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1. Fonction logarithme
P.240-242

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COURS 1


1
Fonction logarithme




A
Définition et conséquences


Définition

Pour tout nombre strictement positif, on appelle logarithme népérien de l’unique solution réelle de l’équation . Autrement dit .

NOTATION

Le logarithme népérien de se note .

Remarque

Le logarithme népérien d’un nombre négatif ou nul n’existe pas.

Exemples

dont .
donc .

Propriétés

1. Pour tout , .
2. Pour tout , on a .

Remarque

Plusieurs langages de programmation, dont Python, utilisent la notation pour le logarithme népérien.

DÉMO

1. Soit . On a par définition du logarithme népérien de .
2. Soit . On a . D'après la première propriété, . La fonction exponentielle étant strictement croissante sur , on a .

Remarque

Puisque la fonction est strictement croissante sur ,
.

Application et méthode - 1

Énoncé

Résoudre dans l’équation .

Solution



Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 250

Méthode

Pour , .
On résout ensuite l’équation.

B
Étude de la fonction logarithme népérien


Définition

On appelle fonction logarithme népérien la fonction définie, pour tout , par .

NOTATION

La fonction logarithme népérien se note .

Propriété

La fonction logarithme népérien est dérivable sur et sa dérivée est la fonction inverse restreinte à .

Remarque

Si, pour tout , , alors pour tout , .

DÉMO

On admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur .
On considère la fonction définie, pour tout , par .
Par définition du logarithme népérien, pour tout , . La fonction est donc la fonction nulle. Ainsi, sa dérivée est également la fonction nulle.
On note , la fonction dérivée de la fonction .
Alors, pour tout , , c'est-à-dire ou bien encore . Par conséquent, pour tout , .

Remarque

Pour calculer , on utilise la formule .

Application et méthode - 2

Énoncé

Étudier les variations de la fonction définie, pour tout , par .

Solution

La fonction est dérivable sur en tant que produit dee fonctions dérivables sur .
Pour tout , .
et
car la fonction exponentielle est strictement croissante sur .
La fonction est donc strictement décroissante sur et strictement croissante sur .

Pour s'entraîner : exercice 29 et 30 p. 250

Méthode

  • On vérifie que la fonction est bien dérivable.
  • On calcule l’expression de la dérivée puis on détermine son signe et les réels où elle s’annule.
  • Ici, on a besoin de résoudre une équation du type .
  • On en déduit les variations de la fonction étudiée.


Propriétés

1. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur .

2. De plus   et


DÉMO

La dérivée de la fonction est la fonction inverse sur . Or, pour tout ,. Ainsi, la fonction est strictement croissante sur . Les limites sont admises.

Remarque

Les limites de découlent de celles de en et en .

La stricte croissance de la fonction sur a pour conséquence la propriété suivante.

Propriété

Pour tous réels et strictement positifs :
et .

Théorème des croissances comparées

Pour tout entier naturel strictement positif :
et .

En particulier, et .

DÉMO

Démontrons que . On commence par poser .

Puisque (voir chapitre 5) et , on obtient :

.

La limite est démontrée dans l'exercice p. 253.
Le cas général est conjecturé dans le TP 2 de ce chapitre p. 249.

Remarque

En la croissance de (avec est plus rapide que la croissance de .

 La fonction logarithme népérien

C
Propriétés graphiques


Propriétés

1. Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de la fonction logarithme népérien est le symétrique de la représentation graphique de la fonction exponentielle par rapport à la droite d’équation .

2. La fonction logarithme népérien est concave sur .

3. La droite d’équation est une asymptote verticale à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.

Remarque

La propriété 2. utilise le chapitre 7 du manuel.

Remarque

On peut démontrer que la droite d’équation est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse .

DÉMONSTRATION

1. Voir l'activité
B
p. 238
(illustration ci‑dessous).

2. Soit la fonction définie, pour tout , par .
Pour tout , et .
Or, pour tout , .
Ainsi, et, par conséquent, est concave sur .

3. donc la droite d'équation est une symptote verticale.

Logarithme népérien - Démonstration - C Propriétés graphiques
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