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1. Approfondissements sur les dérivées
P.224-226

Entraînement


1
Approfondissements sur les dérivées





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 45 ; 47 ; 70 ; 75 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 52 ; 58 ; 63 ; 74 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 54 ; 61 ; 80 et 87

40
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer pour tout réel .


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .
Voir la correction

41
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer pour tout .


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .
Voir la correction

42
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer pour tout réel .


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .
Voir la correction

Pour les exercices
43
à 
48


Soit une fonction définie sur un ensemble par l’expression donnée. Préciser son ensemble de dérivabilité et déterminer sa fonction dérivée .

43
[Calculer.] ◉◉
1. avec .


2. avec .
Voir la correction

44
[Calculer.] ◉◉
1. avec .


2. avec .
Voir la correction

45
[Calculer.] ◉◉
1. avec .


2. avec .
Voir la correction

46
[Calculer.]
1. avec .


2. avec .
Voir la correction

47
[Calculer.] ◉◉
1. avec .


2. avec .
Voir la correction

48
[Calculer.]
1. avec .


2. avec .
Voir la correction

49
[Raisonner.]
Soit la fonction polynôme définie sur par :
.

1. Déterminer, pour tout réel , les dérivées d’ordre à , , , et .


2. Soit la fonction définie sur par est un entier naturel non nul.
a. Conjecturer la dérivée ‑ième de pour chaque entier entre et .


b. Démontrer par récurrence cette conjecture.


Aide
On rappelle que .


3. Déterminer la dérivée d’ordre de la fonction définie sur par .
Voir la correction

50
[Chercher.]
1. Calculer la dérivée d’ordre de la fonction définie sur par .


2. Calculer la dérivée d’ordre de la fonction définie sur par .


3. Soit la fonction définie sur par :
.

a. Exprimer en fonction de et pour tout appartenant à .


Aide
Poser avec et réels et identifier et .


b. En déduire la dérivée d’ordre de sur .
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51
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit un nombre réel et soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer, pour tout réel , les dérivées d’ordre à définies par , , et .


2. a. Conjecturer l’expression de pour tout entier naturel non nul.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


3. Soit la fonction définie sur par .
a. Déterminer les réels et tels que, pour tout appartenant à , .


b. Déterminer pour tout .
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52
[Représenter.] ◉◉
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer la fonction dérivée pour tout réel et étudier son signe sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. En déduire les abscisses des points où les tangentes sont horizontales.


4. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de et les tangentes horizontales.

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53
GEOGEBRA
[Représenter.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée de et étudier son signe sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. Soit la droite d’équation .

a. Tracer dans GeoGebra la courbe représentative de et la droite .

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b. Conjecturer l’abscisse du point où la tangente à est parallèle à .


4. Soit un réel de l’intervalle .

a. Déterminer une équation de la tangente à au point d’abscisse .


b. Prouver que et .


c. Prouver la conjecture de la question 3. b.
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54
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer la fonction dérivée de et étudier son signe sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. Soit un nombre réel.
Déterminer une valeur de pour laquelle la tangente à la courbe de au point d’abscisse est parallèle à la droite d’équation .
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55
GEOGEBRA
[Représenter.]
Soit la fonction définie sur par .

1. En utilisant le taux d’accroissement, déterminer le nombre dérivé de en à droite et celui à gauche.


2. Déterminer la fonction dérivée de pour tout appartenant à .


3. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

4. Tracer la courbe représentative de la fonction sur à l’aide de GeoGebra ou d’une calculatrice et vérifier les résultats obtenus.

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56
[Raisonner.]
Soit la fonction définie et dérivable sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée de sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. Quel est le minimum de sur  ?


4. En déduire que, pour tous réels et  :
.

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57
VRAI / FAUX
[Chercher.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. La dérivée de la fonction définie sur par est .


2. La dérivée seconde de la fonction définie sur par s’annule en .


3. Soit la fonction définie sur par .
Sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d’abscisse .
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58
[Calculer.] ◉◉
On considère la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer, pour tout réel , la fonction dérivée de .


2. Démontrer que, pour tout réel , on a :
.


3. Déterminer, pour tout réel , la dérivée seconde de .


4. En déduire que, pour tout réel , on a :
.
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59
[Communiquer.]
Soit la fonction définie sur par .

1. a. Déterminer, pour tout réel , la dérivée de et la dérivée seconde de .


b. Étudier le signe de sur .


c. En déduire les variations de .


d. Démontrer que, pour tout réel , .


e. En déduire le tableau de variations de .

Dessinez ici

2. Soit la courbe représentative de dans un repère orthonormé et la droite d’équation .
a. En étudiant le signe de , préciser la position relative de et .


b. La courbe admet en un point une tangente parallèle à la droite . Déterminer les coordonnées de .
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60
[Chercher.]
Un bateau se trouve au large d’une côte rectiligne. Le point de la côte le plus proche, noté , est à 9 km du bateau. Un émissaire doit communiquer le plus rapidement possible son message au dirigeant de la ville , située à 15 km du point . La vitesse de l’émissaire est de 4 km·h en barque et de 6 km·h à pied.
Le but de l’exercice est de déterminer en quel point de la côte doit accoster l’émissaire afin de parvenir le plus rapidement possible dans la ville .
On note le point d’accostage de la barque et la distance en kilomètre ().

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 60

1. Exprimer, en fonction de , les distances et .


2. Déterminer, en fonction de , le temps du parcours effectué en barque et celui effectué à pied.


3. On note le temps de trajet total.
a. Vérifier que, pour tout  :
.



b. Étudier les variations de sur .

Dessinez ici

c. En déduire une valeur approchée au mètre près de la longueur .
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61
[Calculer.] ◉◉◉
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer, pour tout réel , la fonction dérivée de .


2. Étudier le signe de sur .


3. En déduire les variations de sur .
Dessinez ici

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse .
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62
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer, pour tout réel , la fonction dérivée de .


2. Étudier le signe de sur .


3. En déduire les variations de sur .
Dessinez ici

4. Déterminer l’abscisse du point où la tangente à la courbe représentative de est horizontale.
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63
[Calculer.] ◉◉
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer, pour tout réel , la fonction dérivée .


2. Étudier le signe de sur .


3. En déduire les variations de sur .
Dessinez ici

4. Déterminer les équations des tangentes et à la courbe représentative de aux points d’abscisses et .


5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites et .
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64
EN MÉDECINE
[Chercher.]

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 64

Le nombre de malades touchés par une maladie contagieuse est modélisé par la fonction définie pour tout réel positif par , où représente le nombre de semaines depuis le début de l’épidémie.

1. Déterminer la fonction dérivée de sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. Quel est le nombre maximal de malades ? Au bout de combien de temps ?
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