Chapitre 8
M éthode BAC
Préparer le BAC
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Comment répondre aux questions du bac ?
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1Étudier un signe.
Il suffit de se rappeler l'équivalence suivante \ln (x)>0 \Leftrightarrow x>1.
Voir exercice question 1. b.
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3Comparer la croissance de la fonction logarithme népérien et d'une puissance de \boldsymbol{x} en \boldsymbol{+\infty}.
Cette méthode consiste à se rappeler que \ln (x) croît plus lentement que toute puissance de x vers +\infty quand x tend vers +\infty.
Voir exercice question 1. d.
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5Démontrer une égalité entre deux expressions avec le logarithme.
La plupart du temps, il suffit d'appliquer la relation fonctionnelle du logarithme ou une des formules qui en découlent.
Voir exercice question 1. c.
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2Étudier les variations d'une fonction logarithme.
On se rappelle que la dérivée de la fonction \ln est la fonction inverse et que, lorsque u \gt 0, la dérivée de \ln (u) est \frac{u^{\prime}}{u}. Il ne reste plus qu'à étudier le signe de la dérivée. Il est possible, évidemment, d'avoir recours aux autres formules de dérivations apprises en 1re ou dans le chapitre 7.
Voir exercice question 1.
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4Résoudre une (in)équation avec le logarithme népérien.
Il faut se rappeler que le logarithme népérien vérifie, pour tous réels x et y strictement positifs, \nobreakspace{\ln (x)=\ln (y) \Leftrightarrow x=y} et \ln (x)>\ln (y) \Leftrightarrow x>y. Ainsi, on peut alors « supprimer » le logarithme dans l'équation ou l'inéquation.
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Exercice guidé
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137
[D'après bac S, Nouvelle calédonie, 2012]On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0 \: ;+\infty[ par f(x)=5 \ln (x+3)-x.
1.
a. On appelle f^\prime la fonction dérivée de la fonction f sur [0 ;+\infty[.
Calculer f^\prime(x) et étudier son signe sur [0 ;+\infty[.
b. Donner, dans un tableau, les variations de f sur l'intervalle [0 ;+\infty[.
c. Montrer que, pour tout x strictement positif, on a f(x)=x\left(5 \frac{\ln (x)}{x}-1\right)+5 \ln \left(1+\frac{3}{x}\right).
Calculer f^\prime(x) et étudier son signe sur [0 ;+\infty[.
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La dérivée d'une fonction de la forme \ln(uh) est \frac{u^{\prime}}{u}.
b. Donner, dans un tableau, les variations de f sur l'intervalle [0 ;+\infty[.
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Aide
Cela revient à étudier le signe de f^\prime.
c. Montrer que, pour tout x strictement positif, on a f(x)=x\left(5 \frac{\ln (x)}{x}-1\right)+5 \ln \left(1+\frac{3}{x}\right).
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Il faut réécrire cette expression en utilisant les propriétés du logarithme.
d. En déduire la limite de f en +\infty.
e. Compléter le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 ;+\infty[.
2. a. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [0 ;+\infty[. On notera \alpha cette solution.
b. Après avoir vérifié que \alpha appartient à l'intervalle [14~;~15], donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près.
3. En déduire le signe de f sur l'intervalle [0~;~+\infty[.
Aide
On utilise ici les croissances comparées en rédigeant convenablement.
e. Compléter le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 ;+\infty[.
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Cela revient à ajouter les limites calculées.
2. a. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [0 ;+\infty[. On notera \alpha cette solution.
Aide
Pour montrer l'existence d'une unique solution à une équation, en général, il suffit d'utiliser un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (chap. 6).
b. Après avoir vérifié que \alpha appartient à l'intervalle [14~;~15], donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près.
Aide
Le jour du bac, la méthode par balayage à l'aide de la calculatrice est la plus simple à mettre en œuvre.
3. En déduire le signe de f sur l'intervalle [0~;~+\infty[.
Aide
On utilise ce que l'on a démontré sur les variations de f et sur l'équation f(x)=0.
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Exercices
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138
[D'après bac S, Liban, 2019]
Le plan est muni d'un repère orthogonal \text{(O~;~I~,~J)}.
1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ] 0\,;1] par f(x)=x(1-\ln (x))^{2}.
a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de f et vérifier que pour tout \nobreakspace{x \in] 0\,;1]}, f^{\prime}(x)\ =~(\ln (x)+1)(\ln (x)-1)
b. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ] 0\,;1] (on admettra que la limite de la fonction f en 0 est nulle).
2. On note \Gamma la courbe représentative de la fonction g définie sur l'intervalle ] 0 ~;~+\infty[ par g(x)=\ln (x). Soit a un réel de l'intervalle ] 0 ;+\infty[.
On note \text{M}_a le point de la courbe \Gamma d'abscisse a et d_a la tangente à la courbe \Gamma au point \text{M}_a.
Cette droite d_a coupe l'axe des abscisses au point \text{N}_a et l'axe des ordonnées au point \text{P}_a.
On s'intéresse à l'aire du triangle \mathrm{ON}_{a} \mathrm{P}_{a} quand le réel a varie dans l'intervalle ] 0 ;+\infty[.
a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de f et vérifier que pour tout \nobreakspace{x \in] 0\,;1]}, f^{\prime}(x)\ =~(\ln (x)+1)(\ln (x)-1)
b. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ] 0\,;1] (on admettra que la limite de la fonction f en 0 est nulle).
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2. On note \Gamma la courbe représentative de la fonction g définie sur l'intervalle ] 0 ~;~+\infty[ par g(x)=\ln (x). Soit a un réel de l'intervalle ] 0 ;+\infty[.
On note \text{M}_a le point de la courbe \Gamma d'abscisse a et d_a la tangente à la courbe \Gamma au point \text{M}_a.
Cette droite d_a coupe l'axe des abscisses au point \text{N}_a et l'axe des ordonnées au point \text{P}_a.
On s'intéresse à l'aire du triangle \mathrm{ON}_{a} \mathrm{P}_{a} quand le réel a varie dans l'intervalle ] 0 ;+\infty[.
Dans cette question, on étudie le cas particulier où a = 0,2 et on donne la figure ci‑dessous.
a. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle \mathrm{ON}_{0,2} \mathrm{P}_{0,2} en unités d'aire.
b. Déterminer une équation de la tangente d_{0,2}.
c. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle \mathrm{ON}_{0,2} \mathrm{P}_{0,2}.
Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel a de l'intervalle ] 0\,;1], l'aire du triangle \mathrm{ON}_{a} \mathrm{P}_{a} en unités d'aire est donnée par \mathrm{A}(a)=~\frac{1}{2} a(1-\ln (a))^{2}.
3. À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de a l'aire \mathrm{A}(a) est maximale.
Déterminer cette aire maximale.
a. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle \mathrm{ON}_{0,2} \mathrm{P}_{0,2} en unités d'aire.
b. Déterminer une équation de la tangente d_{0,2}.
c. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle \mathrm{ON}_{0,2} \mathrm{P}_{0,2}.
Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel a de l'intervalle ] 0\,;1], l'aire du triangle \mathrm{ON}_{a} \mathrm{P}_{a} en unités d'aire est donnée par \mathrm{A}(a)=~\frac{1}{2} a(1-\ln (a))^{2}.
3. À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de a l'aire \mathrm{A}(a) est maximale.
Déterminer cette aire maximale.
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139
[D'après bac S, Amérique du Sud, 2017]
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser des palets au chocolat en forme de gouttes d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 unités, avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ] 0 ~;~+\infty[ par : f(x)=\frac{x^{2}-2 x-2-3 \ln (x)}{x}
La représentation graphique de la fonction f est donnée ci‑dessous.
Le repère est orthogonal d'unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées. 1. Soit \varphi la fonction définie sur ] 0~;~+\infty[ par : \varphi(x)=x^{2}-1+3 \ln (x).
a. Calculer \varphi(1) et la limite de \varphi en 0.
b. Étudier les variations de \varphi sur ] 0~;~+\infty[.
En déduire le signe de \varphi(x) selon les valeurs de x.
Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ] 0 ~;~+\infty[ par : f(x)=\frac{x^{2}-2 x-2-3 \ln (x)}{x}
La représentation graphique de la fonction f est donnée ci‑dessous.
Le repère est orthogonal d'unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées. 1. Soit \varphi la fonction définie sur ] 0~;~+\infty[ par : \varphi(x)=x^{2}-1+3 \ln (x).
a. Calculer \varphi(1) et la limite de \varphi en 0.
b. Étudier les variations de \varphi sur ] 0~;~+\infty[.
En déduire le signe de \varphi(x) selon les valeurs de x.
2.
a. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b. Montrer que, sur ] 0~;~+\infty[, f^{\prime}(x)=\frac{\varphi(x)}{x^{2}}.
En déduire le tableau de variations de f.
c. Prouver que l'équation f(x) =~0 admet une unique solution \alpha sur ] 0 ~;~1].
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près.
On admettra que l'équation f(x) = 0 a également une unique solution \beta sur ] 1 ;+\infty[ avec \nobreakspace{\beta \approx 3,61} à 10^{-2} près.
d. Soit \text{F} la fonction définie sur ] 0~;~+\infty[ par :
\mathrm{F}(x)\, =~\frac{1}{2} x^{2}-2 x-2 \ln x-\frac{3}{2}(\ln (x))^{2}.
Montrer que \text{F} a pour dérivée f sur ] 0~;~+\infty[.
b. Montrer que, sur ] 0~;~+\infty[, f^{\prime}(x)=\frac{\varphi(x)}{x^{2}}.
En déduire le tableau de variations de f.
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c. Prouver que l'équation f(x) =~0 admet une unique solution \alpha sur ] 0 ~;~1].
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près.
On admettra que l'équation f(x) = 0 a également une unique solution \beta sur ] 1 ;+\infty[ avec \nobreakspace{\beta \approx 3,61} à 10^{-2} près.
d. Soit \text{F} la fonction définie sur ] 0~;~+\infty[ par :
\mathrm{F}(x)\, =~\frac{1}{2} x^{2}-2 x-2 \ln x-\frac{3}{2}(\ln (x))^{2}.
Montrer que \text{F} a pour dérivée f sur ] 0~;~+\infty[.
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