Mathématiques Terminale Spécialité
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Cours 2

Convexité

A
Fonctions convexes

Définition
Soient une fonction définie sur un intervalle et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On dit que est convexe sur lorsque sa courbe représentative est située en‑dessous de chacune de ses sécantes entre les deux points d'intersection.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - Cours - Fonction convexe
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

Lorsque la courbe représentative de est située au‑dessus de chacune de ses sécantes entre les deux points d'intersection, on dit que est concave.
Exemple
La fonction carré, dont le graphe est donné dans la définition ci‑dessus, est une fonction convexe sur .
Propriété
Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle .
Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
1. est convexe sur  ;
2. la courbe représentative de est entièrement située au‑dessus de ses tangentes ;
3. est croissante sur  ;
4. est positive sur .

Remarque

est concave sur si, et seulement si, est décroissante sur si, et seulement si, est négative sur .
Démonstration
Soient une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle et .
est sa courbe représentative dans un repère et est la tangente à au point d'abscisse .
Montrons par exemple que si est positive sur , alors est convexe sur .
Supposons que, pour tout , . Soit la fonction définie sur par :
.
Comme est deux fois dérivable sur , l'est également et on a, pour tout , et .
Ainsi, (car par hypothèse) et donc est croissante sur .
  • Si , alors on a . Or D'où .
    Alors est croissante. On a donc .
    Or d'où .
    Ainsi, donc et donc est au‑dessus de .
  • Si , alors on a Or D'où
    Alors est décroissante. On a donc .
    Or d'où .
    On en déduit que est au‑dessus de .
Dans les deux cas, est au‑dessus de et donc est convexe.

Rappel

Une équation de la tangente est .

Remarques

  • L'équivalence entre les points 1. et 2. est admise.
  • Les points 3. et 4. sont équivalents car est la dérivée de .

B
Point d'inflexion

Définition
Un point d'inflexion est un point où la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente. Lorsque la courbe représentative d'une fonction admet un point d'inflexion, la fonction change de convexité : une fonction convexe devient concave ou inversement en ce point.
Exemple
La fonction cube admet un point d'inflexion en . En ce point, la courbe représentative de la fonction traverse sa tangente.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - Cours - Point d'inflexion
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Propriété
Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle . La courbe représentative de la fonction admet un point d'inflexion au point d'abscisse si, et seulement si, s'annule en changeant de signe en .
Démonstration
s'annule en changeant de signe en si, et seulement si, change de sens de variation en . Donc change de convexité en et la fonction admet alors un point d'inflexion en .
Application et méthode - 2
Énoncé
Soit la fonction définie sur par .

1. Établir la convexité de la fonction .

2. Déterminer les abscisses des points d'inflexion de la courbe représentative de .

Méthode

  • On vérifie que est deux fois dérivable sur l'intervalle étudié ;
  • on calcule  ;
  • on étudie le signe de qui donne la convexité de  ;
  • les abscisses des points d'inflexion sont les valeurs de pour lesquelles s'annule en changeant de signe.
Solution
1. est un polynôme de degré donc est deux fois dérivable sur .
On a, pour tout , et .
Une étude du signe de donne que est négative sur et positive sur .
Ainsi, est concave sur et convexe sur .

2. s'annule en changeant de signe en donc il existe un unique point d'inflexion de la courbe représentative de d'abscisse .

Pour s'entraîner
Exercices , et p. 223

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah

Premium activé


5
essais restants
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.