89

En SES

[Modéliser, Communiquer.]
Une entreprise fabrique au maximum 500 objets par jour.
On modélise le coût de production par la fonction $\mathrm{C}$ définie sur $[0;50]$ par $\mathrm{C}(x)=-\frac{1}{10}\left(x^2+x\right){\mathrm{e}}^{-0,05x}+x$, où $x$ désigne le nombre de dizaines d'objets et $\mathrm{C}(x)$ désigne le coût en centaines d'euros.

1. a. Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, le tableau de variations de $\mathrm{C}$ sur $[0;50]$.

b. Déterminer la dérivée seconde de $\mathrm{C}$ sur $[0;50]$.

c. En déduire les variations de ${\mathrm{C}}^{\prime }$ sur $[0;50]$.

d. Le coût marginal est croissant lorsque la fonction $\mathrm{C}$ est concave.
Décrire l'évolution du coût marginal sur $[0;50]$.

2. Chaque objet est vendu 5 €.
a. On note $\mathrm{R}$ la recette en centaines d'euros.
Exprimer $\mathrm{R}(x)$ en fonction de $x$ dizaines d'objets.

b. Représenter les courbes représentatives de $\mathrm{C}$ et $\mathrm{R}$ sur un logiciel ou sur la calculatrice.


c. Déterminer graphiquement le nombre d'objets que l'entreprise doit produire par jour pour réaliser un bénéfice.

90

[Chercher, Calculer.]
Dans un plan muni d'un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on considère le cercle $\Gamma$ de centre $\mathrm{O}$ et de rayon $1$.
On place les points $\mathrm{A}$ et ${\mathrm{A}}^{\prime }$ de coordonnées respectives $(1;0)$ et $(-1;0)$.
$\mathrm{H}$ est un point du segment $\left[{\mathrm{A}\mathrm{A}}^{\prime }\right]$ distinct de $\mathrm{A}$ et ${\mathrm{A}}^{\prime }$.
On note $x$ l'abscisse du point $\mathrm{H}$.
$\Delta$ est la droite perpendiculaire à $\left({\mathrm{A}\mathrm{A}}^{\prime }\right)$ passant par $\mathrm{H}$.
$\Delta$ coupe le cercle $\Gamma$ en deux points $\mathrm{M}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }$.

1. Faire une figure.


2. Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle ${\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{M}}^{\prime }$.

3. Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par :
a. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-1;1[$.

b. En déduire l'abscisse du point $\mathrm{H}$ pour que l'aire soit maximale.

c. Prouver que, dans ce cas, le triangle ${\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{M}}^{\prime }$ est équilatéral.

91

[Calculer, Communiquer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1+x{\mathrm{e}}^{-x}$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

1. a. Déterminer $f^{\prime }$, la dérivée de $f$ et $f^{\prime \prime }$ la dérivée seconde de $f$.

b. Étudier le sens de variation de $f^{\prime }$.

c. En déduire que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)>0$.

d. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.


e. Donner une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.

f. En déduire que, pour tout $x⩽2$, $f(x)⩽2x+1$.

2. On admet que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$.
a. Prouver que, sur $\mathbb{R}$, résoudre l'équation $f(x)=2$ équivaut à résoudre $\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}=x$.

b. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ définie sur $[0;1]$ par $h(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}$.

c. En déduire que, si $x$ appartient à $[0;1]$, alors :

$0⩽h(x)⩽1$.

92

Devoir maison

[Calculer, Chercher.]
D'après bac S, Pondichéry, avril 1998

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :
1. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[0;+\infty [$.

2. On admet que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+\infty [$.
Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

3. En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.

Partie B : Étude de la fonction $\mathbf{f}$

1. a. Montrer que, pour tout $x$ de $[0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x\times g(x)}{{\left(x{\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}$.

b. En déduire le sens de variation de$f$ sur $[0;+\infty [$

2. a. Prouver que $f(\alpha )=\frac{1}{\alpha +1}$.

b. En utilisant l'encadrement de $\alpha$, donner un encadrement de $f(\alpha )$ à $10^{-2}$ près.

3. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ au point d'abscisse 0.

4. a. Montrer que, pour tout $x$ de $[0;+\infty [$, $f(x)-x=\frac{(x+1)\times u(x)}{x{\mathrm{e}}^x+1}$ avec $u(x)={\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^x-1$.

b. Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur $[0;+\infty [$.
c. En déduire le signe de $u(x)$ sur $[0;+\infty [$.

d. Déduire des questions précédentes la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $\mathcal{T}$.

93

[Représenter, Chercher.]
Les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont définies sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x)=(x+1){\mathrm{e}}^{-x}$ ; $f_2(x)=-x{\mathrm{e}}^{-x}$ et $f_3(x)=(x-1){\mathrm{e}}^{-x}$.
${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$ sont leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormé.

1. Calculer la dérivée $f_1^{\prime }(x)$ de $f_1$ pour tout réel $x$.

2. Dresser le tableau de variations de $f_1$ sur $\mathbb{R}$.

3. Étudier la convexité de $f_1$ sur $\mathbb{R}$.

4. Étudier la position relative des courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_3$ en étudiant le signe de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=f_1(x)-f_3(x)$.

5. Prouver que les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ vérifient $f_i^{\prime \prime }+2f_i^{\prime }+f_i=0$ pour $i$ appartenant à $\{1;2;3\}$.

94

Approfondissement

Inégalité arithmético-géométrique

Algébriquement, une fonction $f$ est dite convexe sur $\mathrm{I}$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $\mathrm{I}$ et pour tout réel $t\in [0;1]$, $f(ta+(1-t)b)⩽tf(a)+(1-t)f(b)$.

Partie A : Inégalité de Jensen

Soit $n$ un entier naturel non nul.
On souhaite montrer dans cette partie que si $f$ est une fonction convexe sur un intervalle $\mathrm{I}$, alors pour tous réels $x_1$ ; … ; $x_n$ de $\mathrm{I}$ et pour tous réels positifs ${\lambda }_1$ ; … ; ${\lambda }_n$ vérifiant $\sum _{k=1}^n{\lambda }_k=1$, on a : On va montrer cette propriété par récurrence sur $n$.
Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle $\mathrm{I}$.
On note ${\mathrm{P}}_n$ la proposition :
1. Montrer que s'il existe $k\in \{1;...;n\}$ tel que ${\lambda }_k=1$, alors la proposition est vraie. On suppose donc dans la suite que, pour tout $k\in \{1;...;n\}$, ${\lambda }_k\ne 1$.

2. En utilisant la définition des fonctions convexes donnée en préambule, montrer que la proposition est vraie au rang $n=2$.

3. Supposons qu'il existe un entier $n$ tel que ${\mathrm{P}}_n$ soit vraie et montrons que ${\mathrm{P}}_{n+1}$ est alors également vraie.
On considère donc $n+1$ nombres de $\mathrm{I}$ notés $x_1$ ; … ; $x_{n+1}$ et ${\lambda }_1$ ; … ; ${\lambda }_{n+1}$, $n+1$ nombres réels positifs et différents de $1$.
On pose $\lambda =1-{\lambda }_{n+1}$ et $x=\frac{{\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_n{x}_n}{\lambda }$.
a. Justifier que $f\left(\sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_k{x}_k\right)=f\left(\lambda x+{\lambda }_{n+1}{x}_{n+1}\right)$.

b. Vérifier que $\lambda +{\lambda }_{n+1}=1$ et, en utilisant ${\mathrm{P}}_2$, justifier que $f\left(\sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_k{x}_k\right)⩽\lambda f(x)+{\lambda }_{n+1}f\left(x_{n+1}\right)$.

c. On rappelle que $x=\frac{{\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_n{x}_n}{\lambda }=\frac{{\lambda }_1}{\lambda }{x}_1+\dots \frac{{\lambda }_n}{\lambda }{x}_n$.
Utiliser l'hypothèse de récurrence pour achever la démonstration.

Partie B : Inégalité arithmético-géométrique

Soient $x_1$ ; … ; $x_n$ $n$ réels strictement positifs.
On souhaite montrer l'inégalité $\sqrt[n]{x_1\dots x_n}⩽\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$.

1. Justifier que la fonction $-\ln$ est convexe sur $]0;+\infty [$.

2. Utiliser l'inégalité de Jensen avec $-\ln \left(\sum _{k=1}^n\frac{x_k}{n}\right)$.

3. Conclure. (On pourra admettre que, pour tout nombre rationnel $q$ et pour tout nombre strictement positif $a$, $q\ln (a)=\ln \left(a^q\right)$.)

96

Approfondissement

Dérivée $\mathbf{n}$-ième d'une fonction

Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

Partie A : Cas d'un monôme

Soit $m$ un entier naturel non nul et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^m$.
On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on appelle dérivée $n$-ième de $f$, et on note $f^{(n)}$, la fonction obtenue en dérivant $n$ fois la fonction $f$.

1. a. Calculer, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)$.

b. Calculer $f^{(n)}$. On pourra distinguer les cas $n>m$ et $n⩽m$.

2. Application
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^8-3x^5+2x^3$.
Calculer, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $g^{(5)}(x)$.

Partie B : Cas d'un produit de fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $\mathrm{I}$. On suppose que ces deux fonctions sont toutes les deux au moins $n$ fois dérivables.
On souhaite démontrer la formule de Leibniz :
1. Justifier la validité de cette formule lorsque $n=1$.

2. On suppose qu'il existe un entier naturel non nul $k$ tel que la formule soit vraie et on veut montrer que la formule reste alors vraie au rang $k+1$.
a. En utilisant que $(fg{)}^{(k+1)}={\left((fg{)}^{(k)}\right)}^{\prime }$, montrer que
$(fg{)}^{(k+1)}=\sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i+1)}{g}^{(k-i)}+\sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i)}{g}^{(k+1-i)}$.

b. Justifier que $\sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i+1)}{g}^{(k-i)}=g{f}^{(k+1)}+\sum _{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i+1)}{g}^{(k-i)}$ et que
$\sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)f^{(i)}{g}^{(k+1-i)}=f{g}^{(k+1)}+\sum _{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{c}k\\ i+1\end{array}\right)f^{(i+1)}{g}^{(k-i)}$.

c. En utilisant la formule de Pascal sur les coefficients binomiaux (chapitre 1), achever la démonstration.

3. Application
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^2{\mathrm{e}}^{3x}$.
Calculer, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$, $h^{(n)}(x)$.

Méthode

❯ Une bonne présentation orale est d'abord une présentation structurée et argumentée : le jury doit pouvoir suivre facilement le fil de votre pensée.

❯ Voici les principales étapes d'un discours structuré :

• L'amorce : c'est une étape clé. Vos premiers mots forment la première impression de votre audience. Démarrer votre présentation par une introduction originale (citation, lien avec un enjeu de société, etc.) permet de captiver tout de suite l'attention du jury. Définissez ensuite mathématiquement les termes du sujet et présentez son intérêt.
• Le développement argumenté : c'est le cœur de votre présentation. Il s'agit de dérouler votre raisonnement, en veillant à vous appuyer sur des arguments illustrés d'exemples.
• La conclusion : elle doit rester dans l'esprit du jury, c'est sa dernière impression. Il s'agit de faire un bilan rapide de la question et d'ouvrir par exemple la réflexion sur des applications dans d'autres disciplines.

❯ Conseils pour structurer votre présentation.

• N'hésitez pas à utiliser des connecteurs logiques pour souligner la progression logique de votre propos.
• Pensez à faire des transitions entre les étapes de votre réflexion.

Exemples sur ce sujet

❯ Newton et Leibniz sont les premiers à avoir défini les bases du calcul infinitésimal et de la dérivation.
Une approche historique peut constituer une bonne accroche pour ce sujet.

❯ Durant votre développement, il va être important de présenter la théorie générale sur les dérivées $n$‑ième ainsi que des exemples concrets correctement choisis (fonctions trigonométriques, fonction exponentielle, fonctions polynômes, etc.). À vous de trouver l'ordre qui vous paraît le plus pertinent.

❯ Les dérivées secondes sont utilisées pour les équations différentielles du deuxième ordre et les études de convexité par exemple. Une ouverture sur un de ces sujets est possible.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14