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16
Déterminer la fonction dérivée de la fonction h définie sur R par h(x)=(x2+8x−6)4.
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17
Déterminer la fonction dérivée de la fonction g définie sur R par g(x)=ex3+5x−7.
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18
Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie sur R par f(x)=x4−3x2+4.
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19
Que peut‑on déduire pour la fonction k à partir du tableau de signes de sa fonction dérivée k′ ?
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20
Que peut‑on déduire pour la fonction k à partir du tableau de signes de sa dérivée seconde k′′ ?
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Formules de dérivation
Pour les exercices
21
à
30
Soit f une fonction définie sur un intervalle I par l’expression donnée.
Préciser son ensemble de dérivabilité Df′ et déterminer sa fonction dérivée f′.
21
1.f(x)=x+x1 avec I=]0;+∞[.
2.f(x)=x2−3x+5 avec I=R.
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22
1.f(x)=x+x avec I=[0;+∞[.
2.f(x)=x2+ex avec I=R.
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23
1.f(x)=ex2−5x+4 avec I=R.
2.f(x)=ex+x1 avec I=R∗.
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24
1.f(x)=ex−7x+2 avec I=R∖{7}.
2.f(x)=ex avec I=[0;+∞[.
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25
1.f(x)=(x3+2x2+3x+4)5 avec I=R.
2.f(x)=(x3+x1+x)6 avec I=]0;+∞[.
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26
1.f(x)=(x+3x−4)4 avec I=R∖{−3}.
2.f(x)=(3x+5)3 avec I=[−35;+∞[.
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27
1.f(x)=(x2+3x+2)2×(2x2−5x+7)3 avec I=R.
2.f(x)=(x3+5x2+4)2×ex4−8x2 avec I=R.
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28
1.f(x)=−x2+3x−2×(x3+5x−8)3 avec I=[1;2].
2.f(x)=e−x2+7×x2+4 avec I=R.
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29
1.f(x)=x2−x+42x+3 avec I=[−23;+∞[.
2.f(x)=x+7e−x2+5x+4 avec I=R∖{−7}.
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30
1.f(x)=(x2+3x−4)3(x3+4)5 avec I=R\{−4;1}.
2.f(x)=x2+x+1e2x3+x2−7x+2 avec I=R.
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Étude de la convexité
31
Pour chacune des fonctions associées aux courbes suivantes, conjecturer la convexité et préciser approximativement les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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32
La courbe ci‑dessous est celle d’une fonction f définie sur [0;10] dont la tangente au point d’abscisse 5 est tracée.
Parmi les quatre courbes ci‑dessous, déterminer celle qui correspond à la courbe de la fonction dérivée f′ de f. Justifier la réponse.
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33
Voici le tableau de variations de la fonction dérivée f′ d’une fonction f définie et dérivable sur [−8;7].
1. En déduire le sens de variation de f.
2. Déterminer la convexité de f.
3. Tracer l’allure d’une courbe pouvant représenter f.
Couleurs
Formes
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34
Voici le tableau de variations de la fonction dérivée seconde f′′ d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur [−5;5].
Déterminer la convexité de f et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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35
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x)=4x3−15x2−18x+12.
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
1. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
Couleurs
Formes
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2. Établir la convexité de la fonction f.
3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’inflexion de Cf.
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36
Voici la courbe d’une fonction f deux fois dérivable sur R.
Parmi les trois courbes suivantes, déterminer celle qui représente la fonction dérivée seconde f′′ de f.
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Exercices inversés
37
1.a. Définir deux fonctions f et g non constantes sur un intervalle I.
b. Déterminer l’expression de la fonction h=f∘g.
c. Déterminer l’expression de la fonction ℓ=g∘f.
2. Déterminer les dérivées respectives des fonctions h et ℓ.
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38
On se place dans un repère orthogonal.
1. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie et convexe sur ]−∞;−2[.
Couleurs
Formes
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2. Tracer la courbe représentative d’une fonction définie sur R et qui possède un point d’inflexion d’abscisse 2.
Couleurs
Formes
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39
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur R. Dresser un tableau de variations de f′′ de telle sorte que f admette deux points d’inflexion dont les abscisses soient opposées.
Couleurs
Formes
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