1

Approfondissements sur les dérivées

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 45 ; 47 ; 70 ; 75 et 85
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 52 ; 58 ; 63 ; 74 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 54 ; 61 ; 80 et 87

40

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\left(x^{3}-3 x^{2}+7 x-8\right)^{3}$.
1. Déterminer $f^\prime(x)$ pour tout réel $x$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $2$.

41

Soit $g$ la fonction définie sur $[-2 ;+\infty[$ par : $g(x)=\sqrt{x^{3}-x+6}$.
1. Déterminer $g^\prime(x)$ pour tout $x \in ]-2 ;+\infty[$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d’abscisse $0$.

42

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\mathrm{e}^{x^{3}-5 x^{2}+7}$.
1. Déterminer $h^\prime(x)$ pour tout réel $x$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $h$ au point d’abscisse $1$.

Pour les exercices

43

à 

48

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathrm{I}$ par l’expression donnée. Préciser son ensemble de dérivabilité $\mathcal{D}_{f^{\prime}}$ et déterminer sa fonction dérivée $f^{\prime}$.

43

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)=\left(\dfrac{7 x-8}{9-2 x}\right)^{3}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\left\{\dfrac{9}{2}\right\}$.


2. $f(x)=\left(\dfrac{-x^{2}+4 x+6}{x^{2}-1}\right)^{4}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}$.

44

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)=\left(\dfrac{\sqrt{4 x+1}}{3 x+6}\right)^{3}$ avec $\mathrm{I}=\left[-\dfrac{1}{4} ;+\infty\right[$.


2. $f(x)=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{5 x-8}}{x^{2}-7 x+12}\right)^{4}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{3 ; 4\}$.

45

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)=\sqrt{\dfrac{2 x+4}{5-x}}$ avec $\mathrm{I}=[-2 ; 5[$.


2. $f(x)=\sqrt{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-4 x+15\right)}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

46

[Calculer.]
1. $f(x)=\sqrt{\dfrac{(5 x-8)^{4}}{4-x^{2}}}$ avec $\mathrm{I}=]-2 ; 2[$.


2. $f(x)=\sqrt{\left(-x^{2}+3 x+40\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-5 x}}$ avec $\mathrm{I}=[-5 ; 8]$.

47

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{1}{x}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{0\}$.


2. $f(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{-9 x+3}}$ avec $\mathrm{I}=\left]-\infty ; \dfrac{1}{3}\right]$.

48

[Calculer.]
1. $f(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{\sqrt{4 x+7}}{x+5}}$ avec $\mathrm{I}=\left[-\dfrac{7}{4} ;+\infty\right[$.


2. $f(x)=\mathrm{e}^{(x-4)^{3} \sqrt{-4 x+2}}$ avec $\mathrm{I}=\left]-\infty ; \dfrac{1}{2}\right]$.

49

[Raisonner.]
Soit $p$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par : $p(x)=x^{5}-2 x^{4}+3 x^{3}-4 x+5$.
1. Déterminer, pour tout réel $x$, les dérivées d’ordre $1$ à $5$ $p^{\prime}(x)$, $p^{\prime \prime}(x)$, $p^{(3)}(x)$, $p^{(4)}(x)$ et $p^{(5)}(x)$.


2. Soit $p_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $p_{n}(x)=x^{n}$ où $n$ est un entier naturel non nul.
a. Conjecturer la dérivée $k$‑ième de $p_n$ pour chaque entier $k$ entre $1$ et $n$.


b. Démontrer par récurrence cette conjecture.




3. Déterminer la dérivée d’ordre $5$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2 x^{8}-x^{6}-x^{3}$.

50

[Chercher.]
1. Calculer la dérivée d’ordre $5$ de la fonction définie sur $\mathbb{R} \backslash\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$.


2. Calculer la dérivée d’ordre $5$ de la fonction définie sur $\mathbb{R} \backslash\{-1\}$ par $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$.


3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}$ par : $h(x)=\dfrac{2 x}{x^{2}-1}$.
a. Exprimer $h$ en fonction de $f$ et $g$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}$.




b. En déduire la dérivée d’ordre $5$ de $h$ sur $\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}$.

51

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $a$ un nombre réel et soit $f$ la fonction définie sur $]a ;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-a}$.

1. Déterminer, pour tout réel $x$, les dérivées d’ordre $1$ à $4$ définies par $f^{\prime}(x)$, $f^{\prime \prime}(x)$, $f^{(3)}(x)$ et $f^{(4)}(x)$.


2. a. Conjecturer l’expression de $f^{(n)}$ pour tout entier $n$ naturel non nul.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


3. Soit $g$ la fonction définie sur $]1 ;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{1}{x^{2}-1}$.
a. Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout $x$ appartenant à $] 1 ;+\infty[$, $g(x)=\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x+1}$.


b. Déterminer $g^{(4)}(x)$ pour tout $x \in ]1 ;+\infty[$.

52

[Représenter.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left(x^{2}+\dfrac{3}{2} x-10\right)^{2}$.

1. Déterminer la fonction dérivée $f^\prime$ pour tout réel $x$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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Couleurs

Formes

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3. En déduire les abscisses des points où les tangentes sont horizontales.


4. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ et les tangentes horizontales.

53

GEOGEBRA

[Représenter.]
Soit $g$ la fonction définie sur $[-7 ; 8]$ par : $g(x)=\sqrt{-x^{3}-6 x^{2}+63 x+392}$.
1. Déterminer la fonction dérivée $g^\prime$ de $g$ et étudier son signe sur $]-7 ; 8[$.


2. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-7 ; 8]$.

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Couleurs

Formes

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3. Soit $d$ la droite d’équation $y = 2x + 5$.

a. Tracer dans GeoGebra la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de $g$ et la droite $d$.

b. Conjecturer l’abscisse du point où la tangente à $\mathcal{C}_g$ est parallèle à $d$.


4. Soit $a$ un réel de l’intervalle $]-7 ; 8[$.

a. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $a$.


b. Prouver que $g(a)=\sqrt{(-a+8)(a+7)^{2}}$ et $-3 a-12 a+63=-3(a+7)(a-3)$.


c. Prouver la conjecture de la question 3. b.

54

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}+x+1}$.

1. Déterminer la fonction dérivée $h^\prime$ de $h$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.


2. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $\mathbb{R}$.

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Formes

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3. Soit $a$ un nombre réel.
Déterminer une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à la courbe de $h$ au point d’abscisse $a$ est parallèle à la droite d’équation $y=\mathrm{e} \times x$.

55

GEOGEBRA

[Représenter.]
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; 1]$ par $f(x)=\sqrt{x^{2}-x^{3}}$.

1. En utilisant le taux d’accroissement, déterminer le nombre dérivé de $f$ en $0$ à droite et celui à gauche.


2. Déterminer la fonction dérivée $f^\prime$ de $f$ pour tout $x$ appartenant à $]-\infty\,; 0[\;\cup\;]0\,; 1[$.


3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty\,; 1]$.

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Couleurs

Formes

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4. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur $]-\infty\,; 1]$ à l’aide de GeoGebra ou d’une calculatrice et vérifier les résultats obtenus.

56

[Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ par : $f(x)=(\sqrt{x+1})\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$.
1. Déterminer la fonction dérivée $f^\prime$ de $f$ sur $] 0 ;+\infty[$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $] 0 ;+\infty[$.

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Formes

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3. Quel est le minimum de $f$ sur $] 0 ;+\infty[$ ?


4. En déduire que, pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $(\sqrt{a+b})\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right) \geqslant 2 \sqrt{2}$.

57

VRAI / FAUX

[Chercher.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^{2}+2 x+5} \times \mathrm{e}^{x+3}$ est $f^{\prime}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x+3}}{2 \sqrt{x^{2}+2 x+5}}$.


2. La dérivée seconde de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\left(x^{3}-5 x^{2}+8 x-4\right)^{2}$ s’annule en $2$.


3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\mathrm{e}^{-2 x^{2}+4 x-6}$.
Sa courbe représentative $\mathcal{C}_h$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.

58

[Calculer.] ◉◉◉
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x+\sqrt{1+x^{2}}$.
1. Déterminer, pour tout réel $x$, la fonction dérivée $f^\prime$ de $f$.


2. Démontrer que, pour tout réel $x$, on a :
$\sqrt{1+x^{2}} \times f^{\prime}(x)=f(x)$.

3. Déterminer, pour tout réel $x$, la dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ de $f$.


4. En déduire que, pour tout réel $x$, on a :
$\left(1+x^{2}\right) f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)-f(x)=0$.

59

[Communiquer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1+x \mathrm{e}^{-x}$.

1. a. Déterminer, pour tout réel $x$, la dérivée $f^\prime$ de $f$ et la dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ de $f$.


b. Étudier le signe de $f^{\prime \prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$.


c. En déduire les variations de $f^\prime$.


d. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)>0$.


e. En déduire le tableau de variations de $f$.

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2. Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé et $\mathcal{D}$ la droite d’équation $y=x+1$.
a. En étudiant le signe de $f(x)-(x+1)$, préciser la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$.


b. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet en un point $\text{A}$ une tangente parallèle à la droite $\mathcal{D}$. Déterminer les coordonnées de $\text{A}$.

60

[Chercher.]
Un bateau $\text{A}$ se trouve au large d’une côte rectiligne. Le point de la côte le plus proche, noté $\text{H}$, est à 9 km du bateau. Un émissaire doit communiquer le plus rapidement possible son message au dirigeant de la ville $\text{B}$, située à 15 km du point $\text{H}$. La vitesse de l’émissaire est de 4 km·h$^{-1}$ en barque et de 6 km·h$^{-1}$ à pied.
Le but de l’exercice est de déterminer en quel point de la côte doit accoster l’émissaire afin de parvenir le plus rapidement possible dans la ville $\text{B}$.
On note $\text{M}$ le point d’accostage de la barque et $x$ la distance $\text{HM}$ en kilomètre ($0 \leqslant x \leqslant 15$).

1. Exprimer, en fonction de $x$, les distances $\text{AM}$ et $\text{BM}$.


2. Déterminer, en fonction de $x$, le temps du parcours effectué en barque et celui effectué à pied.


3. On note $f(x)$ le temps de trajet total.
a. Vérifier que, pour tout $x \in[0\,; 15]$ : $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+81}}{4}+\dfrac{15-x}{6}$.


b. Étudier les variations de $f$ sur $[0\,; 15]$.

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c. En déduire une valeur approchée au mètre près de la longueur $\text{HM}$.

61

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $[-1\,; 1[$ par $f(x)=x \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$.

1. Déterminer, pour tout réel $x \in]-1\,; 1[$, la fonction dérivée $f^\prime$ de $f$.


2. Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $]-1\,; 1[$.


3. En déduire les variations de $f$ sur $[-1\,; 1[$.

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4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.

62

[Calculer.]
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathcal{D}_{g}=]-\infty\,;-1] \cup [1\,;+\infty[$ par $g(x)=(5 x+7) \sqrt{x^{2}-1}$.

1. Déterminer, pour tout réel $x \in \mathcal{D}_{g^\prime}$, la fonction dérivée $g^\prime$ de $g$.


2. Étudier le signe de $g^{\prime}(x)$ sur $\mathcal{D}_{g^\prime}$.


3. En déduire les variations de $g$ sur $\mathcal{D}_{g}$.

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4. Déterminer l’abscisse du point où la tangente à la courbe représentative de $g$ est horizontale.

63

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathcal{D}_{h}=]-\infty ; 2] \cup[3 ;+\infty[$ par $h(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}$.

1. Déterminer, pour tout réel $x \in \mathcal{D}_{h^\prime}$, la fonction dérivée $h^\prime$.


2. Étudier le signe de $h^{\prime}(x)$ sur $\mathcal{D}_{h^\prime}$.


3. En déduire les variations de $h$ sur $\mathcal{D}_{h}$.

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Formes

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4. Déterminer les équations des tangentes $\mathrm{T}_1$ et $\mathrm{T}_4$ à la courbe représentative de $h$ aux points d’abscisses $1$ et $4$.


5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites $\mathrm{T}_1$ et $\mathrm{T}_4$.

64

EN MÉDECINE

[Chercher.]

Le nombre de malades touchés par une maladie contagieuse est modélisé par la fonction $p$ définie pour tout réel $t$ positif par $p(t)=100\left(t^{2}+20 t\right) \mathrm{e}^{-t-1}$, où $t$ représente le nombre de semaines depuis le début de l’épidémie.

1. Déterminer la fonction dérivée $p^\prime$ de $p$ sur $[0 ;+\infty[$.


2. Dresser le tableau de variations de $p$ sur $[0 ;+\infty[$.

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3. Quel est le nombre maximal de malades ? Au bout de combien de temps ?