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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Cours 1
Approfondissements sur les dérivées
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A
Dérivée d'une composée de fonction
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Définition
Soient u une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J et v une fonction définie sur l'intervalle J.
La composée de u par v, notée v∘u, est la fonction définie sur I par :
(v∘u)(x)=v(u(x)).
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Notation
v∘u se lit « v rond u ».
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Remarque
« u est définie sur un intervalle I à valeurs dans J » signifie que pour tout x∈I, on a u(x)∈J.
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Exemple
Soient u la fonction définie sur R par u(x)=x2+1 et v la fonction définie sur R+ par v(x)=x. Alors v∘u est définie sur R par (v∘u)(x)=v(u(x))=x2+1.
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Propriété
Soient u une fonction définie et dérivable sur I à valeurs dans J, et v une fonction définie et dérivable sur J.
Alors la fonction v∘u est dérivable sur I et (v∘u)′=u′×(v′∘u), c'est‑à‑dire que, pour tout x0∈I, on a (v∘u)′(x0)=u′(x0)×(v′∘u)(x0).
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Remarque
On peut ainsi retrouver la formule vue en première : lorsque v est définie et dérivable sur I, la fonction x↦v(ax+b) est dérivable sur I et sa dérivée est x↦a×v′(ax+b).
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Démonstration
Soit x0 un réel de l'intervalle I. On veut montrer que v∘u est dérivable en x0 donc que x−x0(v∘u)(x)−(v∘u)(x0) admet une limite finie lorsque x tend vers x0.
D'une part, u étant dérivable en x0, on sait que x−x0u(x)−u(x0) tend vers u′(x0) quand x tend vers x0.
D'autre part, lorsque x tend vers x0, u(x) tend vers u(x0) car u est continue en x0 (puisqu'elle est dérivable sur I).
De plus, comme v est dérivable en u(x0), u(x)−u(x0)v(u(x))−v(u(x0)) tend vers v′(u(x0))=(v′∘u)(x0).
Donc x−x0(v∘u)(x)−(v∘u)(x0)=x−x0u(x)−u(x0)×u(x)−u(x0)(v∘u)(x)−(v∘u)(x0) tend vers u′(x0)×(v′∘u)(x0) pour tout x0 de I.
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Conséquences
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
1.(eu)′=u′eu.
2. Pour tout entier naturel n non nul, (un)′=nu′un−1.
3. Si u ne s'annule pas sur I, alors (u1)′=−u2u′.
4. Si u est strictement positive sur I, alors (u)′=2uu′.
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Remarque
En particulier, (u2)′=2×u′×u et (u3)′=3×u′×u2.
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Application et méthode - 1
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Énoncé
Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes.
1.f définie sur R par f(x)=ex3+5x2+7x.
2.g définie sur R par g(x)=(x2+6x+8)5.
3.h définie sur R par h(x)=x2+1.
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Méthode
Pour dériver une composée de fonctions :
on identifie la fonction u et la fonction v ;
on détermine leur ensemble de définition et leur ensemble de dérivabilité ;
on calcule leur dérivée ;
on applique la formule de dérivée d'une composée de fonction.
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Solution
1.f est la composée des fonctions u et v définies et dérivables sur R données par u(x)=x3+5x2+7x et v(X)=eX.
Pour tout réel x, u′(x)=3x2+10x+7 et v′(X)=eX. f est donc dérivable sur R et, pour tout x∈R, f′(x)=u′(x)×(v′∘u)(x)=(3x2+10x+7)×ex3+5x2+7x.
2.g est la composée des fonctions u et v définies et dérivables sur R données par u(x)=x2+6x+8 et v(X)=X5.
Pour tout réel x, u′(x)=2x+6 et v′(X)=5X4. g est donc dérivable sur R et g′(x)=u′(x)×(v′∘u)(x)=(2x+6)×5(x2+6x+8)4.
3.h est la composée des fonctions u définie sur R par u(x)=x2+1 qui est strictement positive sur R et v définie sur R+ par v(X)=X.
Pour tout réel x, u′(x)=2x et pour tout réel X>0, v′(X)=2X1. h′(x)=u′(x)×(v′∘u)(x)=2x2+12x=x2+1x.
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B
Dérivée seconde
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Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On note f′ sa fonction dérivée.
Lorsque f′ est dérivable sur I, on note f′′ sa dérivée. f′′ est appelée la dérivée seconde de f sur I.
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Remarque
f′′ se lit « f seconde ».
On peut également calculer des dérivées d'ordre 3, 4, 5, ... , n avec n∈N.
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Exemple
Soit f la fonction polynôme définie sur R par f(x)=4x3+2x2+13x+9. f est dérivable sur R et, pour tout réel x, on a f′(x)=12x2+4x+13. f′ est un polynôme qui est donc dérivable sur R et, pour tout réel x, on a f′′(x)=24x+4.
Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction f′′ définie sur R par f′′(x)=24x+4.
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Notation
On note f(n) la dérivée n‑ième.
En particulier :
f(0)=f ;
f(1)=f′ ;
f(2)=f′′.
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