Mathématiques Terminale Spécialité
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Ch. 14
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Annexes
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Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Cours 1
Approfondissements sur les dérivées
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ADérivée d'une composée de fonction
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Définition
Soient u une fonction définie sur un intervalle \text{I} à valeurs dans un intervalle \text{J} et v une fonction définie sur l'intervalle \text{J}.
La composée de \boldsymbol{u} par \boldsymbol{v}, notée v \circ u, est la fonction définie sur \text{I} par : (v \circ u)(x)=v(u(x)).
La composée de \boldsymbol{u} par \boldsymbol{v}, notée v \circ u, est la fonction définie sur \text{I} par : (v \circ u)(x)=v(u(x)).
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v \circ u se lit « v rond u ».
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« u est définie sur un intervalle \text{I} à valeurs dans \text{J} » signifie que pour tout x \in \mathrm{I}, on a u(x) \in \mathrm{J}.
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Exemple
Soient u la fonction définie sur \mathbb{R} par u(x)=x^{2}+1 et v la fonction définie sur \mathbb{R}^{+} par v(x)=\sqrt{x}. Alors v \circ u est définie sur \mathbb{R} par (v \circ u)(x)=v(u(x))=\sqrt{x^{2}+1}.
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Propriété
Soient u une fonction définie et dérivable sur \text{I} à valeurs dans \text{J}, et v une fonction définie et dérivable sur \text{J}.
Alors la fonction v \circ u est dérivable sur \text{I} et (v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right), c'est‑à‑dire que, pour tout x_{0} \in \mathrm{I}, on a (v \circ u)^{\prime}\left(x_{0}\right)=u^{\prime}\left(x_{0}\right) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)\left(x_{0}\right).
Alors la fonction v \circ u est dérivable sur \text{I} et (v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right), c'est‑à‑dire que, pour tout x_{0} \in \mathrm{I}, on a (v \circ u)^{\prime}\left(x_{0}\right)=u^{\prime}\left(x_{0}\right) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)\left(x_{0}\right).
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On peut ainsi retrouver la formule vue en première : lorsque v est définie et dérivable sur \text{I}, la fonction x \mapsto v(a x+b) est dérivable sur \text{I} et sa dérivée est x \mapsto a \times v^{\prime}(a x+b).
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Démonstration
Soit x_0 un réel de l'intervalle \text{I}. On veut montrer que v \circ u est dérivable en x_0 donc que \frac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} admet une limite finie lorsque x tend vers x_0.
\frac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\frac{\color{darkred}u(x)-u\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} {\color{darkred}\times} \frac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{\color{darkred}u(x)-u\left(x_{0}\right)}.
D'une part, u étant dérivable en x_0, on sait que \frac{u(x)-u\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} tend vers u^{\prime}\left(x_{0}\right) quand x tend vers x_0.
D'autre part, lorsque x tend vers x_0, u(x) tend vers u(x_0) car u est continue en x_0 (puisqu'elle est dérivable sur \text{I}).
De plus, comme v est dérivable en u(x_0), \frac{v(u(x))-v\left(u\left(x_{0}\right)\right)}{u(x)-u\left(x_{0}\right)} tend vers v^{\prime}\left(u\left(x_{0}\right)\right)=\left(v^{\prime} \circ u\right)\left(x_{0}\right).
Donc \frac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\frac{u(x)-u\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \times \frac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{u(x)-u\left(x_{0}\right)} tend vers u^{\prime}\left(x_{0}\right) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)\left(x_{0}\right) pour tout x_0 de \text{I}.
\frac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\frac{\color{darkred}u(x)-u\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} {\color{darkred}\times} \frac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{\color{darkred}u(x)-u\left(x_{0}\right)}.
D'une part, u étant dérivable en x_0, on sait que \frac{u(x)-u\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} tend vers u^{\prime}\left(x_{0}\right) quand x tend vers x_0.
D'autre part, lorsque x tend vers x_0, u(x) tend vers u(x_0) car u est continue en x_0 (puisqu'elle est dérivable sur \text{I}).
De plus, comme v est dérivable en u(x_0), \frac{v(u(x))-v\left(u\left(x_{0}\right)\right)}{u(x)-u\left(x_{0}\right)} tend vers v^{\prime}\left(u\left(x_{0}\right)\right)=\left(v^{\prime} \circ u\right)\left(x_{0}\right).
Donc \frac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\frac{u(x)-u\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \times \frac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{u(x)-u\left(x_{0}\right)} tend vers u^{\prime}\left(x_{0}\right) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)\left(x_{0}\right) pour tout x_0 de \text{I}.
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Conséquences
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I}.
1. \left(\mathrm{e}^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \mathrm{e}^{u}.
2. Pour tout entier naturel n non nul, \left(u^{n}\right)^{\prime}=n u^{\prime} u^{n-1}.
3. Si u ne s'annule pas sur \text{I}, alors \left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}.
4. Si u est strictement positive sur \text{I}, alors (\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}.
1. \left(\mathrm{e}^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \mathrm{e}^{u}.
2. Pour tout entier naturel n non nul, \left(u^{n}\right)^{\prime}=n u^{\prime} u^{n-1}.
3. Si u ne s'annule pas sur \text{I}, alors \left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}.
4. Si u est strictement positive sur \text{I}, alors (\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}.
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En particulier, \left(u^{2}\right)^{\prime}=2 \times u^{\prime} \times u et \left(u^{3}\right)^{\prime}=3 \times u^{\prime} \times u^{2}.
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Application et méthode - 1
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Énoncé
Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes.
1. f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{x^{3}+5 x^{2}+7 x}.
2. g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\left(x^{2}+6 x+8\right)^{5}.
3. h définie sur \mathbb{R} par h(x)=\sqrt{x^{2}+1}.
1. f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{x^{3}+5 x^{2}+7 x}.
2. g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\left(x^{2}+6 x+8\right)^{5}.
3. h définie sur \mathbb{R} par h(x)=\sqrt{x^{2}+1}.
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Pour dériver une composée de fonctions :
- on identifie la fonction u et la fonction v ;
- on détermine leur ensemble de définition et leur ensemble de dérivabilité ;
- on calcule leur dérivée ;
- on applique la formule de dérivée d'une composée de fonction.
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Solution
1. f est la composée des fonctions u et v définies et dérivables sur \mathbb{R} données par u(x)=x^{3}+5 x^{2}+7 x et v(\mathrm{X})=\mathrm{e}^{\mathrm{X}}.
Pour tout réel x, u^{\prime}(x)=3 x^{2}+10 x+7 et v^{\prime}(\mathrm{X})=\mathrm{e}^{\mathrm{X}}.
f est donc dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R},
f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x)=\left(3 x^{2}+10 x+7\right) \times \mathrm{e}^{x^{3}+5 x^{2}+7 x}.
2. g est la composée des fonctions u et v définies et dérivables sur \mathbb{R} données par u(x)=x^{2}+6 x+8 et v(\mathrm{X})=\mathrm{X}^{5}.
Pour tout réel x, u^{\prime}(x)=2 x+6 et v^{\prime}(\mathrm{X})=5 \mathrm{X}^{4}.
g est donc dérivable sur \mathbb{R} et g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x)=(2 x+6) \times 5\left(x^{2}+6 x+8\right)^{4}.
3. h est la composée des fonctions u définie sur \mathbb{R} par u(x)=x^{2}+1 qui est strictement positive sur \mathbb{R} et v définie sur \mathbb{R}^{+} par v(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{X}}.
Pour tout réel x, u^{\prime}(x)=2 x et pour tout réel \mathrm{X}>0, v^{\prime}(\mathrm{X})=\frac{1}{2 \sqrt{\mathrm{X}}}.
h^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x)=\frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Pour tout réel x, u^{\prime}(x)=3 x^{2}+10 x+7 et v^{\prime}(\mathrm{X})=\mathrm{e}^{\mathrm{X}}.
f est donc dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R},
f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x)=\left(3 x^{2}+10 x+7\right) \times \mathrm{e}^{x^{3}+5 x^{2}+7 x}.
2. g est la composée des fonctions u et v définies et dérivables sur \mathbb{R} données par u(x)=x^{2}+6 x+8 et v(\mathrm{X})=\mathrm{X}^{5}.
Pour tout réel x, u^{\prime}(x)=2 x+6 et v^{\prime}(\mathrm{X})=5 \mathrm{X}^{4}.
g est donc dérivable sur \mathbb{R} et g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x)=(2 x+6) \times 5\left(x^{2}+6 x+8\right)^{4}.
3. h est la composée des fonctions u définie sur \mathbb{R} par u(x)=x^{2}+1 qui est strictement positive sur \mathbb{R} et v définie sur \mathbb{R}^{+} par v(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{X}}.
Pour tout réel x, u^{\prime}(x)=2 x et pour tout réel \mathrm{X}>0, v^{\prime}(\mathrm{X})=\frac{1}{2 \sqrt{\mathrm{X}}}.
h^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x)=\frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Pour s'entraîner
Exercices , et p. 222
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BDérivée seconde
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Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \text{I}. On note f^\prime sa fonction dérivée.
Lorsque f^\prime est dérivable sur \text{I}, on note f^{\prime\prime} sa dérivée.
f^{\prime\prime} est appelée la dérivée seconde de f sur \text{I}.
Lorsque f^\prime est dérivable sur \text{I}, on note f^{\prime\prime} sa dérivée.
f^{\prime\prime} est appelée la dérivée seconde de f sur \text{I}.
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f^{\prime\prime} se lit « f seconde ».
On peut également calculer des dérivées d'ordre 3, 4, 5, ... , n avec n \in \mathbb{N}.
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Exemple
Soit f la fonction polynôme définie sur \mathbb{R} par f(x)=4 x^{3}+2 x^{2}+13 x+9.
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, on a f^{\prime}(x)=12 x^{2}+4 x+13.
f^\prime est un polynôme qui est donc dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, on a f^{\prime \prime}(x)=24 x+4.
Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction f^{\prime\prime} définie sur \mathbb{R} par f^{\prime \prime}(x)=24 x+4.
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, on a f^{\prime}(x)=12 x^{2}+4 x+13.
f^\prime est un polynôme qui est donc dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, on a f^{\prime \prime}(x)=24 x+4.
Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction f^{\prime\prime} définie sur \mathbb{R} par f^{\prime \prime}(x)=24 x+4.
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On note f^{(n)} la dérivée n‑ième.
En particulier :
En particulier :
- f^{(0)}=f ;
- f^{(1)}=f^{\prime} ;
- f^{(2)}=f^{\prime \prime}.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
