Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 7

Entraînement 2

Convexité

Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

Flash

Soit

g

la fonction définie sur

R \ {1}

par :

g (x) = \frac{x + 2}{x - 1}

1. Sachant que

g^{''} (x) = \frac{6}{( x - 1 ) ^{3}}

pour tout

x \in R \ {1}

, étudier son signe sur

R \ {1}

2. En déduire la convexité de

g

sur

R \ {1}

Flash

Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = x^{4} + 3 x^{3} - 6 x^{2} - x - 5

1. Déterminer la dérivée seconde

f^{''}

f

et étudier son signe sur

R

2. En déduire les variations de la dérivée

f^{'}

f

sur

R

Dessinez ici

3. Étudier la convexité de

f

sur

R

Flash

Soit

h

la fonction définie sur

R

par :

h (x) = (x^{2} - 3 x + 2) e^{x}

1. Déterminer la dérivée seconde

h^{''}

h

et étudier son signe sur

R

2. En déduire la convexité de

h

sur

R

Flash

Soit

k

la fonction définie sur

R

par :

k (x) = x^{2} + 2 x + 5

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 68

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Sachant que la dérivée seconde de

k

est définie par

k^{''} (x) = \frac{4}{( x ^{2} + 2 x + 5 ) x ^{2} + 2 x + 5}

pour tout réel

x

, en déduire les variations de

k^{'}

sur

R

2. Déterminer la convexité de

k

sur

R

69
[Représenter.]

Soit

f

une fonction définie et deux fois dérivable sur l'intervalle

[- 5; 4]

telle que

f (- 5) = 0

f (1) = 0

.
On donne les tableaux de signes de la fonction dérivée

f^{'}

et de la fonction dérivée seconde

f^{''}

f

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 69

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Tracer, dans un repère orthogonal, une allure de la courbe représentative de la fonction

f

ainsi que les tangentes horizontales.

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

[[Représenter.]

Soit

f

une fonction définie et dérivable sur l'intervalle

[- 6; 5]

dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée

f^{'}

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 70

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Dresser le tableau de variations de

f

sur

[- 6; 5]

Dessinez ici

2. Déterminer la convexité de la fonction

f

3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction

f

ainsi que les tangentes horizontales.

GeoGebra

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71
[[Représenter.]

Soit

f

une fonction définie et deux fois dérivable sur l'intervalle

[- 8; 8]

dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée seconde

f^{''}

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 71

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. En déduire le signe de

f^{''} (x)

pour dresser le tableau de variations de la fonction dérivée

f^{'}

sur

[- 8; 8]

Dessinez ici

2. En déduire la convexité de la fonction

f

et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction

f

GeoGebra

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72
[Représenter.]
Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 2

.
Sa courbe représentative

C_{f}

est tracée dans le repère ci‑dessous ainsi que sa tangente au point d'abscisse

5

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 72

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Déterminer graphiquement la convexité de

f

2. Déterminer par le calcul une équation de la tangente à

C_{f}

au point d'abscisse

5

3. En déduire que, pour tout réel

x

, on a les inégalités

\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 2 ⩾ 2 x - \frac{2 9}{2}

x^{2} ⩾ 10 x - 25

73
[Raisonner.]
Soit

f

la fonction définie sur

[0; + \infty [

par

f (x) = x

.

1. Conjecturer graphiquement la convexité de

f

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

1

3. En déduire que, pour tout

x

[0; + \infty [

x ⩽ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}

4. En déduire que

2 ⩽ 1, 5

[Raisonner.]
Soit

f

la fonction exponentielle définie sur

R

.

1. Donner la convexité de

f

sur

R

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

1

3. En déduire que, pour tout réel

x

e^{x} > x

[Calculer.]
Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = 0, 25 x^{4} - x^{3} + 5 x^{2} - 4

1. Déterminer la fonction dérivée

f^{'}

et la fonction dérivée seconde

f^{''}

f

pour tout réel

x

2. Étudier le signe de

f^{''} (x)

sur

R

3. En déduire la convexité de

f

et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

76
[Calculer.]
Soit

g

la fonction définie sur

[0; + \infty [

par :

g (x) = (5 - x^{2}) x

1. Déterminer la fonction dérivée

g^{'}

et la fonction dérivée seconde

g^{''}

pour tout réel

x

strictement positif.

2. Étudier le signe de

g^{''} (x)

sur

] 0; + \infty [

3. En déduire la convexité de

g

et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

[Calculer.]
Soit

h

la fonction définie sur

R

par :

h (x) = (2 - x^{2}) e^{x}

1. Déterminer la fonction dérivée

h^{'}

et la fonction dérivée seconde

h^{''}

h

pour tout réel

x

2. En déduire la convexité de

h

et les abscisses de ses éventuels points d'inflexion.

79
[Calculer.]
Soit

p

la fonction définie sur

R

par :

p (x) = (x^{2} - 4 x + 5) e^{x - 4}

1. Déterminer la fonction dérivée

p^{'}

et la fonction dérivée seconde

p^{''}

p

pour tout réel

x

2. Étudier le signe de

p^{''} (x)

sur

R

3. En déduire la convexité de

p

et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

78
[Calculer.]
Soit

q

la fonction définie sur

R \ {1}

par :

q (x) = \frac{e ^{x}}{1 - x}

1. Déterminer la fonction dérivée

q^{'}

et la fonction dérivée seconde

q^{''}

q

pour tout réel

x \neq = 1

2. Étudier le signe de

q^{''} (x)

sur

R \ {1}

3. a. En déduire la convexité de

q

et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de

q

au point d'abscisse

0

c. En déduire une inégalité avec la fonction

q

[Calculer.]
Soit

Φ

la fonction définie sur

R

par :

Φ (x) = (x^{4} - 10 x^{3} + 44 x^{2} - 109 x + 128) e^{x - 4}

1. Déterminer la fonction dérivée

Φ^{'}

et la fonction dérivée seconde

Φ^{''}

pour tout réel

x

Φ

2. a. Chercher deux racines évidentes de

x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 7 x - 2

b. Déterminer les réels

a

b

c

tels que, pour tout

x \in R

x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 7 x - 2 = (x + 2) (x - 1) (a x^{2} + b x + c)

c. En déduire le signe de

Φ^{''} (x)

sur

R

3. En déduire la convexité de

Φ

et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

81
[Calculer.]
Soit

φ

la fonction définie sur

R

par :

φ (x) = (1 + x) e^{1 - x^{2}}

1. Déterminer la fonction dérivée

φ^{'}

et la fonction dérivée seconde

φ^{''}

φ

pour tout réel

x

2. Après avoir justifié que, pour tout

x \in R

φ^{''} (x) = 2 (x - 1) (2 x^{2} + 4 x + 1) e^{1 - x^{2}}

, étudier la convexité de

φ

et déterminer les abscisses des éventuels points d'inflexion.

82
[Calculer.]
Soit

φ

la fonction définie sur

R

par :

φ (x) = (x + 1)^{3} (x + 2)

1. Déterminer la fonction dérivée

φ^{'}

et la fonction dérivée seconde

φ^{''}

φ

pour tout réel

x

2. Étudier le signe de

φ^{''} (x)

sur

R

3. En déduire la convexité de

φ

et les abscisses de ses éventuels points d'inflexion.

83
[Chercher.]
Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = x - \frac{1}{x ^{2}}

C_{f}

désigne la courbe représentative de

f

dans un repère orthogonal et

T

la tangente au point d'abscisse

2

.
Étudier la position relative de

C_{f}

T

Selon la méthode choisie, on pourra remarquer que, pour tout

x > 0

- x^{3} + 3 x^{2} - 4 = (x - 2) (- x^{2} + x + 2)

Aide

Vrai / Faux

[Communiquer.]

La courbe représentative d'une fonction

f

définie et deux fois dérivable sur

R

est donnée ci‑dessous.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 84

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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1.

f^{'} (0) = - 1

f^{'} (1) = 0

f^{''} (1) < 0

f^{'} (x) > 0

sur

[2; 3]

f

est convexe sur

[0; 3]

6. Si

f

est la fonction dérivée d'une fonction

g

, alors

g

est croissante sur

[1; 3]

7. Si

f

est la fonction dérivée d'une fonction

g

, alors

g

est concave sur

[0; 0, 5]

[Calculer.]

D'après bac ES, Métropole, juin 2014

Efficacité d'un médicament
On injecte un médicament à un patient et on étudie sa concentration durant dix heures dans le sang.
La concentration, en grammes par litre, est représentée par la courbe suivante.

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Partie A : Étude graphique

1. Déterminer la concentration initiale.

2. Déterminer le moment où la concentration devient inférieure à

0, 5

g·L

^{- 1}

3. Déterminer graphiquement l'abscisse du point d'inflexion.

Partie B : Étude algébrique

La concentration peut être modélisée par la fonction

C

définie sur

[0; 10]

par

C (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 02 x^{2} - 0, 1 x + 2

où

x

représente le temps en heure.

1. Dresser le tableau de variations de

C

sur

[0; 10]

Dessinez ici

2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement à

1 0^{- 2}

près de la solution de

C (x) = 0, 5

3. Calculer la dérivée seconde

C^{''}

sur

[0; 10]

et étudier la convexité de

C

Partie C : Interprétation des résultats

1. Le médicament n'est plus actif lorsque sa concentration est inférieure à

0, 5

g·L

^{- 1}

. Au bout de combien d'heures doit-on faire une nouvelle injection ?

2. Au bout de combien de temps la baisse de la concentration ralentit‑elle ? Justifier.

En SES

[Chercher.]
Une entreprise fabrique des calculatrices.
Le coût de production de

x

centaines de calculatrices en milliers d'euros est donné par la fonction

C

définie sur

[0; 5]

par

C (x) = \frac{1}{6} x^{3} - \frac{7}{4} x^{2} + \frac{1 5}{2} x + 9

.

1. Étudier les variations de la fonction

C

sur

[0; 5]

2. Déterminer la dérivée seconde

C^{''}

pour tout réel

x

[0; 5]

3. On dit que les rendements marginaux décroissent lorsque la fonction

C

devient convexe.
À partir de quelle quantité de production les rendements marginaux diminuent‑ils ? Arrondir à l'unité.

info

Lorsque les rendements marginaux deviennent décroissants, cela signifie que le coût de production augmente mais moins rapidement. Autrement dit, pour chaque calculatrice supplémentaire produite, le coût de production unitaire est de plus en plus faible.

[Chercher.]

Une commune des Alpes demande à un ingénieur de modéliser le futur tremplin de saut à ski avec les contraintes suivantes :

les tangentes au départ du tremplin et à l'arrivée sont horizontales ;
la fonction qui modélise le tremplin est définie sur $[0; 60]$ par $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ avec $a$ , $b$ , $c$ et $d$ réels.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 87

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Crédits : Sergey Kohl / Shutterstock

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1. a. Déterminer la fonction dérivée

f^{'}

sur

[0; 60]

b. Déterminer les nombres dérivés de

f

0

et en

60

c. En déduire la valeur de

c

ainsi qu'une expression de

b

en fonction de

a

2. a. Déterminer les images de

0

60

par

f

b. Déduire de ce qui précède les valeurs de

a

b

d

ainsi que l'expression de

f (x)

3. a. Étudier la convexité de

f

sur

[0; 60]

b. Déterminer la longueur de la barre de renfort horizontale qui devra toucher le tremplin au point d'inflexion. À quelle hauteur devra‑t‑elle être placée ?

Histoire des maths

La modélisation de courbes de descentes sous certaines contraintes, par exemple que la descente prenne le moins de temps possible ("brachistochrone") est l'un des problèmes classiques pour lesquels les mathématiciens comme Jean Bernoulli (en 1697) ont développé les techniques du calcul infinitésimal.