\mathrm{e}^{x}=1 \Leftrightarrow x=\ln (1) dont \ln (1)=0.
\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e} \Leftrightarrow x=\ln (\mathrm{e}) donc \ln (\mathrm{e})=1.

\mathrm{e}^{3 x+5}=2 \Leftrightarrow 3 x+5=\ln (2)
\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}(\ln (2)-5)

Exercices

27

et

28

p. 250

On admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 \,;+\infty[.
On considère la fonction f définie, pour tout x\gt0, par f(x)=\mathrm{e}^{\ln (x)}-x.
Par définition du logarithme népérien, pour tout x \in] 0 \,;+\infty[, \mathrm{e}^{\ln (x)}=x. La fonction f est donc la fonction nulle. Ainsi, sa dérivée est également la fonction nulle.
On note u, la fonction dérivée de la fonction \text{ln}.
Alors, pour tout x\gt0, f^{\prime}(x)=u(x) \mathrm{e}^{\ln (x)}-1=0, c'est-à-dire u(x) \mathrm{e}^{\ln (x)}=1 ou bien encore u(x) \times x=1. Par conséquent, pour tout x\gt0, u(x)=\frac{1}{x}.

Pour calculer f^\prime, on utilise la formule (v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

La dérivée de la fonction \text{ln} est la fonction inverse sur ] 0\,;+\infty[. Or, pour tout x \in] 0\,;+\infty[,\frac{1}{x}~\gt~0. Ainsi, la fonction \text{ln} est strictement croissante sur ]0\,;+\infty[. Les limites sont admises.

Les limites de \text{ln} découlent de celles de \text{exp} en +\infty et en -\infty.

La stricte croissance de la fonction \text{ln} sur ] 0 ;\,+\infty[ a pour conséquence la propriété suivante.

Pour tous réels a et b strictement positifs :
a=b \Leftrightarrow \ln (a)=\ln (b) et a~\gt~b \Leftrightarrow \ln (a)>\ln (b).

Pour tout entier naturel n strictement positif :
\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~\gt~0}}x^{n} \ln (x)=0 et \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{n}}=0.

En particulier, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~\gt~0}}x \ln (x)=0 et \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x}=0.

Démontrons que \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} x \ln (x)=0. On commence par poser \text{X}=\ln (x).

Puisque \lim \limits_{X \rightarrow-\infty} \text{X} \mathrm{e}^{\text{X}}=0 (voir chapitre 5) et \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} \ln (x)=-\infty, on obtient :

0=\lim \limits_{\text{X} \rightarrow-\infty} \text{X} \mathrm{e}^{\text{X}}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~>~0}} \ln (x) \mathrm{e}^{\ln (x)}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x~\gt~0}} x \ln (x).

La limite \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x} est démontrée dans l'exercice

83

p. 253.
Le cas général est conjecturé dans le

TP 2

de ce chapitre p. 249.

En +\infty la croissance de x^n (avec n~\gt~0) est plus rapide que la croissance de \ln(x).

On peut démontrer que la droite d'équation y =~x - 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1.