Synthèse

89

EN SES

[Modéliser, Communiquer.]
Une entreprise fabrique au maximum 500 objets par jour.
On modélise le coût de production par la fonction $\mathrm{C}$ définie sur $[0;50]$ par $\mathrm{C}(x)=-\frac{1}{10}\left(x^2+x\right){\mathrm{e}}^{-0,05x}+x$, où $x$ désigne le nombre de dizaines d’objets et $\mathrm{C}(x)$ désigne le coût en centaines d’euros.

1. a. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, le tableau de variations de $\mathrm{C}$ sur $[0;50]$.


b. Déterminer la dérivée seconde de $\mathrm{C}$ sur $[0;50]$.


c. En déduire les variations de ${\mathrm{C}}^{\prime }$ sur $[0;50]$.

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d. Le coût marginal est croissant lorsque la fonction $\mathrm{C}$ est concave.
Décrire l’évolution du coût marginal sur $[0;50]$.


2. Chaque objet est vendu 5 €.
a. On note $\mathrm{R}$ la recette en centaines d’euros.
Exprimer $\mathrm{R}(x)$ en fonction de $x$ dizaines d’objets.


b. Représenter les courbes représentatives de $\mathrm{C}$ et $\mathrm{R}$ sur un logiciel ou sur la calculatrice.

c. Déterminer graphiquement le nombre d’objets que l’entreprise doit produire par jour pour réaliser un bénéfice.

90

[Chercher, Calculer.]
Dans un plan muni d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on considère le cercle $\Gamma$ de centre $\mathrm{O}$ et de rayon $1$.
On place les points $\mathrm{A}$ et ${\mathrm{A}}^{\prime }$ de coordonnées respectives $(1;0)$ et $(-1;0)$.
$\mathrm{H}$ est un point du segment $\left[{\mathrm{A}\mathrm{A}}^{\prime }\right]$ distinct de $\mathrm{A}$ et ${\mathrm{A}}^{\prime }$.
On note $x$ l’abscisse du point $\mathrm{H}$.
$\Delta$ est la droite perpendiculaire à $\left({\mathrm{A}\mathrm{A}}^{\prime }\right)$ passant par $\mathrm{H}$.
$\Delta$ coupe le cercle $\Gamma$ en deux points $\mathrm{M}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }$.

1. Faire une figure.

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2. Exprimer en fonction de $x$ l’aire du triangle ${\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{M}}^{\prime }$.


3. Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par : $f(x)=(1-x)\sqrt{1-x^2}$.
a. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-1;1[$.

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b. En déduire l’abscisse du point $\mathrm{H}$ pour que l’aire soit maximale.


c. Prouver que, dans ce cas, le triangle ${\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{M}}^{\prime }$ est équilatéral.

91

[Calculer, Communiquer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1+x{\mathrm{e}}^{-x}$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

1. a. Déterminer $f^{\prime }$, la dérivée de $f$ et $f^{\prime \prime }$ la dérivée seconde de $f$.


b. Étudier le sens de variation de $f^{\prime }$.

c. En déduire que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)>0$.


d. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

e. Donner une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d’abscisse $0$.


f. En déduire que, pour tout $x⩽2$, $f(x)⩽2x+1$.


2. On admet que l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$.
a. Prouver que, sur $\mathbb{R}$, résoudre l’équation $f(x)=2$ équivaut à résoudre $\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}=x$.


b. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ définie sur $[0;1]$ par $h(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}$.

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c. En déduire que, si $x$ appartient à $[0;1]$, alors : $0⩽h(x)⩽1$.

92

DEVOIR MAISON

[Calculer, Chercher.]
D’après bac S, Pondichéry, avril 1998

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par : $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x{\mathrm{e}}^x+1}$.
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par : $g(x)=x+2-{\mathrm{e}}^x$.
1. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[0;+\infty [$.

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2. On admet que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+\infty [$.
Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.


3. En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.


Partie B : Étude de la fonction $\mathbf{f}$

1. a. Montrer que, pour tout $x$ de $[0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x\times g(x)}{{\left(x{\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}$.


b. En déduire le sens de variation de$f$ sur $[0;+\infty [$

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2. a. Prouver que $f(\alpha )=\frac{1}{\alpha +1}$.


b. En utilisant l’encadrement de $\alpha$, donner un encadrement de $f(\alpha )$ à $10^{-2}$ près.


3. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ au point d’abscisse 0.


4. a. Montrer que, pour tout $x$ de $[0;+\infty [$, $f(x)-x=\frac{(x+1)\times u(x)}{x{\mathrm{e}}^x+1}$ avec $u(x)={\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^x-1$.


b. Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur $[0;+\infty [$.

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c. En déduire le signe de $u(x)$ sur $[0;+\infty [$.


d. Déduire des questions précédentes la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $\mathcal{T}$.

93

[Représenter, Chercher.]
Les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont définies sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x)=(x+1){\mathrm{e}}^{-x}$ ; $f_2(x)=-x{\mathrm{e}}^{-x}$ et $f_3(x)=(x-1){\mathrm{e}}^{-x}$.
${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$ sont leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormé.

1. Calculer la dérivée $f_1^{\prime }(x)$ de $f_1$ pour tout réel $x$.


2. Dresser le tableau de variations de $f_1$ sur $\mathbb{R}$.

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3. Étudier la convexité de $f_1$ sur $\mathbb{R}$.


4. Étudier la position relative des courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_3$ en étudiant le signe de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=f_1(x)-f_3(x)$.

5. Prouver que les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ vérifient $f_i^{\prime \prime }+2f_i^{\prime }+f_i=0$ pour $i$ appartenant à $\{1;2;3\}$.

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APPROFONDISSEMENT

Inégalité arithmético-géométrique

Algébriquement, une fonction $f$ est dite convexe sur $\mathrm{I}$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $\mathrm{I}$ et pour tout réel $t\in [0;1]$, $f(ta+(1-t)b)⩽tf(a)+(1-t)f(b)$.

Partie A : Inégalité de Jensen

Soit $n$ un entier naturel non nul.
On souhaite montrer dans cette partie que si $f$ est une fonction convexe sur un intervalle $\mathrm{I}$, alors pour tous réels $x_1$ ; … ; $x_n$ de $\mathrm{I}$ et pour tous réels positifs ${\lambda }_1$ ; … ; ${\lambda }_n$ vérifiant $\sum _{k=1}^n{\lambda }_k=1$, on a : $f\left(\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{x}_k\right)⩽\sum _{k=1}^n{\lambda }_{k}f(x_k)$ (inégalité de Jensen). On va montrer cette propriété par récurrence sur $n$.
Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle $\mathrm{I}$.
On note ${\mathrm{P}}_n$ la proposition : « Pour tous réels positifs ${\lambda }_1$ ; … ; ${\lambda }_n$ vérifiant $\sum _{k=1}^n{\lambda }_k=1$, on a $f\left(\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{x}_k\right)⩽\sum _{k=1}^n{\lambda }_{k}f(x_k)$. » 1. Montrer que s’il existe $k\in \{1;...;n\}$ tel que ${\lambda }_k=1$, alors la proposition est vraie. On suppose donc dans la suite que, pour tout $k\in \{1;...;n\}$, ${\lambda }_k\ne 1$.


2. En utilisant la définition des fonctions convexes donnée en préambule, montrer que la proposition est vraie au rang $n=2$.


3. Supposons qu’il existe un entier $n$ tel que ${\mathrm{P}}_n$ soit vraie et montrons que ${\mathrm{P}}_{n+1}$ est alors également vraie.
On considère donc $n+1$ nombres de $\mathrm{I}$ notés $x_1$ ; … ; $x_{n+1}$ et ${\lambda }_1$ ; … ; ${\lambda }_{n+1}$, $n+1$ nombres réels positifs et différents de $1$.
On pose $\lambda =1-{\lambda }_{n+1}$ et $x=\frac{{\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_n{x}_n}{\lambda }$.
a. Justifier que $f\left(\sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_k{x}_k\right)=f\left(\lambda x+{\lambda }_{n+1}{x}_{n+1}\right)$.


b. Vérifier que $\lambda +{\lambda }_{n+1}=1$ et, en utilisant ${\mathrm{P}}_2$, justifier que $f\left(\sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_k{x}_k\right)⩽\lambda f(x)+{\lambda }_{n+1}f\left(x_{n+1}\right)$.


c. On rappelle que $x=\frac{{\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_n{x}_n}{\lambda }=\frac{{\lambda }_1}{\lambda }{x}_1+\dots \frac{{\lambda }_n}{\lambda }{x}_n$.
Utiliser l’hypothèse de récurrence pour achever la démonstration.


Partie B : Inégalité arithmético-géométrique

Soient $x_1$ ; … ; $x_n$ $n$ réels strictement positifs.
On souhaite montrer l’inégalité $\sqrt[n]{x_1\dots x_n}⩽\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$.

1. Justifier que la fonction $-\ln$ est convexe sur $]0;+\infty [$.


2. Utiliser l’inégalité de Jensen avec $-\ln \left(\sum _{k=1}^n\frac{x_k}{n}\right)$.


3. Conclure. (On pourra admettre que, pour tout nombre rationnel $q$ et pour tout nombre strictement positif $a$, $q\ln (a)=\ln \left(a^q\right)$.)

95

APPROFONDISSEMENT

Courbe de Lorenz

On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d’une fonction $\mathrm{L}$ vérifiant les conditions suivantes :

• $\mathrm{L}$ est définie sur $[0;1]$ ;
• $\mathrm{L}$ est croissante sur $[0;1]$ ;
• $\mathrm{L}(0)=0$ et $\mathrm{L}(1)=1$ ;
• pour tout $x$ de $[0;1]$, $\mathrm{L}(x)⩽x$.

On va montrer que la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{x+1}-1$ respecte les trois conditions de l’énoncé.

1. Déterminer la dérivée de $f$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;1]$.

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2. Déterminer le signe de $x-f(x)$ sur $[0;1]$.


3. Conclure.

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APPROFONDISSEMENT

Dérivée $\mathbf{n}$-ième d’une fonction
Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

Partie A : Cas d’un monôme

Soit $m$ un entier naturel non nul et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^m$.
On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on appelle dérivée $n$-ième de $f$, et on note $f^{(n)}$, la fonction obtenue en dérivant $n$ fois la fonction $f$.

1. a. Calculer, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)$.


b. Calculer $f^{(n)}$. On pourra distinguer les cas $n>m$ et $n⩽m$.


2. Application
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^8-3x^5+2x^3$.
Calculer, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $g^{(5)}(x)$.


Partie B : Cas d’un produit de fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $\mathrm{I}$. On suppose que ces deux fonctions sont toutes les deux au moins $n$ fois dérivables.
On souhaite démontrer la formule de Leibniz : $(fg{)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)f^{(i)}{g}^{(n-i)}$.
1. Justifier la validité de cette formule lorsque $n=1$.


2. On suppose qu’il existe un entier naturel non nul $k$ tel que la formule soit vraie et on veut montrer que la formule reste alors vraie au rang $k+1$.
a. En utilisant que $(fg{)}^{(k+1)}={\left((fg{)}^{(k)}\right)}^{\prime }$, montrer que
$(fg{)}^{(k+1)}=\sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i+1)}{g}^{(k-i)}+\sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i)}{g}^{(k+1-i)}$.


b. Justifier que $\sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i+1)}{g}^{(k-i)}=g{f}^{(k+1)}+\sum _{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i+1)}{g}^{(k-i)}$ et que
$\sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i)}{g}^{(k+1-i)}=f{g}^{(k+1)}+\sum _{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{c}k\\ i+1\end{array}\right)f^{(i+1)}{g}^{(k-i)}$.


c. En utilisant la formule de Pascal sur les coefficients binomiaux (chapitre 1), achever la démonstration.


3. Application
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^2{\mathrm{e}}^{3x}$.
Calculer, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$, $h^{(n)}(x)$.