1

Résoudre, dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes : ${\mathrm{e}}^x=1$ ; ${\mathrm{e}}^x=0$ ; ${\mathrm{e}}^x=-1$ ; ${\mathrm{e}}^x=\mathrm{e}$.

2

Rappeler le sens de variation de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ et en déduire que l'équation ${\text{e}}^x=2$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.

Compléter la fonction $\mathbf{s}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}$, écrite ci‑dessous, afin que l'appel de la fonction $\mathbf{s}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}$ renvoie une valeur approchée de la solution de l'équation ${\text{e}}^x=2$ à la précision voulue. Donner un encadrement de cette solution à $10^{-2}$ près.

from math import exp

def solution(precision):
	reponse = 0
	while exp(reponse) ... :
		reponse = reponse + precision
	return reponse

1

Montrer que, pour tout $\alpha >0$, l'équation $\text{(E)}:{\text{e}}^x=\alpha$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.

2

Modifier la fonction $\mathbf{s}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}$ pour qu'elle renvoie une valeur approchée à $0,01$ près de la solution de $\text{(E)}$, pour une valeur de $\alpha$ donnée en paramètre.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Soit $\text{M}$ le point du plan d'abscisse $a$ situé sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

1

À l'aide de la calculatrice, donner une approximation de $\text{ln(2)}$, $\text{ln(3)}$ et $\text{ln(6)}$.
Conjecturer une relation entre $\text{ln(2)}+\text{ln(3)}$ et $\text{ln(6)}$.

2

Déterminer si la même relation peut être établie entre $\text{ln(5)}$, $\text{ln(7)}$ et $\text{ln(35)}$.

a) Sans calculatrice, conjecturer l'expression de $\text{ln(48)}$ en fonction de $\text{ln(6)}$ et $\text{ln(8)}$. Vérifier cette conjecture à l'aide de la calculatrice.

b) Conjecturer l'expression de $\text{ln}(ab)$ en fonction de $\text{ln}(a)$ et $\text{ln}(b)$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels strictement positifs.