1

Soient \boldsymbol{u} une fonction définie et dérivable sur un intervalle \boldsymbol{\mathrm{I}} à valeurs dans \boldsymbol{\mathrm{J}} et \boldsymbol{v} une fonction définie et dérivable sur \boldsymbol{\mathrm{J}}. Alors la fonction \boldsymbol{v \circ u} est dérivable sur \boldsymbol{\mathrm{I}} et, pour tout \boldsymbol{x_0 \in \mathrm{I}}, on a : \boldsymbol{(v \circ u)^{\prime} (x_{0})}\boldsymbol{=u^{\prime} (x_{0}) \times (v^{\prime} \circ u) (x_{0}).} Cela permet de :

✔ calculer la dérivée de fonctions composées ;
✔ étudier des fonctions composées.

2

Soit \boldsymbol{f} une fonction dérivable sur un intervalle \boldsymbol{\mathrm{I}}. \boldsymbol{f} est convexe sur \boldsymbol{\mathrm{I}} si, et seulement si, \boldsymbol{f^\prime} est croissante sur \boldsymbol{\mathrm{I}}. Cela permet de :

✔ déterminer la convexité d'une fonction ;
✔ étudier la position d'une courbe par rapport à ses tangentes ou ses sécantes ;
✔ déterminer les abscisses des éventuels points d'inflexion.

3

Soit \boldsymbol{f} une fonction dérivable sur un intervalle \boldsymbol{\mathrm{I}} dont la dérivée \boldsymbol{f^\prime} est dérivable sur \boldsymbol{\mathrm{I}}. \boldsymbol{f} est convexe sur \boldsymbol{\mathrm{I}} si, et seulement si, \boldsymbol{f^{\prime\prime}} est positive sur \boldsymbol{\mathrm{I}}. Cela permet de :

✔ déterminer la convexité d'une fonction deux fois dérivable ;
✔ étudier la position d'une courbe par rapport à ses tangentes ou ses sécantes ;
✔ déterminer les abscisses des éventuels points d'inflexion.