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Établir des limites

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1. Représenter graphiquement la fonction $f$ en créant un curseur pour faire varier $k$ dans l’intervalle $[1;20]$ avec un incrément de $1$.
Conjecturer la limite recherchée.


2. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.

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2. Pour $k=2$, déterminer la plus petite valeur entière de $\text{M}$ telle que, pour tout $x>\text{M}$, $f(x)<0,0001$.

On considère le programme ci‑dessous.

From numpy import log as ln

def f(x, k):
	return ln(x)/(x**k)

for i in range(...):
	...

1. Compléter ce programme afin qu’il affiche les valeurs de $f(x)$ pour tout entier $x$ multiple de $10$ et inférieur à $100$. Tester différentes valeurs de $k$ et conjecturer la limite recherchée.


2. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.

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3. Pour $k=2$, écrire un programme qui calcule la plus petite valeur entière de M telle que, pour tout $x>\text{M}$, $f(x)<0,0001.$

1. Dans la première colonne du tableur, écrire les nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à $100$, ainsi que toutes les puissances de $10$ jusqu’à $10^{20}$.


2. Dans la cellule C1 écrire le nombre $2$ qui sera la valeur de $k$.


3. Dans la colonne B, utiliser une formule permettant de calculer l’image par $f$ des nombres situés dans la colonne A pour la valeur de $k$ située dans la cellule C1.


4. En étirant vers le bas la cellule B1, conjecturer la limite de $f$ pour $k=2$.


5. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.

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6. Déterminer la plus petite valeur entière de $\text{M}$ telle que, pour tout $x>\text{M}$, $f(x)<0,0001$.

1. Cette limite est‑elle conservée pour tout $k\in \mathbb{Z}$ ?


2. Cette limite est‑elle conservée pour tout $k\in \mathbb{Q}$ ?


3. Conjecturer la position asymptotique du maximum de $f$ lorsque $k$ tend vers l’infini.