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Logarithme népérien
P.236-237

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Chapitre 8


Logarithme népérien





Faille d'ouverture


L’échelle ouverte de Richter mesure l’importance d’un tremblement de terre. Sur cette échelle, toute augmentation de 1 unité correspond à une multiplication de l’énergie libérée par 10. On dit que cette échelle est logarithmique.

Capacités attendues - chapitre 8

1. Connaître la définition du logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif.
2. Connaître et utiliser les propriétés algébriques du logarithme.
3. Étudier la fonction logarithme népérien (limites, dérivée, sens de variation).
4. Connaître le lien entre la courbe du logarithme népérien et celle de l’exponentielle.
5. Utiliser l’équation fonctionnelle de l’exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture, résoudre une équation, une inéquation.
6. Étudier une fonction de la forme ln(u)\ln (u)
7. Comparer la croissance de xnx^n et de ln(x)\ln (x) en 00 et en ++\infty.

Avant de commencer

Prérequis

1. Savoir étudier le signe d’une expression.
2. Connaître les propriétés de l’exponentielle.
3. Connaître les variations de la fonction exponentielle et sa représentation graphique.
4. Connaître la relation fonctionnelle de l’exponentielle.
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1
Étudier le signe d’une expression

Étudier le signe des expressions suivantes.
1. A(x)=x210x+24\text{A}(x)=x^{2}-10 x+24xRx \in \mathbb{R}

2. B(x)=x24x+3\text{B}(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x+3}x];3[]3;+[x \in]-\infty ;-3[\cup]-3 ;+\infty[

3. C(x)=x3x\text{C}(x)=x^{3}-xxRx \in \mathbb{R}
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2
Étudier le signe d’une expression

Étudier le signe des expressions suivantes en fonction de xx, en précisant à chaque fois l’ensemble auquel appartient x.x.
1. A(x)=(x1)e3x\mathrm{A}(x)=(x-1) \mathrm{e}^{3 x}

2. B(x)=(x2)(ex1)\mathrm{B}(x)=(x-2)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)

3. C(x)=x+3ex1C(x)=\dfrac{x+3}{\text e^{x}-1}

4. D(x)=exx\mathrm{D}(x)=\mathrm{e}^{x}-x


Aide
On peut éventuellement étudier les variations de xD(x)x \rightarrow D(x).
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3
Simplifier une expression

Pour tout réel xx, simplifier l’expression suivante : (ex)4×e5\left(e^{x}\right)^{4} \times e^{5}.
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4
Utiliser quelques propriétés de l’exponentielle

Soient aa et bb deux réels et ff la fonction définie sur R\R par f(x)=(ax+b)exf(x)=(a x+b) \mathrm{e}^{x}.
Quelles valeurs doivent prendre les nombres réels aa et bb pour que la représentation graphique de la fonction ff coupe les axes du repère aux points de coordonnées (0;1)(0\:;-1) et (2;0)(2\:;0) dans un repère orthonormé ?
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5
Vrai ou Faux


Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
Pour tout xR,ex>0x \in \mathbb{R}, \mathrm{e}^{-x}>0

Pour tout xR,ex2<0x \in \mathbb{R}, \mathrm{e}^{-x^2}\lt0

La fonction définie sur R\R par f(x)=ex2f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}} est croissante sur [0;+[.[0 ;+\infty[.
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6
Démontrer une propriété

Soit ff la fonction définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par :
f(x)=exexex+exf(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{-x}+e^{x}}
Montrer que ff est strictement croissante sur R\R.
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7
Étudier une représentation graphique

Soit λR.\lambda \in \mathbb{R}. On considère la fonction fλf_{\lambda} définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par fλ(x)=λ×ex2.f_{\lambda}(x)=\lambda \times \mathrm{e}^{x}-2.
À l’aide de la représentation graphique de ff ci-dessous, trouver la valeur de λ\lambda.
Logarithme népérien
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8
Résoudre une équation

1. Résoudre dans R\R l’équation suivante : e2xex=0\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x}=0


2. Résoudre dans R\R l’équation suivante : e4x+1=ex2+x+3\text e^{4 x+1}=\text e^{x^{2}+x+3}
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9
Résoudre une inéquation

1. Résoudre dans R\R l’inéquation :
ex2e2x\mathrm{e}^{x^{2}} \geqslant \mathrm{e}^{2-x}


2. Résoudre dans R\R l’inéquation :
e2x+1e4x+7e^{-2 x+1} \leqslant e^{4 x+7}
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10
Problème

1. Étudier, en fonction de xRx \in \mathbb{R}, le signe de :
A(x)=(ex1)(exe)\mathrm{A}(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}\right)

2. Quel est l’ensemble de définition I\text{I} de la fonction ff définie par f(x)=12e2xex+1ex+exf(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x+1}-\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}x ?

3. Établir que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, f(x)=A(x)f^{\prime}(x)=\mathrm{A}(x).

4. En déduire les variations de ff sur I.\text{I.}
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Anecdote

John Neper était un théologien engagé dans les querelles religieuses de son temps. Violemment anticatholique et partisan des églises réformées, il édite en 1593 une sorte de commentaire de l’Apocalypse de SaintJean rédigé d’une manière mathématique et annonçant la fin des temps pour la fin du XVIIe siècle.
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