2

Convexité

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 45 ; 47 ; 70 ; 75 et 85
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 52 ; 58 ; 63 ; 74 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 54 ; 61 ; 80 et 87

65

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^{4}+3 x^{3}-6 x^{2}-x-5$.
1. Déterminer la dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ de $f$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.


2. En déduire les variations de la dérivée $f^\prime$ de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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3. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.

66

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \backslash\{1\}$ par : $g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$.
1. Sachant que $g^{\prime \prime}(x)=\dfrac{6}{(x-1)^{3}}$ pour tout $x \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$, étudier son signe sur $\mathbb{R}\backslash \{1\}$.


2. En déduire la convexité de $g$ sur $\mathbb{R} \backslash\{1\}$.

67

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\left(x^{2}-3 x+2\right) \mathrm{e}^{x}$.
1. Déterminer la dérivée seconde $h^{\prime\prime}$ de $h$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.


2. En déduire la convexité de $h$ sur $\mathbb{R}$.

68

Soit $k$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $k(x)=\sqrt{x^{2}+2 x+5}$.

1. Sachant que la dérivée seconde de $k$ est définie par $k^{\prime \prime}(x)=\dfrac{4}{\left(x^{2}+2 x+5\right) \sqrt{x^{2}+2 x+5}}$ pour tout réel $x$, en déduire les variations de $k^\prime$ sur $\mathbb{R}$.


2. Déterminer la convexité de $k$ sur $\mathbb{R}$.

69

[[Représenter.]
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-5\,; 4]$ telle que $f(-5)=0$ et $f(1)=0$.
On donne les tableaux de signes de la fonction dérivée $f^\prime$ et de la fonction dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ de $f$.

Tracer, dans un repère orthogonal, une allure de la courbe représentative de la fonction $f$ ainsi que les tangentes horizontales.

70

[[Représenter.] ◉◉◉
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-6\,;5]$ dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée $f^\prime$.

1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-6\,;5]$.

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2. Déterminer la convexité de la fonction $f$.


3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction $f$ ainsi que les tangentes horizontales.

71

[[Représenter.]
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-8\,;8]$ dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée seconde $f^{\prime\prime}$.

1. En déduire le signe de $f^{\prime \prime}(x)$ pour dresser le tableau de variations de la fonction dérivée $f^\prime$ sur $[-8\,;8]$.

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2. En déduire la convexité de la fonction $f$ et les abscisses des éventuels points d’inflexion.


3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction $f$.

72

[Représenter.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{2} x^{2}-3 x-2$.
Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est tracée dans le repère ci‑dessous ainsi que sa tangente au point d’abscisse $5$.

1. Déterminer graphiquement la convexité de $f$.


2. Déterminer par le calcul une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $5$.


3. En déduire que, pour tout réel $x$, on a les inégalités $\dfrac{1}{2} x^{2}-3 x-2 \geqslant 2 x-\dfrac{29}{2}$ et $x^{2} \geqslant 10 x-25$.

73

[Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.

1. Conjecturer graphiquement la convexité de $f$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $1$.


3. En déduire que, pour tout $x$ de $[0\,;+\infty[$, $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}$.


4. En déduire que $\sqrt{2} \leqslant 1{,}5$.

74

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction exponentielle définie sur $\mathbb{R}$.

1. Donner la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $1$.


3. En déduire que, pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>x$.

75

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=0{,}25 x^{4}-x^{3}+5 x^{2}-4$.
1. Déterminer la fonction dérivée $f^\prime$ et la fonction dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ de $f$ pour tout réel $x$.


2. Étudier le signe de $f^{\prime \prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$.


3. En déduire la convexité de $f$ et les abscisses des éventuels points d’inflexion.

76

[Calculer.]
Soit $g$ la fonction définie sur $[0 ;+\infty[$ par : $g(x)=\left(5-x^{2}\right) \sqrt{x}$.
1. Déterminer la fonction dérivée $g^\prime$ et la fonction dérivée seconde $g^{\prime\prime}$ pour tout réel $x$ strictement positif.


2. Étudier le signe de $g^{\prime \prime}(x)$ sur $]0 ;+\infty[$.


3. En déduire la convexité de $g$ et les abscisses des éventuels points d’inflexion.

77

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\left(2-x^{2}\right) \mathrm{e}^{x}$.
1. Déterminer la fonction dérivée $h^\prime$ et la fonction dérivée seconde $h^{\prime\prime}$ de $h$ pour tout réel $x$.


2. En déduire la convexité de $h$ et les abscisses de ses éventuels points d’inflexion.

78

[Calculer.]
Soit $q$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \backslash\{1\}$ par : $q(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1-x}$.
1. Déterminer la fonction dérivée $q^\prime$ et la fonction dérivée seconde $q^{\prime\prime}$ de $q$ pour tout réel $x \neq 1$.


2. Étudier le signe de $q^{\prime \prime}(x)$ sur $\mathbb{R} \backslash\{1\}$.


3. a. En déduire la convexité de $q$ et les abscisses des éventuels points d’inflexion.


b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $q$ au point d’abscisse $0$.


c. En déduire une inégalité avec la fonction $q$.

79

[Calculer.]
Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $p(x)=\left(x^{2}-4 x+5\right) \mathrm{e}^{x-4}$.
1. Déterminer la fonction dérivée $p^\prime$ et la fonction dérivée seconde $p^{\prime\prime}$ de $p$ pour tout réel $x$.


2. Étudier le signe de $p^{\prime \prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$.


3. En déduire la convexité de $p$ et les abscisses des éventuels points d’inflexion.

80

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $\Phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\Phi(x)=\left(x^{4}-10 x^{3}+44 x^{2}-109 x+128\right) \mathrm{e}^{x-4}$.
1. Déterminer la fonction dérivée $\Phi^\prime$ et la fonction dérivée seconde $\Phi^{\prime\prime}$ pour tout réel $x$ de $\Phi$.


2. a. Chercher deux racines évidentes de $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+7 x-2$.


b. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+7 x-2=(x+2)(x-1)\left(a x^{2}+b x+c\right)$.

c. En déduire le signe de $\Phi^{\prime \prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$.


3. En déduire la convexité de $\Phi$ et les abscisses des éventuels points d’inflexion.

81

[Calculer.]
Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi(x)=(1+x) \mathrm{e}^{1-x^{2}}$.
1. Déterminer la fonction dérivée $\varphi^\prime$ et la fonction dérivée seconde $\varphi^{\prime\prime}$ de $\varphi$ pour tout réel $x$.


2. Après avoir justifié que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\varphi^{\prime \prime}(x)=2(x-1)\left(2 x^{2}+4 x+1\right) \mathrm{e}^{1-x^{2}}$, étudier la convexité de $\varphi$ et déterminer les abscisses des éventuels points d’inflexion.

82

[Calculer.]
Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi(x)=(x+1)^{3}(x+2)$.
1. Déterminer la fonction dérivée $\varphi^\prime$ et la fonction dérivée seconde $\varphi^{\prime\prime}$ de $\varphi$ pour tout réel $x$.


2. Étudier le signe de $\varphi^{\prime \prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$.


3. En déduire la convexité de $\varphi$ et les abscisses de ses éventuels points d’inflexion.

83

[Chercher.]
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ;+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{1}{x^{2}}$.
$\mathcal{C}_f$ désigne la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{T}$ la tangente au point d’abscisse $2$.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{T}$.

84

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La courbe représentative d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ est donnée ci‑dessous.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. $f^{\prime}(0)=-1$


2. $f^{\prime}(1)=0$


3. $f^{\prime \prime}(1)\lt0$


4. $f^{\prime}(x)>0$ sur $[2\,; 3]$.


5. $f$ est convexe sur $[0\,; 3]$.


6. Si $f$ est la fonction dérivée d’une fonction $g$, alors $g$ est croissante sur $[1\,; 3]$.


7. Si $f$ est la fonction dérivée d’une fonction $g$, alors $g$ est concave sur $[0\,; 0{,}5]$.

85

[Calculer.] ◉◉◉
D’après bac ES, Métropole, juin 2014

Efficacité d’un médicament
On injecte un médicament à un patient et on étudie sa concentration durant dix heures dans le sang.
La concentration, en grammes par litre, est représentée par la courbe suivante.

Partie A : Étude graphique

1. Déterminer la concentration initiale.


2. Déterminer le moment où la concentration devient inférieure à $0{,}5$ g·L$^{-1}$.


3. Déterminer graphiquement l’abscisse du point d’inflexion.


Partie B : Étude algébrique

La concentration peut être modélisée par la fonction $\mathrm{C}$ définie sur $[0\,; 10]$ par $\mathrm{C}(x)=0{,}001 x^{3}-0{,}02 x^{2}-0{,}1 x+2$ où $x$ représente le temps en heure.

1. Dresser le tableau de variations de $\mathrm{C}$ sur $[0\,; 10]$.

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2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement à $10^{-2}$ près de la solution de $\mathrm{C}(x)=0{,}5$.


3. Calculer la dérivée seconde $\mathrm{C}^{\prime\prime}$ sur $[0\,; 10]$ et étudier la convexité de $\mathrm{C}$.


Partie C : Interprétation des résultats

1. Le médicament n’est plus actif lorsque sa concentration est inférieure à $0{,}5$ g·L$^{-1}$. Au bout de combien d’heures doit-on faire une nouvelle injection ?


2. Au bout de combien de temps la baisse de la concentration ralentit‑elle ? Justifier.

86

EN SES

[Chercher.]
Une entreprise fabrique des calculatrices.
Le coût de production de $x$ centaines de calculatrices en milliers d’euros est donné par la fonction $\mathrm{C}$ définie sur $[0\,; 5]$ par $\mathrm{C}(x)=\dfrac{1}{6} x^{3}-\dfrac{7}{4} x^{2}+\dfrac{15}{2} x+9$.

1. Étudier les variations de la fonction $\mathrm{C}$ sur $[0\,; 5]$.


2. Déterminer la dérivée seconde $\mathrm{C}^{\prime\prime}$ pour tout réel $x$ de $[0\,; 5]$.


3. On dit que les rendements marginaux décroissent lorsque la fonction $\mathrm{C}$ devient convexe.
À partir de quelle quantité de production les rendements marginaux diminuent‑ils ? Arrondir à l’unité.

Info

Lorsque les rendements marginaux deviennent décroissants, cela signifie que le coût de production augmente mais moins rapidement. Autrement dit, pour chaque calculatrice supplémentaire produite, le coût de production unitaire est de plus en plus faible.

87

[Chercher.] ◉◉◉
Une commune des Alpes demande à un ingénieur de modéliser le futur tremplin de saut à ski avec les contraintes suivantes :

• les tangentes au départ du tremplin et à l’arrivée sont horizontales ;
• la fonction qui modélise le tremplin est définie sur $[0\,; 60]$ par $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ réels.

1. a. Déterminer la fonction dérivée $f^\prime$ sur $[0\,; 60]$.


b. Déterminer les nombres dérivés de $f$ en $0$ et en $60$.


c. En déduire la valeur de $c$ ainsi qu’une expression de $b$ en fonction de $a$.


2. a. Déterminer les images de $0$ et $60$ par $f$.


b. Déduire de ce qui précède les valeurs de $a$, $b$ et $d$ ainsi que l’expression de $f(x)$.


3. a. Étudier la convexité de $f$ sur $[0\,; 60]$.


b. Déterminer la longueur de la barre de renfort horizontale qui devra toucher le tremplin au point d’inflexion. À quelle hauteur devra‑t‑elle être placée ?

88

EN PHYSIQUE

[Modéliser.]
On étudie l’évolution du refroidissement d’un matériau chauffé par une industrie en fonction du temps en heure. La fonction $f$ définie sur $[0\,; 24]$ par $f(t)=100 \mathrm{e}^{-0,2 t}+15$ modélise en degré Celsius la température en fonction de $t$ en heure.

Partie A : Conjectures

La fonction $f$ est représentée par la courbe ci‑dessous.

1. Conjecturer le sens de variation de la fonction $f$.


2. Conjecturer la convexité de la fonction $f$ et les éventuels points d’inflexion.


3. Conjecturer la température minimale atteinte.


Partie B : Étude de la fonction

1. Déterminer la fonction dérivée $f^\prime$ sur $[0\,; 24]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,; 24]$.

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2. a. Déterminer la dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ sur $[0\,; 24]$.


b. Étudier la convexité de $f$ sur $[0\,; 24]$.


c. Traduire ce résultat en terme de vitesse de refroidissement de l’objet.