Rappeler le sens de variation de la fonction exponentielle sur \mathbb{R} et en déduire que l'équation \text e^x = 2 admet une unique solution dans \mathbb{R}.

Aide

On pourra utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Compléter la fonction \textcolor{#7D3681}{\mathbf{solution}}, écrite ci‑dessous, afin que l'appel de la fonction \textcolor{#7D3681}{\mathbf{solution}} renvoie une valeur approchée de la solution de l'équation \text e^x = 2 à la précision voulue. Donner un encadrement de cette solution à 10^{-2} près.

from math import exp

def solution(precision):
	reponse = 0
	while exp(reponse) ... :
		reponse = reponse + precision
	return reponse

Partie B : Cas général

Montrer que, pour tout \alpha \gt 0, l'équation \text{(E)}\nobreakspace{:}\ \text e^x = \alpha admet une unique solution dans \mathbb{R}.

Modifier la fonction \textcolor{#7D3681}{\mathbf{solution}} pour qu'elle renvoie une valeur approchée à 0,01 près de la solution de \text{(E)}, pour une valeur de \alpha donnée en paramètre.

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Bilan

Pour tout \boldsymbol{\alpha \gt 0}, la solution de l'équation \boldsymbol{\text e^x = \alpha} s'appelle le logarithme népérien de \boldsymbol{\alpha}. En utilisant la touche \textcolor{#7D3681}{\mathbf{ln}} de la calculatrice, reproduire et compléter le tableau suivant en expliquant pourquoi il n'y pas de valeur de \boldsymbol{\alpha} inférieure ou égale à \bold{0} (arrondir à \bold{10^{-3}} près si nécessaire).

\boldsymbol{\alpha}	1	2	4	8	10	100
logarithme népérien de \boldsymbol{\alpha}

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B
Représentation graphique de la fonction logarithme népérien

Objectif : Découvrir une méthode géométrique pour tracer point par point la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.

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Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Soit \text{M} le point du plan d'abscisse a situé sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Quelles sont les coordonnées de \text{M} ?

On note \text{M}^\prime le point de coordonnées (\text e^a~;~a). On considère la droite d d'équation y = x.
a) Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}. En utilisant un vecteur directeur de d, montrer que d \perp\left(\mathrm{MM}^{\prime}\right).

b) Démontrer que le milieu de \left[\mathrm{MM}^{\prime}\right] appartient à d.

b) Que peut‑on en déduire concernant les points \text{M} et \text{M}^{\prime} par rapport à d ?

On note x l'abscisse du point \text{M}^\prime. En déduire l'ordonnée de \text{M}^\prime en fonction de x.

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Bilan

Décrire une méthode de tracé point par point de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien à partir de la courbe de la fonction exponentielle (on pourra tester cette méthode en téléchargeant le graphique
ici
).

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C
Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

Objectif : Découvrir et démontrer la relation fonctionnelle du logarithme népérien.

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Partie A : Conjecturer à l'aide de la calculatrice

À l'aide de la calculatrice, donner une approximation de \text{ln(2)}, \text{ln(3)} et \text{ln(6)}.
Conjecturer une relation entre \text{ln(2)} + \text{ln(3)} et \text{ln(6)}.

Déterminer si la même relation peut être établie entre \text{ln(5)}, \text{ln(7)} et \text{ln(35)}.

a) Sans calculatrice, conjecturer l'expression de \text{ln(48)} en fonction de \text{ln(6)} et \text{ln(8)}. Vérifier cette conjecture à l'aide de la calculatrice.

b) Conjecturer l'expression de \text{ln}(ab) en fonction de \text{ln}(a) et \text{ln}(b) où a et b sont des nombres réels strictement positifs.

Partie B : Démontrer

Montrer que, pour tous réels x et y de l'intervalle ] 0 ; + \infty [, \text{ln}(x \times y) et \ln (x)+ \ln (y) ont la même image par la fonction exponentielle.

Aide

Bilan : Pour tous réels a et b, \mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a=b

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Bilan

En déduire une relation entre \boldsymbol{\ln (x \times y)} et \boldsymbol{\ln (x)+\ln (y)}, valable pour tous réels \boldsymbol{x} et \boldsymbol{y} strictement positifs.

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D
Dérivée d'une fonction du type \boldsymbol{\text{ln}(u)}

Objectif : Découvrir la dérivée d'une fonction du type \text{ln}(u).

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Dans cette activité, on considère une fonction u définie et dérivable (et donc continue) sur un intervalle \text{I} tel que, pour tout x \in \mathrm{I}, u(x)\gt 0. On considère également la fonction f définie et dérivable sur \text{I} par f(x)=\ln (u(x)).

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Justifier que f est bien définie sur \text{I}.

Établir que, pour tout x \in \text{I} et h \gt 0, on a :
\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (u(x+h))-\ln (u(x))}{h}=\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{u(x+h)}{u(x)}\right)}{\frac{u(x+h)}{u(x)}-1} \times \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \times \frac{1}{u(x)}.

a) En considérant la dérivabilité de la fonction ln en 1, établir que : \displaystyle\lim _{\text{X} \rightarrow 1} \frac{\ln (\text{X})}{\text{X}-1}=1.

Aide

Lorsqu'une fonction f est dérivable en a, alors, f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

b) En déduire que \displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{u(x+h)}{u(x)}\right)}{\frac{u(x+h)}{u(x)}-1}=1.

À l'aide d'un nombre dérivé, déterminer \displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}.

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Bilan

Montrer que, pour tout \boldsymbol{x \in}\ \bold{I} tel que \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x) \neq 0}, \bold{ln}\boldsymbol{(u)} est dérivable et que sa dérivée est la fonction \frac{\boldsymbol{u}^{\prime}}{\boldsymbol{u}}.

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Logarithme népérien

ALogarithme népérien d'un nombre strictement positif

Partie A : Quelques cas particuliers

Partie B : Cas général

BReprésentation graphique de la fonction logarithme népérien

CPropriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

Partie A : Conjecturer à l'aide de la calculatrice

Partie B : Démontrer

DDérivée d'une fonction du type \boldsymbol{\text{ln}(u)}

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A
Logarithme népérien d'un nombre strictement positif

B
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C
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D
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