Travailler les automatismes

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16

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\left(x^2+8x-6\right)}^4$.

17

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\mathrm{e}}^{x^3+5x-7}$.

18

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}$.

19

Que peut‑on déduire pour la fonction $k$ à partir du tableau de signes de sa fonction dérivée $k^{\prime }$ ?

20

Que peut‑on déduire pour la fonction $k$ à partir du tableau de signes de sa dérivée seconde $k^{\prime \prime }$ ?

Pour les exercices

21

à 

30

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ par l’expression donnée.
Préciser son ensemble de dérivabilité ${\mathcal{D}}_{f^{\prime }}$ et déterminer sa fonction dérivée $f^{\prime }$.

21

1. $f(x)=\sqrt{x+\frac{1}{x}}$ avec $\mathrm{I}=]0;+\infty [$.


2. $f(x)=\sqrt{x^2-3x+5}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

22

1. $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ avec $\mathrm{I}=[0;+\infty [$.


2. $f(x)=\sqrt{x^2+{\mathrm{e}}^x}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

23

1. $f(x)={\mathrm{e}}^{x^2-5x+4}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.


2. $f(x)={\mathrm{e}}^{x+\frac{1}{x}}$ avec $\mathrm{I}={\mathbb{R}}^{\ast }$.

24

1. $f(x)={\mathrm{e}}^{\frac{x+2}{x-7}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\setminus \{7\}$.


2. $f(x)={\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}$ avec $\mathrm{I}=[0;+\infty [$.

25

1. $f(x)={\left(x^3+2x^2+3x+4\right)}^5$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.


2. $f(x)={\left(x^3+\frac{1}{x}+\sqrt{x}\right)}^6$ avec $\mathrm{I}=]0;+\infty [$.

26

1. $f(x)={\left(\frac{x-4}{x+3}\right)}^4$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$.


2. $f(x)=(\sqrt{3x+5}{)}^3$ avec $\mathrm{I}=\left[-\frac{5}{3};+\infty \right[$.

27

1. $f(x)={\left(x^2+3x+2\right)}^2\times {\left(2x^2-5x+7\right)}^3$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.


2. $f(x)={\left(x^3+5x^2+4\right)}^2\times {\mathrm{e}}^{x^4-8x^2}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

28

1. $f(x)=\sqrt{-x^2+3x-2}\times {\left(x^3+5x-8\right)}^3$ avec $\mathrm{I}=[1;2]$.


2. $f(x)={\mathrm{e}}^{-x^2+7}\times \sqrt{x^2+4}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

29

1. $f(x)=\frac{\sqrt{2x+3}}{x^2-x+4}$ avec $\mathrm{I}=\left[-\frac{3}{2};+\infty \right[$.


2. $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x^2+5x+4}}{x+7}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\setminus \{-7\}$.

30

1. $f(x)=\frac{{\left(x^3+4\right)}^5}{{\left(x^2+3x-4\right)}^3}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\backslash \{-4;1\}$.


2. $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{2x^3+x^2-7x+2}}{\sqrt{x^2+x+1}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

31

Pour chacune des fonctions associées aux courbes suivantes, conjecturer la convexité et préciser approximativement les abscisses des éventuels points d’inflexion.

32

La courbe ci‑dessous est celle d’une fonction $f$ définie sur $[0;10]$ dont la tangente au point d’abscisse $5$ est tracée.


Parmi les quatre courbes ci‑dessous, déterminer celle qui correspond à la courbe de la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$. Justifier la réponse.

33

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée $f^{\prime }$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-8;7]$.


1. En déduire le sens de variation de $f$.


2. Déterminer la convexité de $f$.


3. Tracer l’allure d’une courbe pouvant représenter $f$.

34

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-5;5]$.


Déterminer la convexité de $f$ et les abscisses des éventuels points d’inflexion.

35

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.


2. Établir la convexité de la fonction $f$.


3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’inflexion de ${\mathcal{C}}_f$.

36

Voici la courbe d’une fonction $f$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.


Parmi les trois courbes suivantes, déterminer celle qui représente la fonction dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ de $f$.

37

1. a. Définir deux fonctions $f$ et $g$ non constantes sur un intervalle $\mathrm{I}$.


b. Déterminer l’expression de la fonction $h=f\circ g$.


c. Déterminer l’expression de la fonction $\ell =g\circ f$.


2. Déterminer les dérivées respectives des fonctions $h$ et $\ell$.

38

On se place dans un repère orthogonal.

1. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie et convexe sur $]-\infty ;-2[$.


2. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et qui possède un point d’inflexion d’abscisse $2.$

39

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Dresser un tableau de variations de $f^{\prime \prime }$ de telle sorte que $f$ admette deux points d’inflexion dont les abscisses soient opposées.