Convexité

Lorsque la courbe représentative de f est située au‑dessus de chacune de ses sécantes entre les deux points d'intersection, on dit que f est concave.

La fonction carré, dont le graphe est donné dans la définition ci‑dessus, est une fonction convexe sur \mathbb{R}.

Soient f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle \mathrm{I} et a \in \mathrm{I}.
\mathcal{C}_f est sa courbe représentative dans un repère et \mathcal{T} est la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse a.
Montrons par exemple que si f^{\prime\prime} est positive sur \mathrm{I}, alors f est convexe sur \mathrm{I}.
Supposons que, pour tout x \in \mathrm{I}, f^{\prime \prime}(x)>0. Soit \varphi la fonction définie sur \mathrm{I} par :
\varphi(x)=f(x)-\left(f^{\prime}(a) \times(x-a)+f(a)\right)=f(x)-f^{\prime}(a) \times(x-a)-f(a).
Comme f est deux fois dérivable sur \mathrm{I}, \varphi l'est également et on a, pour tout x \in \mathrm{I}, \varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}(a) et \varphi^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x).
Ainsi, \varphi^{\prime \prime}(x)>0 (car f^{\prime \prime}(x)>0 par hypothèse) et donc \varphi^{\prime} est croissante sur \mathrm{I}.

• Si x > a, alors on a \varphi^{\prime}(x)>\varphi^{\prime}(a). Or \varphi^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a)=0. D'où \varphi^{\prime}(x)>0.
  Alors \varphi est croissante. On a donc \varphi(x)>\varphi(a).
  Or \varphi(a)=f(a)-f^{\prime}(a) \times(a-a)-f(a)=0 d'où \varphi(x)>0.
  Ainsi, f(x)-\left(f^{\prime}(a) \times(x-a)+f(a)\right)>0 donc f(x)>f^{\prime}(a)(x-a)+f(a) et donc \mathcal{C}_f est au‑dessus de \mathcal{T}.
• Si x \lt a, alors on a \varphi^{\prime}(x)\lt\varphi^{\prime}(a). Or \varphi^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a)=0. D'où \varphi^{\prime}(x)\lt 0.
  Alors \varphi est décroissante. On a donc \varphi(x)>\varphi(a).
  Or \varphi(a)=f(a)-f^{\prime}(a) \times(a-a)-f(a)=0 d'où \varphi(x)>0.
  On en déduit que \mathcal{C}_f est au‑dessus de \mathcal{T}.

Dans les deux cas, \mathcal{C}_f est au‑dessus de \mathcal{T} et donc f est convexe.

Une équation de la tangente \mathcal{T} est y=f^{\prime}(a) \times(x-a)+f(a).

• L'équivalence entre les points 1. et 2. est admise.
• Les points 3. et 4. sont équivalents car f^{\prime\prime} est la dérivée de f^\prime.

Un point d'inflexion est un point où la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente. Lorsque la courbe représentative d'une fonction admet un point d'inflexion, la fonction change de convexité : une fonction convexe devient concave ou inversement en ce point.

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \text{I}. La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion au point d'abscisse a si, et seulement si, f^{\prime\prime} s'annule en changeant de signe en a.

f^{\prime\prime} s'annule en changeant de signe en a si, et seulement si, f^\prime change de sens de variation en a. Donc f change de convexité en a et la fonction f admet alors un point d'inflexion en a.

1. f est un polynôme de degré 3 donc f est deux fois dérivable sur \mathbb{R}.
On a, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 x+0{,}5 et f^{\prime \prime}(x)=6 x+6.
Une étude du signe de f^{\prime\prime} donne que f^{\prime\prime} est négative sur ]-\infty\,;-1] et positive sur [-1\,;+\infty[.
Ainsi, f est concave sur ]-\infty\,;-1] et convexe sur [-1\,;+\infty[.

2. f^{\prime\prime} s'annule en changeant de signe en -1 donc il existe un unique point d'inflexion de la courbe représentative de f d'abscisse -1.

Exercices

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,

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et

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p. 223