Auto-évaluation

Pour les exercices

7

à 

9

Soit $g$ la fonction définie sur $[1\,; 5]$ dont la courbe représentative est tracée ci‑dessous.

7

Que vaut $g^\prime(3)$ ?
a. $g^{\prime}(3)=-3$

b. $g^{\prime}(3)=\dfrac{3}{2}$

c. $g^{\prime}(3)=-1$

d. $g^{\prime}(3)=-\dfrac{3}{2}$

8

La fonction $g$ semble convexe sur l’intervalle :
a. $[2\,; 4]$
b. $[1\,; 3]$
c. $[1\,; 2]$
d. $[3\,; 5]$

9

On note $g^{\prime\prime}$ la dérivée de $g^\prime$. On a alors :
a. $g^{\prime \prime}(3)=3$
b. $g^{\prime \prime}(2)=0$
c. $g^{\prime \prime}(3)=0$
d. $g^{\prime \prime}(4)=0$

10

La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{3 x^{2}+6 x+4}$ est :
a. $f^{\prime}: x \mapsto \dfrac{1}{2 \sqrt{3 x^{2}+6 x+4}}$

b. $f^{\prime}: x \mapsto \dfrac{6 x+6}{\sqrt{3 x^{2}+6 x+4}}$

c. $f^{\prime}: x \mapsto \dfrac{3 x+3}{\sqrt{3 x^{2}+6 x+4}}$

d. $f^{\prime}: x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3 x^{2}+6 x+4}}$

11

La fonction dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\mathrm{e}^{5 x+7} \times\left(2 x^{2}+4 x+6\right)$ et $x \mapsto \ldots$ :

×

a. $\mathrm{e}^{5 x+7}\left(2 x^{2}+4 x+6\right)+\mathrm{e}^{5 x+7}(4 x+4)$

×

b. $2\left(5 x^{2}+12 x+17\right) \mathrm{e}^{5 x+7}$

×

c. $5 \mathrm{e}^{5 x+7}\left(2 x^{2}+4 x+6\right)+\mathrm{e}^{5 x+7}(4 x+4)$

d. $5 \mathrm{e}^{5 x+7}(4 x+4)$

12

La fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=\sqrt{x^{2}+1}$ est :

×

a. croissante sur $\mathbb{R}$.

×

b. croissante sur $[0\,; +\infty[$.

×

c. convexe sur $[0\,; +\infty[$.

×

d. convexe sur $\mathbb{R}$.

13

La fonction $\ell$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\ell(x)=\left(x^{2}-5 x+4\right)^{2}$ :

×

a. admet un point d’inflexion.

×

b. admet deux points d’inflexion.

×

c. admet trois tangentes horizontales.

×

d. admet quatre tangentes horizontales.

14

La fonction $m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $m(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-2 x+3}$ :

×

a. admet pour fonction dérivée $m^{\prime}: x \mapsto 2(x-1) \mathrm{e}^{x^{2}-2 x+3}$.

×

b. admet pour fonction dérivée $m^{\prime}: x \mapsto \mathrm{e}^{2 x-2}$.

×

c. est concave sur $\mathbb{R}$.

×

d. est convexe sur $\mathbb{R}$.

15

Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=x^{3}-5 x^{2}+8 x-3$.

1. Étudier les variations de $p$ sur $\mathbb{R}$.


2. Étudier la convexité de $p$ sur $\mathbb{R}$.


3. Quelles sont les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de $p$ ? Justifier.

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Formes

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A

Vrai ou faux ? Soient $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $\text{I}$ et $n \in \mathbb{N}^*$. La dérivée de $u^n$ est $u^{n-1}$.

a. Vrai
b. Faux

B

Soit $f \colon x \mapsto ax^2 + bx + c$ une fonction polynomiale du second degré telle que $a \ne 0$. On pose $\Delta = b^2 - 4ac$.
Laquelle de ces conditions est nécessaire et suffisante pour que la fonction $f$ soit convexe sur $\mathbb{R}$ ?

a. $a > 0$
b. $a < 0$
c. $\Delta > 0$
d. $\Delta < 0$

C

On considère la fonction $f \colon x \mapsto 2x^4 - 4x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.

a. La fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
b. La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$.
c. La fonction $f$ admet un point d’inflexion.
d. La fonction $f$ admet deux points d’inflexion.

D

Une écriture de la dérivée de la fonction $f \colon x \mapsto \text{e}^{\sqrt{x^2+3}}$ est :

a. $f' \colon x \mapsto \sqrt{x^2+3} \text{e}^{\sqrt{x^2+3}}$.

b. $f' \colon x \mapsto \dfrac{x \text{e}^{\sqrt{x^2+3}}}{\sqrt{x^2+3}}$.

c. $f' \colon x \mapsto \text{e}^{\dfrac{1}{2 \sqrt{x^2+3}}}$.

d. $f' \colon x \mapsto \dfrac{x \text{e}^{\sqrt{x^2+3}}}{2 \sqrt{x^2+3}}$.

E

Que peut-on dire des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\left[2 \: ; + \infty \right[$ par $f(x) = \sqrt{x+2}$ et $g(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{4} x + \sqrt{2}$ ?

a. Pour tout $x \in \left[2 \: ; + \infty \right[$, $f(x) \geqslant g(x)$.
b. Pour tout $x \in \left[2 \: ; + \infty \right[$, $g(x) \geqslant f(x)$.
c. On ne peut rien dire à ce sujet.

F

Une écriture de la dérivée de la fonction $f \colon x \mapsto \dfrac{2}{\text{e}^{2x+3}}$ est :

×

a. $f' \colon x \mapsto -4\text{e}^{-2x} \text{e}^{-3}$.

b. $f' \colon x \mapsto - \dfrac{2 \text{e}^{2}}{\text{e}^{(2x+3)^2}}$.

×

c. $f' \colon x \mapsto - \dfrac{4}{\text{e}^{2x+3}}$.

d. $f' \colon x \mapsto - \dfrac{4 \text{e}^{2x+3}}{\text{e}^{(2x+3)^2}}$.

G

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{x^3+1}$ est convexe sur :

×

a. $[0 \: ;1]$.

×

b. $[0 \: ; + \infty [$.

×

c. $] - \infty \: ; 0 [$.

×

d. $] - \infty \: ; + \infty [$.

H

Combien de points d’inflexions peut posséder la courbe représentative d’une fonction polynomiale du quatrième degré ?

×

a. $0$

×

b. $1$

×

c. $2$

d. $3$