Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Cours 1

Approfondissements sur les dérivées

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A
Dérivée d'une composée de fonction

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Définition
Soient une fonction définie sur un intervalle à valeurs dans un intervalle et une fonction définie sur l'intervalle .
La composée de par , notée , est la fonction définie sur par : .
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Notation

se lit «  rond  ».
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Remarque

«  est définie sur un intervalle à valeurs dans  » signifie que pour tout , on a .
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Exemple
Soient la fonction définie sur par et la fonction définie sur par . Alors est définie sur par .
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Propriété
Soient une fonction définie et dérivable sur à valeurs dans , et une fonction définie et dérivable sur .
Alors la fonction est dérivable sur et , c'est‑à‑dire que, pour tout , on a .
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Remarque

On peut ainsi retrouver la formule vue en première : lorsque est définie et dérivable sur , la fonction est dérivable sur et sa dérivée est .
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Démonstration
Soit un réel de l'intervalle . On veut montrer que est dérivable en donc que admet une limite finie lorsque tend vers .

.

D'une part, étant dérivable en , on sait que tend vers quand tend vers .

D'autre part, lorsque tend vers , tend vers car est continue en (puisqu'elle est dérivable sur ).

De plus, comme est dérivable en , tend vers .

Donc tend vers pour tout de .
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Conséquences
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .
1. .
2. Pour tout entier naturel non nul, .
3. Si ne s'annule pas sur , alors .
4. Si est strictement positive sur , alors .
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Remarque

En particulier, et .
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Application et méthode - 1
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Énoncé
Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes.
1. définie sur par .
2. définie sur par .
3. définie sur par .
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Méthode

Pour dériver une composée de fonctions :
  • on identifie la fonction et la fonction  ;
  • on détermine leur ensemble de définition et leur ensemble de dérivabilité ;
  • on calcule leur dérivée ;
  • on applique la formule de dérivée d'une composée de fonction.
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Solution
1. est la composée des fonctions et définies et dérivables sur données par et .
Pour tout réel , et .
est donc dérivable sur et, pour tout ,
.

2. est la composée des fonctions et définies et dérivables sur données par et .
Pour tout réel , et .
est donc dérivable sur et .

3. est la composée des fonctions définie sur par qui est strictement positive sur et définie sur par .
Pour tout réel , et pour tout réel , .
.

Pour s'entraîner
Exercices , et p. 222
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B
Dérivée seconde

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Définition
Soit une fonction dérivable sur un intervalle . On note sa fonction dérivée.
Lorsque est dérivable sur , on note sa dérivée.
est appelée la dérivée seconde de sur .
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Remarque

se lit «  seconde ». On peut également calculer des dérivées d'ordre , , , ... , avec .
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Exemple
Soit la fonction polynôme définie sur par .
est dérivable sur et, pour tout réel , on a .
est un polynôme qui est donc dérivable sur et, pour tout réel , on a .
Ainsi, la dérivée seconde de la fonction est la fonction définie sur par .
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Notation

On note la dérivée ‑ième.
En particulier :
  •  ;
  •  ;
  • .

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