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Imposition par tranches

En France, le paiement de l’impôt sur le revenu est régi par un système par tranches.
Selon leur montant, les revenus sont partagés sur une ou plusieurs tranches, chacune associée à un taux d’imposition précis.
Sur le site du ministère de l’Économie, on peut voir apparaître le barème ci‑contre, applicable au début de l’année 2020. Pour simplifier, on considère le cas de Didier, personne célibataire et sans enfant (le nombre de part est dans ce cas égal à $1$).
Pour mieux comprendre ce système d’imposition, on prend deux exemples.
a) Le revenu annuel brut de Didier est de $9 000$ €. Puisque $9 000 \lt 10 064$, le taux d’imposition est de $0$ % : Didier n’est pas imposable sur le revenu.
b) Le revenu annuel brut de Didier est de $30 000$ €. On effectue le calcul suivant :
$30 000=25 659+4 341=10 064+15 595+4 341$.
Le montant de l’impôt est donc égal à $10 064 \times \dfrac{0}{100}+15 595 \times \dfrac{11}{100}+4 341 \times \dfrac{30}{100}=3 017{,}75$ soit un impôt final de $3 018$ € correspondant à $10{,}06$ % de son revenu brut. Il y a donc une différence entre le taux marginal d’imposition (le taux de la tranche la plus élevée, ici $30$ %) et le taux global d’imposition par rapport au revenu (ici $10{,}06$ %).

Questions préliminaires :
Écrivons chaque tranche sous forme d’intervalles :
$\mathrm{I}_{1}=[0\,; 10 064]$, $\mathrm{I}_{2}=]10 064\,; 25 659]$, $\mathrm{I}_{3}=]25 659\,; 73 369]$, $\mathrm{I}_{4}=]73 369\,; 157 806]$ et $\mathrm{I}_{5}=]157 806\,; +\infty[$.

1. Pour $x \in \mathrm{I}_1$, l’impôt se calcule à l’aide de la fonction nulle $x \mapsto 0$.
a. Justifier que, pour $x \in \mathrm{I}_2$, l’impôt se calcule à l’aide de la fonction affine $f_{2}: x \mapsto 0{,}11 x-1 107{,}04$.


b. Pour chacun des autres intervalles, déterminer les fonctions affines permettant de calculer le montant de l’impôt.


2. On note $\text{F}$, et on appelle fonction impôts, la fonction affine par morceaux définie sur chacun des intervalles précédents à l’aide des fonctions affines déterminées dans la question 1..
Démontrer que $\text{F}$ est une fonction continue sur $[0\,; +\infty[$.