Mathématiques Terminale Spécialité

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TP INFO 1

Algorithme de Briggs

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Énoncé
Après l'invention des logarithmes par John Neper, l'Anglais John Briggs propose les premières « tables de logarithme ». La méthode qu'il a utilisée pour les trouver s'appelle l'algorithme de Briggs. Il nécessite de connaître le logarithme de deux nombres fixés.

Algorithme de Briggs :
\text{A} \leftarrow 1
\text{B} \leftarrow 10
\ln (\mathrm{A}) \leftarrow 0
\ln (\mathrm{B}) \leftarrow 2,3026
\text{Tant que} |\mathrm{B}-x|>10^{-3}~:
\quad \mathrm{R} \leftarrow \sqrt{\mathrm{A} \times \mathrm{B}}
\quad \text M \leftarrow\frac{\ln (A)+\ln (B)}{2}
\quad \text{Si} \mathrm{R} \leqslant x~:
\quad \quad \mathrm{A} \leftarrow \mathrm{R}
\quad \quad \ln (\mathrm{A}) \leftarrow \mathrm{M}
\quad\text{Sinon} : \quad \quad \mathrm{B} \leftarrow \mathrm{R}
\quad \quad \ln (\mathrm{B}) \leftarrow \mathrm{M}
\quad \text{Fin S}i
\text{Fin Tant que}
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Questions préliminaires
1. Rappeler la valeur de \ln(1) et, à la calculatrice, déterminer \ln(10) à 10^{-3} près.

2. On donne l'algorithme de Briggs ci‑contre.
La valeur de x est donnée par l'utilisateur.
Ici, on pose x = 2 pour calculer \ln(2).
Effectuer les deux premières étapes de la boucle de l'algorithme de Briggs.
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Objectif

Comprendre l'algorithme de Briggs pour déterminer une valeur approchée de \ln(2) en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1
Python

from math import*

def Briggs(x): #On suppose 1 < x < 10
	A = 1
	B = 10
	lnA = 0
	lnB = 2.3026
	while ... :
		R = sqrt(A*B)
		M = (lnA + lnB)/2
		if x >= R:
			...
			...
		else:
			...
			...
	return lnB

print(Briggs(2))

  

1. Compléter les lignes en pointillés pour que la fonction \color{purple}{\mathbf{Briggs}} renvoie le logarithme du nombre x donné en argument avec une précision de 10^{-3}.

2. a. Ajouter l'instruction \color{purple}{\boldsymbol{\mathbf{print}(\ln\textbf{A}, \ln\textbf{B})}} dans le \color{purple}{\mathbf{else}} et exécuter le programme.

b. Que remarque-t-on sur les valeurs de \color{purple}{\boldsymbol{\ln\textbf{A}}} et \color{purple}{\boldsymbol{\ln\textbf{B}}} ?

c. En remplaçant l'instruction \color{purple}{\mathbf{print(\boldsymbol{\ln} A, \boldsymbol{\ln}B)}} par \color{purple}\mathbf{{print(A, B)}}, que remarque-t-on sur les valeurs de \color{purple}{\mathbf{A}} et \color{purple}{\mathbf{B}} ?

d. Combien de fois la boucle \color{purple}{\mathbf{while}} a-t-elle été effectuée ?


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Méthode 2
Tableur

Placeholder pour Logarithme népérien - Méthode de résolution 2 - Algorithme de BriggsLogarithme népérien - Méthode de résolution 2 - Algorithme de Briggs
Le zoom est accessible dans la version Premium.
(Fichier téléchageable .)

1. Recopier la feuille de calcul ci‑dessus et compléter les cellules F3 et G3 en utilisant les définitions de \text{R} et \text{M} de l'algorithme.

2. a. Écrire la bonne formule dans les cellules B4, C4, D4, E4, F4 et G4 pour obtenir respectivement les valeurs de \text{A}, \text{B}, \ln\text{(A)}, \ln\text{(B)}, \text{R} et \text{M} après la première étape de l'algorithme.

b. Étirer la ligne 4 vers le bas.

c. Que remarque‑t‑on pour les valeurs de \text{A} et de \text{B} ?

d. Que remarque-t-on pour les valeurs de \ln\text{(A)} et de \ln\text{(B)} ?

3. À partir de quelle étape la valeur de |\text{B}-x| est‑elle inférieure à 10^{-3} ?
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Pour aller plus loin

  • Se référer à l'activité « Histoire des maths » sur l'algorithme de Briggs.
  • Faire une recherche sur l'algorithme CORDIC et l'appliquer pour calculer \ln(2).

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