Mathématiques Terminale Spécialité

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Établir des limites

17 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé
Soit k un entier naturel strictement positif. On souhaite étudier le comportement asymptotique de la fonction f définie sur ] 0~;~+\infty[ par f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{k}}.

Questions préliminaires :

1. Étudier les variations de la fonction f sur ] 0 ~;~+\infty[.

2. Déterminer \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} \frac{\ln (x)}{x^{k}} et justifier que \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{k}} ne peut pas s'obtenir uniquement avec les opérations sur les limites.
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Objectif
En utilisant une des trois méthodes, conjecturer, pour tout entier naturel \boldsymbol{k} strictement positif, la limite \boldsymbol{\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{k}}}.
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Méthode 1
GeoGebra

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GeoGebra

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1. Représenter graphiquement la fonction f en créant un curseur pour faire varier k dans l'intervalle [1~;20] avec un incrément de 1.
Conjecturer la limite recherchée.

2. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.
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3. Pour k = 2, déterminer la plus petite valeur entière de \text{M} telle que, pour tout x \gt \text{M}, \nobreakspace{f(x) \lt 0,0001}.
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Méthode 2
Python

On considère le programme ci‑dessous.

From numpy import log as ln

def f(x, k):
	return ln(x)/(x**k)

for i in range(...):
	...

1. Compléter ce programme afin qu'il affiche les valeurs de f(x) pour tout entier x multiple de 10 et inférieur à 100. Tester différentes valeurs de k et conjecturer la limite recherchée.

2. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.

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3. Pour k = 2, écrire un programme qui calcule la plus petite valeur entière de M telle que, pour tout \nobreakspace{x \gt \text{M}}, \nobreakspace{f(x) \lt 0{,}0001}.
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Méthode 3
Tableur

1. Dans la première colonne du tableur, écrire les nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 100, ainsi que toutes les puissances de 10 jusqu'à 10^{20}.

2. Dans la cellule C1 écrire le nombre 2 qui sera la valeur de k.

3. Dans la colonne B, utiliser une formule permettant de calculer l'image par f des nombres situés dans la colonne A pour la valeur de k située dans la cellule C1.

4. En étirant vers le bas la cellule B1, conjecturer la limite de f pour k = 2.

5. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.

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6. Déterminer la plus petite valeur entière de \text{M} telle que, pour tout \nobreakspace{x \gt \text{M}}, \nobreakspace{f(x) \lt 0,0001}.


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Pour aller plus loin

1. Cette limite est‑elle conservée pour tout k \in \mathbb{Z} ?

2. Cette limite est‑elle conservée pour tout k \in \mathbb{Q} ?

3. Conjecturer la position asymptotique du maximum de f lorsque k tend vers l'infini.
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