Exercices d'auto‑évaluation

7

Que vaut g^\prime(3) ?

a. g^{\prime}(3)=-3

b. g^{\prime}(3)=\frac{3}{2}

c. g^{\prime}(3)=-1

d. g^{\prime}(3)=-\frac{3}{2}

8

La fonction g semble convexe sur l'intervalle :

a. [2\,; 4]

b. [1\,; 3]

c. [1\,; 2]

d. [3\,; 5]

9

On note g^{\prime\prime} la dérivée de g^\prime. On a alors :

a. g^{\prime \prime}(3)=3

b. g^{\prime \prime}(2)=0

c. g^{\prime \prime}(3)=0

d. g^{\prime \prime}(4)=0

10

La dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\sqrt{3 x^{2}+6 x+4} est :

a. f^{\prime}: x \mapsto \frac{1}{2 \sqrt{3 x^{2}+6 x+4}}

b. f^{\prime}: x \mapsto \frac{6 x+6}{\sqrt{3 x^{2}+6 x+4}}

c. f^{\prime}: x \mapsto \frac{3 x+3}{\sqrt{3 x^{2}+6 x+4}}

d. f^{\prime}: x \mapsto \frac{1}{\sqrt{3 x^{2}+6 x+4}}

11

La fonction dérivée de la fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x)=\mathrm{e}^{5 x+7} \times\left(2 x^{2}+4 x+6\right) et x \mapsto \ldots :

a. \mathrm{e}^{5 x+7}\left(2 x^{2}+4 x+6\right)+\mathrm{e}^{5 x+7}(4 x+4)

b. 2\left(5 x^{2}+12 x+17\right) \mathrm{e}^{5 x+7}

c. 5 \mathrm{e}^{5 x+7}\left(2 x^{2}+4 x+6\right)+\mathrm{e}^{5 x+7}(4 x+4)

d. 5 \mathrm{e}^{5 x+7}(4 x+4)

12

La fonction k définie sur \mathbb{R} par k(x)=\sqrt{x^{2}+1} est :

a. croissante sur \mathbb{R}.

b. croissante sur [0\,; +\infty[.

c. convexe sur [0\,; +\infty[.

d. convexe sur \mathbb{R}.

13

La fonction \ell définie sur \mathbb{R} par \ell(x)=\left(x^{2}-5 x+4\right)^{2} :

a. admet un point d'inflexion.

b. admet deux points d'inflexion.

c. admet trois tangentes horizontales.

d. admet quatre tangentes horizontales.

14

La fonction m définie sur \mathbb{R} par m(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-2 x+3} :

a. admet pour fonction dérivée m^{\prime}: x \mapsto 2(x-1) \mathrm{e}^{x^{2}-2 x+3}.

b. admet pour fonction dérivée m^{\prime}: x \mapsto \mathrm{e}^{2 x-2}.

c. est concave sur \mathbb{R}.

d. est convexe sur \mathbb{R}.

A

Vrai ou faux ? Soient u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} et n \in \mathbb{N}^*. La dérivée de u^n est u^{n-1}.

a. Vrai

b. Faux

B

Soit f \colon x \mapsto ax^2 + bx + c une fonction polynomiale du second degré telle que a \ne 0. On pose \Delta = b^2 - 4ac.
Laquelle de ces conditions est nécessaire et suffisante pour que la fonction f soit convexe sur \mathbb{R} ?

a. a > 0

b. a < 0

c. \Delta > 0

d. \Delta < 0

C

On considère la fonction f \colon x \mapsto 2x^4 - 4x^2 définie sur \mathbb{R}.

a. La fonction f est convexe sur \mathbb{R}.

b. La fonction f est concave sur \mathbb{R}.

c. La fonction f admet un point d'inflexion.

d. La fonction f admet deux points d'inflexion.

D

Une écriture de la dérivée de la fonction f \colon x \mapsto \text{e}^{\sqrt{x^2+3}} est :

a. f' \colon x \mapsto \sqrt{x^2+3} \text{e}^{\sqrt{x^2+3}}.

b. f' \colon x \mapsto \dfrac{x \text{e}^{\sqrt{x^2+3}}}{\sqrt{x^2+3}}.

c. f' \colon x \mapsto \text{e}^{\dfrac{1}{2 \sqrt{x^2+3}}}.

d. f' \colon x \mapsto \dfrac{x \text{e}^{\sqrt{x^2+3}}}{2 \sqrt{x^2+3}}.

E

Que peut-on dire des fonctions f et g définies sur \left[2 \: ; + \infty \right[ par f(x) = \sqrt{x+2} et g(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{4} x + \sqrt{2} ?

a. Pour tout x \in \left[2 \: ; + \infty \right[, f(x) \geqslant g(x).

b. Pour tout x \in \left[2 \: ; + \infty \right[, g(x) \geqslant f(x).

c. On ne peut rien dire à ce sujet.

F

Une écriture de la dérivée de la fonction f \colon x \mapsto \dfrac{2}{\text{e}^{2x+3}} est :

a. f' \colon x \mapsto -4\text{e}^{-2x} \text{e}^{-3}.

b. f' \colon x \mapsto - \dfrac{2 \text{e}^{2}}{\text{e}^{(2x+3)^2}}.

c. f' \colon x \mapsto - \dfrac{4}{\text{e}^{2x+3}}.

d. f' \colon x \mapsto - \dfrac{4 \text{e}^{2x+3}}{\text{e}^{(2x+3)^2}}.

G

La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \text{e}^{x^3+1} est convexe sur :

a. [0 \: ;1].

b. [0 \: ; + \infty [.

c. ] - \infty \: ; 0 [.

d. ] - \infty \: ; + \infty [.

H

Combien de points d'inflexions peut posséder la courbe représentative d'une fonction polynomiale du quatrième degré ?

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3