Soit k un entier naturel strictement positif. On souhaite étudier le comportement asymptotique de la fonction f définie sur ] 0~;~+\infty[ par f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{k}}. Questions préliminaires :

1. Étudier les variations de la fonction f sur ] 0 ~;~+\infty[.

2. Déterminer \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} \frac{\ln (x)}{x^{k}} et justifier que \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{k}} ne peut pas s'obtenir uniquement avec les opérations sur les limites.

En utilisant une des trois méthodes, conjecturer, pour tout entier naturel \boldsymbol{k} strictement positif, la limite \boldsymbol{\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{k}}}.

1. Représenter graphiquement la fonction f en créant un curseur pour faire varier k dans l'intervalle [1~;20] avec un incrément de 1.
Conjecturer la limite recherchée.

2. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.
3. Pour k = 2, déterminer la plus petite valeur entière de \text{M} telle que, pour tout x \gt \text{M}, \nobreakspace{f(x) \lt 0,0001}.

1. Cette limite est‑elle conservée pour tout k \in \mathbb{Z} ?

2. Cette limite est‑elle conservée pour tout k \in \mathbb{Q} ?

3. Conjecturer la position asymptotique du maximum de f lorsque k tend vers l'infini.