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Synthèse
P.231-233

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89
EN SES
[Modéliser, Communiquer.]
Une entreprise fabrique au maximum 500 objets par jour.
On modélise le coût de production par la fonction définie sur par , où désigne le nombre de dizaines d’objets et désigne le coût en centaines d’euros.

1. a. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, le tableau de variations de sur .


b. Déterminer la dérivée seconde de sur .


c. En déduire les variations de sur .

Couleurs
Formes
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d. Le coût marginal est croissant lorsque la fonction est concave.
Décrire l’évolution du coût marginal sur .


2. Chaque objet est vendu 5 €.
a. On note la recette en centaines d’euros.
Exprimer en fonction de dizaines d’objets.


b. Représenter les courbes représentatives de et sur un logiciel ou sur la calculatrice.

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c. Déterminer graphiquement le nombre d’objets que l’entreprise doit produire par jour pour réaliser un bénéfice.
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90
[Chercher, Calculer.]
Dans un plan muni d’un repère orthonormé , on considère le cercle de centre et de rayon .
On place les points et de coordonnées respectives et .
est un point du segment distinct de et .
On note l’abscisse du point .
est la droite perpendiculaire à passant par .
coupe le cercle en deux points et .

1. Faire une figure.
Couleurs
Formes
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2. Exprimer en fonction de l’aire du triangle .


3. Soit la fonction définie sur par :
.

a. Étudier les variations de la fonction sur .
Couleurs
Formes
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b. En déduire l’abscisse du point pour que l’aire soit maximale.


c. Prouver que, dans ce cas, le triangle est équilatéral.
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91
[Calculer, Communiquer.]
Soit la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé

1. a. Déterminer , la dérivée de et la dérivée seconde de .


b. Étudier le sens de variation de .
Couleurs
Formes
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c. En déduire que, pour tout réel , .


d. Dresser le tableau de variations de sur .
Couleurs
Formes
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e. Donner une équation de la tangente à au point d’abscisse .


f. En déduire que, pour tout , .


2. On admet que l’équation admet une unique solution .
a. Prouver que, sur , résoudre l’équation équivaut à résoudre .


b. Dresser le tableau de variations de la fonction définie sur par .
Couleurs
Formes
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c. En déduire que, si appartient à , alors :
.
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92
DEVOIR MAISON
[Calculer, Chercher.]
D’après bac S, Pondichéry, avril 1998

Soit la fonction définie sur par :
.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Étudier le sens de variation de la fonction sur .
Couleurs
Formes
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2. On admet que l’équation admet une unique solution sur .
Déterminer un encadrement de à près.


3. En déduire le signe de selon les valeurs de .


Partie B : Étude de la fonction

1. a. Montrer que, pour tout de , .


b. En déduire le sens de variation de sur
Couleurs
Formes
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2. a. Prouver que .


b. En utilisant l’encadrement de , donner un encadrement de à près.


3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse 0.


4. a. Montrer que, pour tout de , avec .


b. Étudier le sens de variation de la fonction sur .
Couleurs
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c. En déduire le signe de sur .


d. Déduire des questions précédentes la position de par rapport à .
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93
[Représenter, Chercher.]
Les fonctions , et sont définies sur par  ; et .
, et sont leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormé.

1. Calculer la dérivée de pour tout réel .


2. Dresser le tableau de variations de sur .
Couleurs
Formes
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3. Étudier la convexité de sur .


4. Étudier la position relative des courbes et en étudiant le signe de la fonction définie sur par :
.


5. Prouver que les fonctions , et vérifient pour appartenant à .
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94
APPROFONDISSEMENT

Inégalité arithmético-géométrique

Algébriquement, une fonction est dite convexe sur lorsque, pour tous réels et de et pour tout réel , .

Partie A : Inégalité de Jensen

Soit un entier naturel non nul.
On souhaite montrer dans cette partie que si est une fonction convexe sur un intervalle , alors pour tous réels  ; … ;  de et pour tous réels positifs  ; … ;  vérifiant , on a :
(inégalité de Jensen).
On va montrer cette propriété par récurrence sur .
Soit une fonction convexe sur un intervalle .
On note la proposition :
« Pour tous réels positifs  ; … ;  vérifiant , on a . »
1. Montrer que s’il existe tel que , alors la proposition est vraie. On suppose donc dans la suite que, pour tout , .


2. En utilisant la définition des fonctions convexes donnée en préambule, montrer que la proposition est vraie au rang .


3. Supposons qu’il existe un entier tel que soit vraie et montrons que est alors également vraie.
On considère donc nombres de notés  ; … ;  et  ; … ; , nombres réels positifs et différents de .
On pose et .
a. Justifier que .


b. Vérifier que et, en utilisant , justifier que .


c. On rappelle que .
Utiliser l’hypothèse de récurrence pour achever la démonstration.


Partie B : Inégalité arithmético-géométrique

Soient  ; … ;  réels strictement positifs.
On souhaite montrer l’inégalité .

1. Justifier que la fonction est convexe sur .


2. Utiliser l’inégalité de Jensen avec .


3. Conclure. (On pourra admettre que, pour tout nombre rationnel et pour tout nombre strictement positif , .)
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95
APPROFONDISSEMENT

Courbe de Lorenz

On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d’une fonction vérifiant les conditions suivantes :
  • est définie sur  ;
  • est croissante sur  ;
  • et  ;
  • pour tout de , .
On va montrer que la fonction définie sur l’intervalle par respecte les trois conditions de l’énoncé.

1. Déterminer la dérivée de et dresser le tableau de variations de sur .


Couleurs
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2. Déterminer le signe de sur .


3. Conclure.
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96
APPROFONDISSEMENT

Dérivée -ième d’une fonction
Dans cet exercice, désigne un entier naturel non nul.

Partie A : Cas d’un monôme

Soit un entier naturel non nul et soit la fonction définie sur par .
On note la fonction dérivée de la fonction et on appelle dérivée -ième de , et on note , la fonction obtenue en dérivant fois la fonction .

1. a. Calculer, pour tout , .


b. Calculer . On pourra distinguer les cas et .


2. Application
Soit la fonction définie sur par .
Calculer, pour tout , .


Partie B : Cas d’un produit de fonctions

Soient et deux fonctions définies sur un intervalle . On suppose que ces deux fonctions sont toutes les deux au moins fois dérivables.
On souhaite démontrer la formule de Leibniz :
.

1. Justifier la validité de cette formule lorsque .


2. On suppose qu’il existe un entier naturel non nul tel que la formule soit vraie et on veut montrer que la formule reste alors vraie au rang .
a. En utilisant que , montrer que
.


b. Justifier que et que
.


c. En utilisant la formule de Pascal sur les coefficients binomiaux (chapitre 1), achever la démonstration.


3. Application
Soit la fonction définie sur par .
Calculer, pour tout entier naturel non nul et pour tout réel , .
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Spécialité
;  ;  ;  p. 432

Le Grand Oral

Structurer votre présentation


Exemple de sujet : Les dérivées ‑ième de fonctions


Méthode

Une bonne présentation orale est d’abord une présentation structurée et argumentée : le jury doit pouvoir suivre facilement le fil de votre pensée.

Voici les principales étapes d’un discours structuré :
  • L’amorce : c’est une étape clé. Vos premiers mots forment la première impression de votre audience. Démarrer votre présentation par une introduction originale (citation, lien avec un enjeu de société, etc.) permet de captiver tout de suite l’attention du jury. Définissez ensuite mathématiquement les termes du sujet et présentez son intérêt.
  • Le développement argumenté : c’est le cœur de votre présentation. Il s’agit de dérouler votre raisonnement, en veillant à vous appuyer sur des arguments illustrés d’exemples.
  • La conclusion : elle doit rester dans l’esprit du jury, c’est sa dernière impression. Il s’agit de faire un bilan rapide de la question et d’ouvrir par exemple la réflexion sur des applications dans d’autres disciplines.

Conseils pour structurer votre présentation.
  • N’hésitez pas à utiliser des connecteurs logiques pour souligner la progression logique de votre propos.
  • Pensez à faire des transitions entre les étapes de votre réflexion.


Exemples sur ce sujet

Newton et Leibniz sont les premiers à avoir défini les bases du calcul infinitésimal et de la dérivation.
Une approche historique peut constituer une bonne accroche pour ce sujet.

Durant votre développement, il va être important de présenter la théorie générale sur les dérivées ‑ième ainsi que des exemples concrets correctement choisis (fonctions trigonométriques, fonction exponentielle, fonctions polynômes, etc.). À vous de trouver l’ordre qui vous paraît le plus pertinent.

Les dérivées secondes sont utilisées pour les équations différentielles du deuxième ordre et les études de convexité par exemple. Une ouverture sur un de ces sujets est possible.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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