Mathématiques Terminale Spécialité
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16
Déterminer la fonction dérivée de la fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x)=\left(x^{2}+8 x-6\right)^{4}.Ressource affichée de l'autre côté.
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17
Déterminer la fonction dérivée de la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\mathrm{e}^{x^{3}+5 x-7}.Ressource affichée de l'autre côté.
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18
Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\sqrt{x^{4}-3 x^{2}+4}.Ressource affichée de l'autre côté.
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19
Que peut‑on déduire pour la fonction k à partir du tableau de signes de sa fonction dérivée k^\prime ?
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20
Que peut‑on déduire pour la fonction k à partir du tableau de signes de sa dérivée seconde k^{\prime\prime} ?
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Formules de dérivation
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Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} par l'expression donnée.
Préciser son ensemble de dérivabilité \mathcal{D}_{f^\prime} et déterminer sa fonction dérivée f^\prime.
Préciser son ensemble de dérivabilité \mathcal{D}_{f^\prime} et déterminer sa fonction dérivée f^\prime.
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21
1. f(x)=\sqrt{x+\frac{1}{x}} avec \mathrm{I}=]0 ;+\infty[.
2. f(x)=\sqrt{x^{2}-3 x+5} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.
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22
1. f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}} avec \mathrm{I}=[0 ;+\infty[.
2. f(x)=\sqrt{x^{2}+\mathrm{e}^{x}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.
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23
1. f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-5 x+4} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.
2. f(x)=\mathrm{e}^{x+\normalsize\tfrac{1}{x}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}^*.
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24
1. f(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{x+2}{x-7}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{7\}.
2. f(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x}} avec \mathrm{I}=[0 ;+\infty[.
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25
1. f(x)=\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x+4\right)^{5} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.
2. f(x)=\left(x^{3}+\frac{1}{x}+\sqrt{x}\right)^{6} avec \mathrm{I}=]0 ;+\infty[.
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26
1. f(x)=\left(\frac{x-4}{x+3}\right)^{4} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{-3\}.
2. f(x)=(\sqrt{3 x+5})^{3} avec \mathrm{I}=\left[-\frac{5}{3} ;+\infty\right[.
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27
1. f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right)^{2} \times\left(2 x^{2}-5 x+7\right)^{3} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.
2. f(x)=\left(x^{3}+5 x^{2}+4\right)^{2} \times \mathrm{e}^{x^{4}-8 x^{2}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.
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28
1. f(x)=\sqrt{-x^{2}+3 x-2} \times\left(x^{3}+5 x-8\right)^{3} avec \mathrm{I}=[1\,; 2].
2. f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}+7} \times \sqrt{x^{2}+4} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.
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29
1. f(x)=\frac{\sqrt{2 x+3}}{x^{2}-x+4} avec \mathrm{I}=\left[-\frac{3}{2}\,;+\infty\right[.
2. f(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x^{2}+5 x+4}}{x+7} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{-7\}.
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30
1. f(x)=\frac{\left(x^{3}+4\right)^{5}}{\left(x^{2}+3 x-4\right)^{3}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{-4\,; 1\}.
2. f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2 x^{3}+x^{2}-7 x+2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.
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Étude de la convexité
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31
Pour chacune des fonctions associées aux courbes suivantes, conjecturer la convexité et préciser approximativement les abscisses des éventuels points d'inflexion.
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32
La courbe ci‑dessous est celle d'une fonction f définie sur [0 ; 10] dont la tangente au point d'abscisse 5 est tracée.
Parmi les quatre courbes ci‑dessous, déterminer celle qui correspond à la courbe de la fonction dérivée f^\prime de f. Justifier la réponse.
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33
Voici le tableau de variations de la fonction dérivée f^\prime d'une fonction f définie et dérivable sur [-8 ; 7].
1. En déduire le sens de variation de f.
2. Déterminer la convexité de f.
3. Tracer l'allure d'une courbe pouvant représenter f.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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34
Voici le tableau de variations de la fonction dérivée seconde f^{\prime\prime} d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur [-5 ; 5].
Déterminer la convexité de f et les abscisses des éventuels points d'inflexion.
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35
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=4 x^{3}-15 x^{2}-18 x+12.
On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
1. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
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2. Établir la convexité de la fonction f.
3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de \mathcal{C}_f.
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36
Voici la courbe d'une fonction f deux fois dérivable sur \mathbb{R}.
Parmi les trois courbes suivantes, déterminer celle qui représente la fonction dérivée seconde f^{\prime\prime} de f.
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Exercices inversés
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37
1. a. Définir deux fonctions f et g non constantes sur un intervalle \mathrm{I}.
b. Déterminer l'expression de la fonction h=f \circ g.
c. Déterminer l'expression de la fonction \ell =g \circ f.
2. Déterminer les dérivées respectives des fonctions h et \ell.
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38
On se place dans un repère orthogonal.
1. Tracer la courbe représentative d'une fonction définie et convexe sur ]-\infty ;-2[.
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2. Tracer la courbe représentative d'une fonction définie sur \mathbb{R} et qui possède un point d'inflexion d'abscisse 2.
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39
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur \mathbb{R}. Dresser un tableau de variations de f^{\prime\prime} de telle sorte que f admette deux points d'inflexion dont les abscisses soient opposées.
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