Approfondissements sur les dérivées

Soit $x_0$ un réel de l'intervalle $\text{I}$. On veut montrer que $v\circ u$ est dérivable en $x_0$ donc que $\frac{(v\circ u)(x)-(v\circ u)\left(x_0\right)}{x-x_0}$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $x_0$.

$\frac{(v\circ u)(x)-(v\circ u)\left(x_0\right)}{x-x_0}=\frac{u(x)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}\times \frac{(v\circ u)(x)-(v\circ u)\left(x_0\right)}{u(x)-u\left(x_0\right)}$.

D'une part, $u$ étant dérivable en $x_0$, on sait que $\frac{u(x)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}$ tend vers $u^{\prime }\left(x_0\right)$ quand $x$ tend vers $x_0$.

D'autre part, lorsque $x$ tend vers $x_0$, $u(x)$ tend vers $u(x_0)$ car $u$ est continue en $x_0$ (puisqu'elle est dérivable sur $\text{I}$).

De plus, comme $v$ est dérivable en $u(x_0)$, $\frac{v(u(x))-v\left(u\left(x_0\right)\right)}{u(x)-u\left(x_0\right)}$ tend vers $v^{\prime }\left(u\left(x_0\right)\right)=\left(v^{\prime }\circ u\right)\left(x_0\right)$.

Donc $\frac{(v\circ u)(x)-(v\circ u)\left(x_0\right)}{x-x_0}=\frac{u(x)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}\times \frac{(v\circ u)(x)-(v\circ u)\left(x_0\right)}{u(x)-u\left(x_0\right)}$ tend vers $u^{\prime }\left(x_0\right)\times \left(v^{\prime }\circ u\right)\left(x_0\right)$ pour tout $x_0$ de $\text{I}$.

1. $f$ est la composée des fonctions $u$ et $v$ définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ données par $u(x)=x^3+5x^2+7x$ et $v(\mathrm{X})={\mathrm{e}}^{\mathrm{X}}$.
Pour tout réel $x$, $u^{\prime }(x)=3x^2+10x+7$ et $v^{\prime }(\mathrm{X})={\mathrm{e}}^{\mathrm{X}}$.
$f$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\times \left(v^{\prime }\circ u\right)(x)=\left(3x^2+10x+7\right)\times {\mathrm{e}}^{x^3+5x^2+7x}$.

2. $g$ est la composée des fonctions $u$ et $v$ définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ données par $u(x)=x^2+6x+8$ et $v(\mathrm{X})={\mathrm{X}}^5$.
Pour tout réel $x$, $u^{\prime }(x)=2x+6$ et $v^{\prime }(\mathrm{X})=5{\mathrm{X}}^4$.
$g$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\times \left(v^{\prime }\circ u\right)(x)=(2x+6)\times 5{\left(x^2+6x+8\right)}^4$.

3. $h$ est la composée des fonctions $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x^2+1$ qui est strictement positive sur $\mathbb{R}$ et $v$ définie sur ${\mathbb{R}}^{+}$ par $v(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{X}}$.
Pour tout réel $x$, $u^{\prime }(x)=2x$ et pour tout réel $\mathrm{X}>0$, $v^{\prime }(\mathrm{X})=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{X}}}$.
$h^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\times \left(v^{\prime }\circ u\right)(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Exercices

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,

23

et

25

p. 222