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Étudier les variations d'une fonction logarithme.
On se rappelle que la dérivée de la fonction ln est la fonction inverse et que, lorsque u>0, la dérivée de ln(u) est uu′. Il ne reste plus qu'à étudier le signe de la dérivée. Il est possible, évidemment, d'avoir recours aux autres formules de dérivations apprises en 1re ou dans le chapitre 7.
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Résoudre une (in)équation avec le logarithme népérien.
Il faut se rappeler que le logarithme népérien vérifie, pour tous réels x et y strictement positifs, ln(x)=ln(y)⇔x=y et ln(x)>ln(y)⇔x>y. Ainsi, on peut alors « supprimer » le logarithme dans l'équation ou l'inéquation.
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Démontrer une égalité entre deux expressions avec le logarithme.
La plupart du temps, il suffit d'appliquer la relation fonctionnelle du logarithme ou une des formules qui en découlent.
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Exercice guidé
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137
[D'après bac S, Nouvelle calédonie, 2012]
On considère la fonction f définie et dérivable sur
l'intervalle [0;+∞[ par f(x)=5ln(x+3)−x.
1.a. On appelle f′ la fonction dérivée de la fonction f sur [0;+∞[.
Calculer f′(x) et étudier son signe sur [0;+∞[.
La dérivée d'une fonction de la forme ln(uh) est uu′.
Aide
b. Donner, dans un tableau, les variations de f sur
l'intervalle [0;+∞[.
Dessinez ici
Cela revient à étudier le signe de f′.
Aide
c. Montrer que, pour tout x strictement positif, on a f(x)=x(5xln(x)−1)+5ln(1+x3).
Il faut réécrire cette expression en utilisant les propriétés du logarithme.
Aide
d. En déduire la limite de f en +∞.
On utilise ici les croissances comparées en rédigeant convenablement.
Aide
e. Compléter le tableau de variations de f sur l'intervalle [0;+∞[.
Cela revient à ajouter les limites calculées.
Aide
2.a. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans l'intervalle [0;+∞[. On notera α cette solution.
Pour montrer l'existence d'une unique solution à une équation, en général, il suffit d'utiliser un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (chap. 6).
Aide
b. Après avoir vérifié que α appartient à l'intervalle [14;15], donner une valeur approchée de α à 10−2 près.
Le jour du bac, la méthode par balayage à l'aide de la calculatrice est la plus simple à mettre en œuvre.
Aide
3. En déduire le signe de f sur l'intervalle [0;+∞[.
On utilise ce que l'on a démontré sur les variations de f et sur l'équation f(x)=0.
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Exercices
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138
[D'après bac S, Liban, 2019]
Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;I,J).
1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;1] par f(x)=x(1−ln(x))2.
a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de f et vérifier que pour tout x∈]0;1], f′(x)=(ln(x)+1)(ln(x)−1)
b. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ]0;1] (on admettra que la limite de la fonction f en 0 est nulle).
Dessinez ici
2. On note Γ la courbe représentative de la fonction g définie sur l'intervalle ]0;+∞[ par g(x)=ln(x). Soit a un réel de l'intervalle ]0;+∞[.
On note Ma le point de la courbe Γ d'abscisse a et da la tangente à la courbe Γ au point Ma.
Cette droite da coupe l'axe des abscisses au point Na et l'axe des ordonnées au point Pa.
On s'intéresse à l'aire du triangle ONaPa quand le réel a varie dans l'intervalle ]0;+∞[.
Dans cette question, on étudie le cas particulier où a=0,2 et on donne la figure ci‑dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
a. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle ON0,2P0,2 en unités d'aire.
b. Déterminer une équation de la tangente d0,2.
c. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle ON0,2P0,2.
Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel a de l'intervalle ]0;1], l'aire du triangle ONaPa en unités d'aire est donnée par A(a)=21a(1−ln(a))2.
3. À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de a l'aire A(a) est maximale.
Déterminer cette aire maximale.
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139
[D'après bac S, Amérique du Sud, 2017]
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser des palets au chocolat en forme de gouttes d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 unités, avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0;+∞[ par : f(x)=xx2−2x−2−3ln(x)
La représentation graphique de la fonction f est donnée ci‑dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Le repère est orthogonal d'unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
1. Soit φ la fonction définie sur ]0;+∞[ par : φ(x)=x2−1+3ln(x).
a. Calculer φ(1) et la limite de φ en 0.
b. Étudier les variations de φ sur ]0;+∞[.
En déduire le signe de φ(x) selon les valeurs de x.
2. a. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b. Montrer que, sur ]0;+∞[, f′(x)=x2φ(x).
En déduire le tableau de variations de f.
Dessinez ici
c. Prouver que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur ]0;1].
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10−2 près.
On admettra que l'équation f(x)=0 a également une unique solution β sur ]1;+∞[ avec β≈3,61 à 10−2 près.
d. Soit F la fonction définie sur ]0;+∞[ par : F(x)=21x2−2x−2lnx−23(ln(x))2.
Montrer que F a pour dérivée f sur ]0;+∞[.
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