Soit k un entier naturel strictement positif. On souhaite étudier le comportement asymptotique de la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=xkln(x).
Questions préliminaires :
1. Étudier les variations de la fonction f sur ]0;+∞[.
2. Déterminer x→0x>0limxkln(x) et justifier que x→+∞limxkln(x) ne peut pas s'obtenir uniquement avec les opérations sur les limites.
Objectif
En utilisant une des trois méthodes, conjecturer, pour tout
entier naturel k strictement positif, la limite x→+∞limxkln(x).
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
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1. Représenter graphiquement la fonction f en créant un curseur pour faire varier k dans l’intervalle [1;20] avec un incrément de 1.
Conjecturer la limite recherchée.
2.
Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.
Dessinez ici
2.
Pour k=2, déterminer la plus petite valeur entière de M telle que, pour tout x>M, f(x)<0,0001.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On considère le programme ci‑dessous.
From numpy import log as ln
def f(x, k):
return ln(x)/(x**k)
for i in range(...):
...
1.
Compléter ce programme afin qu’il affiche les valeurs de f(x) pour tout entier x multiple de 10 et inférieur à 100. Tester différentes valeurs de k et conjecturer la limite recherchée.
2.
Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.
Dessinez ici
3.
Pour k=2, écrire un programme qui calcule la plus petite valeur entière de M telle que, pour tout x>M, f(x)<0,0001.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
TABLEUR
1.
Dans la première colonne du tableur, écrire les nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 100, ainsi que toutes les puissances de 10 jusqu’à 1020.
2.
Dans la cellule C1 écrire le nombre 2 qui sera la valeur de k.
3.
Dans la colonne B, utiliser une formule permettant de calculer l’image par f des nombres situés dans la colonne A pour la valeur de k située dans la cellule C1.
4.
En étirant vers le bas la cellule B1, conjecturer la limite de f pour k=2.
5. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.
Dessinez ici
6.
Déterminer la plus petite valeur entière de M telle que, pour tout x>M, f(x)<0,0001.
Pour aller plus loin
1. Cette limite est‑elle conservée pour tout k∈Z ?
2. Cette limite est‑elle conservée pour tout k∈Q ?
3. Conjecturer la position asymptotique du maximum de f lorsque k tend vers l’infini.
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