1. Connaître la définition du logarithme népérien d'un nombre réel strictement positif.
2. Connaître et utiliser les propriétés algébriques du logarithme.
3. Étudier la fonction logarithme népérien (limites, dérivée, sens de variation).
4. Connaître le lien entre la courbe du logarithme népérien et celle de l'exponentielle.
5. Utiliser l'équation fonctionnelle de l'exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture, résoudre une équation, une inéquation.
6. Étudier une fonction de la forme $\ln (u)$
7. Comparer la croissance de $x^n$ et de $\ln (x)$ en $0$ et en $+\infty$.

1. Savoir étudier le signe d'une expression.
2. Connaître les propriétés de l'exponentielle.
3. Connaître les variations de la fonction exponentielle et sa représentation graphique.
4. Connaître la relation fonctionnelle de l'exponentielle.

John Neper était un théologien engagé dans les querelles religieuses de son temps. Violemment anticatholique et partisan des églises réformées, il édite en 1593 une sorte de commentaire de l'Apocalypse de SaintJean rédigé d'une manière mathématique et annonçant la fin des temps pour la fin du XVII^e siècle.

5

Vrai ou Faux

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Pour tout $x\in \mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-x}>0$

Pour tout $x\in \mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-x^2}<0$

La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$ est croissante sur $[0;+\infty [.$

6

Démontrer une propriété

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ par :
$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^{-x}+e^x}$

---

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

7

Étudier une représentation graphique

Soit $\lambda \in \mathbb{R}.$ On considère la fonction $f_{\lambda }$ définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $f_{\lambda }(x)=\lambda \times {\mathrm{e}}^x-2.$

---

À l'aide de la représentation graphique de $f$ ci-dessous, trouver la valeur de $\lambda$.

9

Résoudre une inéquation

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :
${\mathrm{e}}^{x^2}⩾{\mathrm{e}}^{2-x}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :
$e^{-2x+1}⩽e^{4x+7}$