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TP INFO 1
Algorithme de Briggs
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Énoncé
Après l'invention des logarithmes par John Neper, l'Anglais John Briggs propose les premières « tables de logarithme ».
La méthode qu'il a utilisée pour les trouver s'appelle l'algorithme de Briggs.
Il nécessite de connaître le logarithme de deux nombres fixés.
Algorithme de Briggs :
\text{A} \leftarrow 1
\text{B} \leftarrow 10
\ln (\mathrm{A}) \leftarrow 0
\ln (\mathrm{B}) \leftarrow 2,3026
\text{Tant que} |\mathrm{B}-x|>10^{-3}~:
\quad \mathrm{R} \leftarrow \sqrt{\mathrm{A} \times \mathrm{B}}
\quad \text M \leftarrow\frac{\ln (A)+\ln (B)}{2}
\quad \text{Si} \mathrm{R} \leqslant x~:
\quad \quad \mathrm{A} \leftarrow \mathrm{R}
\quad \quad \ln (\mathrm{A}) \leftarrow \mathrm{M}
\quad\text{Sinon} : \quad \quad \mathrm{B} \leftarrow \mathrm{R}
\quad \quad \ln (\mathrm{B}) \leftarrow \mathrm{M}
\quad \text{Fin S}i
\text{Fin Tant que}
Algorithme de Briggs :
\text{A} \leftarrow 1
\text{B} \leftarrow 10
\ln (\mathrm{A}) \leftarrow 0
\ln (\mathrm{B}) \leftarrow 2,3026
\text{Tant que} |\mathrm{B}-x|>10^{-3}~:
\quad \mathrm{R} \leftarrow \sqrt{\mathrm{A} \times \mathrm{B}}
\quad \text M \leftarrow\frac{\ln (A)+\ln (B)}{2}
\quad \text{Si} \mathrm{R} \leqslant x~:
\quad \quad \mathrm{A} \leftarrow \mathrm{R}
\quad \quad \ln (\mathrm{A}) \leftarrow \mathrm{M}
\quad\text{Sinon} : \quad \quad \mathrm{B} \leftarrow \mathrm{R}
\quad \quad \ln (\mathrm{B}) \leftarrow \mathrm{M}
\quad \text{Fin S}i
\text{Fin Tant que}
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Questions préliminaires
1.
Rappeler la valeur de \ln(1) et, à la calculatrice, déterminer \ln(10) à 10^{-3} près.
2. On donne l'algorithme de Briggs ci‑contre.
La valeur de x est donnée par l'utilisateur.
Ici, on pose x = 2 pour calculer \ln(2).
Effectuer les deux premières étapes de la boucle de l'algorithme de Briggs.
2. On donne l'algorithme de Briggs ci‑contre.
La valeur de x est donnée par l'utilisateur.
Ici, on pose x = 2 pour calculer \ln(2).
Effectuer les deux premières étapes de la boucle de l'algorithme de Briggs.
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Objectif
Comprendre l'algorithme de Briggs pour déterminer une valeur approchée de \ln(2) en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1Python
from math import* def Briggs(x): #On suppose 1 < x < 10 A = 1 B = 10 lnA = 0 lnB = 2.3026 while ... : R = sqrt(A*B) M = (lnA + lnB)/2 if x >= R: ... ... else: ... ... return lnB print(Briggs(2))
1. Compléter les lignes en pointillés pour que la fonction \color{purple}{\mathbf{Briggs}} renvoie le logarithme du nombre x donné en argument avec une précision de 10^{-3}.
2. a. Ajouter l'instruction \color{purple}{\boldsymbol{\mathbf{print}(\ln\textbf{A}, \ln\textbf{B})}} dans le \color{purple}{\mathbf{else}} et exécuter le programme.
b. Que remarque-t-on sur les valeurs de \color{purple}{\boldsymbol{\ln\textbf{A}}} et \color{purple}{\boldsymbol{\ln\textbf{B}}} ?
c. En remplaçant l'instruction \color{purple}{\mathbf{print(\boldsymbol{\ln} A, \boldsymbol{\ln}B)}} par \color{purple}\mathbf{{print(A, B)}}, que remarque-t-on sur les valeurs de \color{purple}{\mathbf{A}} et \color{purple}{\mathbf{B}} ?
d. Combien de fois la boucle \color{purple}{\mathbf{while}} a-t-elle été effectuée ?
2. a. Ajouter l'instruction \color{purple}{\boldsymbol{\mathbf{print}(\ln\textbf{A}, \ln\textbf{B})}} dans le \color{purple}{\mathbf{else}} et exécuter le programme.
b. Que remarque-t-on sur les valeurs de \color{purple}{\boldsymbol{\ln\textbf{A}}} et \color{purple}{\boldsymbol{\ln\textbf{B}}} ?
c. En remplaçant l'instruction \color{purple}{\mathbf{print(\boldsymbol{\ln} A, \boldsymbol{\ln}B)}} par \color{purple}\mathbf{{print(A, B)}}, que remarque-t-on sur les valeurs de \color{purple}{\mathbf{A}} et \color{purple}{\mathbf{B}} ?
d. Combien de fois la boucle \color{purple}{\mathbf{while}} a-t-elle été effectuée ?
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Méthode 2Tableur
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1. Recopier la feuille de calcul ci‑dessus et compléter les cellules F3 et G3 en utilisant les définitions de \text{R} et \text{M} de l'algorithme.
2. a. Écrire la bonne formule dans les cellules B4, C4, D4, E4, F4 et G4 pour obtenir respectivement les valeurs de \text{A}, \text{B}, \ln\text{(A)}, \ln\text{(B)}, \text{R} et \text{M} après la première étape de l'algorithme.
b. Étirer la ligne 4 vers le bas.
c. Que remarque‑t‑on pour les valeurs de \text{A} et de \text{B} ?
d. Que remarque-t-on pour les valeurs de \ln\text{(A)} et de \ln\text{(B)} ?
3. À partir de quelle étape la valeur de |\text{B}-x| est‑elle inférieure à 10^{-3} ?
d. Que remarque-t-on pour les valeurs de \ln\text{(A)} et de \ln\text{(B)} ?
3. À partir de quelle étape la valeur de |\text{B}-x| est‑elle inférieure à 10^{-3} ?
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- Se référer à l'activité « Histoire des maths » sur l'algorithme de Briggs.
- Faire une recherche sur l'algorithme CORDIC et l'appliquer pour calculer \ln(2).
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