En France, le paiement de l'impôt sur le revenu est régi par un système par tranches. Selon leur montant, les revenus sont partagés sur une ou plusieurs tranches, chacune associée à un taux d'imposition précis.
Sur le site du ministère de l'Économie, on peut voir apparaître le barème ci‑contre, applicable au début de l'année 2020. Pour simplifier, on considère le cas de Didier, personne célibataire et sans enfant (le nombre de part est dans ce cas égal à $1$).
Pour mieux comprendre ce système d'imposition, on prend deux exemples.
a) Le revenu annuel brut de Didier est de $9000$ €. Puisque $9000<10064$, le taux d'imposition est de $0$ % : Didier n'est pas imposable sur le revenu.
b) Le revenu annuel brut de Didier est de $30000$ €. On effectue le calcul suivant :
$30000=25659+4341=10064+15595+4341$.
Le montant de l'impôt est donc égal à $10064\times \frac{0}{100}+15595\times \frac{11}{100}+4341\times \frac{30}{100}=3017,75$ soit un impôt final de $3018$ € correspondant à $10,06$ % de son revenu brut. Il y a donc une différence entre le taux marginal d'imposition (le taux de la tranche la plus élevée, ici $30$ %) et le taux global d'imposition par rapport au revenu (ici $10,06$ %).

Questions préliminaires :
Écrivons chaque tranche sous forme d'intervalles :
${\mathrm{I}}_1=[0;10064]$, ${\mathrm{I}}_2=]10064;25659]$, ${\mathrm{I}}_3=]25659;73369]$, ${\mathrm{I}}_4=]73369;157806]$ et ${\mathrm{I}}_5=]157806;+\infty [$.

1. Pour $x\in {\mathrm{I}}_1$, l'impôt se calcule à l'aide de la fonction nulle $x\mapsto 0$.
a. Justifier que, pour $x\in {\mathrm{I}}_2$, l'impôt se calcule à l'aide de la fonction affine $f_2:x\mapsto 0,11x-1107,04$.

b. Pour chacun des autres intervalles, déterminer les fonctions affines permettant de calculer le montant de l'impôt.

2. On note $\text{F}$, et on appelle fonction impôts, la fonction affine par morceaux définie sur chacun des intervalles précédents à l'aide des fonctions affines déterminées dans la question 1..
Démontrer que $\text{F}$ est une fonction continue sur $[0;+\infty [$.

1. Ouvrir une fenêtre GeoGebra et représenter la fonction $\text{F}$ (on remarquera notamment que $\text{F}$ est bien continue.) Adapter la fenêtre pour visualiser la fonction sur l'intervalle $[0;100000]$.

2. a. Comment peut‑on visualiser le fait que, plus le revenu est élevé, plus le montant de l'impôt est élevé ?

b. Justifier alors que la fonction impôts $\text{F}$ est convexe.

3. On s'intéresse maintenant au taux global d'imposition. On note $\text{G}$ la fonction correspondante.
a. Justifier que, pour tout revenu $x>0$, $\mathrm{G}(x)=\frac{\mathrm{F}(x)}{x}$.

b. Représenter cette fonction sur GeoGebra et commenter le résultat obtenu. Il faut penser à changer la fenêtre graphique en ordonnée (en effet, $0\%⩽\mathrm{G}(x)⩽100\%$).

4. Didier souhaite connaître le montant qu'il lui restera après avoir payé ses impôts. On note $\text{R}$ la fonction correspondante.
a. Pour tout revenu $x>0$, exprimer $\mathrm{R}(x)$ en fonction de $x$ et $\mathrm{F}(x)$.

b. Représenter la fonction $\text{R}$ en adaptant une nouvelle fois la fenêtre graphique et décrire ses variations. Comment peut‑on interpréter les variations de $\text{R}$ dans ce contexte ?

c. Le patron de Didier lui propose une forte augmentation qui le ferait passer à une tranche supérieure. Didier hésite car il sait qu'il devra alors payer davantage d'impôts. Que peut‑on conseiller à Didier si sa seule contrainte est de maintenir son niveau de vie actuel ?