[Calculer.
]
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D’après bac ES, Métropole, juin 2014
Efficacité d’un médicament
On injecte un médicament à un patient et on étudie sa concentration durant dix heures dans le sang.
La concentration, en grammes par litre, est représentée par la courbe suivante.
Partie A : Étude graphique
1. Déterminer la concentration initiale.
2. Déterminer le moment où la concentration devient inférieure à
0,5 g·L
−1.
3. Déterminer graphiquement l’abscisse du point d’inflexion.
Partie B : Étude algébrique
La concentration peut être modélisée par la fonction
C définie sur
[0;10] par
C(x)=0,001x3−0,02x2−0,1x+2 où
x représente le temps en heure.
1. Dresser le tableau de variations de
C sur
[0;10].
2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement à
10−2 près de la solution de
C(x)=0,5.
3. Calculer la dérivée seconde
C′′ sur
[0;10] et étudier la convexité de
C.
Partie C : Interprétation des résultats
1. Le médicament n’est plus actif lorsque sa concentration est inférieure à
0,5 g·L
−1. Au bout de
combien d’heures doit-on faire une nouvelle injection ?
2. Au bout de combien de temps la baisse de la concentration ralentit‑elle ? Justifier.