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2. Établir des limites
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2
Établir des limites




Énoncé

Soit kk un entier naturel strictement positif. On souhaite étudier le comportement asymptotique de la fonction ff définie sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[ par f(x)=ln(x)xkf(x)=\dfrac{\ln (x)}{x^{k}}.

Questions préliminaires :

1. Étudier les variations de la fonction ff sur ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[.


2. Déterminer limx0x>0ln(x)xk\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} \dfrac{\ln (x)}{x^{k}} et justifier que limx+ln(x)xk\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x^{k}} ne peut pas s'obtenir uniquement avec les opérations sur les limites.
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Objectif

En utilisant une des trois méthodes, conjecturer, pour tout entier naturel k\boldsymbol{k} strictement positif, la limite limx+ln(x)xk\boldsymbol{\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x^{k}}}.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

Lancer le module Geogebra
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1. Représenter graphiquement la fonction ff en créant un curseur pour faire varier kk dans l’intervalle [1 ;20][1~;20] avec un incrément de 11.
Conjecturer la limite recherchée.


2. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.
Couleurs
Formes
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2. Pour k=2k = 2, déterminer la plus petite valeur entière de M\text{M} telle que, pour tout x>Mx \gt \text{M},  f(x)<0,0001\nobreakspace{f(x) \lt 0,0001}.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On considère le programme ci‑dessous.

From numpy import log as ln

def f(x, k):
	return ln(x)/(x**k)

for i in range(...):
	...

1. Compléter ce programme afin qu’il affiche les valeurs de f(x)f(x) pour tout entier xx multiple de 1010 et inférieur à 100100. Tester différentes valeurs de kk et conjecturer la limite recherchée.


2. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.

Couleurs
Formes
Dessinez ici


3. Pour k=2k = 2, écrire un programme qui calcule la plus petite valeur entière de M telle que, pour tout  x>M\nobreakspace{x \gt \text{M}},  f(x)<0,0001.\nobreakspace{f(x) \lt 0{,}0001}.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
TABLEUR

1. Dans la première colonne du tableur, écrire les nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 100100, ainsi que toutes les puissances de 1010 jusqu’à 102010^{20}.


2. Dans la cellule C1 écrire le nombre 22 qui sera la valeur de kk.


3. Dans la colonne B, utiliser une formule permettant de calculer l’image par ff des nombres situés dans la colonne A pour la valeur de kk située dans la cellule C1.


4. En étirant vers le bas la cellule B1, conjecturer la limite de ff pour k=2k = 2.


5. Compléter le tableau de variations des questions préliminaires avec le résultat de la question précédente.

Couleurs
Formes
Dessinez ici


6. Déterminer la plus petite valeur entière de M\text{M} telle que, pour tout  x>M\nobreakspace{x \gt \text{M}},  f(x)<0,0001\nobreakspace{f(x) \lt 0,0001}.


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Pour aller plus loin


1. Cette limite est‑elle conservée pour tout kZk \in \mathbb{Z} ?


2. Cette limite est‑elle conservée pour tout kQk \in \mathbb{Q} ?


3. Conjecturer la position asymptotique du maximum de ff lorsque kk tend vers l’infini.
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