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2. Convexité
P.227-230

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Entraînement


2
Convexité





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 45 ; 47 ; 70 ; 75 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 52 ; 58 ; 63 ; 74 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 54 ; 61 ; 80 et 87

65
FLASH

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=x4+3x36x2x5f(x)=x^{4}+3 x^{3}-6 x^{2}-x-5.

1. Déterminer la dérivée seconde ff^{\prime\prime} de ff et étudier son signe sur R\mathbb{R}.


2. En déduire les variations de la dérivée ff^\prime de ff sur R\mathbb{R}.

Couleurs
Formes
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3. Étudier la convexité de ff sur R\mathbb{R}.
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66
FLASH

Soit gg la fonction définie sur R\{1}\mathbb{R} \backslash\{1\} par :
g(x)=x+2x1g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}.

1. Sachant que g(x)=6(x1)3g^{\prime \prime}(x)=\dfrac{6}{(x-1)^{3}} pour tout xR\{1}x \in \mathbb{R} \backslash\{1\}, étudier son signe sur R\{1}\mathbb{R}\backslash \{1\}.


2. En déduire la convexité de gg sur R\{1}\mathbb{R} \backslash\{1\}.
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67
FLASH

Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
h(x)=(x23x+2)exh(x)=\left(x^{2}-3 x+2\right) \mathrm{e}^{x}.

1. Déterminer la dérivée seconde hh^{\prime\prime} de hh et étudier son signe sur R\mathbb{R}.


2. En déduire la convexité de hh sur R\mathbb{R}.
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68
FLASH

Soit kk la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
k(x)=x2+2x+5k(x)=\sqrt{x^{2}+2 x+5}.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 68

1. Sachant que la dérivée seconde de kk est définie par k(x)=4(x2+2x+5)x2+2x+5k^{\prime \prime}(x)=\dfrac{4}{\left(x^{2}+2 x+5\right) \sqrt{x^{2}+2 x+5}} pour tout réel xx, en déduire les variations de kk^\prime sur R\mathbb{R}.


2. Déterminer la convexité de kk sur R\mathbb{R}.
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69
[[Représenter.]
Soit ff une fonction définie et deux fois dérivable sur l’intervalle [5;4][-5\,; 4] telle que f(5)=0f(-5)=0 et f(1)=0f(1)=0.
On donne les tableaux de signes de la fonction dérivée ff^\prime et de la fonction dérivée seconde ff^{\prime\prime} de ff.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 69

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 69

Tracer, dans un repère orthogonal, une allure de la courbe représentative de la fonction ff ainsi que les tangentes horizontales.

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70
[[Représenter.] ◉◉
Soit ff une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [6;5][-6\,;5] dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée ff^\prime.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 70

1. Dresser le tableau de variations de ff sur [6;5][-6\,;5].

Couleurs
Formes
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2. Déterminer la convexité de la fonction ff.


3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction ff ainsi que les tangentes horizontales.

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71
[[Représenter.]
Soit ff une fonction définie et deux fois dérivable sur l’intervalle [8;8][-8\,;8] dont on connaît le tableau de variations de la fonction dérivée seconde ff^{\prime\prime}.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 71

1. En déduire le signe de f(x)f^{\prime \prime}(x) pour dresser le tableau de variations de la fonction dérivée ff^\prime sur [8;8][-8\,;8].


Couleurs
Formes
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2. En déduire la convexité de la fonction ff et les abscisses des éventuels points d’inflexion.


3. Tracer, dans un repère, une allure de la courbe représentative de la fonction ff.

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72
[Représenter.]
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=12x23x2f(x)=\dfrac{1}{2} x^{2}-3 x-2.
Sa courbe représentative Cf\mathcal{C}_f est tracée dans le repère ci‑dessous ainsi que sa tangente au point d’abscisse 55.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 72

1. Déterminer graphiquement la convexité de ff.


2. Déterminer par le calcul une équation de la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 55.


3. En déduire que, pour tout réel xx, on a les inégalités 12x23x22x292\dfrac{1}{2} x^{2}-3 x-2 \geqslant 2 x-\dfrac{29}{2} et x210x25x^{2} \geqslant 10 x-25.
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73
[Raisonner.]
Soit ff la fonction définie sur [0 ;+[[0 ;+\infty[ par f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.

1. Conjecturer graphiquement la convexité de ff.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 11.


3. En déduire que, pour tout xx de [0;+[[0\,;+\infty[, x12x+12\sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}.


4. En déduire que 21,5\sqrt{2} \leqslant 1{,}5.
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74
[Raisonner.] ◉◉
Soit ff la fonction exponentielle définie sur R\mathbb{R}.

1. Donner la convexité de ff sur R\mathbb{R}.


2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 11.


3. En déduire que, pour tout réel xx, ex>x\mathrm{e}^{x}>x.
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75
[Calculer.] ◉◉
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=0,25x4x3+5x24f(x)=0{,}25 x^{4}-x^{3}+5 x^{2}-4.

1. Déterminer la fonction dérivée ff^\prime et la fonction dérivée seconde ff^{\prime\prime} de ff pour tout réel xx.


2. Étudier le signe de f(x)f^{\prime \prime}(x) sur R\mathbb{R}.


3. En déduire la convexité de ff et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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76
[Calculer.]
Soit gg la fonction définie sur [0 ;+[[0 ;+\infty[ par :
g(x)=(5x2)xg(x)=\left(5-x^{2}\right) \sqrt{x}.

1. Déterminer la fonction dérivée gg^\prime et la fonction dérivée seconde gg^{\prime\prime} pour tout réel xx strictement positif.


2. Étudier le signe de g(x)g^{\prime \prime}(x) sur ]0 ;+[]0 ;+\infty[.


3. En déduire la convexité de gg et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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77
[Calculer.] ◉◉
Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
h(x)=(2x2)exh(x)=\left(2-x^{2}\right) \mathrm{e}^{x}.

1. Déterminer la fonction dérivée hh^\prime et la fonction dérivée seconde hh^{\prime\prime} de hh pour tout réel xx.


2. En déduire la convexité de hh et les abscisses de ses éventuels points d’inflexion.
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78
[Calculer.]
Soit qq la fonction définie sur R\{1}\mathbb{R} \backslash\{1\} par :
q(x)=ex1xq(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1-x}.

1. Déterminer la fonction dérivée qq^\prime et la fonction dérivée seconde qq^{\prime\prime} de qq pour tout réel x1x \neq 1.


2. Étudier le signe de q(x)q^{\prime \prime}(x) sur R\{1}\mathbb{R} \backslash\{1\}.


3. a. En déduire la convexité de qq et les abscisses des éventuels points d’inflexion.


b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de qq au point d’abscisse 00.


c. En déduire une inégalité avec la fonction qq.
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79
[Calculer.]
Soit pp la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
p(x)=(x24x+5)ex4p(x)=\left(x^{2}-4 x+5\right) \mathrm{e}^{x-4}.

1. Déterminer la fonction dérivée pp^\prime et la fonction dérivée seconde pp^{\prime\prime} de pp pour tout réel xx.


2. Étudier le signe de p(x)p^{\prime \prime}(x) sur R\mathbb{R}.


3. En déduire la convexité de pp et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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80
[Calculer.] ◉◉◉
Soit Φ\Phi la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
Φ(x)=(x410x3+44x2109x+128)ex4\Phi(x)=\left(x^{4}-10 x^{3}+44 x^{2}-109 x+128\right) \mathrm{e}^{x-4}.

1. Déterminer la fonction dérivée Φ\Phi^\prime et la fonction dérivée seconde Φ\Phi^{\prime\prime} pour tout réel xx de Φ\Phi.


2. a. Chercher deux racines évidentes de x42x34x2+7x2x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+7 x-2.


b. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout xRx \in \mathbb{R},
x42x34x2+7x2=(x+2)(x1)(ax2+bx+c)x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+7 x-2=(x+2)(x-1)\left(a x^{2}+b x+c\right).


c. En déduire le signe de Φ(x)\Phi^{\prime \prime}(x) sur R\mathbb{R}.


3. En déduire la convexité de Φ\Phi et les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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81
[Calculer.]
Soit φ\varphi la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
φ(x)=(1+x)e1x2\varphi(x)=(1+x) \mathrm{e}^{1-x^{2}}.

1. Déterminer la fonction dérivée φ\varphi^\prime et la fonction dérivée seconde φ\varphi^{\prime\prime} de φ\varphi pour tout réel xx.


2. Après avoir justifié que, pour tout xRx \in \mathbb{R}, φ(x)=2(x1)(2x2+4x+1)e1x2\varphi^{\prime \prime}(x)=2(x-1)\left(2 x^{2}+4 x+1\right) \mathrm{e}^{1-x^{2}}, étudier la convexité de φ\varphi et déterminer les abscisses des éventuels points d’inflexion.
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82
[Calculer.]
Soit φ\varphi la fonction définie sur R\mathbb{R} par :
φ(x)=(x+1)3(x+2)\varphi(x)=(x+1)^{3}(x+2).

1. Déterminer la fonction dérivée φ\varphi^\prime et la fonction dérivée seconde φ\varphi^{\prime\prime} de φ\varphi pour tout réel xx.


2. Étudier le signe de φ(x)\varphi^{\prime \prime}(x) sur R\mathbb{R}.


3. En déduire la convexité de φ\varphi et les abscisses de ses éventuels points d’inflexion.
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83
[Chercher.]
Soit ff la fonction définie sur ]0 ;+[]0 ;+\infty[ par f(x)=x1x2f(x)=x-\dfrac{1}{x^{2}}.
Cf\mathcal{C}_f désigne la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal et T\mathcal{T} la tangente au point d’abscisse 22.
Étudier la position relative de Cf\mathcal{C}_f et T\mathcal{T}.


Aide
Selon la méthode choisie, on pourra remarquer que, pour tout x>0x>0, x3+3x24=(x2)(x2+x+2)-x^{3}+3 x^{2}-4=(x-2)\left(-x^{2}+x+2\right).
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84
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La courbe représentative d’une fonction ff définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R} est donnée ci‑dessous.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 84

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. f(0)=1f^{\prime}(0)=-1


2. f(1)=0f^{\prime}(1)=0


3. f(1)<0f^{\prime \prime}(1)\lt0


4. f(x)>0f^{\prime}(x)>0 sur [2;3][2\,; 3].


5. ff est convexe sur [0;3][0\,; 3].


6. Si ff est la fonction dérivée d’une fonction gg, alors gg est croissante sur [1;3][1\,; 3].


7. Si ff est la fonction dérivée d’une fonction gg, alors gg est concave sur [0;0,5][0\,; 0{,}5].
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85
[Calculer.] ◉◉
D’après bac ES, Métropole, juin 2014

Efficacité d’un médicament
On injecte un médicament à un patient et on étudie sa concentration durant dix heures dans le sang.
La concentration, en grammes par litre, est représentée par la courbe suivante.

Convexité

Partie A : Étude graphique

1. Déterminer la concentration initiale.


2. Déterminer le moment où la concentration devient inférieure à 0,50{,}5 g·L1^{-1}.


3. Déterminer graphiquement l’abscisse du point d’inflexion.


Partie B : Étude algébrique

La concentration peut être modélisée par la fonction C\mathrm{C} définie sur [0;10][0\,; 10] par C(x)=0,001x30,02x20,1x+2\mathrm{C}(x)=0{,}001 x^{3}-0{,}02 x^{2}-0{,}1 x+2xx représente le temps en heure.

1. Dresser le tableau de variations de C\mathrm{C} sur [0;10][0\,; 10].

Couleurs
Formes
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2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement à 10210^{-2} près de la solution de C(x)=0,5\mathrm{C}(x)=0{,}5.


3. Calculer la dérivée seconde C\mathrm{C}^{\prime\prime} sur [0;10][0\,; 10] et étudier la convexité de C\mathrm{C}.


Partie C : Interprétation des résultats

1. Le médicament n’est plus actif lorsque sa concentration est inférieure à 0,50{,}5 g·L1^{-1}. Au bout de combien d’heures doit-on faire une nouvelle injection ?


2. Au bout de combien de temps la baisse de la concentration ralentit‑elle ? Justifier.
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86
EN SES
[Chercher.]
Une entreprise fabrique des calculatrices.
Le coût de production de xx centaines de calculatrices en milliers d’euros est donné par la fonction C\mathrm{C} définie sur [0;5][0\,; 5] par C(x)=16x374x2+152x+9\mathrm{C}(x)=\dfrac{1}{6} x^{3}-\dfrac{7}{4} x^{2}+\dfrac{15}{2} x+9.

1. Étudier les variations de la fonction C\mathrm{C} sur [0;5][0\,; 5].


2. Déterminer la dérivée seconde C\mathrm{C}^{\prime\prime} pour tout réel xx de [0;5][0\,; 5].


3. On dit que les rendements marginaux décroissent lorsque la fonction C\mathrm{C} devient convexe.
À partir de quelle quantité de production les rendements marginaux diminuent‑ils ? Arrondir à l’unité.


Info

Lorsque les rendements marginaux deviennent décroissants, cela signifie que le coût de production augmente mais moins rapidement. Autrement dit, pour chaque calculatrice supplémentaire produite, le coût de production unitaire est de plus en plus faible.
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87
[Chercher.] ◉◉◉
Une commune des Alpes demande à un ingénieur de modéliser le futur tremplin de saut à ski avec les contraintes suivantes :
  • les tangentes au départ du tremplin et à l’arrivée sont horizontales ;
  • la fonction qui modélise le tremplin est définie sur [0;60][0\,; 60] par f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d avec aa, bb, cc et dd réels.


maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 87
maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 87

1. a. Déterminer la fonction dérivée ff^\prime sur [0;60][0\,; 60].


b. Déterminer les nombres dérivés de ff en 00 et en 6060.


c. En déduire la valeur de cc ainsi qu’une expression de bb en fonction de aa.


2. a. Déterminer les images de 00 et 6060 par ff.


b. Déduire de ce qui précède les valeurs de aa, bb et dd ainsi que l’expression de f(x)f(x).


3. a. Étudier la convexité de ff sur [0;60][0\,; 60].


b. Déterminer la longueur de la barre de renfort horizontale qui devra toucher le tremplin au point d’inflexion. À quelle hauteur devra‑t‑elle être placée ?



Histoire des maths

La modélisation de courbes de descentes sous certaines contraintes, par exemple que la descente prenne le moins de temps possible (brachistochrone) est l’un des problèmes classiques pour lesquels les mathématiciens comme Jean Bernoulli (en 1697) ont développé les techniques du calcul infinitésimal.

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88
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
On étudie l’évolution du refroidissement d’un matériau chauffé par une industrie en fonction du temps en heure. La fonction ff définie sur [0;24][0\,; 24] par f(t)=100e0,2t+15f(t)=100 \mathrm{e}^{-0,2 t}+15 modélise en degré Celsius la température en fonction de tt en heure.

Partie A : Conjectures

La fonction ff est représentée par la courbe ci‑dessous.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - exercice 88

1. Conjecturer le sens de variation de la fonction ff.


2. Conjecturer la convexité de la fonction ff et les éventuels points d’inflexion.


3. Conjecturer la température minimale atteinte.


Partie B : Étude de la fonction

1. Déterminer la fonction dérivée ff^\prime sur [0;24][0\,; 24] et dresser le tableau de variations de ff sur [0;24][0\,; 24].


Couleurs
Formes
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2. a. Déterminer la dérivée seconde ff^{\prime\prime} sur [0;24][0\,; 24].


b. Étudier la convexité de ff sur [0;24][0\,; 24].


c. Traduire ce résultat en terme de vitesse de refroidissement de l’objet.
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