Approfondissements sur les dérivées

Parcours 1 : exercices

43

 ;

45

 ;

47

 ;

70

 ;

75

et

85

Parcours 2 : exercices

44

 ;

52

 ;

58

 ;

63

 ;

74

et

77

Parcours 3 : exercices

51

 ;

54

 ;

61

 ;

80

et

87

40

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
1. Déterminer f^\prime(x) pour tout réel x.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2.

41

Soit g la fonction définie sur [-2 ;+\infty[ par :
1. Déterminer g^\prime(x) pour tout x \in ]-2 ;+\infty[.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0.

42

Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par :
1. Déterminer h^\prime(x) pour tout réel x.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de h au point d'abscisse 1.

44

[Calculer.]
1. f(x)=\left(\frac{\sqrt{4 x+1}}{3 x+6}\right)^{3} avec \mathrm{I}=\left[-\frac{1}{4} ;+\infty\right[.

2. f(x)=\left(\frac{\mathrm{e}^{5 x-8}}{x^{2}-7 x+12}\right)^{4} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{3 ; 4\}.

43

[Calculer.]
1. f(x)=\left(\frac{7 x-8}{9-2 x}\right)^{3} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{9}{2}\right\}.

2. f(x)=\left(\frac{-x^{2}+4 x+6}{x^{2}-1}\right)^{4} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}.

45

[Calculer.]
1. f(x)=\sqrt{\frac{2 x+4}{5-x}} avec \mathrm{I}=[-2 ; 5[.

2. f(x)=\sqrt{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-4 x+15\right)} avec \mathrm{I}=\mathbb{R}.

46

[Calculer.]
1. f(x)=\sqrt{\frac{(5 x-8)^{4}}{4-x^{2}}} avec \mathrm{I}=]-2 ; 2[.

2. f(x)=\sqrt{\left(-x^{2}+3 x+40\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-5 x}} avec \mathrm{I}=[-5 ; 8].

47

[Calculer.]
1. f(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{1}{x}} avec \mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{0\}.

2. f(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{-9 x+3}} avec \mathrm{I}=\left]-\infty ; \frac{1}{3}\right].

48

[Calculer.]
1. f(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{\sqrt{4 x+7}}{x+5}} avec \mathrm{I}=\left[-\frac{7}{4} ;+\infty\right[.

2. f(x)=\mathrm{e}^{(x-4)^{3} \sqrt{-4 x+2}} avec \mathrm{I}=\left]-\infty ; \frac{1}{2}\right].

49

[Raisonner.]
Soit p la fonction polynôme définie sur \mathbb{R} par :
1. Déterminer, pour tout réel x, les dérivées d'ordre 1 à 5 p^{\prime}(x), p^{\prime \prime}(x), p^{(3)}(x), p^{(4)}(x) et p^{(5)}(x).

2. Soit p_n la fonction définie sur \mathbb{R} par p_{n}(x)=x^{n} où n est un entier naturel non nul.
a. Conjecturer la dérivée k‑ième de p_n pour chaque entier k entre 1 et n.

b. Démontrer par récurrence cette conjecture.

3. Déterminer la dérivée d'ordre 5 de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=2 x^{8}-x^{6}-x^{3}.

50

[Chercher.]
1. Calculer la dérivée d'ordre 5 de la fonction définie sur \mathbb{R} \backslash\{1\} par f(x)=\frac{1}{x-1}.

2. Calculer la dérivée d'ordre 5 de la fonction définie sur \mathbb{R} \backslash\{-1\} par g(x)=\frac{1}{x+1}.

3. Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\} par :
a. Exprimer h en fonction de f et g pour tout x appartenant à \mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}.

b. En déduire la dérivée d'ordre 5 de h sur \mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}.

56

[Raisonner.]
Soit f la fonction définie et dérivable sur ] 0 ;+\infty[ par :
1. Déterminer la fonction dérivée f^\prime de f sur ] 0 ;+\infty[.

2. Dresser le tableau de variations de f sur ] 0 ;+\infty[.


3. Quel est le minimum de f sur ] 0 ;+\infty[ ?

4. En déduire que, pour tous réels a > 0 et b > 0 :

(\sqrt{a+b})\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right) \geqslant 2 \sqrt{2}.

57

[Chercher.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. La dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\sqrt{x^{2}+2 x+5} \times \mathrm{e}^{x+3} est f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x+3}}{2 \sqrt{x^{2}+2 x+5}}.

2. La dérivée seconde de la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\left(x^{3}-5 x^{2}+8 x-4\right)^{2} s'annule en 2.

3. Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x)=\mathrm{e}^{-2 x^{2}+4 x-6}.
Sa courbe représentative \mathcal{C}_h admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.

58

[Calculer.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
1. Déterminer, pour tout réel x, la fonction dérivée f^\prime de f.

2. Démontrer que, pour tout réel x, on a :

\sqrt{1+x^{2}} \times f^{\prime}(x)=f(x).

3. Déterminer, pour tout réel x, la dérivée seconde f^{\prime\prime} de f.

4. En déduire que, pour tout réel x, on a :

\left(1+x^{2}\right) f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)-f(x)=0.

59

[Communiquer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x+1+x \mathrm{e}^{-x}.

1. a. Déterminer, pour tout réel x, la dérivée f^\prime de f et la dérivée seconde f^{\prime\prime} de f.

b. Étudier le signe de f^{\prime \prime}(x) sur \mathbb{R}.

c. En déduire les variations de f^\prime.

d. Démontrer que, pour tout réel x, f^{\prime}(x)>0.

e. En déduire le tableau de variations de f.


2. Soit \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé et \mathcal{D} la droite d'équation y=x+1.
a. En étudiant le signe de f(x)-(x+1), préciser la position relative de \mathcal{C}_f et \mathcal{D}.

b. La courbe \mathcal{C}_f admet en un point \text{A} une tangente parallèle à la droite \mathcal{D}. Déterminer les coordonnées de \text{A}.

60

[Chercher.]
Un bateau \text{A} se trouve au large d'une côte rectiligne. Le point de la côte le plus proche, noté \text{H}, est à 9 km du bateau. Un émissaire doit communiquer le plus rapidement possible son message au dirigeant de la ville \text{B}, située à 15 km du point \text{H}. La vitesse de l'émissaire est de 4 km·h^{-1} en barque et de 6 km·h^{-1} à pied.
Le but de l'exercice est de déterminer en quel point de la côte doit accoster l'émissaire afin de parvenir le plus rapidement possible dans la ville \text{B}.
On note \text{M} le point d'accostage de la barque et x la distance \text{HM} en kilomètre (0 \leqslant x \leqslant 15).


1. Exprimer, en fonction de x, les distances \text{AM} et \text{BM}.

2. Déterminer, en fonction de x, le temps du parcours effectué en barque et celui effectué à pied.

3. On note f(x) le temps de trajet total.
a. Vérifier que, pour tout x \in[0\,; 15] :

f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+81}}{4}+\frac{15-x}{6}.

b. Étudier les variations de f sur [0\,; 15].


c. En déduire une valeur approchée au mètre près de la longueur \text{HM}.

61

[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur [-1\,; 1[ par f(x)=x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.

1. Déterminer, pour tout réel x \in]-1\,; 1[, la fonction dérivée f^\prime de f.

2. Étudier le signe de f^{\prime}(x) sur ]-1\,; 1[.

3. En déduire les variations de f sur [-1\,; 1[.

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0.

62

[Calculer.]
Soit g la fonction définie sur \mathcal{D}_{g}=]-\infty\,;-1] \cup [1\,;+\infty[ par g(x)=(5 x+7) \sqrt{x^{2}-1}.

1. Déterminer, pour tout réel x \in \mathcal{D}_{g^\prime}, la fonction dérivée g^\prime de g.

2. Étudier le signe de g^{\prime}(x) sur \mathcal{D}_{g^\prime}.

3. En déduire les variations de g sur \mathcal{D}_{g}.

4. Déterminer l'abscisse du point où la tangente à la courbe représentative de g est horizontale.

63

[Calculer.]
Soit h la fonction définie sur \mathcal{D}_{h}=]-\infty ; 2] \cup[3 ;+\infty[ par h(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}.

1. Déterminer, pour tout réel x \in \mathcal{D}_{h^\prime}, la fonction dérivée h^\prime.

2. Étudier le signe de h^{\prime}(x) sur \mathcal{D}_{h^\prime}.

3. En déduire les variations de h sur \mathcal{D}_{h}.

4. Déterminer les équations des tangentes \mathrm{T}_1 et \mathrm{T}_4 à la courbe représentative de h aux points d'abscisses 1 et 4.

5. Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites \mathrm{T}_1 et \mathrm{T}_4.

64

[Chercher.]


Le nombre de malades touchés par une maladie contagieuse est modélisé par la fonction p définie pour tout réel t positif par p(t)=100\left(t^{2}+20 t\right) \mathrm{e}^{-t-1}, où t représente le nombre de semaines depuis le début de l'épidémie.

1. Déterminer la fonction dérivée p^\prime de p sur [0 ;+\infty[.

2. Dresser le tableau de variations de p sur [0 ;+\infty[.


3. Quel est le nombre maximal de malades ? Au bout de combien de temps ?