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2. Convexité
P.216-217

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COURS 2


2
Convexité




A
Fonctions convexes


Définition

Soient ff une fonction définie sur un intervalle I\text{I} et Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On dit que ff est convexe sur I\boldsymbol{\mathrm{I}} lorsque sa courbe représentative est située en‑dessous de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - Cours - Fonction convexe

Remarque

Lorsque la courbe représentative de ff est située au‑dessus de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection, on dit que ff est concave.

Exemple

La fonction carré, dont le graphe est donné dans la définition ci‑dessus, est une fonction convexe sur R\mathbb{R}.

Propriété

Soit ff une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I\text{I}.
Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
1. ff est convexe sur I\text{I} ;
2. la courbe représentative de ff est entièrement située au‑dessus de ses tangentes ;
3. ff^\prime est croissante sur I\text{I} ;
4. ff^{\prime\prime} est positive sur I\text{I}.

Remarque

ff est concave sur I\text{I} si, et seulement si, ff^\prime est décroissante sur I\text{I} si, et seulement si, ff^{\prime\prime} est négative sur I\text{I}.

DÉMONSTRATION

Soient ff une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I\mathrm{I} et aIa \in \mathrm{I}.
Cf\mathcal{C}_f est sa courbe représentative dans un repère et T\mathcal{T} est la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse aa.
Montrons par exemple que si ff^{\prime\prime} est positive sur I\mathrm{I}, alors ff est convexe sur I\mathrm{I}.
Supposons que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, f(x)>0f^{\prime \prime}(x)>0. Soit φ\varphi la fonction définie sur I\mathrm{I} par :
φ(x)=f(x)(f(a)×(xa)+f(a))=f(x)f(a)×(xa)f(a)\varphi(x)=f(x)-\left(f^{\prime}(a) \times(x-a)+f(a)\right)=f(x)-f^{\prime}(a) \times(x-a)-f(a).
Comme ff est deux fois dérivable sur I\mathrm{I}, φ\varphi l’est également et on a, pour tout xIx \in \mathrm{I}, φ(x)=f(x)f(a)\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}(a) et φ(x)=f(x)\varphi^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x).
Ainsi, φ(x)>0\varphi^{\prime \prime}(x)>0 (car f(x)>0f^{\prime \prime}(x)>0 par hypothèse) et donc φ\varphi^{\prime} est croissante sur I\mathrm{I}.
  • Si x>ax > a, alors on a φ(x)>φ(a)\varphi^{\prime}(x)>\varphi^{\prime}(a). Or φ(a)=f(a)f(a)=0.\varphi^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a)=0. D’où φ(x)>0\varphi^{\prime}(x)>0.
    Alors φ\varphi est croissante. On a donc φ(x)>φ(a)\varphi(x)>\varphi(a).
    Or φ(a)=f(a)f(a)×(aa)f(a)=0\varphi(a)=f(a)-f^{\prime}(a) \times(a-a)-f(a)=0 d'où φ(x)>0\varphi(x)>0.
    Ainsi, f(x)(f(a)×(xa)+f(a))>0f(x)-\left(f^{\prime}(a) \times(x-a)+f(a)\right)>0 donc f(x)>f(a)(xa)+f(a)f(x)>f^{\prime}(a)(x-a)+f(a) et donc Cf\mathcal{C}_f est au‑dessus de T\mathcal{T}.
  • Si x<ax \lt a, alors on a φ(x)<φ(a).\varphi^{\prime}(x)\lt\varphi^{\prime}(a). Or φ(a)=f(a)f(a)=0.\varphi^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a)=0. D'où φ(x)<0.\varphi^{\prime}(x)\lt 0.
    Alors φ\varphi est décroissante. On a donc φ(x)>φ(a)\varphi(x)>\varphi(a).
    Or φ(a)=f(a)f(a)×(aa)f(a)=0\varphi(a)=f(a)-f^{\prime}(a) \times(a-a)-f(a)=0 d'où φ(x)>0\varphi(x)>0.
    On en déduit que Cf\mathcal{C}_f est au‑dessus de T\mathcal{T}.
Dans les deux cas, Cf\mathcal{C}_f est au‑dessus de T\mathcal{T} et donc ff est convexe.

Rappel

Une équation de la tangente T\mathcal{T} est y=f(a)×(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a) \times(x-a)+f(a).

Remarques

  • L'équivalence entre les points 1. et 2. est admise.
  • Les points 3. et 4. sont équivalents car ff^{\prime\prime} est la dérivée de ff^\prime.

B
Point d’inflexion


Définition

Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative d’une fonction traverse sa tangente. Lorsque la courbe représentative d’une fonction admet un point d’inflexion, la fonction change de convexité : une fonction convexe devient concave ou inversement en ce point.

Exemple

La fonction cube xx3x \mapsto x^{3} admet un point d’inflexion en 00. En ce point, la courbe représentative de la fonction traverse sa tangente.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - Cours - Point d'inflexion

Propriété

Soit ff une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I\text{I}. La courbe représentative de la fonction ff admet un point d’inflexion au point d’abscisse aa si, et seulement si, ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en aa.

DÉMONSTRATION

ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en aa si, et seulement si, ff^\prime change de sens de variation en aa. Donc ff change de convexité en aa et la fonction ff admet alors un point d’inflexion en aa.

Application et méthode - 2

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3+3x2+0,5x+1f(x)=x^{3}+3 x^{2}+0{,}5 x+1.
1. Établir la convexité de la fonction ff.
2. Déterminer les abscisses des points d’inflexion de la courbe représentative de ff.

Solution

1. ff est un polynôme de degré 33 donc ff est deux fois dérivable sur R\mathbb{R}.
On a, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=3x2+6x+0,5f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 x+0{,}5 et f(x)=6x+6f^{\prime \prime}(x)=6 x+6.
Une étude du signe de ff^{\prime\prime} donne que ff^{\prime\prime} est négative sur ];1]]-\infty\,;-1] et positive sur [1;+[[-1\,;+\infty[.
Ainsi, ff est concave sur ];1]]-\infty\,;-1] et convexe sur [1;+[[-1\,;+\infty[.

2. ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en 1-1 donc il existe un unique point d’inflexion de la courbe représentative de ff d’abscisse 1-1.

Pour s'entraîner : exercices 33, 34 et 35 p. 223

Méthode

  • On vérifie que ff est deux fois dérivable sur l’intervalle étudié ;
  • on calcule ff^{\prime\prime} ;
  • on étudie le signe de ff^{\prime\prime} qui donne la convexité de ff ;
  • les abscisses des points d’inflexion sont les valeurs de xx pour lesquelles ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe.

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