Lorsque la courbe représentative de $f$ est située au‑dessus de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection, on dit que $f$ est concave.

Exemple

La fonction carré, dont le graphe est donné dans la définition ci‑dessus, est une fonction convexe sur $\mathbb{R}$.

$f$ est concave sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^{\prime }$ est décroissante sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^{\prime \prime }$ est négative sur $\text{I}$.

DÉMONSTRATION

Soient $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $\mathrm{I}$ et $a\in \mathrm{I}$.
${\mathcal{C}}_f$ est sa courbe représentative dans un repère et $\mathcal{T}$ est la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d’abscisse $a$.
Montrons par exemple que si $f^{\prime \prime }$ est positive sur $\mathrm{I}$, alors $f$ est convexe sur $\mathrm{I}$.
Supposons que, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $f^{\prime \prime }(x)>0$. Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathrm{I}$ par :
$\phi (x)=f(x)-\left(f^{\prime }(a)\times (x-a)+f(a)\right)=f(x)-f^{\prime }(a)\times (x-a)-f(a)$.
Comme $f$ est deux fois dérivable sur $\mathrm{I}$, $\phi$ l’est également et on a, pour tout $x\in \mathrm{I}$, ${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(a)$ et ${\phi }^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)$.
Ainsi, ${\phi }^{\prime \prime }(x)>0$ (car $f^{\prime \prime }(x)>0$ par hypothèse) et donc ${\phi }^{\prime }$ est croissante sur $\mathrm{I}$.

• Si $x>a$, alors on a ${\phi }^{\prime }(x)>{\phi }^{\prime }(a)$. Or ${\phi }^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-f^{\prime }(a)=0.$ D’où ${\phi }^{\prime }(x)>0$.
  Alors $\phi$ est croissante. On a donc $\phi (x)>\phi (a)$.
  Or $\phi (a)=f(a)-f^{\prime }(a)\times (a-a)-f(a)=0$ d'où $\phi (x)>0$.
  Ainsi, $f(x)-\left(f^{\prime }(a)\times (x-a)+f(a)\right)>0$ donc $f(x)>f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ et donc ${\mathcal{C}}_f$ est au‑dessus de $\mathcal{T}$.
• Si $x<a$, alors on a ${\phi }^{\prime }(x)<{\phi }^{\prime }(a).$ Or ${\phi }^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-f^{\prime }(a)=0.$ D'où ${\phi }^{\prime }(x)<0.$
  Alors $\phi$ est décroissante. On a donc $\phi (x)>\phi (a)$.
  Or $\phi (a)=f(a)-f^{\prime }(a)\times (a-a)-f(a)=0$ d'où $\phi (x)>0$.
  On en déduit que ${\mathcal{C}}_f$ est au‑dessus de $\mathcal{T}$.

Dans les deux cas, ${\mathcal{C}}_f$ est au‑dessus de $\mathcal{T}$ et donc $f$ est convexe.

Une équation de la tangente $\mathcal{T}$ est $y=f^{\prime }(a)\times (x-a)+f(a)$.

• L'équivalence entre les points 1. et 2. est admise.
• Les points 3. et 4. sont équivalents car $f^{\prime \prime }$ est la dérivée de $f^{\prime }$.

Exemple

La fonction cube $x\mapsto x^3$ admet un point d’inflexion en $0$. En ce point, la courbe représentative de la fonction traverse sa tangente.

DÉMONSTRATION

$f^{\prime \prime }$ s’annule en changeant de signe en $a$ si, et seulement si, $f^{\prime }$ change de sens de variation en $a$. Donc $f$ change de convexité en $a$ et la fonction $f$ admet alors un point d’inflexion en $a$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+3x^2+0,5x+1$.
1. Établir la convexité de la fonction $f$.
2. Déterminer les abscisses des points d’inflexion de la courbe représentative de $f$.