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Préparer le BAC
P.261-262

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Comment répondre aux questions du bac ?

1
Étudier un signe.
Il suffit de se rappeler l’équivalence suivante ln(x)>0x>1\ln (x)>0 \Leftrightarrow x>1.

Voir exercice
138
question 1. b.

2
Étudier les variations d’une fonction logarithme.

On se rappelle que la dérivée de la fonction ln\ln est la fonction inverse et que, lorsque u>0u \gt 0, la dérivée de ln(u)\ln (u) est uu\dfrac{u^{\prime}}{u}. Il ne reste plus qu’à étudier le signe de la dérivée. Il est possible, évidemment, d’avoir recours aux autres formules de dérivations apprises en 1re ou dans le chapitre 7.

Voir exercice
137
question 1.

3
Comparer la croissance de la fonction logarithme népérien et d’une puissance de x\boldsymbol{x} en +\boldsymbol{+\infty}.

Cette méthode consiste à se rappeler que ln(x)\ln (x) croît plus lentement que toute puissance de xx vers ++\infty quand xx tend vers ++\infty.

Voir exercice
137
question 1. d.

4
Résoudre une (in)équation avec le logarithme népérien.

Il faut se rappeler que le logarithme népérien vérifie, pour tous réels xx et yy strictement positifs,  ln(x)=ln(y)x=y\nobreakspace{\ln (x)=\ln (y) \Leftrightarrow x=y} et ln(x)>ln(y)x>y\ln (x)>\ln (y) \Leftrightarrow x>y. Ainsi, on peut alors « supprimer » le logarithme dans l’équation ou l’inéquation.

5
Démontrer une égalité entre deux expressions avec le logarithme.

La plupart du temps, il suffit d’appliquer la relation fonctionnelle du logarithme ou une des formules qui en découlent.

Voir exercice
137
question 1. c.
Voir les réponses
137
[D’après bac S, Nouvelle calédonie, 2012]
On considère la fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [0;+[[0 \: ;+\infty[ par f(x)=5ln(x+3)xf(x)=5 \ln (x+3)-x.

a. On appelle ff^\prime la fonction dérivée de la fonction ff sur [0;+[[0 ;+\infty[.
Calculer f(x)f^\prime(x) et étudier son signe sur [0;+[[0 ;+\infty[.


Aide
La dérivée d’une fonction de la forme ln(uh)\ln(uh) est uu\dfrac{u^{\prime}}{u}.

b. Donner, dans un tableau, les variations de ff sur l’intervalle [0;+[[0 ;+\infty[.
Couleurs
Formes
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Aide
Cela revient à étudier le signe de ff^\prime.

c. Montrer que, pour tout xx strictement positif, on a f(x)=x(5ln(x)x1)+5ln(1+3x)f(x)=x\left(5 \dfrac{\ln (x)}{x}-1\right)+5 \ln \left(1+\dfrac{3}{x}\right).


Aide
Il faut réécrire cette expression en utilisant les propriétés du logarithme.

d. En déduire la limite de ff en ++\infty.


Aide
On utilise ici les croissances comparées en rédigeant convenablement.

e. Compléter le tableau de variations de ff sur l’intervalle [0;+[[0 ;+\infty[.

Aide
Cela revient à ajouter les limites calculées.

2. a. Montrer que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0;+[[0 ;+\infty[. On notera α\alpha cette solution.


Aide
Pour montrer l’existence d’une unique solution à une équation, en général, il suffit d’utiliser un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (chap. 6).

b. Après avoir vérifié que α\alpha appartient à l’intervalle [14 ; 15][14~;~15], donner une valeur approchée de α\alpha à 10210^{-2} près.


Aide
Le jour du bac, la méthode par balayage à l’aide de la calculatrice est la plus simple à mettre en œuvre.

3. En déduire le signe de ff sur l’intervalle [0 ; +[[0~;~+\infty[.


Aide
On utilise ce que l’on a démontré sur les variations de ff et sur l’équation f(x)=0f(x)=0.
Voir les réponses

138
[D’après bac S, Liban, 2019]
Le plan est muni d’un repère orthogonal (O ; I , J)\text{(O~;~I~,~J)}.

1. On considère la fonction ff définie sur l’intervalle ]0;1]] 0\,;1] par f(x)=x(1ln(x))2f(x)=x(1-\ln (x))^{2}.

a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de ff et vérifier que pour tout  x]0;1]\nobreakspace{x \in] 0\,;1]}, f(x) = (ln(x)+1)(ln(x)1)f^{\prime}(x)\ =~(\ln (x)+1)(\ln (x)-1)


b. Étudier les variations de la fonction ff et dresser son tableau de variations sur l’intervalle ]0;1]] 0\,;1] (on admettra que la limite de la fonction ff en 00 est nulle).
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2. On note Γ\Gamma la courbe représentative de la fonction gg définie sur l’intervalle ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[ par g(x)=ln(x)g(x)=\ln (x). Soit aa un réel de l’intervalle ]0;+[] 0 ;+\infty[.
On note Ma\text{M}_a le point de la courbe Γ\Gamma d’abscisse aa et dad_a la tangente à la courbe Γ\Gamma au point Ma\text{M}_a.
Cette droite dad_a coupe l’axe des abscisses au point Na\text{N}_a et l’axe des ordonnées au point Pa\text{P}_a.
On s’intéresse à l’aire du triangle ONaPa\mathrm{ON}_{a} \mathrm{P}_{a} quand le réel aa varie dans l’intervalle ]0;+[] 0 ;+\infty[.
Dans cette question, on étudie le cas particulier où a=0,2a = 0,2 et on donne la figure ci‑dessous.

Logarithme népérien - Préparer son bac - Exercice 138

a. Déterminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle ON0,2P0,2\mathrm{ON}_{0,2} \mathrm{P}_{0,2} en unités d’aire.


b. Déterminer une équation de la tangente d0,2d_{0,2}.


c. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle ON0,2P0,2\mathrm{ON}_{0,2} \mathrm{P}_{0,2}.


Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel aa de l’intervalle ]0;1]] 0\,;1], l’aire du triangle ONaPa\mathrm{ON}_{a} \mathrm{P}_{a} en unités d’aire est donnée par A(a)= 12a(1ln(a))2\mathrm{A}(a)=~\dfrac{1}{2} a(1-\ln (a))^{2}.

3. À l’aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de aa l’aire A(a)\mathrm{A}(a) est maximale.
Déterminer cette aire maximale.
Voir les réponses

139
[D’après bac S, Amérique du Sud, 2017]
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser des palets au chocolat en forme de gouttes d’eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 unités, avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction ff définie sur ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[ par : f(x)=x22x23ln(x)xf(x)=\dfrac{x^{2}-2 x-2-3 \ln (x)}{x}
La représentation graphique de la fonction ff est donnée ci‑dessous.

Logarithme népérien - Préparer son bac - Exercice 139

Le repère est orthogonal d’unité 22 cm en abscisses et 11 cm en ordonnées.
1. Soit φ\varphi la fonction définie sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[ par : φ(x)=x21+3ln(x)\varphi(x)=x^{2}-1+3 \ln (x).

a. Calculer φ(1)\varphi(1) et la limite de φ\varphi en 00.


b. Étudier les variations de φ\varphi sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[.
En déduire le signe de φ(x)\varphi(x) selon les valeurs de xx.


2. a. Calculer les limites de ff aux bornes de son ensemble de définition.


b. Montrer que, sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[, f(x)=φ(x)x2f^{\prime}(x)=\dfrac{\varphi(x)}{x^{2}}.
En déduire le tableau de variations de ff.
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c. Prouver que l’équation f(x)= 0f(x) =~0 admet une unique solution α\alpha sur ]0 ; 1]] 0 ~;~1].
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α\alpha à 10210^{-2} près.
On admettra que l’équation f(x)=0f(x) = 0 a également une unique solution β\beta sur ]1;+[] 1 ;+\infty[ avec  β3,61\nobreakspace{\beta \approx 3,61} à 10210^{-2} près.


d. Soit F\text{F} la fonction définie sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[ par :
F(x)= 12x22x2lnx32(ln(x))2\mathrm{F}(x)\, =~\dfrac{1}{2} x^{2}-2 x-2 \ln x-\dfrac{3}{2}(\ln (x))^{2}.
Montrer que F\text{F} a pour dérivée ff sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[.
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