Soient f une fonction définie sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On dit que f est convexe sur I lorsque sa courbe représentative est située en‑dessous de chacune de ses sécantes
entre les deux points d’intersection.
Remarque
Lorsque la courbe représentative de f est située au‑dessus de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection, on dit que f est concave.
Exemple
La fonction carré, dont le graphe est donné dans la définition ci‑dessus, est une fonction convexe sur R.
Propriété
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : 1.f est convexe sur I ; 2. la courbe représentative de f est entièrement située au‑dessus de ses tangentes ; 3.f′ est croissante sur I ; 4.f′′ est positive sur I.
Remarque
f est concave sur I si, et seulement si, f′ est décroissante sur I si, et seulement si, f′′ est négative sur I.
DÉMONSTRATION
Soient f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I et a∈I. Cf est sa courbe représentative dans un repère et T est la tangente à Cf au point d’abscisse a.
Montrons par exemple que si f′′ est positive sur I, alors f est convexe sur I.
Supposons que, pour tout x∈I, f′′(x)>0. Soit φ la fonction définie sur I par : φ(x)=f(x)−(f′(a)×(x−a)+f(a))=f(x)−f′(a)×(x−a)−f(a).
Comme f est deux fois dérivable sur I, φ l’est également et on a, pour tout x∈I, φ′(x)=f′(x)−f′(a) et φ′′(x)=f′′(x).
Ainsi, φ′′(x)>0 (car f′′(x)>0 par hypothèse) et donc φ′ est croissante sur I.
Si x>a, alors on a φ′(x)>φ′(a). Or φ′(a)=f′(a)−f′(a)=0. D’où φ′(x)>0.
Alors φ est croissante. On a donc φ(x)>φ(a).
Or φ(a)=f(a)−f′(a)×(a−a)−f(a)=0 d'où φ(x)>0.
Ainsi, f(x)−(f′(a)×(x−a)+f(a))>0 donc f(x)>f′(a)(x−a)+f(a) et donc Cf est au‑dessus de T.
Si x<a, alors on a φ′(x)<φ′(a). Or φ′(a)=f′(a)−f′(a)=0. D'où φ′(x)<0.
Alors φ est décroissante. On a donc φ(x)>φ(a).
Or φ(a)=f(a)−f′(a)×(a−a)−f(a)=0 d'où φ(x)>0.
On en déduit que Cf est au‑dessus de T.
Dans les deux cas, Cf est au‑dessus de T et donc f est convexe.
Rappel
Une équation de la tangente T est y=f′(a)×(x−a)+f(a).
Remarques
L'équivalence entre les points 1. et 2. est admise.
Les points 3. et 4. sont équivalents car f′′ est la dérivée de f′.
B
Point d’inflexion
Définition
Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative d’une fonction traverse sa tangente. Lorsque la courbe représentative d’une fonction admet un point d’inflexion, la fonction change de convexité : une fonction convexe devient concave ou inversement en ce point.
Exemple
La fonction cube x↦x3 admet un point d’inflexion en 0. En ce point, la courbe représentative de la fonction traverse sa tangente.
Propriété
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. La courbe représentative de la fonction f admet un point d’inflexion au point d’abscisse a si, et seulement si, f′′ s’annule en changeant de signe en a.
DÉMONSTRATION
f′′ s’annule en changeant de signe en a si, et seulement si, f′ change de sens de variation en a. Donc f change de convexité en a et la fonction f admet alors un point d’inflexion en a.
Application et méthode - 2
Énoncé
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x3+3x2+0,5x+1.
1. Établir la convexité de la fonction f.
2. Déterminer les abscisses des points d’inflexion de la courbe représentative de f.
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