Partie A : Inégalité de Jensen
Soit
n un entier naturel non nul.
On souhaite montrer dans cette partie que si
f est une fonction convexe sur un intervalle
I, alors pour tous réels
x1 ; … ;
xn de
I et pour tous réels positifs
λ1 ; … ;
λn vérifiant
k=1∑nλk=1, on a :
f(k=1∑nλkxk)⩽k=1∑nλkf(xk) (inégalité de Jensen).
On va montrer cette propriété par récurrence sur
n.
Soit
f une fonction convexe sur un intervalle
I.
On note
Pn la proposition :
« Pour tous réels positifs λ1 ; … ; λn vérifiant k=1∑nλk=1, on a f(k=1∑nλkxk)⩽k=1∑nλkf(xk). »
1. Montrer que s'il existe k∈{1;...;n} tel que λk=1, alors la proposition est vraie. On suppose donc dans la suite que, pour tout k∈{1;...;n}, λk=1.
2. En utilisant la définition des fonctions convexes donnée en préambule, montrer que la proposition est vraie au rang n=2.
3. Supposons qu'il existe un entier
n tel que
Pn soit vraie et montrons que
Pn+1 est alors également vraie.
On considère donc
n+1 nombres de
I notés
x1 ; … ;
xn+1 et
λ1 ; … ;
λn+1,
n+1 nombres réels positifs et différents de
1.
On pose
λ=1−λn+1 et
x=λλ1x1+…+λnxn.
a. Justifier que f(k=1∑n+1λkxk)=f(λx+λn+1xn+1).