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Activités
P.238-239

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Activités




A
Logarithme népérien d’un nombre strictement positif



Objectif

Découvrir le logarithme népérien d’un nombre strictement positif et la fonction logarithme népérien.

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Partie A : Quelques cas particuliers

1
Résoudre, dans , les équations suivantes : ; ; ; .


2
Rappeler le sens de variation de la fonction exponentielle sur et en déduire que l’équation admet une unique solution dans .



Aide
On pourra utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.



3
Compléter la fonction , écrite ci‑dessous, afin que l’appel de la fonction renvoie une valeur approchée de la solution de l’équation à la précision voulue. Donner un encadrement de cette solution à près.

from math import exp

def solution(precision):
	reponse = 0
	while exp(reponse) ... :
		reponse = reponse + precision
	return reponse


Partie B : Cas général

1
Montrer que, pour tout , l’équation admet une unique solution dans .


2
Modifier la fonction pour qu’elle renvoie une valeur approchée à près de la solution de , pour une valeur de donnée en paramètre.


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Bilan

Pour tout , la solution de l’équation s’appelle le logarithme népérien de . En utilisant la touche de la calculatrice, reproduire et compléter le tableau suivant en expliquant pourquoi il n’y pas de valeur de inférieure ou égale à (arrondir à près si nécessaire).


logarithme népérien de


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B
Représentation graphique de la fonction logarithme népérien



Objectif

Découvrir une méthode géométrique pour tracer point par point la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.


Activité - fonction logarithme népérien
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Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Soit le point du plan d’abscisse situé sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

1
Quelles sont les coordonnées de  ?


2
On note le point de coordonnées . On considère la droite d’équation .
a) Déterminer les coordonnées de . En utilisant un vecteur directeur de , montrer que .


b) Démontrer que le milieu de appartient à .


b) Que peut‑on en déduire concernant les points et par rapport à  ?


3
On note l’abscisse du point . En déduire l’ordonnée de en fonction de .
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Bilan

Décrire une méthode de tracé point par point de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien à partir de la courbe de la fonction exponentielle (on pourra tester cette méthode en téléchargeant le graphique sur ).
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C
Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien



Objectif

Découvrir et démontrer la relation fonctionnelle du logarithme népérien.

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Partie A : Conjecturer à l’aide de la calculatrice

1
À l’aide de la calculatrice, donner une approximation de , et .
Conjecturer une relation entre et .


2
Déterminer si la même relation peut être établie entre , et .


3
a) Sans calculatrice, conjecturer l’expression de en fonction de et . Vérifier cette conjecture à l’aide de la calculatrice.


b) Conjecturer l’expression de en fonction de et et sont des nombres réels strictement positifs.


Partie B : Démontrer

Montrer que, pour tous réels et de l’intervalle , et ont la même image par la fonction exponentielle.
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Bilan

En déduire une relation entre et , valable pour tous réels et strictement positifs.



Aide
Bilan : Pour tous réels et , .

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D
Dérivée d’une fonction du type



Objectif

Découvrir la dérivée d’une fonction du type .

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Dans cette activité, on considère une fonction définie et dérivable (et donc continue) sur un intervalle tel que, pour tout , . On considère également la fonction définie et dérivable sur par .

1
Justifier que est bien définie sur .


2
Établir que, pour tout et , on a :
.



3
a) En considérant la dérivabilité de la fonction en , établir que : .




Aide
Lorsqu’une fonction est dérivable en , alors, .


b) En déduire que .



4
À l’aide d’un nombre dérivé, déterminer .


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Bilan

Montrer que, pour tout tel que , est dérivable et que sa dérivée est la fonction .
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