Le logarithme népérien d’un nombre négatif ou nul n’existe pas.

Exemples

${\mathrm{e}}^x=1\iff x=\ln (1)$ dont $\ln (1)=0$.
${\mathrm{e}}^x=\mathrm{e}\iff x=\ln (\mathrm{e})$ donc $\ln (\mathrm{e})=1$.

Plusieurs langages de programmation, dont Python, utilisent la notation $\mathbf{l}\mathbf{o}\mathbf{g}$ pour le logarithme népérien.

DÉMO

1. Soit $x\in ]0;+\infty [$. On a ${\mathrm{e}}^{\ln (x)}=x$ par définition du logarithme népérien de $x$.
2. Soit $x\in \mathbb{R}$. On a ${\text{e}}^x>0$. D'après la première propriété, $\exp \left(\ln \left({\text{e}}^x\right)\right)=\exp (x)$. La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on a $\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=x$.

Puisque la fonction $\text{exp}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$,
${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b\iff a=b$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation ${\mathrm{e}}^{3x+5}=2$.

Si, pour tout $x>0$, $f(x)=\ln (x)$, alors pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$.

DÉMO

On admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0;+\infty [$.
On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x>0$, par $f(x)={\mathrm{e}}^{\ln (x)}-x$.
Par définition du logarithme népérien, pour tout $x\in ]0;+\infty [$, ${\mathrm{e}}^{\ln (x)}=x$. La fonction $f$ est donc la fonction nulle. Ainsi, sa dérivée est également la fonction nulle.
On note $u$, la fonction dérivée de la fonction $\text{ln}$.
Alors, pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=u(x){\mathrm{e}}^{\ln (x)}-1=0$, c'est-à-dire $u(x){\mathrm{e}}^{\ln (x)}=1$ ou bien encore $u(x)\times x=1$. Par conséquent, pour tout $x>0$, $u(x)=\frac{1}{x}$.

Pour calculer $f^{\prime }$, on utilise la formule $(v\circ u{)}^{\prime }=u^{\prime }\times \left(v^{\prime }\circ u\right)$.

Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x\in ]0;+\infty [$, par $f(x)=x\ln (x)$.

DÉMO

La dérivée de la fonction $\text{ln}$ est la fonction inverse sur $]0;+\infty [$. Or, pour tout $x\in ]0;+\infty [$,$\frac{1}{x}>0$. Ainsi, la fonction $\text{ln}$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$. Les limites sont admises.

Les limites de $\text{ln}$ découlent de celles de $\text{exp}$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

La stricte croissance de la fonction $\text{ln}$ sur $]0;+\infty [$ a pour conséquence la propriété suivante.

DÉMO

Démontrons que $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln (x)=0$. On commence par poser $\text{X}=\ln (x)$.

Puisque $\underset{X\to -\infty }{\lim }\text{X}{\mathrm{e}}^{\text{X}}=0$ (voir chapitre 5) et $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln (x)=-\infty$, on obtient :

$0=\underset{\text{X}\to -\infty }{\lim }\text{X}{\mathrm{e}}^{\text{X}}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln (x){\mathrm{e}}^{\ln (x)}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }x\ln (x)$.

La limite $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}$ est démontrée dans l'exercice p. 253.
Le cas général est conjecturé dans le TP 2 de ce chapitre p. 249.

En $+\infty$ la croissance de $x^n$ (avec$n>0)$ est plus rapide que la croissance de $\ln (x)$.

La propriété 2. utilise le chapitre 7 du manuel.

On peut démontrer que la droite d’équation $y=x-1$ est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse $1$.

DÉMONSTRATION

1. Voir l'activité

B

p. 238 (illustration ci‑dessous).

2. Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x\in ]0;+\infty [$, par $f(x)=\ln (x)$.
Pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ et $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-1}{x^2}$.
Or, pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $\frac{-1}{x^2}<0$.
Ainsi, $f^{\prime \prime }(x)<0$ et, par conséquent, $f$ est concave sur $]0;+\infty [$.

3. $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln (x)=-\infty$ donc la droite d'équation $x=0$ est une symptote verticale.