonction $k$ à partir du tableau de signes de sa fonction dérivée $k^\prime$ ?

20

Que peut‑on déduire pour la fonction $k$ à partir du tableau de signes de sa dérivée seconde $k^{\prime\prime}$ ?

Pour les exercices

21

à 

30

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ par l’expression donnée.
Préciser son ensemble de dérivabilité $\mathcal{D}_{f^\prime}$ et déterminer sa fonction dérivée $f^\prime$.

21

1. $f(x)=\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}$ avec $\mathrm{I}=]0 ;+\infty[$.


2. $f(x)=\sqrt{x^{2}-3 x+5}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

22

1. $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ avec $\mathrm{I}=[0 ;+\infty[$.


2. $f(x)=\sqrt{x^{2}+\mathrm{e}^{x}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

23

1. $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-5 x+4}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.


2. $f(x)=\mathrm{e}^{x+\normalsize\tfrac{1}{x}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}^*$.

24

1. $f(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{x+2}{x-7}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{7\}$.


2. $f(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ avec $\mathrm{I}=[0 ;+\infty[$.

25

1. $f(x)=\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x+4\right)^{5}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.


2. $f(x)=\left(x^{3}+\dfrac{1}{x}+\sqrt{x}\right)^{6}$ avec $\mathrm{I}=]0 ;+\infty[$.

26

1. $f(x)=\left(\dfrac{x-4}{x+3}\right)^{4}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{-3\}$.


2. $f(x)=(\sqrt{3 x+5})^{3}$ avec $\mathrm{I}=\left[-\dfrac{5}{3} ;+\infty\right[$.

27

1. $f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right)^{2} \times\left(2 x^{2}-5 x+7\right)^{3}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.


2. $f(x)=\left(x^{3}+5 x^{2}+4\right)^{2} \times \mathrm{e}^{x^{4}-8 x^{2}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

28

1. $f(x)=\sqrt{-x^{2}+3 x-2} \times\left(x^{3}+5 x-8\right)^{3}$ avec $\mathrm{I}=[1\,; 2]$.


2. $f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}+7} \times \sqrt{x^{2}+4}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

29

1. $f(x)=\dfrac{\sqrt{2 x+3}}{x^{2}-x+4}$ avec $\mathrm{I}=\left[-\dfrac{3}{2}\,;+\infty\right[$.


2. $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-x^{2}+5 x+4}}{x+7}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{-7\}$.

30

1. $f(x)=\dfrac{\left(x^{3}+4\right)^{5}}{\left(x^{2}+3 x-4\right)^{3}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{-4\,; 1\}$.


2. $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2 x^{3}+x^{2}-7 x+2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

31

Pour chacune des fonctions associées aux courbes suivantes, conjecturer la convexité et préciser approximativement les abscisses des éventuels points d’inflexion.

32

La courbe ci‑dessous est celle d’une fonction $f$ définie sur $[0 ; 10]$ dont la tangente au point d’abscisse $5$ est tracée.

Parmi les quatre courbes ci‑dessous, déterminer celle qui correspond à la courbe de la fonction dérivée $f^\prime$ de $f$. Justifier la réponse.

33

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée $f^\prime$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-8 ; 7]$.

1. En déduire le sens de variation de $f$.


2. Déterminer la convexité de $f$.


3. Tracer l’allure d’une courbe pouvant représenter $f$.

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34

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-5 ; 5]$.

Déterminer la convexité de $f$ et les abscisses des éventuels points d’inflexion.

35

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=4 x^{3}-15 x^{2}-18 x+12$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

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2. Établir la convexité de la fonction $f$.


3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’inflexion de $\mathcal{C}_f$.

36

Voici la courbe d’une fonction $f$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

Parmi les trois courbes suivantes, déterminer celle qui représente la fonction dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ de $f$.

37

1. a. Définir deux fonctions $f$ et $g$ non constantes sur un intervalle $\mathrm{I}$.


b. Déterminer l’expression de la fonction $h=f \circ g$.


c. Déterminer l’expression de la fonction $\ell =g \circ f$.


2. Déterminer les dérivées respectives des fonctions $h$ et $\ell$.

38

On se place dans un repère orthogonal.

1. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie et convexe sur $]-\infty ;-2[$.

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2. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et qui possède un point d’inflexion d’abscisse $2.$

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39

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Dresser un tableau de variations de $f^{\prime\prime}$ de telle sorte que $f$ admette deux points d’inflexion dont les abscisses soient opposées.

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