Travailler les automatismes

23

Résoudre dans \R l'équation \text{e}^{2x} = 3.

Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle indiqué.

1. \ln (x+1)=1 dans \nobreakspace{]-1 ;+\infty[}.

2. \ln \left(x^{2}+6 x+10\right)=0 dans \R.

3. \ln \left(x^{2}+1\right)=\ln (2) dans \R.

4. \ln \left(\frac{1}{x-2}\right)=\ln (5) dans ]2~;~+\infty [.

24

Résoudre les inéquations suivantes, après avoir déterminé l'intervalle auquel appartient x.

1. \ln (x) \geqslant 1

2. \ln \left(x^{2}+1\right) \geqslant 1

3. \ln (x) \leqslant \ln \left(x^{2}+x+1\right)

Montrer que \ln (54)-\ln (2)=~3 \ln (3).

26

Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur ]0~;~+\infty [.
1. f_{1}(x)=\mathrm{e}^{x} \ln (x)

2. f_{2}(x)=\ln (x)-\frac{1}{x}

3. f_{3}(x)=(x+3) \ln (x)

4. f_{4}(x)=\mathrm{e}^{x+\ln (x)}

27

Résoudre dans \R les équations suivantes :

1. \text{e}^{2 x+1}=3

2. \text{e}^{-4 x+2}-5=0

3. \frac{1}{\text{e}^{x-7}}=\sqrt{2}

28

Résoudre dans \R les équations suivantes :

1. \frac{\text{e}^{3 x+4}}{\text{e}^{x-7}}=4

2. \text{e}^{x^{2}-4}=10

3. \exp \left(\frac{3 x+2}{-x+5}\right)=10

29

On considère la fonction f définie sur ]1~;~+\infty[ par f(x) = (x + 1) \ln(x).
Démontrer que la fonction f est croissante sur ]1~;~+\infty[.

30

On considère la fonction g définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x) =~2 \ln(x) -5x.
Déterminer les variations de g sur ]0~;~+\infty[.

31

Soit a un nombre réel strictement positif.
Résoudre dans \R, en fonction de a, l'inéquation \ln (a) x+\mathrm{e}>0.

32

Pour quelles valeurs du nombre réel a l'équation x^2 - \ln(a) = 0 d'inconnue x admet‑elle exactement deux solutions distinctes ?

33

Résoudre \ln \left(x^{2}-1\right) \geqslant 0 dans ]1~;~+\infty[.

Parmi les informations suivantes, indiquer celle qui est fausse. Justifier.

1. Pour tout x \in] 0~;~+\infty[, f(x)=\ln (x) est la dérivée de g(x)=x \ln (x)-x.
2. (\ln (x))^{2}=\ln \left(x^{2}\right) pour tout \nobreakspace{x \gt 0}.
3. La dérivée de la fonction logarithme est décroissante sur ]0~;~+\infty[.
4. Pour tout x \gt 0, \text{e}^x > \ln(x).

Étudier, en fonction de x, le signe des expressions suivantes.

1. \ln (x-1) pour \nobreakspace{x \gt 1}.

2. \ln \left(\frac{x^{2}}{5 x-6}\right) pour \nobreakspace{x \gt \frac{6}{5}}.

3. \ln ((x-1)(x+1)) pour \nobreakspace{x \gt 1}.

Déterminer les limites suivantes.

1. \lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{2} \ln (x)

2. \lim \limits_{x \rightarrow 1}(x-1) \ln (x-1)

3. \lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{k} \ln (x) pour tout entier naturel k strictement positif.

38

Montrer que \ln (2)+\ln (4)+\ln (8)=6 \ln (2).

39

Déterminer \ln (3)+\ln (27)+\ln (81) en fonction de \ln(3).

40

Montrer que \ln (54)-2 \ln (3)=~\ln (6) et que \ln (\sqrt{72})=~\ln (6)+\frac{1}{2} \ln (2).

41

Montrer que \frac{\ln (27)}{\ln (343)}=\frac{\ln (3)}{\ln (7)}.

Écrire le plus simplement possible les expressions suivantes.

1. \ln \left(\left(2^{5}\right)^{3}\right)

2. \ln \left(5^{2} \times 2^{5}\right)

Montrer que \frac{1}{2} \ln \left(20^{2}+21^{2}\right)=\ln (29).

1. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de \ln(5) à 0,001 près.

2. En déduire un encadrement à 0,001 près des nombres suivants : \ln (25), \ln (\sqrt{5}), \ln (625) et \ln \left(\frac{\mathrm{e}}{125}\right).

On considère deux nombres réels strictement positifs x et y. Simplifier l'expression suivante \mathrm{A}\,=~\ln \left(x^{2} y\right)-2 \ln \left(\sqrt{x} \times y^{5}\right)+\ln \left(y^{9}\right).

Exprimer, pour tout \nobreakspace{x \gt 1}, les expressions suivantes en fonction de \ln(x).

1. \mathrm{A}(x)=\ln \left(3 x^{2}\right)

2. \mathrm{B}(x)=\ln (x+4)-\ln \left(4 x+x^{2}\right)

3. \mathrm{C}(x)=\ln \left(x^{3}-x^{2}\right)-\ln (x-1)

4. \mathrm{D}(x)=\ln \left(\frac{1}{x}\right)+\ln \left(x^{2}\right)

3. \mathrm{E}(x)=\ln (\sqrt{x})+\ln \left(x^{2}\right)

Résoudre dans \R puis dans \N les inéquations suivantes d'inconnue n.

1. \nobreakspace{3^{n}\gt 125}

2. \nobreakspace{5^{n} \leqslant 10000}

3. \nobreakspace{0,5^{n}\lt 0,001}

4. \nobreakspace{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\lt 10^{-4}}

Résoudre dans \N les inéquations suivantes d'inconnue n.

1. \nobreakspace{2^{n-6} \gt 1000}

2. \nobreakspace{0,8^{n}\lt 0,05}

3. \nobreakspace{1-0,3^{n}\gt 0,95}

4. \nobreakspace{\frac{4^{n}}{5^{n-1}}\gt 1}

Soit f la fonction définie par f(x)=\ln (5 x-2) définie et dérivable sur \left]\frac{2}{5} ;+\infty\right[. f a pour fonction dérivée :

g: x \mapsto \ln \left(x^{2}+\mathrm{e}^{x}\right)

h: x \mapsto \frac{5}{5 x-2}

k: x \mapsto \frac{5 x^{2}-2 x+1}{5 x-2}

l: x \mapsto \frac{-2}{2-5 x}

Déterminer une inéquation pour laquelle l'inconnue est en exposant et dont l'ensemble solution est l'intervalle\nobreakspace{\left] \frac{\ln (0,6)}{\ln (0,8)} ;+\infty \right[}.

Déterminer une fonction f satisfaisant la condition suivante : « Pour tout \nobreakspace{x \gt 3}, f^{\prime}(x)=~\, \frac{3}{x-3} .»