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Fonction logarithme

Le logarithme népérien d’un nombre négatif ou nul n’existe pas.

Exemples

$\mathrm{e}^{x}=1 \Leftrightarrow x=\ln (1)$ dont $\ln (1)=0$.
$\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e} \Leftrightarrow x=\ln (\mathrm{e})$ donc $\ln (\mathrm{e})=1$.

Plusieurs langages de programmation, dont Python, utilisent la notation $\color{#7D3681}\mathbf{log}$ pour le logarithme népérien.

DÉMO

1. Soit $x \in] 0 \,;+\infty[$. On a $\mathrm{e}^{\ln (x)}=x$ par définition du logarithme népérien de $x$.
2. Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $\text e^x~\gt~0$. D'après la première propriété, $\exp \left(\ln \left(\text e^{x}\right)\right)=\exp (x)$. La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on a $\ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)=x$.

Puisque la fonction $\text{exp}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$,
$\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a=b$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\mathrm{e}^{3 x+5}=2$.

Si, pour tout $x\gt0$, $f(x)=\ln (x)$, alors pour tout $x\gt0$, $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}$.

DÉMO

On admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur $] 0 \,;+\infty[$.
On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x\gt0$, par $f(x)=\mathrm{e}^{\ln (x)}-x$.
Par définition du logarithme népérien, pour tout $x \in] 0 \,;+\infty[$, $\mathrm{e}^{\ln (x)}=x$. La fonction $f$ est donc la fonction nulle. Ainsi, sa dérivée est également la fonction nulle.
On note $u$, la fonction dérivée de la fonction $\text{ln}$.
Alors, pour tout $x\gt0$, $f^{\prime}(x)=u(x) \mathrm{e}^{\ln (x)}-1=0$, c'est-à-dire $u(x) \mathrm{e}^{\ln (x)}=1$ ou bien encore $u(x) \times x=1$. Par conséquent, pour tout $x\gt0$, $u(x)=\dfrac{1}{x}$.

Pour calculer $f^\prime$, on utilise la formule $(v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right)$.

Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x \in] 0~;~+\infty[$, par $f(x)=x \ln (x)$.

DÉMO

La dérivée de la fonction $\text{ln}$ est la fonction inverse sur $] 0\,;+\infty[$. Or, pour tout $x \in] 0\,;+\infty[$,$\dfrac{1}{x}~\gt~0$. Ainsi, la fonction $\text{ln}$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$. Les limites sont admises.

Les limites de $\text{ln}$ découlent de celles de $\text{exp}$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

La stricte croissance de la fonction $\text{ln}$ sur $] 0 ;\,+\infty[$ a pour conséquence la propriété suivante.

DÉMO

Démontrons que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} x \ln (x)=0$. On commence par poser $\text{X}=\ln (x)$.

Puisque $\lim \limits_{X \rightarrow-\infty} \text{X} \mathrm{e}^{\text{X}}=0$ (voir chapitre 5) et $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} \ln (x)=-\infty$, on obtient :

$0=\lim \limits_{\text{X} \rightarrow-\infty} \text{X} \mathrm{e}^{\text{X}}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~>~0}} \ln (x) \mathrm{e}^{\ln (x)}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~\gt~0}} x \ln (x)$.

La limite $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ est démontrée dans l'exercice p. 253.
Le cas général est conjecturé dans le TP 2 de ce chapitre p. 249.

En $+\infty$ la croissance de $x^n$ (avec$n~\gt~0)$ est plus rapide que la croissance de $\ln(x)$.

La propriété 2. utilise le chapitre 7 du manuel.

On peut démontrer que la droite d’équation $y =~x - 1$ est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse $1$.

DÉMONSTRATION

1. Voir l'activité

B

p. 238 (illustration ci‑dessous).

2. Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in] 0\,;+\infty[$, par $f(x)~=\ln(x)$.
Pour tout $x \in] 0\,;+\infty[$, $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}$ et $f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{-1}{x^{2}}$.
Or, pour tout $x \in] 0\,;+\infty [$, $\dfrac{-1}{x^{2}}~\lt~0$.
Ainsi, $f^{\prime \prime}(x)~\lt~0$ et, par conséquent, $f$ est concave sur $] 0\,;+\infty[$.

3. $\lim\limits_{\substack{x~\rightarrow~0 \\ x~\gt~0}} \ln (x)=-\infty$ donc la droite d'équation $x=0$ est une symptote verticale.