Pour tout nombre a strictement positif, on appelle logarithme népérien de a l’unique solution réelle de l’équation ex=a. Autrement dit ex=a⇔x=ln(a).
NOTATION
Le logarithme népérien de a se note ln(a).
Remarque
Le logarithme népérien d’un nombre négatif ou nul n’existe pas.
Exemples
ex=1⇔x=ln(1) dont ln(1)=0. ex=e⇔x=ln(e) donc ln(e)=1.
Propriétés
1. Pour tout x∈]0;+∞[, eln(x)=x.
2. Pour tout x∈R, on a ln(ex)=x.
Remarque
Plusieurs langages de programmation, dont Python, utilisent la notation log pour le logarithme népérien.
DÉMO
1. Soit x∈]0;+∞[. On a eln(x)=x par définition du logarithme népérien de x.
2. Soit x∈R. On a ex>0. D'après la première propriété, exp(ln(ex))=exp(x). La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R, on a ln(ex)=x.
Remarque
Puisque la fonction exp est strictement croissante sur R, ea=eb⇔a=b.
Pour a>0, eX=a⇔X=ln(a).
On résout ensuite l’équation.
B
Étude de la fonction logarithme népérien
Définition
On appelle fonction logarithme népérien la fonction f définie, pour tout x∈]0;+∞[, par f(x)=ln(x).
NOTATION
La fonction logarithme népérien se note ln.
Propriété
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[ et sa dérivée est la fonction inverse restreinte à ]0;+∞[.
Remarque
Si, pour tout x>0, f(x)=ln(x), alors pour tout x>0, f′(x)=x1.
DÉMO
On admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[.
On considère la fonction f définie, pour tout x>0, par f(x)=eln(x)−x.
Par définition du logarithme népérien, pour tout x∈]0;+∞[, eln(x)=x. La fonction
f est donc la fonction nulle. Ainsi, sa dérivée est également la fonction nulle.
On note u, la fonction dérivée de la fonction ln.
Alors, pour tout x>0, f′(x)=u(x)eln(x)−1=0, c'est-à-dire u(x)eln(x)=1 ou bien encore u(x)×x=1. Par conséquent, pour tout x>0, u(x)=x1.
Remarque
Pour calculer f′, on utilise la formule (v∘u)′=u′×(v′∘u).
Application et méthode - 2
Énoncé
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x∈]0;+∞[, par f(x)=xln(x).
Solution
La fonction f est dérivable sur I=]0;+∞[ en tant que produit dee fonctions dérivables sur I.
Pour tout x∈I, f′(x)=1×ln(x)+x×x1=ln(x)+1. f′(x)=0⇔ln(x)=−1⇔x=e−1 et f′(x)>0⇔ln(x)>−1⇔x>e−1 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
La fonction f est donc strictement décroissante sur ]0;e−1] et strictement croissante sur [e−1;+∞[.
On calcule l’expression de la dérivée f′ puis on détermine son signe et les réels où elle s’annule.
Ici, on a besoin de résoudre une équation du type ln(x)=a.
On en déduit les variations de la fonction étudiée.
Propriétés
1. La fonction logarithme népérien
est strictement croissante sur ]0;+∞[.
2. De plus x→0x>0limln(x)=−∞ et x→+∞limln(x)=+∞
DÉMO
La dérivée de la fonction ln est la fonction inverse sur ]0;+∞[. Or, pour tout x∈]0;+∞[,x1>0. Ainsi, la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[. Les limites sont admises.
Remarque
Les limites de ln découlent de celles de exp en +∞ et en −∞.
La stricte croissance de la fonction ln sur ]0;+∞[ a pour conséquence la propriété suivante.
Propriété
Pour tous réels a et b strictement positifs :
a=b⇔ln(a)=ln(b) et a>b⇔ln(a)>ln(b).
Théorème des croissances comparées
Pour tout entier naturel n strictement positif : x→0x>0limxnln(x)=0 et x→+∞limxnln(x)=0.
En particulier, x→0x>0limxln(x)=0
et x→+∞limxln(x)=0.
DÉMO
Démontrons que x→0limxln(x)=0. On commence par poser X=ln(x).
Puisque X→−∞limXeX=0 (voir chapitre 5) et x→0x>0limln(x)=−∞, on obtient :
p. 253.
Le cas général est conjecturé dans le TP 2 de ce chapitre p. 249.
Remarque
En +∞ la croissance de xn (avecn>0) est plus rapide que la croissance de ln(x).
C
Propriétés graphiques
Propriétés
1. Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de la fonction logarithme népérien est le symétrique de la représentation graphique de la fonction exponentielle par rapport à la droite d’équation y=x.
2. La fonction logarithme népérien est concave sur ]0;+∞[.
3. La droite d’équation x=0 est une asymptote verticale à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.
Remarque
La propriété 2. utilise le chapitre 7 du manuel.
Remarque
On peut démontrer que la droite d’équation y=x−1 est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse 1.
2. Soit f la fonction définie, pour tout x∈]0;+∞[, par f(x)=ln(x).
Pour tout x∈]0;+∞[, f′(x)=x1 et f′′(x)=x2−1.
Or, pour tout x∈]0;+∞[, x2−1<0.
Ainsi, f′′(x)<0 et, par conséquent, f est concave sur ]0;+∞[.
3. x→0x>0limln(x)=−∞ donc la droite d'équation x=0 est une symptote verticale.
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