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1. Approfondissements sur les dérivées
P.214-215

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COURS 1


1
Approfondissements sur les dérivées




A
Dérivée d’une composée de fonction


Définition

Soient uu une fonction définie sur un intervalle I\text{I} à valeurs dans un intervalle J\text{J} et vv une fonction définie sur l’intervalle J\text{J}.
La composée de u\boldsymbol{u} par v\boldsymbol{v}, notée vuv \circ u, est la fonction définie sur I\text{I} par :
(vu)(x)=v(u(x))(v \circ u)(x)=v(u(x)).

NOTATION

vuv \circ u se lit « vv rond uu ».

Remarque

« uu est définie sur un intervalle I\text{I} à valeurs dans J\text{J} » signifie que pour tout xIx \in \mathrm{I}, on a u(x)Ju(x) \in \mathrm{J}.

Exemple

Soient uu la fonction définie sur R\mathbb{R} par u(x)=x2+1u(x)=x^{2}+1 et vv la fonction définie sur R+\mathbb{R}^{+} par v(x)=xv(x)=\sqrt{x}. Alors vuv \circ u est définie sur R\mathbb{R} par (vu)(x)=v(u(x))=x2+1(v \circ u)(x)=v(u(x))=\sqrt{x^{2}+1}.

Propriété

Soient uu une fonction définie et dérivable sur I\text{I} à valeurs dans J\text{J}, et vv une fonction définie et dérivable sur J\text{J}.
Alors la fonction vuv \circ u est dérivable sur I\text{I} et (vu)=u×(vu)(v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right), c’est‑à‑dire que, pour tout x0Ix_{0} \in \mathrm{I}, on a (vu)(x0)=u(x0)×(vu)(x0)(v \circ u)^{\prime}\left(x_{0}\right)=u^{\prime}\left(x_{0}\right) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)\left(x_{0}\right).

Remarque

On peut ainsi retrouver la formule vue en première : lorsque vv est définie et dérivable sur I\text{I}, la fonction xv(ax+b)x \mapsto v(a x+b) est dérivable sur I\text{I} et sa dérivée est xa×v(ax+b)x \mapsto a \times v^{\prime}(a x+b).

DÉMONSTRATION

Soit x0x_0 un réel de l’intervalle I\text{I}. On veut montrer que vuv \circ u est dérivable en x0x_0 donc que (vu)(x)(vu)(x0)xx0\dfrac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} admet une limite finie lorsque xx tend vers x0x_0.

(vu)(x)(vu)(x0)xx0=u(x)u(x0)xx0×(vu)(x)(vu)(x0)u(x)u(x0)\dfrac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\dfrac{u(x)-u\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \times \dfrac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{u(x)-u\left(x_{0}\right)}.

D’une part, uu étant dérivable en x0x_0, on sait que u(x)u(x0)xx0\dfrac{u(x)-u\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} tend vers u(x0)u^{\prime}\left(x_{0}\right) quand xx tend vers x0x_0.

D’autre part, lorsque xx tend vers x0x_0, u(x)u(x) tend vers u(x0)u(x_0) car uu est continue en x0x_0 (puisqu’elle est dérivable sur I\text{I}).

De plus, comme vv est dérivable en u(x0)u(x_0), v(u(x))v(u(x0))u(x)u(x0)\dfrac{v(u(x))-v\left(u\left(x_{0}\right)\right)}{u(x)-u\left(x_{0}\right)} tend vers v(u(x0))=(vu)(x0)v^{\prime}\left(u\left(x_{0}\right)\right)=\left(v^{\prime} \circ u\right)\left(x_{0}\right).

Donc (vu)(x)(vu)(x0)xx0=u(x)u(x0)xx0×(vu)(x)(vu)(x0)u(x)u(x0)\dfrac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\dfrac{u(x)-u\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \times \dfrac{(v \circ u)(x)-(v \circ u)\left(x_{0}\right)}{u(x)-u\left(x_{0}\right)} tend vers u(x0)×(vu)(x0)u^{\prime}\left(x_{0}\right) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)\left(x_{0}\right) pour tout x0x_0 de I\text{I}.

Conséquences

Soit uu une fonction définie et dérivable sur un intervalle I\text{I}.
1. (eu)=ueu\left(\mathrm{e}^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \mathrm{e}^{u}.
2. Pour tout entier naturel nn non nul, (un)=nuun1\left(u^{n}\right)^{\prime}=n u^{\prime} u^{n-1}.
3. Si uu ne s’annule pas sur I\text{I}, alors (1u)=uu2\left(\dfrac{1}{u}\right)^{\prime}=-\dfrac{u^{\prime}}{u^{2}}.
4. Si uu est strictement positive sur I\text{I}, alors (u)=u2u(\sqrt{u})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}.

Remarque

En particulier, (u2)=2×u×u\left(u^{2}\right)^{\prime}=2 \times u^{\prime} \times u et (u3)=3×u×u2\left(u^{3}\right)^{\prime}=3 \times u^{\prime} \times u^{2}.

Application et méthode - 1

Énoncé

Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes.

1. ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ex3+5x2+7xf(x)=\mathrm{e}^{x^{3}+5 x^{2}+7 x}.
2. gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=(x2+6x+8)5g(x)=\left(x^{2}+6 x+8\right)^{5}.
3. hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=x2+1h(x)=\sqrt{x^{2}+1}.

Solution

1. ff est la composée des fonctions uu et vv définies et dérivables sur R\mathbb{R} données par u(x)=x3+5x2+7xu(x)=x^{3}+5 x^{2}+7 x et v(X)=eXv(\mathrm{X})=\mathrm{e}^{\mathrm{X}}.
Pour tout réel xx, u(x)=3x2+10x+7u^{\prime}(x)=3 x^{2}+10 x+7 et v(X)=eXv^{\prime}(\mathrm{X})=\mathrm{e}^{\mathrm{X}}.
ff est donc dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx \in \mathbb{R},
f(x)=u(x)×(vu)(x)=(3x2+10x+7)×ex3+5x2+7xf^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x)=\left(3 x^{2}+10 x+7\right) \times \mathrm{e}^{x^{3}+5 x^{2}+7 x}.

2. g g est la composée des fonctions uu et vv définies et dérivables sur R\mathbb{R} données par u(x)=x2+6x+8u(x)=x^{2}+6 x+8 et v(X)=X5v(\mathrm{X})=\mathrm{X}^{5}.
Pour tout réel xx, u(x)=2x+6u^{\prime}(x)=2 x+6 et v(X)=5X4v^{\prime}(\mathrm{X})=5 \mathrm{X}^{4}.
gg est donc dérivable sur R\mathbb{R} et g(x)=u(x)×(vu)(x)=(2x+6)×5(x2+6x+8)4g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x)=(2 x+6) \times 5\left(x^{2}+6 x+8\right)^{4}.

3. hh est la composée des fonctions uu définie sur R\mathbb{R} par u(x)=x2+1u(x)=x^{2}+1 qui est strictement positive sur R\mathbb{R} et vv définie sur R+\mathbb{R}^{+} par v(X)=Xv(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{X}}.
Pour tout réel xx, u(x)=2xu^{\prime}(x)=2 x et pour tout réel X>0\mathrm{X}>0, v(X)=12Xv^{\prime}(\mathrm{X})=\dfrac{1}{2 \sqrt{\mathrm{X}}}.
h(x)=u(x)×(vu)(x)=2x2x2+1=xx2+1h^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x)=\dfrac{2 x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Pour s'entraîner : exercices 21, 23 et 25 p. 222

Méthode

Pour dériver une composée de fonctions :
  • on identifie la fonction uu et la fonction vv ;
  • on détermine leur ensemble de définition et leur ensemble de dérivabilité ;
  • on calcule leur dérivée ;
  • on applique la formule de dérivée d’une composée de fonction.

B
Dérivée seconde


Définition

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle I\text{I}. On note ff^\prime sa fonction dérivée.
Lorsque ff^\prime est dérivable sur I\text{I}, on note ff^{\prime\prime} sa dérivée.
ff^{\prime\prime} est appelée la dérivée seconde de ff sur I\text{I}.

Remarques

ff^{\prime\prime} se lit « ff seconde ».
On peut également calculer des dérivées d’ordre 33, 44, 55, ... , nn avec nNn \in \mathbb{N}.

Exemple

Soit ff la fonction polynôme définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4x3+2x2+13x+9f(x)=4 x^{3}+2 x^{2}+13 x+9.
ff est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx, on a f(x)=12x2+4x+13f^{\prime}(x)=12 x^{2}+4 x+13.
ff^\prime est un polynôme qui est donc dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx, on a f(x)=24x+4f^{\prime \prime}(x)=24 x+4.
Ainsi, la dérivée seconde de la fonction ff est la fonction ff^{\prime\prime} définie sur R\mathbb{R} par f(x)=24x+4f^{\prime \prime}(x)=24 x+4.

NOTATION

On note f(n)f^{(n)} la dérivée nn‑ième.
En particulier :
  • f(0)=ff^{(0)}=f ;
  • f(1)=ff^{(1)}=f^{\prime} ;
  • f(2)=ff^{(2)}=f^{\prime \prime}.
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