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1. Approfondissements sur les dérivées
P.224-226

Entraînement


1
Approfondissements sur les dérivées





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 45 ; 47 ; 70 ; 75 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 52 ; 58 ; 63 ; 74 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 54 ; 61 ; 80 et 87

40
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer pour tout réel .


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .

41
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer pour tout .


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .

42
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer pour tout réel .


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .

Pour les exercices
43
à 
48


Soit une fonction définie sur un ensemble par l’expression donnée. Préciser son ensemble de dérivabilité et déterminer sa fonction dérivée .

43
[Calculer.] ◉◉
1. avec .


2. avec .

44
[Calculer.] ◉◉
1. avec .


2. avec .

45
[Calculer.] ◉◉
1. avec .


2. avec .

46
[Calculer.]
1. avec .


2. avec .

47
[Calculer.] ◉◉
1. avec .


2. avec .

48
[Calculer.]
1. avec .


2. avec .

49
[Raisonner.]
Soit la fonction polynôme définie sur par :
.

1. Déterminer, pour tout réel , les dérivées d’ordre à , , , et .


2. Soit la fonction définie sur par est un entier naturel non nul.
a. Conjecturer la dérivée ‑ième de pour chaque entier entre et .


b. Démontrer par récurrence cette conjecture.


Aide
On rappelle que .


3. Déterminer la dérivée d’ordre de la fonction définie sur par .

50
[Chercher.]
1. Calculer la dérivée d’ordre de la fonction définie sur par .


2. Calculer la dérivée d’ordre de la fonction définie sur par .


3. Soit la fonction définie sur par :
.

a. Exprimer en fonction de et pour tout appartenant à .


Aide
Poser avec et réels et identifier et .


b. En déduire la dérivée d’ordre de sur .

51
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit un nombre réel et soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer, pour tout réel , les dérivées d’ordre à définies par , , et .


2. a. Conjecturer l’expression de pour tout entier naturel non nul.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


3. Soit la fonction définie sur par .
a. Déterminer les réels et tels que, pour tout appartenant à , .


b. Déterminer pour tout .

52
[Représenter.] ◉◉
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer la fonction dérivée pour tout réel et étudier son signe sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. En déduire les abscisses des points où les tangentes sont horizontales.


4. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de et les tangentes horizontales.

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53
GEOGEBRA
[Représenter.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée de et étudier son signe sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. Soit la droite d’équation .

a. Tracer dans GeoGebra la courbe représentative de et la droite .

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b. Conjecturer l’abscisse du point où la tangente à est parallèle à .


4. Soit un réel de l’intervalle .

a. Déterminer une équation de la tangente à au point d’abscisse .


b. Prouver que et .


c. Prouver la conjecture de la question 3. b.

54
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer la fonction dérivée de et étudier son signe sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. Soit un nombre réel.
Déterminer une valeur de pour laquelle la tangente à la courbe de au point d’abscisse est parallèle à la droite d’équation .

55
GEOGEBRA
[Représenter.]
Soit la fonction définie sur par .

1. En utilisant le taux d’accroissement, déterminer le nombre dérivé de en à droite et celui à gauche.


2. Déterminer la fonction dérivée de pour tout appartenant à .


3. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

4. Tracer la courbe représentative de la fonction sur à l’aide de GeoGebra ou d’une calculatrice et vérifier les résultats obtenus.

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56
[Raisonner.]
Soit la fonction définie et dérivable sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée de sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. Quel est le minimum de sur  ?


4. En déduire que, pour tous réels et  :
.


57
VRAI / FAUX
[Chercher.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. La dérivée de la fonction définie sur par est