Pour les exercices

7

à 

9

Soit $g$ la fonction définie sur $[1;5]$ dont la courbe représentative est tracée ci‑dessous.

7

Que vaut $g^{\prime }(3)$ ?
a. $g^{\prime }(3)=-3$

b. $g^{\prime }(3)=\frac{3}{2}$

c. $g^{\prime }(3)=-1$

d. $g^{\prime }(3)=-\frac{3}{2}$

8

La fonction $g$ semble convexe sur l’intervalle :
a. $[2;4]$
b. $[1;3]$
c. $[1;2]$
d. $[3;5]$

9

On note $g^{\prime \prime }$ la dérivée de $g^{\prime }$. On a alors :
a. $g^{\prime \prime }(3)=3$
b. $g^{\prime \prime }(2)=0$
c. $g^{\prime \prime }(3)=0$
d. $g^{\prime \prime }(4)=0$

10

La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{3x^2+6x+4}$ est :
a. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{3x^2+6x+4}}$

b. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{6x+6}{\sqrt{3x^2+6x+4}}$

c. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{3x+3}{\sqrt{3x^2+6x+4}}$

d. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{3x^2+6x+4}}$

11

La fonction dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\mathrm{e}}^{5x+7}\times \left(2x^2+4x+6\right)$ et $x\mapsto \dots$ :

×

a. ${\mathrm{e}}^{5x+7}\left(2x^2+4x+6\right)+{\mathrm{e}}^{5x+7}(4x+4)$

×

b. $2\left(5x^2+12x+17\right){\mathrm{e}}^{5x+7}$

×

c. $5{\mathrm{e}}^{5x+7}\left(2x^2+4x+6\right)+{\mathrm{e}}^{5x+7}(4x+4)$

d. $5{\mathrm{e}}^{5x+7}(4x+4)$

12

La fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=\sqrt{x^2+1}$ est :

×

a. croissante sur $\mathbb{R}$.

×

b. croissante sur $[0;+\infty [$.

×

c. convexe sur $[0;+\infty [$.

×

d. convexe sur $\mathbb{R}$.

13

La fonction $\ell$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\ell (x)={\left(x^2-5x+4\right)}^2$ :

×

a. admet un point d’inflexion.

×

b. admet deux points d’inflexion.

×

c. admet trois tangentes horizontales.

×

d. admet quatre tangentes horizontales.

14

La fonction $m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $m(x)={\mathrm{e}}^{x^2-2x+3}$ :

×

a. admet pour fonction dérivée $m^{\prime }:x\mapsto 2(x-1){\mathrm{e}}^{x^2-2x+3}$.

×

b. admet pour fonction dérivée $m^{\prime }:x\mapsto {\mathrm{e}}^{2x-2}$.

×

c. est concave sur $\mathbb{R}$.

×

d. est convexe sur $\mathbb{R}$.

15

Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=x^3-5x^2+8x-3$.

1. Étudier les variations de $p$ sur $\mathbb{R}$.


2. Étudier la convexité de $p$ sur $\mathbb{R}$.


3. Quelles sont les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de $p$ ? Justifier.

A

Vrai ou faux ? Soient $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $\text{I}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. La dérivée de $u^n$ est $u^{n-1}$.

a. Vrai
b. Faux

B

Soit $f:x\mapsto a{x}^2+bx+c$ une fonction polynomiale du second degré telle que $a\ne 0$. On pose $\Delta =b^2-4ac$.
Laquelle de ces conditions est nécessaire et suffisante pour que la fonction $f$ soit convexe sur $\mathbb{R}$ ?

a. $a>0$
b. $a<0$
c. $\Delta >0$
d. $\Delta <0$

C

On considère la fonction $f:x\mapsto 2x^4-4x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.

a. La fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
b. La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$.
c. La fonction $f$ admet un point d’inflexion.
d. La fonction $f$ admet deux points d’inflexion.

D

Une écriture de la dérivée de la fonction $f:x\mapsto {\text{e}}^{\sqrt{x^2+3}}$ est :

a. $f^{\prime }:x\mapsto \sqrt{x^2+3}{\text{e}}^{\sqrt{x^2+3}}$.

b. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{x{\text{e}}^{\sqrt{x^2+3}}}{\sqrt{x^2+3}}$.

c. $f^{\prime }:x\mapsto {\text{e}}^{\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}}$.

d. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{x{\text{e}}^{\sqrt{x^2+3}}}{2\sqrt{x^2+3}}$.

E

Que peut-on dire des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\left[2;+\infty \right[$ par $f(x)=\sqrt{x+2}$ et $g(x)=\frac{\sqrt{2}}{4}x+\sqrt{2}$ ?

a. Pour tout $x\in \left[2;+\infty \right[$, $f(x)⩾g(x)$.
b. Pour tout $x\in \left[2;+\infty \right[$, $g(x)⩾f(x)$.
c. On ne peut rien dire à ce sujet.

F

Une écriture de la dérivée de la fonction $f:x\mapsto \frac{2}{{\text{e}}^{2x+3}}$ est :

×

a. $f^{\prime }:x\mapsto -4{\text{e}}^{-2x}{\text{e}}^{-3}$.

b. $f^{\prime }:x\mapsto -\frac{2{\text{e}}^2}{{\text{e}}^{(2x+3{)}^2}}$.

×

c. $f^{\prime }:x\mapsto -\frac{4}{{\text{e}}^{2x+3}}$.

d. $f^{\prime }:x\mapsto -\frac{4{\text{e}}^{2x+3}}{{\text{e}}^{(2x+3{)}^2}}$.

G

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\text{e}}^{x^3+1}$ est convexe sur :

×

a. $[0;1]$.

×

b. $[0;+\infty [$.

×

c. $]-\infty ;0[$.

×

d. $]-\infty ;+\infty [$.

H

Combien de points d’inflexions peut posséder la courbe représentative d’une fonction polynomiale du quatrième degré ?

×

a. $0$

×

b. $1$

×

c. $2$

d. $3$