Soit $k$ un entier naturel strictement positif. On souhaite étudier le comportement asymptotique de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{\ln (x)}{x^k}$. Questions préliminaires :

1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty [$.

2. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\ln (x)}{x^k}$ et justifier que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x^k}$ ne peut pas s'obtenir uniquement avec les opérations sur les limites.

En utilisant une des trois méthodes, conjecturer, pour tout entier naturel $\mathbf{k}$ strictement positif, la limite $\underset{\mathbf{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (\mathbf{x})}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{k}}}$.

1. Représenter graphiquement la fonction $f$ en créant un curseur pour faire varier $k$ dans l'intervalle $[1;20]$ avec un incrément de $1$.
Conjecturer la limite recherchée.

2. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.
3. Pour $k=2$, déterminer la plus petite valeur entière de $\text{M}$ telle que, pour tout $x>\text{M}$, $f(x)<0,0001$.

1. Cette limite est‑elle conservée pour tout $k\in \mathbb{Z}$ ?

2. Cette limite est‑elle conservée pour tout $k\in \mathbb{Q}$ ?

3. Conjecturer la position asymptotique du maximum de $f$ lorsque $k$ tend vers l'infini.