Synthèse

89

EN SES

[Modéliser, Communiquer.]
Une entreprise fabrique au maximum 500 objets par jour.
On modélise le coût de production par la fonction $\mathrm{C}$ définie sur $[0\,; 50]$ par $\mathrm{C}(x)=-\dfrac{1}{10}\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{-0,05 x}+x$, où $x$ désigne le nombre de dizaines d’objets et $\mathrm{C}(x)$ désigne le coût en centaines d’euros.

1. a. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, le tableau de variations de $\mathrm{C}$ sur $[0\,; 50]$.


b. Déterminer la dérivée seconde de $\mathrm{C}$ sur $[0\,; 50]$.


c. En déduire les variations de $\mathrm{C}^\prime$ sur $[0\,; 50]$.

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d. Le coût marginal est croissant lorsque la fonction $\mathrm{C}$ est concave.
Décrire l’évolution du coût marginal sur $[0\,; 50]$.


2. Chaque objet est vendu 5 €.
a. On note $\mathrm{R}$ la recette en centaines d’euros.
Exprimer $\mathrm{R}(x)$ en fonction de $x$ dizaines d’objets.


b. Représenter les courbes représentatives de $\mathrm{C}$ et $\mathrm{R}$ sur un logiciel ou sur la calculatrice.

c. Déterminer graphiquement le nombre d’objets que l’entreprise doit produire par jour pour réaliser un bénéfice.

90

[Chercher, Calculer.]
Dans un plan muni d’un repère orthonormé $(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j})$, on considère le cercle $\Gamma$ de centre $\mathrm{O}$ et de rayon $1$.
On place les points $\mathrm{A}$ et $\mathrm{A}^\prime$ de coordonnées respectives $(1\,; 0)$ et $(-1\,; 0)$.
$\mathrm{H}$ est un point du segment $\left[\mathrm{AA}^{\prime}\right]$ distinct de $\mathrm{A}$ et $\mathrm{A}^\prime$.
On note $x$ l’abscisse du point $\mathrm{H}$.
$\Delta$ est la droite perpendiculaire à $\left(\mathrm{AA}^{\prime}\right)$ passant par $\mathrm{H}$.
$\Delta$ coupe le cercle $\Gamma$ en deux points $\mathrm{M}$ et $\mathrm{M}^\prime$.

1. Faire une figure.

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2. Exprimer en fonction de $x$ l’aire du triangle $\mathrm{AMM}^{\prime}$.


3. Soit $f$ la fonction définie sur $]-1\,; 1[$ par : $f(x)=(1-x) \sqrt{1-x^{2}}$.
a. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-1\,; 1[$.

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b. En déduire l’abscisse du point $\mathrm{H}$ pour que l’aire soit maximale.


c. Prouver que, dans ce cas, le triangle $\mathrm{AMM}^{\prime}$ est équilatéral.

91

[Calculer, Communiquer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1+x \mathrm{e}^{-x}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j})$

1. a. Déterminer $f^\prime$, la dérivée de $f$ et $f^{\prime\prime}$ la dérivée seconde de $f$.


b. Étudier le sens de variation de $f^\prime$.

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c. En déduire que, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)>0$.


d. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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e. Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.


f. En déduire que, pour tout $x \leqslant 2$, $f(x) \leqslant 2 x+1$.


2. On admet que l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$.
a. Prouver que, sur $\mathbb{R}$, résoudre l’équation $f(x)=2$ équivaut à résoudre $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}=x$.


b. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ définie sur $[0\,; 1]$ par $h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$.

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c. En déduire que, si $x$ appartient à $[0\,; 1]$, alors : $0 \leqslant h(x) \leqslant 1$.

92

DEVOIR MAISON

[Calculer, Chercher.]
D’après bac S, Pondichéry, avril 1998

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x \mathrm{e}^{x}+1}$.
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $[0 ;+\infty[$ par : $g(x)=x+2-\mathrm{e}^{x}$.
1. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[0 ;+\infty[$.

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2. On admet que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0 ;+\infty[$.
Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.


3. En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.


Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

1. a. Montrer que, pour tout $x$ de $[0 ;+\infty[$, $f^{\prime}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x} \times g(x)}{\left(x \mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}$.


b. En déduire le sens de variation de$f$ sur $[0 ;+\infty[$

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2. a. Prouver que $f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+1}$.


b. En utilisant l’encadrement de $\alpha$, donner un encadrement de $f(\alpha)$ à $10^{-2}$ près.


3. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ au point d’abscisse 0.


4. a. Montrer que, pour tout $x$ de $[0 ;+\infty[$, $f(x)-x=\dfrac{(x+1) \times u(x)}{x \mathrm{e}^{x}+1}$ avec $u(x)=\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{x}-1$.


b. Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur $[0 ;+\infty[$.

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c. En déduire le signe de $u(x)$ sur $[0 ;+\infty[$.


d. Déduire des questions précédentes la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{T}$.

93

[Représenter, Chercher.]
Les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont définies sur $\mathbb{R}$ par $f_{1}(x)=(x+1) \mathrm{e}^{-x}$ ; $f_{2}(x)=-x \mathrm{e}^{-x}$ et $f_{3}(x)=(x-1) \mathrm{e}^{-x}$.
$\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ sont leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormé.

1. Calculer la dérivée $f_{1}^{\prime}(x)$ de $f_1$ pour tout réel $x$.


2. Dresser le tableau de variations de $f_1$ sur $\mathbb{R}$.

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3. Étudier la convexité de $f_1$ sur $\mathbb{R}$.


4. Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_3$ en étudiant le signe de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=f_{1}(x)-f_{3}(x)$.

5. Prouver que les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ vérifient $f_{i}^{\prime \prime}+2 f_{i}^{\prime}+f_{i}=0$ pour $i$ appartenant à $\{1\,; 2\,; 3\}$.

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APPROFONDISSEMENT

Inégalité arithmético-géométrique

Algébriquement, une fonction $f$ est dite convexe sur $\mathrm{I}$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $\mathrm{I}$ et pour tout réel $t \in[0\,; 1]$, $f(t a+(1-t) b) \leqslant t f(a)+(1-t) f(b)$.

Partie A : Inégalité de Jensen

Soit $n$ un entier naturel non nul.
On souhaite montrer dans cette partie que si $f$ est une fonction convexe sur un intervalle $\mathrm{I}$, alors pour tous réels $x_1$ ; … ; $x_n$ de $\mathrm{I}$ et pour tous réels positifs $\lambda_1$ ; … ; $\lambda_n$ vérifiant $\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k}=1$, on a : $f\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k} x_{k}\right) \leqslant \mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k} f(x_{k})$ (inégalité de Jensen). On va montrer cette propriété par récurrence sur $n$.
Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle $\mathrm{I}$.
On note $\mathrm{P}_n$ la proposition : « Pour tous réels positifs $\lambda_1$ ; … ; $\lambda_n$ vérifiant $\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k}=1$, on a $f\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k} x_{k}\right) \leqslant \mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k} f(x_{k})$. » 1. Montrer que s’il existe $k \in\{1\,; ... \,; n\}$ tel que $\lambda_k=1$, alors la proposition est vraie. On suppose donc dans la suite que, pour tout $k \in\{1\,; ...\,; n\}$, $\lambda_{k} \neq 1$.


2. En utilisant la définition des fonctions convexes donnée en préambule, montrer que la proposition est vraie au rang $n = 2$.


3. Supposons qu’il existe un entier $n$ tel que $\mathrm{P}_n$ soit vraie et montrons que $\mathrm{P}_{n+1}$ est alors également vraie.
On considère donc $n + 1$ nombres de $\mathrm{I}$ notés $x_1$ ; … ; $x_{n+1}$ et $\lambda_1$ ; … ; $\lambda_{n+1}$, $n + 1$ nombres réels positifs et différents de $1$.
On pose $\lambda=1-\lambda_{n+1}$ et $x=\dfrac{\lambda_{1} x_{1}+\ldots+\lambda_{n} x_{n}}{\lambda}$.
a. Justifier que $f\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n+1} \lambda_{k} x_{k}\right)=f\left(\lambda x+\lambda_{n+1} x_{n+1}\right)$.


b. Vérifier que $\lambda+\lambda_{n+1}=1$ et, en utilisant $\mathrm{P}_2$, justifier que $f\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n+1} \lambda_{k} x_{k}\right) \leqslant \lambda f(x)+\lambda_{n+1} f\left(x_{n+1}\right)$.


c. On rappelle que $x=\dfrac{\lambda_{1} x_{1}+\ldots+\lambda_{n} x_{n}}{\lambda}=\dfrac{\lambda_{1}}{\lambda} x_{1}+\ldots \dfrac{\lambda_{n}}{\lambda} x_{n}$.
Utiliser l’hypothèse de récurrence pour achever la démonstration.


Partie B : Inégalité arithmético-géométrique

Soient $x_1$ ; … ; $x_n$ $n$ réels strictement positifs.
On souhaite montrer l’inégalité $\sqrt[n]{x_{1} \ldots x_{n}} \leqslant \dfrac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{n}$.

1. Justifier que la fonction $-\ln$ est convexe sur $]0 ; +\infty[$.


2. Utiliser l’inégalité de Jensen avec $-\ln \left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{x_{k}}{n}\right)$.


3. Conclure. (On pourra admettre que, pour tout nombre rationnel $q$ et pour tout nombre strictement positif $a$, $q \ln (a)=\ln \left(a^{q}\right)$.)

95

APPROFONDISSEMENT

Courbe de Lorenz

On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d’une fonction $\mathrm{L}$ vérifiant les conditions suivantes :

• $\mathrm{L}$ est définie sur $[0\,; 1]$ ;
• $\mathrm{L}$ est croissante sur $[0\,; 1]$ ;
• $\mathrm{L}(0)=0$ et $\mathrm{L}(1)=1$ ;
• pour tout $x$ de $[0\,; 1]$, $\mathrm{L}(x) \leqslant x$.

On va montrer que la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0\,; 1]$ par $f(x)=\dfrac{3}{2} x+\dfrac{1}{x+1}-1$ respecte les trois conditions de l’énoncé.

1. Déterminer la dérivée de $f$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,; 1]$.

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2. Déterminer le signe de $x-f(x)$ sur $[0\,; 1]$.


3. Conclure.

96

APPROFONDISSEMENT

Dérivée $\boldsymbol{n}$-ième d’une fonction
Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

Partie A : Cas d’un monôme

Soit $m$ un entier naturel non nul et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{m}$.
On note $f^\prime$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on appelle dérivée $n$-ième de $f$, et on note $f^{(n)}$, la fonction obtenue en dérivant $n$ fois la fonction $f$.

1. a. Calculer, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f^{\prime}(x)$.


b. Calculer $f^{(n)}$. On pourra distinguer les cas $n > m$ et $n \leqslant m$.


2. Application
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^{8}-3 x^{5}+2 x^{3}$.
Calculer, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g^{(5)}(x)$.


Partie B : Cas d’un produit de fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $\mathrm{I}$. On suppose que ces deux fonctions sont toutes les deux au moins $n$ fois dérivables.
On souhaite démontrer la formule de Leibniz : $(f g)^{(n)}=\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{n}\begin{pmatrix}n \\ i\end{pmatrix} f^{(i)} g^{(n-i)}$.
1. Justifier la validité de cette formule lorsque $n = 1$.


2. On suppose qu’il existe un entier naturel non nul $k$ tel que la formule soit vraie et on veut montrer que la formule reste alors vraie au rang $k + 1$.
a. En utilisant que $(f g)^{(k+1)}=\left((f g)^{(k)}\right)^\prime$, montrer que
$(f g)^{(k+1)}=\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix} f^{(i+1)} g^{(k-i)}+\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix} f^{(i)} g^{(k+1-i)}$.


b. Justifier que $\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix} f^{(i+1)} g^{(k-i)}=g f^{(k+1)}+\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k-1}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix} f^{(i+1)} g^{(k-i)}$ et que
$\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix}f^{(i)} g^{(k+1-i)}=f g^{(k+1)}+\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k-1}\begin{pmatrix}k \\ i+1\end{pmatrix}f^{(i+1)} g^{(k-i)}$.


c. En utilisant la formule de Pascal sur les coefficients binomiaux (chapitre 1), achever la démonstration.


3. Application
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$.
Calculer, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$, $h^{(n)}(x)$.