1

Approfondissements sur les dérivées

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 45 ; 47 ; 70 ; 75 et 85
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 52 ; 58 ; 63 ; 74 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 54 ; 61 ; 80 et 87

40

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
1. Déterminer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $2$.

41

Soit $g$ la fonction définie sur $[-2;+\infty [$ par :
1. Déterminer $g^{\prime }(x)$ pour tout $x\in ]-2;+\infty [$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d’abscisse $0$.

42

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
1. Déterminer $h^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $h$ au point d’abscisse $1$.

Pour les exercices

43

à 

48

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathrm{I}$ par l’expression donnée. Préciser son ensemble de dérivabilité ${\mathcal{D}}_{f^{\prime }}$ et déterminer sa fonction dérivée $f^{\prime }$.

43

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)={\left(\frac{7x-8}{9-2x}\right)}^3$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{9}{2}\right\}$.


2. $f(x)={\left(\frac{-x^2+4x+6}{x^2-1}\right)}^4$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\backslash \{-1;1\}$.

44

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)={\left(\frac{\sqrt{4x+1}}{3x+6}\right)}^3$ avec $\mathrm{I}=\left[-\frac{1}{4};+\infty \right[$.


2. $f(x)={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{5x-8}}{x^2-7x+12}\right)}^4$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\backslash \{3;4\}$.

45

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)=\sqrt{\frac{2x+4}{5-x}}$ avec $\mathrm{I}=[-2;5[$.


2. $f(x)=\sqrt{{\mathrm{e}}^x\left(x^2-4x+15\right)}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

46

[Calculer.]
1. $f(x)=\sqrt{\frac{(5x-8{)}^4}{4-x^2}}$ avec $\mathrm{I}=]-2;2[$.


2. $f(x)=\sqrt{\left(-x^2+3x+40\right){\mathrm{e}}^{-x^2-5x}}$ avec $\mathrm{I}=[-5;8]$.

47

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f(x)={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$ avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}\backslash \{0\}$.


2. $f(x)={\mathrm{e}}^{\sqrt{-9x+3}}$ avec $\mathrm{I}=\left]-\infty ;\frac{1}{3}\right]$.

48

[Calculer.]
1. $f(x)={\mathrm{e}}^{\frac{\sqrt{4x+7}}{x+5}}$ avec $\mathrm{I}=\left[-\frac{7}{4};+\infty \right[$.


2. $f(x)={\mathrm{e}}^{(x-4{)}^3\sqrt{-4x+2}}$ avec $\mathrm{I}=\left]-\infty ;\frac{1}{2}\right]$.

49

[Raisonner.]
Soit $p$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par :
1. Déterminer, pour tout réel $x$, les dérivées d’ordre $1$ à $5$ $p^{\prime }(x)$, $p^{\prime \prime }(x)$, $p^{(3)}(x)$, $p^{(4)}(x)$ et $p^{(5)}(x)$.


2. Soit $p_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $p_n(x)=x^n$ où $n$ est un entier naturel non nul.
a. Conjecturer la dérivée $k$‑ième de $p_n$ pour chaque entier $k$ entre $1$ et $n$.


b. Démontrer par récurrence cette conjecture.




3. Déterminer la dérivée d’ordre $5$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^8-x^6-x^3$.

50

[Chercher.]
1. Calculer la dérivée d’ordre $5$ de la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash \{1\}$ par $f(x)=\frac{1}{x-1}$.


2. Calculer la dérivée d’ordre $5$ de la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash \{-1\}$ par $g(x)=\frac{1}{x+1}$.


3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash \{-1;1\}$ par :
a. Exprimer $h$ en fonction de $f$ et $g$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}\backslash \{-1;1\}$.




b. En déduire la dérivée d’ordre $5$ de $h$ sur $\mathbb{R}\backslash \{-1;1\}$.

51

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $a$ un nombre réel et soit $f$ la fonction définie sur $]a;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x-a}$.

1. Déterminer, pour tout réel $x$, les dérivées d’ordre $1$ à $4$ définies par $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f^{(3)}(x)$ et $f^{(4)}(x)$.


2. a. Conjecturer l’expression de $f^{(n)}$ pour tout entier $n$ naturel non nul.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


3. Soit $g$ la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par $g(x)=\frac{1}{x^2-1}$.
a. Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout $x$ appartenant à $]1;+\infty [$, $g(x)=\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+1}$.


b. Déterminer $g^{(4)}(x)$ pour tout $x\in ]1;+\infty [$.

52

[Représenter.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\left(x^2+\frac{3}{2}x-10\right)}^2$.

1. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$ pour tout réel $x$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.


3. En déduire les abscisses des points où les tangentes sont horizontales.


4. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ et les tangentes horizontales.

53

GEOGEBRA

[Représenter.]
Soit $g$ la fonction définie sur $[-7;8]$ par :
1. Déterminer la fonction dérivée $g^{\prime }$ de $g$ et étudier son signe sur $]-7;8[$.


2. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-7;8]$.


3. Soit $d$ la droite d’équation $y=2x+5$.

a. Tracer dans GeoGebra la courbe représentative ${\mathcal{C}}_g$ de $g$ et la droite $d$.

b. Conjecturer l’abscisse du point où la tangente à ${\mathcal{C}}_g$ est parallèle à $d$.


4. Soit $a$ un réel de l’intervalle $]-7;8[$.

a. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_g$ au point d’abscisse $a$.


b. Prouver que $g(a)=\sqrt{(-a+8)(a+7{)}^2}$ et $-3a-12a+63=-3(a+7)(a-3)$.


c. Prouver la conjecture de la question 3. b.

54

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\mathrm{e}}^{-x^2+x+1}$.

1. Déterminer la fonction dérivée $h^{\prime }$ de $h$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.


2. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $\mathbb{R}$.


3. Soit $a$ un nombre réel.
Déterminer une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à la courbe de $h$ au point d’abscisse $a$ est parallèle à la droite d’équation $y=\mathrm{e}\times x$.

55

GEOGEBRA

[Représenter.]
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ;1]$ par $f(x)=\sqrt{x^2-x^3}$.

1. En utilisant le taux d’accroissement, déterminer le nombre dérivé de $f$ en $0$ à droite et celui à gauche.


2. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$ pour tout $x$ appartenant à $]-\infty ;0[\cup ]0;1[$.


3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty ;1]$.


4. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur $]-\infty ;1]$ à l’aide de GeoGebra ou d’une calculatrice et vérifier les résultats obtenus.

56

[Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;+\infty [$ par :
1. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$ sur $]0;+\infty [$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty [$.


3. Quel est le minimum de $f$ sur $]0;+\infty [$ ?


4. En déduire que, pour tous réels $a>0$ et $b>0$ :

57

VRAI / FAUX

[Chercher.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2+2x+5}\times {\mathrm{e}}^{x+3}$ est $f^{\prime }(x)=2\sqrt{x^2+2x+5}$