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2. Convexité
P.227-230

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Entraînement


2
Convexité





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 45 ; 47 ; 70 ; 75 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 52 ; 58 ; 63 ; 74 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 54 ; 61 ; 80 et 87

65
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la dérivée seconde de et étudier son signe sur .


2. En déduire les variations de la dérivée de sur .

Dessinez ici

3. Étudier la convexité de sur .
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66
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Sachant que pour tout , étudier son signe sur .


2. En déduire la convexité de sur .
Voir la correction

67
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la dérivée seconde de et étudier son signe sur .


2. En déduire la convexité de sur .
Voir la correction

68
FLASH

Soit la fonction définie sur par :
.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 68

1. Sachant que la dérivée seconde de est définie par pour tout réel , en déduire les variations de sur .


2. Déterminer la convexité de sur .
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69
[[Représenter.]
Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur l’intervalle telle que et .
On donne les tableaux de signes de la fonction dérivée et de la fonction dérivée seconde de .

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 69

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 69

Tracer, dans un repère orthogonal, une allure de la courbe représentative de la fonction ainsi que les tangentes horizontales.

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70
[[Représenter.] ◉◉
Soit une fonction définie et dérivable sur l’intervalle dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée .

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 70

1. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

2. Déterminer la convexité de la fonction .


3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction ainsi que les tangentes horizontales.

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71
[[Représenter.]
Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur l’intervalle dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée seconde .

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 71

1. En déduire le signe de pour dresser le tableau de variations de la fonction dérivée sur .


Dessinez ici

2. En déduire la convexité de la fonction et les abscisses des éventuels points d’inflexion.


3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction .

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72
[Représenter.]
Soit la fonction définie sur par .
Sa courbe représentative est tracée dans le repère ci‑dessous ainsi que sa tangente au point d’abscisse .

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 72

1. Déterminer graphiquement la convexité de .


2. Déterminer par le calcul une équation de la tangente à au point d’abscisse .


3. En déduire que, pour tout réel , on a les inégalités et .
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73
[Raisonner.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Conjecturer graphiquement la convexité de .


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .


3. En déduire que, pour tout de , .


4. En déduire que .
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74
[Raisonner.] ◉◉
Soit la fonction exponentielle définie sur .

1. Donner la convexité de sur .


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .


3. En déduire que, pour tout réel , .
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75
[Calculer.] ◉◉
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée et la fonction dérivée seconde de pour tout réel .


2. Étudier le signe de sur .


3. En déduire la convexité de et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
Voir la correction

76
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée et la fonction dérivée seconde pour tout réel strictement positif.


2. Étudier le signe de sur .


3. En déduire la convexité de et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
Voir la correction

77
[Calculer.] ◉◉
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée et la fonction dérivée seconde de pour tout réel .


2. En déduire la convexité de et les abscisses de ses éventuels points d’inflexion.
Voir la correction

78
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée et la fonction dérivée seconde de pour tout réel .


2. Étudier le signe de sur .


3. a. En déduire la convexité de et les abscisses des éventuels points d’inflexion.


b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse .


c. En déduire une inégalité avec la fonction .
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79
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée et la fonction dérivée seconde de pour tout réel .


2. Étudier le signe de sur .


3. En déduire la convexité de et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
Voir la correction

80
[Calculer.] ◉◉◉
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée et la fonction dérivée seconde pour tout réel de .


2. a. Chercher deux racines évidentes de .


b. Déterminer les réels , et tels que, pour tout ,
.


c. En déduire le signe de sur .


3. En déduire la convexité de et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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81
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée et la fonction dérivée seconde de pour tout réel .


2. Après avoir justifié que, pour tout , , étudier la convexité de et déterminer les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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82
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée et la fonction dérivée seconde de pour tout réel .


2. Étudier le signe de sur .


3. En déduire la convexité de et les abscisses de ses éventuels points d’inflexion.
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83
[Chercher.]
Soit la fonction définie sur par .
désigne la courbe représentative de dans un repère orthogonal et la tangente au point d’abscisse .
Étudier la position relative de et .


Aide
Selon la méthode choisie, on pourra remarquer que, pour tout , .
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84
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La courbe représentative d’une fonction définie et deux fois dérivable sur est donnée ci‑dessous.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 84

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1.


2.


3.


4. sur .


5. est convexe sur .


6. Si est la fonction dérivée d’une fonction , alors est croissante sur .


7. Si est la fonction dérivée d’une fonction , alors est concave sur .
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85
[Calculer.] ◉◉
D’après bac ES, Métropole, juin 2014

Efficacité d’un médicament
On injecte un médicament à un patient et on étudie sa concentration durant dix heures dans le sang.
La concentration, en grammes par litre, est représentée par la courbe suivante.

Convexité

Partie A : Étude graphique

1. Déterminer la concentration initiale.


2. Déterminer le moment où la concentration devient inférieure à  g·L.


3. Déterminer graphiquement l’abscisse du point d’inflexion.


Partie B : Étude algébrique

La concentration peut être modélisée par la fonction définie sur par représente le temps en heure.

1. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement à près de la solution de .


3. Calculer la dérivée seconde sur et étudier la convexité de .


Partie C : Interprétation des résultats

1. Le médicament n’est plus actif lorsque sa concentration est inférieure à  g·L. Au bout de combien d’heures doit-on faire une nouvelle injection ?


2. Au bout de combien de temps la baisse de la concentration ralentit‑elle ? Justifier.
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86
EN SES
[Chercher.]
Une entreprise fabrique des calculatrices.
Le coût de production de centaines de calculatrices en milliers d’euros est donné par la fonction définie sur par .

1. Étudier les variations de la fonction sur .


2. Déterminer la dérivée seconde pour tout réel de .


3. On dit que les rendements marginaux décroissent lorsque la fonction devient convexe.
À partir de quelle quantité de production les rendements marginaux diminuent‑ils ? Arrondir à l’unité.


Info

Lorsque les rendements marginaux deviennent décroissants, cela signifie que le coût de production augmente mais moins rapidement. Autrement dit, pour chaque calculatrice supplémentaire produite, le coût de production unitaire est de plus en plus faible.
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87
[Chercher.] ◉◉◉
Une commune des Alpes demande à un ingénieur de modéliser le futur tremplin de saut à ski avec les contraintes suivantes :
  • les tangentes au départ du tremplin et à l’arrivée sont horizontales ;
  • la fonction qui modélise le tremplin est définie sur par avec , , et réels.


maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 87
maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 87

1. a. Déterminer la fonction dérivée sur .


b. Déterminer les nombres dérivés de en et en .


c. En déduire la valeur de ainsi qu’une expression de en fonction de .


2. a. Déterminer les images de et par .


b. Déduire de ce qui précède les valeurs de , et ainsi que l’expression de .


3. a. Étudier la convexité de sur .


b. Déterminer la longueur de la barre de renfort horizontale qui devra toucher le tremplin au point d’inflexion. À quelle hauteur devra‑t‑elle être placée ?



Histoire des maths

La modélisation de courbes de descentes sous certaines contraintes, par exemple que la descente prenne le moins de temps possible (brachistochrone) est l’un des problèmes classiques pour lesquels les mathématiciens comme Jean Bernoulli (en 1697) ont développé les techniques du calcul infinitésimal.

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88
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
On étudie l’évolution du refroidissement d’un matériau chauffé par une industrie en fonction du temps en heure. La fonction définie sur par modélise en degré Celsius la température en fonction de en heure.

Partie A : Conjectures

La fonction est représentée par la courbe ci‑dessous.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 88

1. Conjecturer le sens de variation de la fonction .


2. Conjecturer la convexité de la fonction et les éventuels points d’inflexion.


3. Conjecturer la température minimale atteinte.


Partie B : Étude de la fonction

1. Déterminer la fonction dérivée sur et dresser le tableau de variations de sur .


Dessinez ici

2. a. Déterminer la dérivée seconde sur .


b. Étudier la convexité de sur .


c. Traduire ce résultat en terme de vitesse de refroidissement de l’objet.
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