Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} par l'expression donnée.
Préciser son ensemble de dérivabilité \mathcal{D}_{f^\prime} et déterminer sa fonction dérivée f^\prime.

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21

1. f(x)=\sqrt{x+\frac{1}{x}} avec \mathrm{I}=]0 ;+\infty[.

2. f(x)=\sqrt{x^{2}-3 x+5} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.

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22

1. f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}} avec \mathrm{I}=[0 ;+\infty[.

2. f(x)=\sqrt{x^{2}+\mathrm{e}^{x}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.

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23

1. f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-5 x+4} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. f(x)=\mathrm{e}^{x+\normalsize\tfrac{1}{x}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}^*.

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24

1. f(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{x+2}{x-7}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{7\}.

2. f(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x}} avec \mathrm{I}=[0 ;+\infty[.

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25

1. f(x)=\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x+4\right)^{5} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. f(x)=\left(x^{3}+\frac{1}{x}+\sqrt{x}\right)^{6} avec \mathrm{I}=]0 ;+\infty[.

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26

1. f(x)=\left(\frac{x-4}{x+3}\right)^{4} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{-3\}.

2. f(x)=(\sqrt{3 x+5})^{3} avec \mathrm{I}=\left[-\frac{5}{3} ;+\infty\right[.

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27

1. f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right)^{2} \times\left(2 x^{2}-5 x+7\right)^{3} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. f(x)=\left(x^{3}+5 x^{2}+4\right)^{2} \times \mathrm{e}^{x^{4}-8 x^{2}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.

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28

1. f(x)=\sqrt{-x^{2}+3 x-2} \times\left(x^{3}+5 x-8\right)^{3} avec \mathrm{I}=[1\,; 2].

2. f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}+7} \times \sqrt{x^{2}+4} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.

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29

1. f(x)=\frac{\sqrt{2 x+3}}{x^{2}-x+4} avec \mathrm{I}=\left[-\frac{3}{2}\,;+\infty\right[.

2. f(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x^{2}+5 x+4}}{x+7} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \setminus\{-7\}.

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30

1. f(x)=\frac{\left(x^{3}+4\right)^{5}}{\left(x^{2}+3 x-4\right)^{3}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{-4\,; 1\}.

2. f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2 x^{3}+x^{2}-7 x+2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.

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Étude de la convexité

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Pour chacune des fonctions associées aux courbes suivantes, conjecturer la convexité et préciser approximativement les abscisses des éventuels points d'inflexion.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 31

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La courbe ci‑dessous est celle d'une fonction f définie sur [0 ; 10] dont la tangente au point d'abscisse 5 est tracée.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 32

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Parmi les quatre courbes ci‑dessous, déterminer celle qui correspond à la courbe de la fonction dérivée f^\prime de f. Justifier la réponse.

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33

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée f^\prime d'une fonction f définie et dérivable sur [-8 ; 7].

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 33

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1. En déduire le sens de variation de f.

2. Déterminer la convexité de f.

3. Tracer l'allure d'une courbe pouvant représenter f.

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34

Voici le tableau de variations de la fonction dérivée seconde f^{\prime\prime} d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur [-5 ; 5].

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 34

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Déterminer la convexité de f et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

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35

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=4 x^{3}-15 x^{2}-18 x+12.

On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

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2. Établir la convexité de la fonction f.

3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de \mathcal{C}_f.

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Voici la courbe d'une fonction f deux fois dérivable sur \mathbb{R}.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 36

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Parmi les trois courbes suivantes, déterminer celle qui représente la fonction dérivée seconde f^{\prime\prime} de f.

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Exercices inversés

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37

1. a. Définir deux fonctions f et g non constantes sur un intervalle \mathrm{I}.

b. Déterminer l'expression de la fonction h=f \circ g.

c. Déterminer l'expression de la fonction \ell =g \circ f.

2. Déterminer les dérivées respectives des fonctions h et \ell.

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38

On se place dans un repère orthogonal.

1. Tracer la courbe représentative d'une fonction définie et convexe sur ]-\infty ;-2[.

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2. Tracer la courbe représentative d'une fonction définie sur \mathbb{R} et qui possède un point d'inflexion d'abscisse 2.

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39

Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur \mathbb{R}. Dresser un tableau de variations de f^{\prime\prime} de telle sorte que f admette deux points d'inflexion dont les abscisses soient opposées.

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