2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2.
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41
FLASH
Soit g la fonction définie sur [−2;+∞[ par :
g(x)=x3−x+6.
1. Déterminer g′(x) pour tout x∈]−2;+∞[.
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de g au point d’abscisse 0.
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42
FLASH
Soit h la fonction définie sur R par :
h(x)=ex3−5x2+7.
1. Déterminer h′(x) pour tout réel x.
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de h au point d’abscisse 1.
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Pour les exercices
43
à
48
Soit f une fonction définie sur un ensemble I par l’expression donnée. Préciser son ensemble de dérivabilité Df′ et déterminer sa fonction dérivée f′.
43
[Calculer.]◉◉◉ 1.f(x)=(9−2x7x−8)3 avec I=R\{29}.
2.f(x)=(x2−1−x2+4x+6)4 avec I=R\{−1;1}.
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44
[Calculer.]◉◉◉ 1.f(x)=(3x+64x+1)3 avec I=[−41;+∞[.
2.f(x)=(x2−7x+12e5x−8)4 avec I=R\{3;4}.
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45
[Calculer.]◉◉◉ 1.f(x)=5−x2x+4 avec I=[−2;5[.
2.f(x)=ex(x2−4x+15) avec I=R.
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46
[Calculer.] 1.f(x)=4−x2(5x−8)4 avec I=]−2;2[.
2.f(x)=(−x2+3x+40)e−x2−5x avec I=[−5;8].
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47
[Calculer.]◉◉◉ 1.f(x)=ex1 avec I=R\{0}.
2.f(x)=e−9x+3 avec I=]−∞;31].
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48
[Calculer.] 1.f(x)=ex+54x+7 avec I=[−47;+∞[.
2.f(x)=e(x−4)3−4x+2 avec I=]−∞;21].
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49
[Raisonner.]
Soit p la fonction polynôme définie sur R par :
p(x)=x5−2x4+3x3−4x+5.
1. Déterminer, pour tout réel x, les dérivées d’ordre 1 à 5p′(x), p′′(x), p(3)(x), p(4)(x) et p(5)(x).
2. Soit pn la fonction définie sur R par pn(x)=xn où n est un entier naturel non nul.
a. Conjecturer la dérivée k‑ième de pn pour chaque entier k entre 1 et n.
b. Démontrer par récurrence cette conjecture.
Aide
On rappelle que p(n+1)=[p(n)]′.
3. Déterminer la dérivée d’ordre 5 de la fonction f définie sur R par f(x)=2x8−x6−x3.
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50
[Chercher.] 1. Calculer la dérivée d’ordre 5 de la fonction définie sur R\{1} par f(x)=x−11.
2. Calculer la dérivée d’ordre 5 de la fonction définie sur R\{−1} par g(x)=x+11.
3. Soit h la fonction définie sur R\{−1;1} par :
h(x)=x2−12x.
a. Exprimer h en fonction de f et g pour tout x appartenant à R\{−1;1}.
Aide
Poser h(x)=x+1a+x−1b avec a et b réels et identifier a et b.
b. En déduire la dérivée d’ordre 5 de h sur R\{−1;1}.
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51
[Raisonner.]◉◉◉
Soit a un nombre réel et soit f la fonction définie sur ]a;+∞[ par f(x)=x−a1.
1. Déterminer, pour tout réel x, les dérivées d’ordre 1 à 4 définies par f′(x), f′′(x), f(3)(x) et f(4)(x).
2.a. Conjecturer l’expression de f(n) pour tout entier n naturel non nul.
b. Démontrer cette conjecture par récurrence.
3. Soit g la fonction définie sur ]1;+∞[ par g(x)=x2−11.
a. Déterminer les réels b et c tels que, pour tout x appartenant à ]1;+∞[, g(x)=x−1b+x+1c.
b. Déterminer g(4)(x) pour tout x∈]1;+∞[.
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52
[Représenter.]◉◉◉
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x2+23x−10)2.
1. Déterminer la fonction dérivée f′ pour tout réel x et étudier son signe sur R.
2. Dresser le tableau de variations de f sur R.
Couleurs
Formes
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3. En déduire les abscisses des points où les tangentes sont horizontales.
4. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative Cf de f et les tangentes horizontales.
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53
GEOGEBRA
[Représenter.]
Soit g la fonction définie sur [−7;8] par :
g(x)=−x3−6x2+63x+392.
1. Déterminer la fonction dérivée g′ de g et étudier son signe sur ]−7;8[.
2. Dresser le tableau de variations de g sur [−7;8].
Couleurs
Formes
Dessinez ici
3. Soit d la droite d’équation y=2x+5.
a. Tracer dans GeoGebra la courbe représentative Cg de g et la droite d.
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b. Conjecturer l’abscisse du point où la tangente à Cg est parallèle à d.
4. Soit a un réel de l’intervalle ]−7;8[.
a. Déterminer une équation de la tangente à Cg au point d’abscisse a.
b. Prouver que g(a)=(−a+8)(a+7)2 et −3a−12a+63=−3(a+7)(a−3).
c. Prouver la conjecture de la question 3.b.
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54
[Raisonner.]◉◉◉
Soit h la fonction définie sur R par h(x)=e−x2+x+1.
1. Déterminer la fonction dérivée h′ de h et étudier son signe sur R.
2. Dresser le tableau de variations de h sur R.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
3. Soit a un nombre réel.
Déterminer une valeur de a pour laquelle la tangente à la courbe de h au point d’abscisse a est parallèle à la droite d’équation y=e×x.
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55
GEOGEBRA
[Représenter.]
Soit f la fonction définie sur ]−∞;1] par f(x)=x2−x3.
1. En utilisant le taux d’accroissement, déterminer le nombre dérivé de f en 0 à droite et celui à gauche.
2. Déterminer la fonction dérivée f′ de f pour tout x appartenant à ]−∞;0[∪]0;1[.
3. Dresser le tableau de variations de f sur ]−∞;1].
Couleurs
Formes
Dessinez ici
4. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur ]−∞;1] à l’aide de GeoGebra ou d’une calculatrice et vérifier les résultats obtenus.
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56
[Raisonner.]
Soit f la fonction définie et dérivable sur ]0;+∞[ par :
f(x)=(x+1)(1+x1).
1. Déterminer la fonction dérivée f′ de f sur ]0;+∞[.
2. Dresser le tableau de variations de f sur ]0;+∞[.
Couleurs
Formes
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3. Quel est le minimum de f sur ]0;+∞[ ?
4. En déduire que, pour tous réels a>0 et b>0 :
(a+b)(a1+b1)⩾22.
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57
VRAI / FAUX
[Chercher.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.
1. La dérivée de la fonction f définie sur R par f(x)=x2+2x+5×ex+3 est f′(x)=2x2+2x+5ex+3.
2. La dérivée seconde de la fonction g définie sur R par g(x)=(x3−5x2+8x−4)2 s’annule en 2.
3. Soit h la fonction définie sur R par h(x)=e−2x2+4x−6.
Sa courbe représentative Ch admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1.
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58
[Calculer.]◉◉◉
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x)=x+1+x2.
1. Déterminer, pour tout réel x, la fonction dérivée f′ de f.
2. Démontrer que, pour tout réel x, on a :
1+x2×f′(x)=f(x).
3. Déterminer, pour tout réel x, la dérivée seconde f′′ de f.
4. En déduire que, pour tout réel x, on a :
(1+x2)f′′(x)+xf′(x)−f(x)=0.
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59
[Communiquer.]
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x+1+xe−x.
1.a. Déterminer, pour tout réel x, la dérivée f′ de f et la dérivée seconde f′′ de f.
b. Étudier le signe de f′′(x) sur R.
c. En déduire les variations de f′.
d. Démontrer que, pour tout réel x, f′(x)>0.
e. En déduire le tableau de variations de f.
Couleurs
Formes
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2. Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé et D la droite d’équation y=x+1.
a. En étudiant le signe de f(x)−(x+1), préciser la position relative de Cf et D.
b. La courbe Cf admet en un point A une tangente parallèle à la droite D. Déterminer les coordonnées de A.
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60
[Chercher.]
Un bateau A se trouve au large d’une côte rectiligne. Le point de la côte le plus proche, noté H, est à 9 km du bateau. Un émissaire doit communiquer le plus rapidement possible son message au dirigeant de la ville B, située à 15 km du point H. La vitesse de l’émissaire est de 4 km·h−1 en barque et de 6 km·h−1 à pied.
Le but de l’exercice est de déterminer en quel point de la côte doit accoster l’émissaire afin de parvenir le plus rapidement possible dans la ville B.
On note M le point d’accostage de la barque et x la distance HM en kilomètre (0⩽x⩽15).
1. Exprimer, en fonction de x, les distances AM et BM.
2. Déterminer, en fonction de x, le temps du parcours effectué en barque et celui effectué à pied.
3. On note f(x) le temps de trajet total.
a. Vérifier que, pour tout x∈[0;15] :
f(x)=4x2+81+615−x.
b. Étudier les variations de f sur [0;15].
Couleurs
Formes
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c. En déduire une valeur approchée au mètre près de la longueur HM.
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61
[Calculer.]◉◉◉
Soit f la fonction définie sur [−1;1[ par f(x)=x1−x1+x.
1. Déterminer, pour tout réel x∈]−1;1[, la fonction dérivée f′ de f.
2. Étudier le signe de f′(x) sur ]−1;1[.
3. En déduire les variations de f sur [−1;1[.
Couleurs
Formes
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4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0.
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62
[Calculer.]
Soit g la fonction définie sur Dg=]−∞;−1]∪[1;+∞[ par g(x)=(5x+7)x2−1.
1. Déterminer, pour tout réel x∈Dg′, la fonction dérivée g′ de g.
2. Étudier le signe de g′(x) sur Dg′.
3. En déduire les variations de g sur Dg.
Couleurs
Formes
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4. Déterminer l’abscisse du point où la tangente à la courbe représentative de g est horizontale.
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63
[Calculer.]◉◉◉
Soit h la fonction définie sur Dh=]−∞;2]∪[3;+∞[ par h(x)=ex2−5x+6.
1. Déterminer, pour tout réel x∈Dh′, la fonction dérivée h′.
2. Étudier le signe de h′(x) sur Dh′.
3. En déduire les variations de h sur Dh.
Couleurs
Formes
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4. Déterminer les équations des tangentes T1 et T4 à la courbe représentative de h aux points d’abscisses 1 et 4.
5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites T1 et T4.
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64
EN MÉDECINE
[Chercher.]
Le nombre de malades touchés par une maladie contagieuse est modélisé par la fonction p définie pour tout réel t positif par p(t)=100(t2+20t)e−t−1, où t représente le nombre de semaines depuis le début de l’épidémie.
1. Déterminer la fonction dérivée p′ de p sur [0;+∞[.
2. Dresser le tableau de variations de p sur [0;+∞[.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
3. Quel est le nombre maximal de malades ? Au bout de combien de temps ?
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