Préparer le BAC

1. a. On appelle $f^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0;+\infty [$.
Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $[0;+\infty [$.

b. Donner, dans un tableau, les variations de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty [$.


c. Montrer que, pour tout $x$ strictement positif, on a $f(x)=x\left(5\frac{\ln (x)}{x}-1\right)+5\ln \left(1+\frac{3}{x}\right)$.

d. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

e. Compléter le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty [$.


2. a. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0;+\infty [$. On notera $\alpha$ cette solution.

b. Après avoir vérifié que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[14;15]$, donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

3. En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty [$.

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1. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;1]$ par $f(x)=x(1-\ln (x){)}^2$.

a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ et vérifier que pour tout $x\in ]0;1]$, $f^{\prime }(x)=(\ln (x)+1)(\ln (x)-1)$

b. Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'intervalle $]0;1]$ (on admettra que la limite de la fonction $f$ en $0$ est nulle).

2. On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $g(x)=\ln (x)$. Soit $a$ un réel de l'intervalle $]0;+\infty [$.
On note ${\text{M}}_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d'abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point ${\text{M}}_a$.
Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point ${\text{N}}_a$ et l'axe des ordonnées au point ${\text{P}}_a$.
On s'intéresse à l'aire du triangle ${\mathrm{ON}}_a{\mathrm{P}}_a$ quand le réel $a$ varie dans l'intervalle $]0;+\infty [$.

Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a=0,2$ et on donne la figure ci‑dessous.


a. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle ${\mathrm{ON}}_{0,2}{\mathrm{P}}_{0,2}$ en unités d'aire.

b. Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$.

c. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle ${\mathrm{ON}}_{0,2}{\mathrm{P}}_{0,2}$.

Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ de l'intervalle $]0;1]$, l'aire du triangle ${\mathrm{ON}}_a{\mathrm{P}}_a$ en unités d'aire est donnée par $\mathrm{A}(a)=\frac{1}{2}a(1-\ln (a){)}^2$.

3. À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $a$ l'aire $\mathrm{A}(a)$ est maximale.
Déterminer cette aire maximale.

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser des palets au chocolat en forme de gouttes d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 unités, avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f(x)=\frac{x^2-2x-2-3\ln (x)}{x}$
La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci‑dessous.


Le repère est orthogonal d'unité $2$ cm en abscisses et $1$ cm en ordonnées. 1. Soit $\phi$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $\phi (x)=x^2-1+3\ln (x)$.

a. Calculer $\phi (1)$ et la limite de $\phi$ en $0$.

b. Étudier les variations de $\phi$ sur $]0;+\infty [$.
En déduire le signe de $\phi (x)$ selon les valeurs de $x$.

2. a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

b. Montrer que, sur $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{\phi (x)}{x^2}$.
En déduire le tableau de variations de $f$.

c. Prouver que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;1]$.
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
On admettra que l'équation $f(x)=0$ a également une unique solution $\beta$ sur $]1;+\infty [$ avec $\beta \approx 3,61$ à $10^{-2}$ près.

d. Soit $\text{F}$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :
$\mathrm{F}(x)=\frac{1}{2}{x}^2-2x-2\ln x-\frac{3}{2}(\ln (x){)}^2$.
Montrer que $\text{F}$ a pour dérivée $f$ sur $]0;+\infty [$.