1

Approfondissements sur les dérivées

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 45 ; 47 ; 70 ; 75 et 85
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 52 ; 58 ; 63 ; 74 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 54 ; 61 ; 80 et 87

40

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
1. Déterminer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $2$.

41

Soit $g$ la fonction définie sur $[-2;+\infty [$ par :
1. Déterminer $g^{\prime }(x)$ pour tout $x\in ]-2;+\infty [$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d’abscisse $0$.

42

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
1. Déterminer $h^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $h$ au point d’abscisse $1$.

Pour les exercices

43

à 

48

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathrm{I}$ par l’expression donnée. Préciser son ensemble de dérivabilité ${\mathcal{D}}_{f^{\prime }}$ et déterminer sa fonction dérivée $f^{\prime }$.

43

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)={\left(\frac{7x-8}{9-2x}\right)}^3$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{9}{2}\right\}$.


2. $f(x)={\left(\frac{-x^2+4x+6}{x^2-1}\right)}^4$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\backslash \{-1;1\}$.

44

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)={\left(\frac{\sqrt{4x+1}}{3x+6}\right)}^3$ avec $\mathrm{I}=\left[-\frac{1}{4};+\infty \right[$.


2. $f(x)={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{5x-8}}{x^2-7x+12}\right)}^4$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\backslash \{3;4\}$.

45

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)=\sqrt{\frac{2x+4}{5-x}}$ avec $\mathrm{I}=[-2;5[$.


2. $f(x)=\sqrt{{\mathrm{e}}^x\left(x^2-4x+15\right)}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

46

[Calculer.]
1. $f(x)=\sqrt{\frac{(5x-8{)}^4}{4-x^2}}$ avec $\mathrm{I}=]-2;2[$.


2. $f(x)=\sqrt{\left(-x^2+3x+40\right){\mathrm{e}}^{-x^2-5x}}$ avec $\mathrm{I}=[-5;8]$.

47

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\backslash \{0\}$.


2. $f(x)={\mathrm{e}}^{\sqrt{-9x+3}}$ avec $\mathrm{I}=\left]-\infty ;\frac{1}{3}\right]$.

48

[Calculer.]
1. $f(x)={\mathrm{e}}^{\frac{\sqrt{4x+7}}{x+5}}$ avec $\mathrm{I}=\left[-\frac{7}{4};+\infty \right[$.


2. $f(x)={\mathrm{e}}^{(x-4{)}^3\sqrt{-4x+2}}$ avec $\mathrm{I}=\left]-\infty ;\frac{1}{2}\right]$.

49

[Raisonner.]
Soit $p$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par :
1. Déterminer, pour tout réel $x$, les dérivées d’ordre $1$ à $5$ $p^{\prime }(x)$, $p^{\prime \prime }(x)$, $p^{(3)}(x)$, $p^{(4)}(x)$ et $p^{(5)}(x)$.


2. Soit $p_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $p_n(x)=x^n$ où $n$ est un entier naturel non nul.
a. Conjecturer la dérivée $k$‑ième de $p_n$ pour chaque entier $k$ entre $1$ et $n$.


b. Démontrer par récurrence cette conjecture.




3. Déterminer la dérivée d’ordre $5$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^8-x^6-x^3$.

50

[Chercher.]
1. Calculer la dérivée d’ordre $5$ de la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash \{1\}$ par $f(x)=\frac{1}{x-1}$.


2. Calculer la dérivée d’ordre $5$ de la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash \{-1\}$ par $g(x)=\frac{1}{x+1}$.


3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash \{-1;1\}$ par :
a. Exprimer $h$ en fonction de $f$ et $g$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}\backslash \{-1;1\}$.




b. En déduire la dérivée d’ordre $5$ de $h$ sur $\mathbb{R}\backslash \{-1;1\}$.

51

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $a$ un nombre réel et soit $f$ la fonction définie sur $]a;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x-a}$.

1. Déterminer, pour tout réel $x$, les dérivées d’ordre $1$ à $4$ définies par $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f^{(3)}(x)$ et $f^{(4)}(x)$.


2. a. Conjecturer l’expression de $f^{(n)}$ pour tout entier $n$ naturel non nul.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


3. Soit $g$ la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par $g(x)=\frac{1}{x^2-1}$.
a. Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout $x$ appartenant à $]1;+\infty [$, $g(x)=\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+1}$.


b. Déterminer $g^{(4)}(x)$ pour tout $x\in ]1;+\infty [$.

52

[Représenter.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\left(x^2+\frac{3}{2}x-10\right)}^2$.

1. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$ pour tout réel $x$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.


3. En déduire les abscisses des points où les tangentes sont horizontales.


4. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ et les tangentes horizontales.

53

GEOGEBRA

[Représenter.]
Soit $g$ la fonction définie sur $[-7;8]$ par :
1. Déterminer la fonction dérivée $g^{\prime }$ de $g$ et étudier son signe sur $]-7;8[$.


2. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-7;8]$.


3. Soit $d$ la droite d’équation $y=2x+5$.

a. Tracer dans GeoGebra la courbe représentative ${\mathcal{C}}_g$ de $g$ et la droite $d$.

b. Conjecturer l’abscisse du point où la tangente à ${\mathcal{C}}_g$ est parallèle à $d$.


4. Soit $a$ un réel de l’intervalle $]-7;8[$.

a. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_g$ au point d’abscisse $a$.


b. Prouver que $g(a)=\sqrt{(-a+8)(a+7{)}^2}$ et $-3a-12a+63=-3(a+7)(a-3)$.


c. Prouver la conjecture de la question 3. b.

54

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\mathrm{e}}^{-x^2+x+1}$.

1. Déterminer la fonction dérivée $h^{\prime }$ de $h$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.


2. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $\mathbb{R}$.


3. Soit $a$ un nombre réel.
Déterminer une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à la courbe de $h$ au point d’abscisse $a$ est parallèle à la droite d’équation $y=\mathrm{e}\times x$.

55

GEOGEBRA

[Représenter.]
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ;1]$ par $f(x)=\sqrt{x^2-x^3}$.

1. En utilisant le taux d’accroissement, déterminer le nombre dérivé de $f$ en $0$ à droite et celui à gauche.


2. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$ pour tout $x$ appartenant à $]-\infty ;0[\cup ]0;1[$.


3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty ;1]$.


4. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur $]-\infty ;1]$ à l’aide de GeoGebra ou d’une calculatrice et vérifier les résultats obtenus.

56

[Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;+\infty [$ par :
1. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$ sur $]0;+\infty [$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty [$.


3. Quel est le minimum de $f$ sur $]0;+\infty [$ ?


4. En déduire que, pour tous réels $a>0$ et $b>0$ :

57

VRAI / FAUX

[Chercher.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2+2x+5}\times {\mathrm{e}}^{x+3}$ est $f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{x+3}}{2\sqrt{x^2+2x+5}}$.


2. La dérivée seconde de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\left(x^3-5x^2+8x-4\right)}^2$ s’annule en $2$.


3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\mathrm{e}}^{-2x^2+4x-6}$.
Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_h$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.

58

[Calculer.] ◉◉◉
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
1. Déterminer, pour tout réel $x$, la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$.


2. Démontrer que, pour tout réel $x$, on a :


3. Déterminer, pour tout réel $x$, la dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ de $f$.


4. En déduire que, pour tout réel $x$, on a :

59

[Communiquer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1+x{\mathrm{e}}^{-x}$.

1. a. Déterminer, pour tout réel $x$, la dérivée $f^{\prime }$ de $f$ et la dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ de $f$.


b. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.


c. En déduire les variations de $f^{\prime }$.


d. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)>0$.


e. En déduire le tableau de variations de $f$.


2. Soit ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé et $\mathcal{D}$ la droite d’équation $y=x+1$.
a. En étudiant le signe de $f(x)-(x+1)$, préciser la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et $\mathcal{D}$.


b. La courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet en un point $\text{A}$ une tangente parallèle à la droite $\mathcal{D}$. Déterminer les coordonnées de $\text{A}$.

60

[Chercher.]
Un bateau $\text{A}$ se trouve au large d’une côte rectiligne. Le point de la côte le plus proche, noté $\text{H}$, est à 9 km du bateau. Un émissaire doit communiquer le plus rapidement possible son message au dirigeant de la ville $\text{B}$, située à 15 km du point $\text{H}$. La vitesse de l’émissaire est de 4 km·h${}^{-1}$ en barque et de 6 km·h${}^{-1}$ à pied.
Le but de l’exercice est de déterminer en quel point de la côte doit accoster l’émissaire afin de parvenir le plus rapidement possible dans la ville $\text{B}$.
On note $\text{M}$ le point d’accostage de la barque et $x$ la distance $\text{HM}$ en kilomètre ($0⩽x⩽15$).


1. Exprimer, en fonction de $x$, les distances $\text{AM}$ et $\text{BM}$.


2. Déterminer, en fonction de $x$, le temps du parcours effectué en barque et celui effectué à pied.


3. On note $f(x)$ le temps de trajet total.
a. Vérifier que, pour tout $x\in [0;15]$ :


b. Étudier les variations de $f$ sur $[0;15]$.


c. En déduire une valeur approchée au mètre près de la longueur $\text{HM}$.

61

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;1[$ par $f(x)=x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.

1. Déterminer, pour tout réel $x\in ]-1;1[$, la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$.


2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $]-1;1[$.


3. En déduire les variations de $f$ sur $[-1;1[$.

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.

62

[Calculer.]
Soit $g$ la fonction définie sur ${\mathcal{D}}_g=]-\infty ;-1]\cup [1;+\infty [$ par $g(x)=(5x+7)\sqrt{x^2-1}$.

1. Déterminer, pour tout réel $x\in {\mathcal{D}}_{g^{\prime }}$, la fonction dérivée $g^{\prime }$ de $g$.


2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ sur ${\mathcal{D}}_{g^{\prime }}$.


3. En déduire les variations de $g$ sur ${\mathcal{D}}_g$.

4. Déterminer l’abscisse du point où la tangente à la courbe représentative de $g$ est horizontale.

63

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $h$ la fonction définie sur ${\mathcal{D}}_h=]-\infty ;2]\cup [3;+\infty [$ par $h(x)={\mathrm{e}}^{\sqrt{x^2-5x+6}}$.

1. Déterminer, pour tout réel $x\in {\mathcal{D}}_{h^{\prime }}$, la fonction dérivée $h^{\prime }$.


2. Étudier le signe de $h^{\prime }(x)$ sur ${\mathcal{D}}_{h^{\prime }}$.


3. En déduire les variations de $h$ sur ${\mathcal{D}}_h$.

4. Déterminer les équations des tangentes ${\mathrm{T}}_1$ et ${\mathrm{T}}_4$ à la courbe représentative de $h$ aux points d’abscisses $1$ et $4$.


5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites ${\mathrm{T}}_1$ et ${\mathrm{T}}_4$.

64

EN MÉDECINE

[Chercher.]


Le nombre de malades touchés par une maladie contagieuse est modélisé par la fonction $p$ définie pour tout réel $t$ positif par $p(t)=100\left(t^2+20t\right){\mathrm{e}}^{-t-1}$, où $t$ représente le nombre de semaines depuis le début de l’épidémie.

1. Déterminer la fonction dérivée $p^{\prime }$ de $p$ sur $[0;+\infty [$.


2. Dresser le tableau de variations de $p$ sur $[0;+\infty [$.


3. Quel est le nombre maximal de malades ? Au bout de combien de temps ?