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1. Approfondissements sur les dérivées
P.214-215

COURS 1


1
Approfondissements sur les dérivées




A
Dérivée d’une composée de fonction


Définition

Soient une fonction définie sur un intervalle à valeurs dans un intervalle et une fonction définie sur l’intervalle .
La composée de par , notée , est la fonction définie sur par :
.

NOTATION

se lit «  rond  ».

Remarque

«  est définie sur un intervalle à valeurs dans  » signifie que pour tout , on a .

Exemple

Soient la fonction définie sur par et la fonction définie sur par . Alors est définie sur par .

Propriété

Soient une fonction définie et dérivable sur à valeurs dans , et une fonction définie et dérivable sur .
Alors la fonction est dérivable sur et , c’est‑à‑dire que, pour tout , on a .

Remarque

On peut ainsi retrouver la formule vue en première : lorsque est définie et dérivable sur , la fonction est dérivable sur et sa dérivée est .

DÉMONSTRATION

Soit un réel de l’intervalle . On veut montrer que est dérivable en donc que admet une limite finie lorsque tend vers .

.

D’une part, étant dérivable en , on sait que tend vers quand tend vers .

D’autre part, lorsque tend vers , tend vers car est continue en (puisqu’elle est dérivable sur ).

De plus, comme est dérivable en , tend vers .

Donc tend vers pour tout de .

Conséquences

Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .
1. .
2. Pour tout entier naturel non nul, .
3. Si ne s’annule pas sur , alors .
4. Si est strictement positive sur , alors .

Remarque

En particulier, et .

Application et méthode - 1

Énoncé

Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes.

1. définie sur par .
2. définie sur par .
3. définie sur par .

B
Dérivée seconde


Définition

Soit une fonction dérivable sur un intervalle . On note sa fonction dérivée.
Lorsque est dérivable sur , on note sa dérivée.
est appelée la dérivée seconde de sur .

Remarques

se lit «  seconde ».
On peut également calculer des dérivées d’ordre , , , ... , avec .

Exemple

Soit la fonction polynôme définie sur par .
est dérivable sur et, pour tout réel , on a .
est un polynôme qui est donc dérivable sur et, pour tout réel , on a .
Ainsi, la dérivée seconde de la fonction est la fonction définie sur par .

NOTATION

On note la dérivée ‑ième.
En particulier :
  •  ;
  •  ;
  • .
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