1. Sachant que la dérivée seconde de k est définie par k^{\prime \prime}(x)=\frac{4}{\left(x^{2}+2 x+5\right) \sqrt{x^{2}+2 x+5}} pour tout réel x, en déduire les variations de k^\prime sur \mathbb{R}.

2. Déterminer la convexité de k sur \mathbb{R}.

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69
[Représenter.]

Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur l'intervalle [-5\,; 4] telle que f(-5)=0 et f(1)=0.
On donne les tableaux de signes de la fonction dérivée f^\prime et de la fonction dérivée seconde f^{\prime\prime} de f.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 69

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Tracer, dans un repère orthogonal, une allure de la courbe représentative de la fonction f ainsi que les tangentes horizontales.

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[[Représenter.]

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-6\,;5] dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée f^\prime.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 70

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1. Dresser le tableau de variations de f sur [-6\,;5].

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2. Déterminer la convexité de la fonction f.

3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction f ainsi que les tangentes horizontales.

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71
[[Représenter.]

Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur l'intervalle [-8\,;8] dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée seconde f^{\prime\prime}.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 71

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1. En déduire le signe de f^{\prime \prime}(x) pour dresser le tableau de variations de la fonction dérivée f^\prime sur [-8\,;8].

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2. En déduire la convexité de la fonction f et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction f.

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72
[Représenter.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-3 x-2.
Sa courbe représentative \mathcal{C}_f est tracée dans le repère ci‑dessous ainsi que sa tangente au point d'abscisse 5.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 72

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1. Déterminer graphiquement la convexité de f.

2. Déterminer par le calcul une équation de la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 5.

3. En déduire que, pour tout réel x, on a les inégalités \frac{1}{2} x^{2}-3 x-2 \geqslant 2 x-\frac{29}{2} et x^{2} \geqslant 10 x-25.

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73
[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur [0 ;+\infty[ par f(x)=\sqrt{x}.

1. Conjecturer graphiquement la convexité de f.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

3. En déduire que, pour tout x de [0\,;+\infty[, \sqrt{x} \leqslant \frac{1}{2} x+\frac{1}{2}.

4. En déduire que \sqrt{2} \leqslant 1{,}5.

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[Raisonner.]
Soit f la fonction exponentielle définie sur \mathbb{R}.

1. Donner la convexité de f sur \mathbb{R}.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

3. En déduire que, pour tout réel x, \mathrm{e}^{x}>x.

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[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=0{,}25 x^{4}-x^{3}+5 x^{2}-4.

1. Déterminer la fonction dérivée f^\prime et la fonction dérivée seconde f^{\prime\prime} de f pour tout réel x.

2. Étudier le signe de f^{\prime \prime}(x) sur \mathbb{R}.

3. En déduire la convexité de f et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

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76
[Calculer.]
Soit g la fonction définie sur [0 ;+\infty[ par :

g(x)=\left(5-x^{2}\right) \sqrt{x}.

1. Déterminer la fonction dérivée g^\prime et la fonction dérivée seconde g^{\prime\prime} pour tout réel x strictement positif.

2. Étudier le signe de g^{\prime \prime}(x) sur ]0 ;+\infty[.

3. En déduire la convexité de g et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

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[Calculer.]
Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par :

h(x)=\left(2-x^{2}\right) \mathrm{e}^{x}.

1. Déterminer la fonction dérivée h^\prime et la fonction dérivée seconde h^{\prime\prime} de h pour tout réel x.

2. En déduire la convexité de h et les abscisses de ses éventuels points d'inflexion.

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79
[Calculer.]
Soit p la fonction définie sur \mathbb{R} par :

p(x)=\left(x^{2}-4 x+5\right) \mathrm{e}^{x-4}.

1. Déterminer la fonction dérivée p^\prime et la fonction dérivée seconde p^{\prime\prime} de p pour tout réel x.

2. Étudier le signe de p^{\prime \prime}(x) sur \mathbb{R}.

3. En déduire la convexité de p et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

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78
[Calculer.]
Soit q la fonction définie sur \mathbb{R} \backslash\{1\} par :

q(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1-x}.

1. Déterminer la fonction dérivée q^\prime et la fonction dérivée seconde q^{\prime\prime} de q pour tout réel x \neq 1.

2. Étudier le signe de q^{\prime \prime}(x) sur \mathbb{R} \backslash\{1\}.

3. a. En déduire la convexité de q et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de q au point d'abscisse 0.

c. En déduire une inégalité avec la fonction q.

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[Calculer.]
Soit \Phi la fonction définie sur \mathbb{R} par :

\Phi(x)=\left(x^{4}-10 x^{3}+44 x^{2}-109 x+128\right) \mathrm{e}^{x-4}.

1. Déterminer la fonction dérivée \Phi^\prime et la fonction dérivée seconde \Phi^{\prime\prime} pour tout réel x de \Phi.

2. a. Chercher deux racines évidentes de x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+7 x-2.

b. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x \in \mathbb{R},

x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+7 x-2=(x+2)(x-1)\left(a x^{2}+b x+c\right).

c. En déduire le signe de \Phi^{\prime \prime}(x) sur \mathbb{R}.

3. En déduire la convexité de \Phi et les abscisses des éventuels points d'inflexion.

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81
[Calculer.]
Soit \varphi la fonction définie sur \mathbb{R} par :

\varphi(x)=(1+x) \mathrm{e}^{1-x^{2}}.

1. Déterminer la fonction dérivée \varphi^\prime et la fonction dérivée seconde \varphi^{\prime\prime} de \varphi pour tout réel x.

2. Après avoir justifié que, pour tout x \in \mathbb{R}, \varphi^{\prime \prime}(x)=2(x-1)\left(2 x^{2}+4 x+1\right) \mathrm{e}^{1-x^{2}}, étudier la convexité de \varphi et déterminer les abscisses des éventuels points d'inflexion.

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82
[Calculer.]
Soit \varphi la fonction définie sur \mathbb{R} par :

\varphi(x)=(x+1)^{3}(x+2).

1. Déterminer la fonction dérivée \varphi^\prime et la fonction dérivée seconde \varphi^{\prime\prime} de \varphi pour tout réel x.

2. Étudier le signe de \varphi^{\prime \prime}(x) sur \mathbb{R}.

3. En déduire la convexité de \varphi et les abscisses de ses éventuels points d'inflexion.

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83
[Chercher.]
Soit f la fonction définie sur ]0 ;+\infty[ par f(x)=x-\frac{1}{x^{2}}.
\mathcal{C}_f désigne la courbe représentative de f dans un repère orthogonal et \mathcal{T} la tangente au point d'abscisse 2.
Étudier la position relative de \mathcal{C}_f et \mathcal{T}.

Aide

Selon la méthode choisie, on pourra remarquer que, pour tout x>0, -x^{3}+3 x^{2}-4=(x-2)\left(-x^{2}+x+2\right).

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Vrai / Faux

[Communiquer.]

La courbe représentative d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur \mathbb{R} est donnée ci‑dessous.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 84

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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. f^{\prime}(0)=-1

2. f^{\prime}(1)=0

3. f^{\prime \prime}(1)\lt0

4. f^{\prime}(x)>0 sur [2\,; 3].

5. f est convexe sur [0\,; 3].

6. Si f est la fonction dérivée d'une fonction g, alors g est croissante sur [1\,; 3].

7. Si f est la fonction dérivée d'une fonction g, alors g est concave sur [0\,; 0{,}5].

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[Calculer.]

D'après bac ES, Métropole, juin 2014

Efficacité d'un médicament
On injecte un médicament à un patient et on étudie sa concentration durant dix heures dans le sang.
La concentration, en grammes par litre, est représentée par la courbe suivante.

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Partie A : Étude graphique

1. Déterminer la concentration initiale.

2. Déterminer le moment où la concentration devient inférieure à 0{,}5 g·L^{-1}.

3. Déterminer graphiquement l'abscisse du point d'inflexion.

Partie B : Étude algébrique

La concentration peut être modélisée par la fonction \mathrm{C} définie sur [0\,; 10] par \mathrm{C}(x)=0{,}001 x^{3}-0{,}02 x^{2}-0{,}1 x+2 où x représente le temps en heure.

1. Dresser le tableau de variations de \mathrm{C} sur [0\,; 10].

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2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement à 10^{-2} près de la solution de \mathrm{C}(x)=0{,}5.

3. Calculer la dérivée seconde \mathrm{C}^{\prime\prime} sur [0\,; 10] et étudier la convexité de \mathrm{C}.

Partie C : Interprétation des résultats

1. Le médicament n'est plus actif lorsque sa concentration est inférieure à 0{,}5 g·L^{-1}. Au bout de combien d'heures doit-on faire une nouvelle injection ?

2. Au bout de combien de temps la baisse de la concent