Lorsque la courbe représentative de $f$ est située au‑dessus de chacune de ses sécantes entre les deux points d'intersection, on dit que $f$ est concave.

La fonction carré, dont le graphe est donné dans la définition ci‑dessus, est une fonction convexe sur $\mathbb{R}$.

Soient $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $\mathrm{I}$ et $a\in \mathrm{I}$.
${\mathcal{C}}_f$ est sa courbe représentative dans un repère et $\mathcal{T}$ est la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a$.
Montrons par exemple que si $f^{\prime \prime }$ est positive sur $\mathrm{I}$, alors $f$ est convexe sur $\mathrm{I}$.
Supposons que, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $f^{\prime \prime }(x)>0$. Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathrm{I}$ par :
$\phi (x)=f(x)-\left(f^{\prime }(a)\times (x-a)+f(a)\right)=f(x)-f^{\prime }(a)\times (x-a)-f(a)$.
Comme $f$ est deux fois dérivable sur $\mathrm{I}$, $\phi$ l'est également et on a, pour tout $x\in \mathrm{I}$, ${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(a)$ et ${\phi }^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)$.
Ainsi, ${\phi }^{\prime \prime }(x)>0$ (car $f^{\prime \prime }(x)>0$ par hypothèse) et donc ${\phi }^{\prime }$ est croissante sur $\mathrm{I}$.

• Si $x>a$, alors on a ${\phi }^{\prime }(x)>{\phi }^{\prime }(a)$. Or ${\phi }^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-f^{\prime }(a)=0.$ D'où ${\phi }^{\prime }(x)>0$.
  Alors $\phi$ est croissante. On a donc $\phi (x)>\phi (a)$.
  Or $\phi (a)=f(a)-f^{\prime }(a)\times (a-a)-f(a)=0$ d'où $\phi (x)>0$.
  Ainsi, $f(x)-\left(f^{\prime }(a)\times (x-a)+f(a)\right)>0$ donc $f(x)>f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ et donc ${\mathcal{C}}_f$ est au‑dessus de $\mathcal{T}$.
• Si $x<a$, alors on a ${\phi }^{\prime }(x)<{\phi }^{\prime }(a).$ Or ${\phi }^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-f^{\prime }(a)=0.$ D'où ${\phi }^{\prime }(x)<0.$
  Alors $\phi$ est décroissante. On a donc $\phi (x)>\phi (a)$.
  Or $\phi (a)=f(a)-f^{\prime }(a)\times (a-a)-f(a)=0$ d'où $\phi (x)>0$.
  On en déduit que ${\mathcal{C}}_f$ est au‑dessus de $\mathcal{T}$.

Dans les deux cas, ${\mathcal{C}}_f$ est au‑dessus de $\mathcal{T}$ et donc $f$ est convexe.

Une équation de la tangente $\mathcal{T}$ est $y=f^{\prime }(a)\times (x-a)+f(a)$.

• L'équivalence entre les points 1. et 2. est admise.
• Les points 3. et 4. sont équivalents car $f^{\prime \prime }$ est la dérivée de $f^{\prime }$.

Un point d'inflexion est un point où la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente. Lorsque la courbe représentative d'une fonction admet un point d'inflexion, la fonction change de convexité : une fonction convexe devient concave ou inversement en ce point.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $\text{I}$. La courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$ si, et seulement si, $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe en $a$.

$f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe en $a$ si, et seulement si, $f^{\prime }$ change de sens de variation en $a$. Donc $f$ change de convexité en $a$ et la fonction $f$ admet alors un point d'inflexion en $a$.

1. $f$ est un polynôme de degré $3$ donc $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
On a, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=3x^2+6x+0,5$ et $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$.
Une étude du signe de $f^{\prime \prime }$ donne que $f^{\prime \prime }$ est négative sur $]-\infty ;-1]$ et positive sur $[-1;+\infty [$.
Ainsi, $f$ est concave sur $]-\infty ;-1]$ et convexe sur $[-1;+\infty [$.

2. $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe en $-1$ donc il existe un unique point d'inflexion de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $-1$.

Exercices

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,

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et

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p. 223