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1. Approfondissements sur les dérivées
P.224-226

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Entraînement


1
Approfondissements sur les dérivées





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 45 ; 47 ; 70 ; 75 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 52 ; 58 ; 63 ; 74 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 54 ; 61 ; 80 et 87

40
FLASH

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=(x33x2+7x8)3f(x)=\left(x^{3}-3 x^{2}+7 x-8\right)^{3}.

1. Déterminer f(x)f^\prime(x) pour tout réel xx.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 22.
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41
FLASH

Soit gg la fonction définie sur [2 ;+[[-2 ;+\infty[ par :
g(x)=x3x+6g(x)=\sqrt{x^{3}-x+6}.

1. Déterminer g(x)g^\prime(x) pour tout x]2 ;+[x \in ]-2 ;+\infty[.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de gg au point d’abscisse 00.
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42
FLASH

Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
h(x)=ex35x2+7h(x)=\mathrm{e}^{x^{3}-5 x^{2}+7}.

1. Déterminer h(x)h^\prime(x) pour tout réel xx.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de hh au point d’abscisse 11.
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Pour les exercices
43
à 
48


Soit ff une fonction définie sur un ensemble I\mathrm{I} par l’expression donnée. Préciser son ensemble de dérivabilité Df\mathcal{D}_{f^{\prime}} et déterminer sa fonction dérivée ff^{\prime}.

43
[Calculer.] ◉◉
1. f(x)=(7x892x)3f(x)=\left(\dfrac{7 x-8}{9-2 x}\right)^{3} avec I=R\{92}\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\left\{\dfrac{9}{2}\right\}.


2. f(x)=(x2+4x+6x21)4f(x)=\left(\dfrac{-x^{2}+4 x+6}{x^{2}-1}\right)^{4} avec I=R\{1 ; 1}\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}.
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44
[Calculer.] ◉◉
1. f(x)=(4x+13x+6)3f(x)=\left(\dfrac{\sqrt{4 x+1}}{3 x+6}\right)^{3} avec I=[14 ;+[\mathrm{I}=\left[-\dfrac{1}{4} ;+\infty\right[.


2. f(x)=(e5x8x27x+12)4f(x)=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{5 x-8}}{x^{2}-7 x+12}\right)^{4} avec I=R\{3 ; 4}\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{3 ; 4\}.
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45
[Calculer.] ◉◉
1. f(x)=2x+45xf(x)=\sqrt{\dfrac{2 x+4}{5-x}} avec I=[2 ; 5[\mathrm{I}=[-2 ; 5[.


2. f(x)=ex(x24x+15)f(x)=\sqrt{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-4 x+15\right)} avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.
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46
[Calculer.]
1. f(x)=(5x8)44x2f(x)=\sqrt{\dfrac{(5 x-8)^{4}}{4-x^{2}}} avec I=]2 ; 2[\mathrm{I}=]-2 ; 2[.


2. f(x)=(x2+3x+40)ex25xf(x)=\sqrt{\left(-x^{2}+3 x+40\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-5 x}} avec I=[5 ; 8]\mathrm{I}=[-5 ; 8].
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47
[Calculer.] ◉◉
1. f(x)=e1xf(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{1}{x}} avec I=R\{0}\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{0\}.


2. f(x)=e9x+3f(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{-9 x+3}} avec I=] ;13]\mathrm{I}=\left]-\infty ; \dfrac{1}{3}\right].
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48
[Calculer.]
1. f(x)=e4x+7x+5f(x)=\mathrm{e}^{\normalsize\tfrac{\sqrt{4 x+7}}{x+5}} avec I=[74 ;+[\mathrm{I}=\left[-\dfrac{7}{4} ;+\infty\right[.


2. f(x)=e(x4)34x+2f(x)=\mathrm{e}^{(x-4)^{3} \sqrt{-4 x+2}} avec I=] ; 12]\mathrm{I}=\left]-\infty ; \dfrac{1}{2}\right].
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49
[Raisonner.]
Soit pp la fonction polynôme définie sur R\mathbb{R} par :
p(x)=x52x4+3x34x+5p(x)=x^{5}-2 x^{4}+3 x^{3}-4 x+5.

1. Déterminer, pour tout réel xx, les dérivées d’ordre 11 à 55 p(x)p^{\prime}(x), p(x)p^{\prime \prime}(x), p(3)(x)p^{(3)}(x), p(4)(x)p^{(4)}(x) et p(5)(x)p^{(5)}(x).


2. Soit pnp_n la fonction définie sur R\mathbb{R} par pn(x)=xnp_{n}(x)=x^{n}nn est un entier naturel non nul.
a. Conjecturer la dérivée kk‑ième de pnp_n pour chaque entier kk entre 11 et nn.


b. Démontrer par récurrence cette conjecture.


Aide
On rappelle que p(n+1)=[p(n)]p^{(n+1)}=\left[p^{(n)}\right]^{\prime}.


3. Déterminer la dérivée d’ordre 55 de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x8x6x3f(x)=2 x^{8}-x^{6}-x^{3}.
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50
[Chercher.]
1. Calculer la dérivée d’ordre 55 de la fonction définie sur R\{1}\mathbb{R} \backslash\{1\} par f(x)=1x1f(x)=\dfrac{1}{x-1}.


2. Calculer la dérivée d’ordre 55 de la fonction définie sur R\{1}\mathbb{R} \backslash\{-1\} par g(x)=1x+1g(x)=\dfrac{1}{x+1}.


3. Soit hh la fonction définie sur R\{1 ;1}\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\} par :
h(x)=2xx21h(x)=\dfrac{2 x}{x^{2}-1}.

a. Exprimer hh en fonction de ff et gg pour tout xx appartenant à R\{1 ;1}\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}.


Aide
Poser h(x)=ax+1+bx1h(x)=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x-1} avec aa et bb réels et identifier aa et bb.


b. En déduire la dérivée d’ordre 55 de hh sur R\{1 ;1}\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}.
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51
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit aa un nombre réel et soit ff la fonction définie sur ]a ;+[]a ;+\infty[ par f(x)=1xaf(x)=\dfrac{1}{x-a}.

1. Déterminer, pour tout réel xx, les dérivées d’ordre 11 à 44 définies par f(x)f^{\prime}(x), f(x)f^{\prime \prime}(x), f(3)(x)f^{(3)}(x) et f(4)(x)f^{(4)}(x).


2. a. Conjecturer l’expression de f(n)f^{(n)} pour tout entier nn naturel non nul.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


3. Soit gg la fonction définie sur ]1 ;+[]1 ;+\infty[ par g(x)=1x21g(x)=\dfrac{1}{x^{2}-1}.
a. Déterminer les réels bb et cc tels que, pour tout xx appartenant à ]1 ;+[] 1 ;+\infty[, g(x)=bx1+cx+1g(x)=\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x+1}.


b. Déterminer g(4)(x)g^{(4)}(x) pour tout x]1 ;+[x \in ]1 ;+\infty[.
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52
[Représenter.] ◉◉
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x2+32x10)2f(x)=\left(x^{2}+\dfrac{3}{2} x-10\right)^{2}.

1. Déterminer la fonction dérivée ff^\prime pour tout réel xx et étudier son signe sur R\mathbb{R}.


2. Dresser le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. En déduire les abscisses des points où les tangentes sont horizontales.


4. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de ff et les tangentes horizontales.

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53
GEOGEBRA
[Représenter.]
Soit gg la fonction définie sur [7 ;8][-7 ; 8] par :
g(x)=x36x2+63x+392g(x)=\sqrt{-x^{3}-6 x^{2}+63 x+392}.

1. Déterminer la fonction dérivée gg^\prime de gg et étudier son signe sur ]7 ;8[]-7 ; 8[.


2. Dresser le tableau de variations de gg sur [7 ;8][-7 ; 8].

Couleurs
Formes
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3. Soit dd la droite d’équation y=2x+5y = 2x + 5.

a. Tracer dans GeoGebra la courbe représentative Cg\mathcal{C}_g de gg et la droite dd.

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b. Conjecturer l’abscisse du point où la tangente à Cg\mathcal{C}_g est parallèle à dd.


4. Soit aa un réel de l’intervalle ]7 ;8[]-7 ; 8[.

a. Déterminer une équation de la tangente à Cg\mathcal{C}_g au point d’abscisse aa.


b. Prouver que g(a)=(a+8)(a+7)2g(a)=\sqrt{(-a+8)(a+7)^{2}} et 3a12a+63=3(a+7)(a3)-3 a-12 a+63=-3(a+7)(a-3).


c. Prouver la conjecture de la question 3. b.
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54
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit h h la fonction définie sur R\mathbb{R} par h(x)=ex2+x+1h(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}+x+1}.

1. Déterminer la fonction dérivée hh^\prime de hh et étudier son signe sur R\mathbb{R}.


2. Dresser le tableau de variations de hh sur R\mathbb{R}.

Couleurs
Formes
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3. Soit aa un nombre réel.
Déterminer une valeur de aa pour laquelle la tangente à la courbe de hh au point d’abscisse aa est parallèle à la droite d’équation y=e×xy=\mathrm{e} \times x.
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55
GEOGEBRA
[Représenter.]
Soit ff la fonction définie sur ] ;1]]-\infty ; 1] par f(x)=x2x3f(x)=\sqrt{x^{2}-x^{3}}.

1. En utilisant le taux d’accroissement, déterminer le nombre dérivé de ff en 00 à droite et celui à gauche.


2. Déterminer la fonction dérivée ff^\prime de ff pour tout xx appartenant à ];0[    ]0;1[]-\infty\,; 0[\;\cup\;]0\,; 1[.


3. Dresser le tableau de variations de ff sur ];1]]-\infty\,; 1].

Couleurs
Formes
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4. Tracer la courbe représentative de la fonction ff sur ];1]]-\infty\,; 1] à l’aide de GeoGebra ou d’une calculatrice et vérifier les résultats obtenus.

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56
[Raisonner.]
Soit f f la fonction définie et dérivable sur ]0 ;+[] 0 ;+\infty[ par :
f(x)=(x+1)(1+1x)f(x)=(\sqrt{x+1})\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right).

1. Déterminer la fonction dérivée ff^\prime de ff sur ]0 ;+[] 0 ;+\infty[.


2. Dresser le tableau de variations de ff sur ]0 ;+[] 0 ;+\infty[.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. Quel est le minimum de ff sur ]0 ;+[] 0 ;+\infty[ ?


4. En déduire que, pour tous réels a>0a > 0 et b>0b > 0 :
(a+b)(1a+1b)22(\sqrt{a+b})\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right) \geqslant 2 \sqrt{2}.

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57
VRAI / FAUX
[Chercher.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. La dérivée de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+2x+5×ex+3f(x)=\sqrt{x^{2}+2 x+5} \times \mathrm{e}^{x+3} est f(x)=ex+32x2+2x+5f^{\prime}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x+3}}{2 \sqrt{x^{2}+2 x+5}}.


2. La dérivée seconde de la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=(x35x2+8x4)2g(x)=\left(x^{3}-5 x^{2}+8 x-4\right)^{2} s’annule en 22.


3. Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par h(x)=e2x2+4x6h(x)=\mathrm{e}^{-2 x^{2}+4 x-6}.
Sa courbe représentative Ch\mathcal{C}_h admet une tangente horizontale au point d’abscisse 11.
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58
[Calculer.] ◉◉
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=x+1+x2f(x)=x+\sqrt{1+x^{2}}.

1. Déterminer, pour tout réel xx, la fonction dérivée ff^\prime de ff.


2. Démontrer que, pour tout réel xx, on a :
1+x2×f(x)=f(x)\sqrt{1+x^{2}} \times f^{\prime}(x)=f(x).


3. Déterminer, pour tout réel xx, la dérivée seconde ff^{\prime\prime} de ff.


4. En déduire que, pour tout réel xx, on a :
(1+x2)f(x)+xf(x)f(x)=0\left(1+x^{2}\right) f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)-f(x)=0.
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59
[Communiquer.]
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x+1+xexf(x)=x+1+x \mathrm{e}^{-x}.

1. a. Déterminer, pour tout réel xx, la dérivée ff^\prime de ff et la dérivée seconde ff^{\prime\prime} de ff.


b. Étudier le signe de f(x)f^{\prime \prime}(x) sur R\mathbb{R}.


c. En déduire les variations de ff^\prime.


d. Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)>0f^{\prime}(x)>0.


e. En déduire le tableau de variations de ff.

Couleurs
Formes
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2. Soit Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé et D\mathcal{D} la droite d’équation y=x+1y=x+1.
a. En étudiant le signe de f(x)(x+1)f(x)-(x+1), préciser la position relative de Cf\mathcal{C}_f et D\mathcal{D}.


b. La courbe Cf\mathcal{C}_f admet en un point A\text{A} une tangente parallèle à la droite D\mathcal{D}. Déterminer les coordonnées de A\text{A}.
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60
[Chercher.]
Un bateau A\text{A} se trouve au large d’une côte rectiligne. Le point de la côte le plus proche, noté H\text{H}, est à 9 km du bateau. Un émissaire doit communiquer le plus rapidement possible son message au dirigeant de la ville B\text{B}, située à 15 km du point H\text{H}. La vitesse de l’émissaire est de 4 km·h1^{-1} en barque et de 6 km·h1^{-1} à pied.
Le but de l’exercice est de déterminer en quel point de la côte doit accoster l’émissaire afin de parvenir le plus rapidement possible dans la ville B\text{B}.
On note M\text{M} le point d’accostage de la barque et xx la distance HM\text{HM} en kilomètre (0x150 \leqslant x \leqslant 15).

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 60

1. Exprimer, en fonction de xx, les distances AM\text{AM} et BM\text{BM}.


2. Déterminer, en fonction de xx, le temps du parcours effectué en barque et celui effectué à pied.


3. On note f(x)f(x) le temps de trajet total.
a. Vérifier que, pour tout x[0;15]x \in[0\,; 15] :
f(x)=x2+814+15x6f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+81}}{4}+\dfrac{15-x}{6}.



b. Étudier les variations de ff sur [0;15][0\,; 15].

Couleurs
Formes
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c. En déduire une valeur approchée au mètre près de la longueur HM\text{HM}.
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61
[Calculer.] ◉◉◉
Soit ff la fonction définie sur [1;1[[-1\,; 1[ par f(x)=x1+x1xf(x)=x \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}.

1. Déterminer, pour tout réel x]1;1[x \in]-1\,; 1[, la fonction dérivée ff^\prime de ff.


2. Étudier le signe de f(x)f^{\prime}(x) sur ]1;1[]-1\,; 1[.


3. En déduire les variations de ff sur [1;1[[-1\,; 1[.
Couleurs
Formes
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4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de ff au point d’abscisse 00.
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62
[Calculer.]
Soit gg la fonction définie sur Dg=];1][1;+[\mathcal{D}_{g}=]-\infty\,;-1] \cup [1\,;+\infty[ par g(x)=(5x+7)x21g(x)=(5 x+7) \sqrt{x^{2}-1}.

1. Déterminer, pour tout réel xDgx \in \mathcal{D}_{g^\prime}, la fonction dérivée gg^\prime de gg.


2. Étudier le signe de g(x)g^{\prime}(x) sur Dg\mathcal{D}_{g^\prime}.


3. En déduire les variations de gg sur Dg\mathcal{D}_{g}.
Couleurs
Formes
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4. Déterminer l’abscisse du point où la tangente à la courbe représentative de gg est horizontale.
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63
[Calculer.] ◉◉
Soit hh la fonction définie sur Dh=] ;2][3 ;+[\mathcal{D}_{h}=]-\infty ; 2] \cup[3 ;+\infty[ par h(x)=ex25x+6h(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}.

1. Déterminer, pour tout réel xDhx \in \mathcal{D}_{h^\prime}, la fonction dérivée hh^\prime.


2. Étudier le signe de h(x)h^{\prime}(x) sur Dh\mathcal{D}_{h^\prime}.


3. En déduire les variations de hh sur Dh\mathcal{D}_{h}.
Couleurs
Formes
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4. Déterminer les équations des tangentes T1\mathrm{T}_1 et T4\mathrm{T}_4 à la courbe représentative de hh aux points d’abscisses 11 et 44.


5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites T1\mathrm{T}_1 et T4\mathrm{T}_4.
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64
EN MÉDECINE
[Chercher.]

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 64

Le nombre de malades touchés par une maladie contagieuse est modélisé par la fonction pp définie pour tout réel tt positif par p(t)=100(t2+20t)et1p(t)=100\left(t^{2}+20 t\right) \mathrm{e}^{-t-1}, où tt représente le nombre de semaines depuis le début de l’épidémie.

1. Déterminer la fonction dérivée pp^\prime de pp sur [0 ;+[[0 ;+\infty[.


2. Dresser le tableau de variations de pp sur [0 ;+[[0 ;+\infty[.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. Quel est le nombre maximal de malades ? Au bout de combien de temps ?
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