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Convexité

Lorsque la courbe représentative de $f$ est située au‑dessus de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection, on dit que $f$ est concave.

Exemple

La fonction carré, dont le graphe est donné dans la définition ci‑dessus, est une fonction convexe sur $\mathbb{R}$.

$f$ est concave sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^\prime$ est décroissante sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^{\prime\prime}$ est négative sur $\text{I}$.

DÉMONSTRATION

Soient $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $\mathrm{I}$ et $a \in \mathrm{I}$.
$\mathcal{C}_f$ est sa courbe représentative dans un repère et $\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $a$.
Montrons par exemple que si $f^{\prime\prime}$ est positive sur $\mathrm{I}$, alors $f$ est convexe sur $\mathrm{I}$.
Supposons que, pour tout $x \in \mathrm{I}$, $f^{\prime \prime}(x)>0$. Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathrm{I}$ par :
$\varphi(x)=f(x)-\left(f^{\prime}(a) \times(x-a)+f(a)\right)=f(x)-f^{\prime}(a) \times(x-a)-f(a)$.
Comme $f$ est deux fois dérivable sur $\mathrm{I}$, $\varphi$ l’est également et on a, pour tout $x \in \mathrm{I}$, $\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}(a)$ et $\varphi^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)$.
Ainsi, $\varphi^{\prime \prime}(x)>0$ (car $f^{\prime \prime}(x)>0$ par hypothèse) et donc $\varphi^{\prime}$ est croissante sur $\mathrm{I}$.

• Si $x > a$, alors on a $\varphi^{\prime}(x)>\varphi^{\prime}(a)$. Or $\varphi^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a)=0.$ D’où $\varphi^{\prime}(x)>0$.
  Alors $\varphi$ est croissante. On a donc $\varphi(x)>\varphi(a)$.
  Or $\varphi(a)=f(a)-f^{\prime}(a) \times(a-a)-f(a)=0$ d'où $\varphi(x)>0$.
  Ainsi, $f(x)-\left(f^{\prime}(a) \times(x-a)+f(a)\right)>0$ donc $f(x)>f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$ et donc $\mathcal{C}_f$ est au‑dessus de $\mathcal{T}$.
• Si $x \lt a$, alors on a $\varphi^{\prime}(x)\lt\varphi^{\prime}(a).$ Or $\varphi^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a)=0.$ D'où $\varphi^{\prime}(x)\lt 0.$
  Alors $\varphi$ est décroissante. On a donc $\varphi(x)>\varphi(a)$.
  Or $\varphi(a)=f(a)-f^{\prime}(a) \times(a-a)-f(a)=0$ d'où $\varphi(x)>0$.
  On en déduit que $\mathcal{C}_f$ est au‑dessus de $\mathcal{T}$.

Dans les deux cas, $\mathcal{C}_f$ est au‑dessus de $\mathcal{T}$ et donc $f$ est convexe.

Une équation de la tangente $\mathcal{T}$ est $y=f^{\prime}(a) \times(x-a)+f(a)$.

• L'équivalence entre les points 1. et 2. est admise.
• Les points 3. et 4. sont équivalents car $f^{\prime\prime}$ est la dérivée de $f^\prime$.

Exemple

La fonction cube $x \mapsto x^{3}$ admet un point d’inflexion en $0$. En ce point, la courbe représentative de la fonction traverse sa tangente.

DÉMONSTRATION

$f^{\prime\prime}$ s’annule en changeant de signe en $a$ si, et seulement si, $f^\prime$ change de sens de variation en $a$. Donc $f$ change de convexité en $a$ et la fonction $f$ admet alors un point d’inflexion en $a$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+3 x^{2}+0{,}5 x+1$.
1. Établir la convexité de la fonction $f$.
2. Déterminer les abscisses des points d’inflexion de la courbe représentative de $f$.