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Préparer le BAC
P.261-262

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PRÉPARER LE
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Comment répondre aux questions du bac ?

1
Étudier un signe.
Il suffit de se rappeler l’équivalence suivante .

Voir exercice
138
question 1. b.

2
Étudier les variations d’une fonction logarithme.

On se rappelle que la dérivée de la fonction est la fonction inverse et que, lorsque , la dérivée de est . Il ne reste plus qu’à étudier le signe de la dérivée. Il est possible, évidemment, d’avoir recours aux autres formules de dérivations apprises en 1re ou dans le chapitre 7.

Voir exercice
137
question 1.

3
Comparer la croissance de la fonction logarithme népérien et d’une puissance de en .

Cette méthode consiste à se rappeler que croît plus lentement que toute puissance de vers quand tend vers .

Voir exercice
137
question 1. d.

4
Résoudre une (in)équation avec le logarithme népérien.

Il faut se rappeler que le logarithme népérien vérifie, pour tous réels et strictement positifs, et . Ainsi, on peut alors « supprimer » le logarithme dans l’équation ou l’inéquation.

5
Démontrer une égalité entre deux expressions avec le logarithme.

La plupart du temps, il suffit d’appliquer la relation fonctionnelle du logarithme ou une des formules qui en découlent.

Voir exercice
137
question 1. c.
Voir les réponses
137
[D’après bac S, Nouvelle calédonie, 2012]
On considère la fonction définie et dérivable sur l’intervalle par .

a. On appelle la fonction dérivée de la fonction sur .
Calculer et étudier son signe sur .


Aide
La dérivée d’une fonction de la forme est .

b. Donner, dans un tableau, les variations de sur l’intervalle .
Couleurs
Formes
Dessinez ici


Aide
Cela revient à étudier le signe de .

c. Montrer que, pour tout strictement positif, on a .


Aide
Il faut réécrire cette expression en utilisant les propriétés du logarithme.

d. En déduire la limite de en .


Aide
On utilise ici les croissances comparées en rédigeant convenablement.

e. Compléter le tableau de variations de sur l’intervalle .

Aide
Cela revient à ajouter les limites calculées.

2. a. Montrer que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle . On notera cette solution.


Aide
Pour montrer l’existence d’une unique solution à une équation, en général, il suffit d’utiliser un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (chap. 6).

b. Après avoir vérifié que appartient à l’intervalle , donner une valeur approchée de à près.


Aide
Le jour du bac, la méthode par balayage à l’aide de la calculatrice est la plus simple à mettre en œuvre.

3. En déduire le signe de sur l’intervalle .


Aide
On utilise ce que l’on a démontré sur les variations de et sur l’équation .
Voir les réponses

138
[D’après bac S, Liban, 2019]
Le plan est muni d’un repère orthogonal .

1. On considère la fonction définie sur l’intervalle par .

a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de et vérifier que pour tout ,


b. Étudier les variations de la fonction et dresser son tableau de variations sur l’intervalle (on admettra que la limite de la fonction en est nulle).
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. On note la courbe représentative de la fonction définie sur l’intervalle par . Soit un réel de l’intervalle .
On note le point de la courbe d’abscisse et la tangente à la courbe au point .
Cette droite coupe l’axe des abscisses au point et l’axe des ordonnées au point .
On s’intéresse à l’aire du triangle quand le réel varie dans l’intervalle .
Dans cette question, on étudie le cas particulier où et on donne la figure ci‑dessous.

Logarithme népérien - Préparer son bac - Exercice 138

a. Déterminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle en unités d’aire.


b. Déterminer une équation de la tangente .


c. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle .


Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel de l’intervalle , l’aire du triangle en unités d’aire est donnée par .

3. À l’aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de l’aire est maximale.
Déterminer cette aire maximale.
Voir les réponses

139
[D’après bac S, Amérique du Sud, 2017]
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser des palets au chocolat en forme de gouttes d’eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 unités, avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction définie sur par :
La représentation graphique de la fonction est donnée ci‑dessous.

Logarithme népérien - Préparer son bac - Exercice 139

Le repère est orthogonal d’unité  cm en abscisses et  cm en ordonnées.
1. Soit la fonction définie sur par : .

a. Calculer et la limite de en .


b. Étudier les variations de sur .
En déduire le signe de selon les valeurs de .


2. a. Calculer les limites de aux bornes de son ensemble de définition.


b. Montrer que, sur , .
En déduire le tableau de variations de .
Couleurs
Formes
Dessinez ici


c. Prouver que l’équation admet une unique solution sur .
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de à près.
On admettra que l’équation a également une unique solution sur avec à près.


d. Soit la fonction définie sur par :
.
Montrer que a pour dérivée sur .
Voir les réponses
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