Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

2. Convexité
P.216-217

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

COURS 2


2
Convexité




A
Fonctions convexes


Définition

Soient une fonction définie sur un intervalle et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On dit que est convexe sur lorsque sa courbe représentative est située en‑dessous de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - Cours - Fonction convexe

Remarque

Lorsque la courbe représentative de est située au‑dessus de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection, on dit que est concave.

Exemple

La fonction carré, dont le graphe est donné dans la définition ci‑dessus, est une fonction convexe sur .

Propriété

Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle .
Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
1. est convexe sur  ;
2. la courbe représentative de est entièrement située au‑dessus de ses tangentes ;
3. est croissante sur  ;
4. est positive sur .

Remarque

est concave sur si, et seulement si, est décroissante sur si, et seulement si, est négative sur .

DÉMONSTRATION

Soient une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle et .
est sa courbe représentative dans un repère et est la tangente à au point d’abscisse .
Montrons par exemple que si est positive sur , alors est convexe sur .
Supposons que, pour tout , . Soit la fonction définie sur par :
.
Comme est deux fois dérivable sur , l’est également et on a, pour tout , et .
Ainsi, (car par hypothèse) et donc est croissante sur .
  • Si , alors on a . Or D’où .
    Alors est croissante. On a donc .
    Or d'où .
    Ainsi, donc et donc est au‑dessus de .
  • Si , alors on a Or D'où
    Alors est décroissante. On a donc .
    Or d'où .
    On en déduit que est au‑dessus de .
Dans les deux cas, est au‑dessus de et donc est convexe.

Rappel

Une équation de la tangente est .

Remarques

  • L'équivalence entre les points 1. et 2. est admise.
  • Les points 3. et 4. sont équivalents car est la dérivée de .

B
Point d’inflexion


Définition

Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative d’une fonction traverse sa tangente. Lorsque la courbe représentative d’une fonction admet un point d’inflexion, la fonction change de convexité : une fonction convexe devient concave ou inversement en ce point.

Exemple

La fonction cube admet un point d’inflexion en . En ce point, la courbe représentative de la fonction traverse sa tangente.

maths spé - chapitre 7 - Compléments sur la dérivation - Cours - Point d'inflexion

Propriété

Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle . La courbe représentative de la fonction admet un point d’inflexion au point d’abscisse si, et seulement si, s’annule en changeant de signe en .

DÉMONSTRATION

s’annule en changeant de signe en si, et seulement si, change de sens de variation en . Donc change de convexité en et la fonction admet alors un point d’inflexion en .

Application et méthode - 2

Énoncé

Soit la fonction définie sur par .
1. Établir la convexité de la fonction .
2. Déterminer les abscisses des points d’inflexion de la courbe représentative de .

Solution

1. est un polynôme de degré donc est deux fois dérivable sur .
On a, pour tout , et .
Une étude du signe de donne que est négative sur et positive sur .
Ainsi, est concave sur et convexe sur .

2. s’annule en changeant de signe en donc il existe un unique point d’inflexion de la courbe représentative de d’abscisse .

Pour s'entraîner : exercices 33, 34 et 35 p. 223

Méthode

  • On vérifie que est deux fois dérivable sur l’intervalle étudié ;
  • on calcule  ;
  • on étudie le signe de qui donne la convexité de  ;
  • les abscisses des points d’inflexion sont les valeurs de pour lesquelles s’annule en changeant de signe.

Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.