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Synthèse
P.231-233

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89
EN SES
[Modéliser, Communiquer.]
Une entreprise fabrique au maximum 500 objets par jour.
On modélise le coût de production par la fonction C\mathrm{C} définie sur [0;50][0\,; 50] par C(x)=110(x2+x)e0,05x+x\mathrm{C}(x)=-\dfrac{1}{10}\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{-0,05 x}+x, où xx désigne le nombre de dizaines d’objets et C(x)\mathrm{C}(x) désigne le coût en centaines d’euros.

1. a. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, le tableau de variations de C\mathrm{C} sur [0;50][0\,; 50].


b. Déterminer la dérivée seconde de C\mathrm{C} sur [0;50][0\,; 50].


c. En déduire les variations de C\mathrm{C}^\prime sur [0;50][0\,; 50].

Couleurs
Formes
Dessinez ici

d. Le coût marginal est croissant lorsque la fonction C\mathrm{C} est concave.
Décrire l’évolution du coût marginal sur [0;50][0\,; 50].


2. Chaque objet est vendu 5 €.
a. On note R\mathrm{R} la recette en centaines d’euros.
Exprimer R(x)\mathrm{R}(x) en fonction de xx dizaines d’objets.


b. Représenter les courbes représentatives de C\mathrm{C} et R\mathrm{R} sur un logiciel ou sur la calculatrice.

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c. Déterminer graphiquement le nombre d’objets que l’entreprise doit produire par jour pour réaliser un bénéfice.
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90
[Chercher, Calculer.]
Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}), on considère le cercle Γ\Gamma de centre O\mathrm{O} et de rayon 11.
On place les points A\mathrm{A} et A\mathrm{A}^\prime de coordonnées respectives (1;0)(1\,; 0) et (1;0)(-1\,; 0).
H\mathrm{H} est un point du segment [AA]\left[\mathrm{AA}^{\prime}\right] distinct de A\mathrm{A} et A\mathrm{A}^\prime.
On note xx l’abscisse du point H\mathrm{H}.
Δ\Delta est la droite perpendiculaire à (AA)\left(\mathrm{AA}^{\prime}\right) passant par H\mathrm{H}.
Δ\Delta coupe le cercle Γ\Gamma en deux points M\mathrm{M} et M\mathrm{M}^\prime.

1. Faire une figure.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Exprimer en fonction de xx l’aire du triangle AMM\mathrm{AMM}^{\prime}.


3. Soit ff la fonction définie sur ]1;1[]-1\,; 1[ par :
f(x)=(1x)1x2f(x)=(1-x) \sqrt{1-x^{2}}.

a. Étudier les variations de la fonction ff sur ]1;1[]-1\,; 1[.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

b. En déduire l’abscisse du point H\mathrm{H} pour que l’aire soit maximale.


c. Prouver que, dans ce cas, le triangle AMM\mathrm{AMM}^{\prime} est équilatéral.
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91
[Calculer, Communiquer.]
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x+1+xexf(x)=x+1+x \mathrm{e}^{-x}.
On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j})

1. a. Déterminer ff^\prime, la dérivée de ff et ff^{\prime\prime} la dérivée seconde de ff.


b. Étudier le sens de variation de ff^\prime.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

c. En déduire que, pour tout réel xx, f(x)>0f^{\prime}(x)>0.


d. Dresser le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

e. Donner une équation de la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 00.


f. En déduire que, pour tout x2x \leqslant 2, f(x)2x+1f(x) \leqslant 2 x+1.


2. On admet que l’équation f(x)=2f(x)=2 admet une unique solution α\alpha.
a. Prouver que, sur R\mathbb{R}, résoudre l’équation f(x)=2f(x)=2 équivaut à résoudre exex+1=x\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}=x.


b. Dresser le tableau de variations de la fonction hh définie sur [0;1][0\,; 1] par h(x)=exex+1h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

c. En déduire que, si xx appartient à [0;1][0\,; 1], alors :
0h(x)10 \leqslant h(x) \leqslant 1.
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92
DEVOIR MAISON
[Calculer, Chercher.]
D’après bac S, Pondichéry, avril 1998

Soit ff la fonction définie sur [0 ;+[[0 ;+\infty[ par :
f(x)=ex1xex+1f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x \mathrm{e}^{x}+1}.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit gg la fonction définie sur [0 ;+[[0 ;+\infty[ par :
g(x)=x+2exg(x)=x+2-\mathrm{e}^{x}.

1. Étudier le sens de variation de la fonction gg sur [0 ;+[[0 ;+\infty[.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. On admet que l’équation g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur [0 ;+[[0 ;+\infty[.
Déterminer un encadrement de α\alpha à 10310^{-3} près.


3. En déduire le signe de g(x)g(x) selon les valeurs de xx.


Partie B : Étude de la fonction f\boldsymbol{f}

1. a. Montrer que, pour tout xx de [0 ;+[[0 ;+\infty[, f(x)=ex×g(x)(xex+1)2f^{\prime}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x} \times g(x)}{\left(x \mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}.


b. En déduire le sens de variation def f sur [0 ;+[[0 ;+\infty[
Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. a. Prouver que f(α)=1α+1f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+1}.


b. En utilisant l’encadrement de α\alpha, donner un encadrement de f(α)f(\alpha) à 10210^{-2} près.


3. Déterminer une équation de la tangente T\mathcal{T} à la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de ff au point d’abscisse 0.


4. a. Montrer que, pour tout xx de [0 ;+[[0 ;+\infty[, f(x)x=(x+1)×u(x)xex+1f(x)-x=\dfrac{(x+1) \times u(x)}{x \mathrm{e}^{x}+1} avec u(x)=exxex1u(x)=\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{x}-1.


b. Étudier le sens de variation de la fonction uu sur [0 ;+[[0 ;+\infty[.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

c. En déduire le signe de u(x)u(x) sur [0 ;+[[0 ;+\infty[.


d. Déduire des questions précédentes la position de Cf\mathcal{C}_f par rapport à T\mathcal{T}.
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93
[Représenter, Chercher.]
Les fonctions f1f_1, f2f_2 et f3f_3 sont définies sur R\mathbb{R} par f1(x)=(x+1)exf_{1}(x)=(x+1) \mathrm{e}^{-x} ; f2(x)=xexf_{2}(x)=-x \mathrm{e}^{-x} et f3(x)=(x1)exf_{3}(x)=(x-1) \mathrm{e}^{-x}.
C1\mathcal{C}_1, C2\mathcal{C}_2 et C3\mathcal{C}_3 sont leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormé.

1. Calculer la dérivée f1(x)f_{1}^{\prime}(x) de f1f_1 pour tout réel xx.


2. Dresser le tableau de variations de f1f_1 sur R\mathbb{R}.
Couleurs
Formes
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3. Étudier la convexité de f1f_1 sur R\mathbb{R}.


4. Étudier la position relative des courbes C1\mathcal{C}_1 et C3\mathcal{C}_3 en étudiant le signe de la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par :
g(x)=f1(x)f3(x)g(x)=f_{1}(x)-f_{3}(x).


5. Prouver que les fonctions f1f_1, f2f_2 et f3f_3 vérifient fi+2fi+fi=0f_{i}^{\prime \prime}+2 f_{i}^{\prime}+f_{i}=0 pour ii appartenant à {1;2;3}\{1\,; 2\,; 3\}.
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94
APPROFONDISSEMENT

Inégalité arithmético-géométrique

Algébriquement, une fonction ff est dite convexe sur I\mathrm{I} lorsque, pour tous réels aa et bb de I\mathrm{I} et pour tout réel t[0;1]t \in[0\,; 1], f(ta+(1t)b)tf(a)+(1t)f(b)f(t a+(1-t) b) \leqslant t f(a)+(1-t) f(b).

Partie A : Inégalité de Jensen

Soit nn un entier naturel non nul.
On souhaite montrer dans cette partie que si ff est une fonction convexe sur un intervalle I\mathrm{I}, alors pour tous réels x1x_1 ; … ; xnx_n de I\mathrm{I} et pour tous réels positifs λ1\lambda_1 ; … ; λn\lambda_n vérifiant k=1nλk=1\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k}=1, on a :
f(k=1nλkxk)k=1nλkf(xk)f\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k} x_{k}\right) \leqslant \mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k} f(x_{k}) (inégalité de Jensen).
On va montrer cette propriété par récurrence sur nn.
Soit ff une fonction convexe sur un intervalle I\mathrm{I}.
On note Pn\mathrm{P}_n la proposition :
« Pour tous réels positifs λ1\lambda_1 ; … ; λn\lambda_n vérifiant k=1nλk=1\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k}=1, on a f(k=1nλkxk)k=1nλkf(xk)f\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k} x_{k}\right) \leqslant \mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \lambda_{k} f(x_{k}). »
1. Montrer que s’il existe k{1;...;n}k \in\{1\,; ... \,; n\} tel que λk=1\lambda_k=1, alors la proposition est vraie. On suppose donc dans la suite que, pour tout k{1;...;n}k \in\{1\,; ...\,; n\}, λk1\lambda_{k} \neq 1.


2. En utilisant la définition des fonctions convexes donnée en préambule, montrer que la proposition est vraie au rang n=2n = 2.


3. Supposons qu’il existe un entier nn tel que Pn\mathrm{P}_n soit vraie et montrons que Pn+1\mathrm{P}_{n+1} est alors également vraie.
On considère donc n+1n + 1 nombres de I\mathrm{I} notés x1x_1 ; … ; xn+1x_{n+1} et λ1\lambda_1 ; … ; λn+1\lambda_{n+1}, n+1n + 1 nombres réels positifs et différents de 11.
On pose λ=1λn+1\lambda=1-\lambda_{n+1} et x=λ1x1++λnxnλx=\dfrac{\lambda_{1} x_{1}+\ldots+\lambda_{n} x_{n}}{\lambda}.
a. Justifier que f(k=1n+1λkxk)=f(λx+λn+1xn+1)f\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n+1} \lambda_{k} x_{k}\right)=f\left(\lambda x+\lambda_{n+1} x_{n+1}\right).


b. Vérifier que λ+λn+1=1\lambda+\lambda_{n+1}=1 et, en utilisant P2\mathrm{P}_2, justifier que f(k=1n+1λkxk)λf(x)+λn+1f(xn+1)f\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n+1} \lambda_{k} x_{k}\right) \leqslant \lambda f(x)+\lambda_{n+1} f\left(x_{n+1}\right).


c. On rappelle que x=λ1x1++λnxnλ=λ1λx1+λnλxnx=\dfrac{\lambda_{1} x_{1}+\ldots+\lambda_{n} x_{n}}{\lambda}=\dfrac{\lambda_{1}}{\lambda} x_{1}+\ldots \dfrac{\lambda_{n}}{\lambda} x_{n}.
Utiliser l’hypothèse de récurrence pour achever la démonstration.


Partie B : Inégalité arithmético-géométrique

Soient x1x_1 ; … ; xnx_n nn réels strictement positifs.
On souhaite montrer l’inégalité x1xnnx1++xnn\sqrt[n]{x_{1} \ldots x_{n}} \leqslant \dfrac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{n}.

1. Justifier que la fonction ln-\ln est convexe sur ]0 ;+[]0 ; +\infty[.


2. Utiliser l’inégalité de Jensen avec ln(k=1nxkn)-\ln \left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{x_{k}}{n}\right).


3. Conclure. (On pourra admettre que, pour tout nombre rationnel qq et pour tout nombre strictement positif aa, qln(a)=ln(aq)q \ln (a)=\ln \left(a^{q}\right).)
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95
APPROFONDISSEMENT

Courbe de Lorenz

On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d’une fonction L\mathrm{L} vérifiant les conditions suivantes :
  • L\mathrm{L} est définie sur [0;1][0\,; 1] ;
  • L\mathrm{L} est croissante sur [0;1][0\,; 1] ;
  • L(0)=0\mathrm{L}(0)=0 et L(1)=1\mathrm{L}(1)=1 ;
  • pour tout xx de [0;1][0\,; 1], L(x)x\mathrm{L}(x) \leqslant x.
On va montrer que la fonction ff définie sur l’intervalle [0;1][0\,; 1] par f(x)=32x+1x+11f(x)=\dfrac{3}{2} x+\dfrac{1}{x+1}-1 respecte les trois conditions de l’énoncé.

1. Déterminer la dérivée de ff et dresser le tableau de variations de ff sur [0;1][0\,; 1].


Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Déterminer le signe de xf(x)x-f(x) sur [0;1][0\,; 1].


3. Conclure.
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96
APPROFONDISSEMENT

Dérivée n\boldsymbol{n}-ième d’une fonction
Dans cet exercice, nn désigne un entier naturel non nul.

Partie A : Cas d’un monôme

Soit mm un entier naturel non nul et soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xmf(x)=x^{m}.
On note ff^\prime la fonction dérivée de la fonction ff et on appelle dérivée nn-ième de ff, et on note f(n)f^{(n)}, la fonction obtenue en dérivant nn fois la fonction ff.

1. a. Calculer, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)f^{\prime}(x).


b. Calculer f(n)f^{(n)}. On pourra distinguer les cas n>mn > m et nmn \leqslant m.


2. Application
Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x83x5+2x3g(x)=x^{8}-3 x^{5}+2 x^{3}.
Calculer, pour tout xRx \in \mathbb{R}, g(5)(x)g^{(5)}(x).


Partie B : Cas d’un produit de fonctions

Soient ff et gg deux fonctions définies sur un intervalle I\mathrm{I}. On suppose que ces deux fonctions sont toutes les deux au moins nn fois dérivables.
On souhaite démontrer la formule de Leibniz :
(fg)(n)=i=0n(ni)f(i)g(ni)(f g)^{(n)}=\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{n}\begin{pmatrix}n \\ i\end{pmatrix} f^{(i)} g^{(n-i)}.

1. Justifier la validité de cette formule lorsque n=1n = 1.


2. On suppose qu’il existe un entier naturel non nul kk tel que la formule soit vraie et on veut montrer que la formule reste alors vraie au rang k+1k + 1.
a. En utilisant que (fg)(k+1)=((fg)(k))(f g)^{(k+1)}=\left((f g)^{(k)}\right)^\prime, montrer que
(fg)(k+1)=i=0k(ki)f(i+1)g(ki)+i=0k(ki)f(i)g(k+1i)(f g)^{(k+1)}=\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix} f^{(i+1)} g^{(k-i)}+\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix} f^{(i)} g^{(k+1-i)}.


b. Justifier que i=0k(ki)f(i+1)g(ki)=gf(k+1)+i=0k1(ki)f(i+1)g(ki)\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix} f^{(i+1)} g^{(k-i)}=g f^{(k+1)}+\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k-1}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix} f^{(i+1)} g^{(k-i)} et que
i=0k(ki)f(i)g(k+1i)=fg(k+1)+i=0k1(ki+1)f(i+1)g(ki)\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k}\begin{pmatrix}k \\ i\end{pmatrix}f^{(i)} g^{(k+1-i)}=f g^{(k+1)}+\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{k-1}\begin{pmatrix}k \\ i+1\end{pmatrix}f^{(i+1)} g^{(k-i)}.


c. En utilisant la formule de Pascal sur les coefficients binomiaux (chapitre 1), achever la démonstration.


3. Application
Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par h(x)=x2e3xh(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}.
Calculer, pour tout entier naturel nn non nul et pour tout réel xx, h(n)(x)h^{(n)}(x).
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Spécialité
;  ;  ;  p. 432

Le Grand Oral

Structurer votre présentation


Exemple de sujet : Les dérivées nn‑ième de fonctions


Méthode

Une bonne présentation orale est d’abord une présentation structurée et argumentée : le jury doit pouvoir suivre facilement le fil de votre pensée.

Voici les principales étapes d’un discours structuré :
  • L’amorce : c’est une étape clé. Vos premiers mots forment la première impression de votre audience. Démarrer votre présentation par une introduction originale (citation, lien avec un enjeu de société, etc.) permet de captiver tout de suite l’attention du jury. Définissez ensuite mathématiquement les termes du sujet et présentez son intérêt.
  • Le développement argumenté : c’est le cœur de votre présentation. Il s’agit de dérouler votre raisonnement, en veillant à vous appuyer sur des arguments illustrés d’exemples.
  • La conclusion : elle doit rester dans l’esprit du jury, c’est sa dernière impression. Il s’agit de faire un bilan rapide de la question et d’ouvrir par exemple la réflexion sur des applications dans d’autres disciplines.

Conseils pour structurer votre présentation.
  • N’hésitez pas à utiliser des connecteurs logiques pour souligner la progression logique de votre propos.
  • Pensez à faire des transitions entre les étapes de votre réflexion.


Exemples sur ce sujet

Newton et Leibniz sont les premiers à avoir défini les bases du calcul infinitésimal et de la dérivation.
Une approche historique peut constituer une bonne accroche pour ce sujet.

Durant votre développement, il va être important de présenter la théorie générale sur les dérivées nn‑ième ainsi que des exemples concrets correctement choisis (fonctions trigonométriques, fonction exponentielle, fonctions polynômes, etc.). À vous de trouver l’ordre qui vous paraît le plus pertinent.

Les dérivées secondes sont utilisées pour les équations différentielles du deuxième ordre et les études de convexité par exemple. Une ouverture sur un de ces sujets est possible.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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