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Activités
P.238-239

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A
Logarithme népérien d’un nombre strictement positif



Objectif

Découvrir le logarithme népérien d’un nombre strictement positif et la fonction logarithme népérien.

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Partie A : Quelques cas particuliers

1
Résoudre, dans R\mathbb{R}, les équations suivantes : ex=1\mathrm{e}^{x}=1 ; ex=0\mathrm{e}^{x}=0 ; ex=1\mathrm{e}^{x}=-1 ; ex=e\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}.


2
Rappeler le sens de variation de la fonction exponentielle sur R\mathbb{R} et en déduire que l’équation ex=2\text e^x = 2 admet une unique solution dans R\mathbb{R}.



Aide
On pourra utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.



3
Compléter la fonction solution\textcolor{#7D3681}{\mathbf{solution}}, écrite ci‑dessous, afin que l’appel de la fonction solution\textcolor{#7D3681}{\mathbf{solution}} renvoie une valeur approchée de la solution de l’équation ex=2\text e^x = 2 à la précision voulue. Donner un encadrement de cette solution à 10210^{-2} près.

from math import exp

def solution(precision):
	reponse = 0
	while exp(reponse) ... :
		reponse = reponse + precision
	return reponse


Partie B : Cas général

1
Montrer que, pour tout α>0\alpha \gt 0, l’équation (E) : ex=α\text{(E)}\nobreakspace{:}\ \text e^x = \alpha admet une unique solution dans R\mathbb{R}.


2
Modifier la fonction solution\textcolor{#7D3681}{\mathbf{solution}} pour qu’elle renvoie une valeur approchée à 0,010,01 près de la solution de (E)\text{(E)}, pour une valeur de α\alpha donnée en paramètre.


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Bilan

Pour tout α>0\boldsymbol{\alpha \gt 0}, la solution de l’équation ex=α\boldsymbol{\text e^x = \alpha} s’appelle le logarithme népérien de α\boldsymbol{\alpha}. En utilisant la touche ln\textcolor{#7D3681}{\mathbf{ln}} de la calculatrice, reproduire et compléter le tableau suivant en expliquant pourquoi il n’y pas de valeur de α\boldsymbol{\alpha} inférieure ou égale à 0\bold{0} (arrondir à 103\bold{10^{-3}} près si nécessaire).


α\boldsymbol{\alpha} 11 22 33 44 88 1010 100100
logarithme népérien de α\boldsymbol{\alpha}


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B
Représentation graphique de la fonction logarithme népérien



Objectif

Découvrir une méthode géométrique pour tracer point par point la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.


Activité - fonction logarithme népérien
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Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Soit M\text{M} le point du plan d’abscisse aa situé sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

1
Quelles sont les coordonnées de M\text{M} ?


2
On note M\text{M}^\prime le point de coordonnées (ea ; a)(\text e^a~;~a). On considère la droite dd d’équation y=xy = x.
a) Déterminer les coordonnées de MM\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}. En utilisant un vecteur directeur de dd, montrer que d(MM)d \perp\left(\mathrm{MM}^{\prime}\right).


b) Démontrer que le milieu de [MM]\left[\mathrm{MM}^{\prime}\right] appartient à dd.


b) Que peut‑on en déduire concernant les points M\text{M} et M\text{M}^{\prime} par rapport à dd ?


3
On note xx l’abscisse du point M\text{M}^\prime. En déduire l’ordonnée de M\text{M}^\prime en fonction de xx.
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Bilan

Décrire une méthode de tracé point par point de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien à partir de la courbe de la fonction exponentielle (on pourra tester cette méthode en téléchargeant le graphique sur ).
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C
Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien



Objectif

Découvrir et démontrer la relation fonctionnelle du logarithme népérien.

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Partie A : Conjecturer à l’aide de la calculatrice

1
À l’aide de la calculatrice, donner une approximation de ln(2)\text{ln(2)}, ln(3)\text{ln(3)} et ln(6)\text{ln(6)}.
Conjecturer une relation entre ln(2)+ln(3)\text{ln(2)} + \text{ln(3)} et ln(6)\text{ln(6)}.


2
Déterminer si la même relation peut être établie entre ln(5)\text{ln(5)}, ln(7)\text{ln(7)} et ln(35)\text{ln(35)}.


3
a) Sans calculatrice, conjecturer l’expression de ln(48)\text{ln(48)} en fonction de ln(6)\text{ln(6)} et ln(8)\text{ln(8)}. Vérifier cette conjecture à l’aide de la calculatrice.


b) Conjecturer l’expression de ln(ab)\text{ln}(ab) en fonction de ln(a)\text{ln}(a) et ln(b)\text{ln}(b)aa et bb sont des nombres réels strictement positifs.


Partie B : Démontrer

Montrer que, pour tous réels xx et yy de l’intervalle ]0;+[] 0 ; + \infty [, ln(x×y)\text{ln}(x \times y) et ln(x)+ln(y)\ln (x)+ \ln (y) ont la même image par la fonction exponentielle.
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Bilan

En déduire une relation entre ln(x×y)\boldsymbol{\ln (x \times y)} et ln(x)+ln(y)\boldsymbol{\ln (x)+\ln (y)}, valable pour tous réels x\boldsymbol{x} et y\boldsymbol{y} strictement positifs.



Aide
Bilan : Pour tous réels aa et bb, ea=eba=b\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a=b.

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D
Dérivée d’une fonction du type ln(u)\boldsymbol{\text{ln}(u)}



Objectif

Découvrir la dérivée d’une fonction du type ln(u)\text{ln}(u).

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Dans cette activité, on considère une fonction uu définie et dérivable (et donc continue) sur un intervalle I\text{I} tel que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, u(x)>0u(x)\gt 0. On considère également la fonction ff définie et dérivable sur I\text{I} par f(x)=ln(u(x))f(x)=\ln (u(x)).

1
Justifier que ff est bien définie sur I\text{I}.


2
Établir que, pour tout xIx \in \text{I} et h>0h \gt 0, on a :
limh0ln(u(x+h))ln(u(x))h\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{\ln (u(x+h))-\ln (u(x))}{h}=limh0ln(u(x+h)u(x))u(x+h)u(x)1×u(x+h)u(x)h×1u(x)=\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left(\dfrac{u(x+h)}{u(x)}\right)}{\dfrac{u(x+h)}{u(x)}-1} \times \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} \times \dfrac{1}{u(x)}.



3
a) En considérant la dérivabilité de la fonction lnln en 11, établir que : limX1ln(X)X1=1 \displaystyle\lim _{\text{X} \rightarrow 1} \dfrac{\ln (\text{X})}{\text{X}-1}=1.




Aide
Lorsqu’une fonction ff est dérivable en aa, alors, f(a)=limxaf(x)f(a)xaf^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}.


b) En déduire que limh0ln(u(x+h)u(x))u(x+h)u(x)1=1\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left(\dfrac{u(x+h)}{u(x)}\right)}{\dfrac{u(x+h)}{u(x)}-1}=1.



4
À l’aide d’un nombre dérivé, déterminer limh0u(x+h)u(x)h\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}.


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Bilan

Montrer que, pour tout x I\boldsymbol{x \in}\ \bold{I} tel que u(x)0\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x) \neq 0}, ln(u)\bold{ln}\boldsymbol{(u)} est dérivable et que sa dérivée est la fonction uu\dfrac{\boldsymbol{u}^{\prime}}{\boldsymbol{u}}.
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