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1. Fonction logarithme
P.240-242

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COURS 1


1
Fonction logarithme




A
Définition et conséquences


Définition

Pour tout nombre aa strictement positif, on appelle logarithme népérien de aa l’unique solution réelle de l’équation ex=ae^x = a. Autrement dit ex=ax=ln(a)\mathrm{e}^{x}=a \Leftrightarrow x=\ln (a).

NOTATION

Le logarithme népérien de aa se note ln(a)\text{ln}(a).

Remarque

Le logarithme népérien d’un nombre négatif ou nul n’existe pas.

Exemples

ex=1x=ln(1)\mathrm{e}^{x}=1 \Leftrightarrow x=\ln (1) dont ln(1)=0\ln (1)=0.
ex=ex=ln(e)\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e} \Leftrightarrow x=\ln (\mathrm{e}) donc ln(e)=1\ln (\mathrm{e})=1.

Propriétés

1. Pour tout x]0;+[x \in \left]0\,; +\infty \right[, eln(x)=x\mathrm{e}^{\ln (x)}=x.
2. Pour tout xRx \in \mathbb{R}, on a ln(ex)=x\ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)=x.

Remarque

Plusieurs langages de programmation, dont Python, utilisent la notation log\color{#7D3681}\mathbf{log} pour le logarithme népérien.

DÉMO

1. Soit x]0;+[x \in] 0 \,;+\infty[. On a eln(x)=x\mathrm{e}^{\ln (x)}=x par définition du logarithme népérien de xx.
2. Soit xRx \in \mathbb{R}. On a ex > 0\text e^x~\gt~0. D'après la première propriété, exp(ln(ex))=exp(x)\exp \left(\ln \left(\text e^{x}\right)\right)=\exp (x). La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R\mathbb{R}, on a ln(ex)=x\ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)=x.

Remarque

Puisque la fonction exp\text{exp} est strictement croissante sur R\mathbb{R},
ea=eba=b\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a=b.

Application et méthode - 1

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} l’équation e3x+5=2\mathrm{e}^{3 x+5}=2.

Solution

e3x+5=2\mathrm{e}^{3 x+5}=2 3x+5=ln(2)\Leftrightarrow 3 x+5=\ln (2)
x=13(ln(2)5)\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}(\ln (2)-5)
Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 250

Méthode

Pour a > 0a~\gt~0, eX=aX=ln(a)\mathrm{e}^{\mathrm{X}}=a \Leftrightarrow \mathrm{X}=\ln (a).
On résout ensuite l’équation.

B
Étude de la fonction logarithme népérien


Définition

On appelle fonction logarithme népérien la fonction ff définie, pour tout x]0;+[x \in] 0 \,;+\infty[, par f(x)=ln(x)f(x)=\ln (x).

NOTATION

La fonction logarithme népérien se note ln\text{ln}.

Propriété

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+[] 0 \,;+\infty[ et sa dérivée est la fonction inverse restreinte à ]0;+[] 0 \,;+\infty[.

Remarque

Si, pour tout x>0x\gt0, f(x)=ln(x)f(x)=\ln (x), alors pour tout x>0x\gt0, f(x)=1xf^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}.

DÉMO

On admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+[] 0 \,;+\infty[.
On considère la fonction ff définie, pour tout x>0x\gt0, par f(x)=eln(x)xf(x)=\mathrm{e}^{\ln (x)}-x.
Par définition du logarithme népérien, pour tout x]0;+[x \in] 0 \,;+\infty[, eln(x)=x\mathrm{e}^{\ln (x)}=x. La fonction ff est donc la fonction nulle. Ainsi, sa dérivée est également la fonction nulle.
On note uu, la fonction dérivée de la fonction ln\text{ln}.
Alors, pour tout x>0x\gt0, f(x)=u(x)eln(x)1=0f^{\prime}(x)=u(x) \mathrm{e}^{\ln (x)}-1=0, c'est-à-dire u(x)eln(x)=1u(x) \mathrm{e}^{\ln (x)}=1 ou bien encore u(x)×x=1u(x) \times x=1. Par conséquent, pour tout x>0x\gt0, u(x)=1xu(x)=\dfrac{1}{x}.

Remarque

Pour calculer ff^\prime, on utilise la formule (vu)=u×(vu)(v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

Application et méthode - 2

Énoncé

Étudier les variations de la fonction ff définie, pour tout x]0 ; +[x \in] 0~;~+\infty[, par f(x)=xln(x)f(x)=x \ln (x).

Solution

La fonction ff est dérivable sur I=]0 ; +[\mathrm{I}=] 0~;~+\infty[ en tant que produit dee fonctions dérivables sur I\text{I}.
Pour tout xIx \in \mathrm{I}, f(x)=1×ln(x)+x×1x=ln(x)+1f^{\prime}(x)=1 \times \ln (x)+x \times \dfrac{1}{x}=\ln (x)+1.
f(x)=0ln(x)=1x=e1f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow \ln (x)=-1 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-1} et
f(x)>0ln(x)>1x>e1f^{\prime}(x)>0 \Leftrightarrow \ln (x)>-1 \Leftrightarrow x>\mathrm{e}^{-1} car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.
La fonction ff est donc strictement décroissante sur ]0 ; e1]\left.] 0~;~\mathrm{e}^{-1}\right] et strictement croissante sur [e1 ; +[\left[\mathrm{e}^{-1}~;~+\infty[\right..

Pour s'entraîner : exercice 29 et 30 p. 250

Méthode

  • On vérifie que la fonction ff est bien dérivable.
  • On calcule l’expression de la dérivée ff^\prime puis on détermine son signe et les réels où elle s’annule.
  • Ici, on a besoin de résoudre une équation du type ln(x)=a\ln (x)=a.
  • On en déduit les variations de la fonction étudiée.


Propriétés

1. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[.

2. De plus limx0x>0\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}  ln(x)=\ln (x)=-\infty et limx+ln(x)=+\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty


DÉMO

La dérivée de la fonction ln\text{ln} est la fonction inverse sur ]0;+[] 0\,;+\infty[. Or, pour tout x]0;+[x \in] 0\,;+\infty[,1x > 0\dfrac{1}{x}~\gt~0. Ainsi, la fonction ln\text{ln} est strictement croissante sur ]0;+[ ]0\,;+\infty[. Les limites sont admises.

Remarque

Les limites de ln\text{ln} découlent de celles de exp\text{exp} en ++\infty et en -\infty.

La stricte croissance de la fonction ln\text{ln} sur ]0;+[] 0 ;\,+\infty[ a pour conséquence la propriété suivante.

Propriété

Pour tous réels aa et bb strictement positifs :
a=bln(a)=ln(b)a=b \Leftrightarrow \ln (a)=\ln (b) et a > bln(a)>ln(b)a~\gt~b \Leftrightarrow \ln (a)>\ln (b).

Théorème des croissances comparées

Pour tout entier naturel nn strictement positif :
limx0x > 0\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~\gt~0}}xnln(x)=0x^{n} \ln (x)=0 et limx+ln(x)xn=0\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x^{n}}=0.

En particulier, limx0x > 0\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~\gt~0}}xln(x)=0x \ln (x)=0 et limx+ln(x)x=0\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x}=0.

DÉMO

Démontrons que limx0xln(x)=0\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} x \ln (x)=0. On commence par poser X=ln(x)\text{X}=\ln (x).

Puisque limXXeX=0\lim \limits_{X \rightarrow-\infty} \text{X} \mathrm{e}^{\text{X}}=0 (voir chapitre 5) et limx0x>0ln(x)=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} \ln (x)=-\infty, on obtient :

0=limXXeX=limx0x > 0ln(x)eln(x)=limx0x > 0xln(x)0=\lim \limits_{\text{X} \rightarrow-\infty} \text{X} \mathrm{e}^{\text{X}}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~>~0}} \ln (x) \mathrm{e}^{\ln (x)}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~\gt~0}} x \ln (x).

La limite limx+ln(x)x\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x} est démontrée dans l'exercice p. 253.
Le cas général est conjecturé dans le TP 2 de ce chapitre p. 249.

Remarque

En ++\infty la croissance de xnx^n (avecn > 0) n~\gt~0) est plus rapide que la croissance de ln(x)\ln(x).

 La fonction logarithme népérien

C
Propriétés graphiques


Propriétés

1. Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de la fonction logarithme népérien est le symétrique de la représentation graphique de la fonction exponentielle par rapport à la droite d’équation y=xy = x.

2. La fonction logarithme népérien est concave sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[.

3. La droite d’équation x=0x = 0 est une asymptote verticale à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.

Remarque

La propriété 2. utilise le chapitre 7 du manuel.

Remarque

On peut démontrer que la droite d’équation y= x1y =~x - 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse 11.

DÉMONSTRATION

1. Voir l'activité
B
p. 238
(illustration ci‑dessous).

2. Soit ff la fonction définie, pour tout x]0;+[x \in] 0\,;+\infty[, par f(x) =ln(x)f(x)~=\ln(x).
Pour tout x]0;+[x \in] 0\,;+\infty[, f(x)=1xf^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x} et f(x)=1x2f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{-1}{x^{2}}.
Or, pour tout x]0;+[x \in] 0\,;+\infty [, 1x2 < 0\dfrac{-1}{x^{2}}~\lt~0.
Ainsi, f(x) < 0f^{\prime \prime}(x)~\lt~0 et, par conséquent, ff est concave sur ]0;+[] 0\,;+\infty[.

3. limx  0x > 0ln(x)=\lim\limits_{\substack{x~\rightarrow~0 \\ x~\gt~0}} \ln (x)=-\infty donc la droite d'équation x=0x=0 est une symptote verticale.

Logarithme népérien - Démonstration - C Propriétés graphiques
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