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22
Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle indiqué.
1. ln(x+1)=1 dans ]−1;+∞[.
2. ln(x2+6x+10)=0 dans R.
3. ln(x2+1)=ln(2) dans R.
4. ln(x−21)=ln(5) dans ]2;+∞[.
23
Résoudre dans R l’équation e2x=3.
24
Résoudre les inéquations suivantes, après avoir déterminé l’intervalle auquel appartient x.
1. ln(x)⩾1
2. ln(x2+1)⩾1
3. ln(x)⩽ln(x2+x+1)
25
Montrer que ln(54)−ln(2)=3ln(3).
26
Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur ]0;+∞[.
1. f1(x)=exln(x)
2. f2(x)=ln(x)−x1
3. f3(x)=(x+3)ln(x)
4. f4(x)=ex+ln(x)
Résoudre une équation
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Résoudre dans R les équations suivantes :
1. e2x+1=3
2. e−4x+2−5=0
3. ex−71=2
28
Résoudre dans R les équations suivantes :
1. ex−7e3x+4=4
2. ex2−4=10
3. exp(−x+53x+2)=10
Utiliser la fonction ln
29
On considère la fonction f définie sur ]1;+∞[ par f(x)=(x+1)ln(x).
Démontrer que la fonction f est croissante sur ]1;+∞[.
30
On considère la fonction g définie sur ]0;+∞[ par g(x)=2ln(x)−5x.
Démontrer que la fonction g est croissante sur ]0;+∞[.
31
Soit a un nombre réel strictement positif.
Résoudre dans R, en fonction de a, l’inéquation ln(a)x+e>0.
32
Pour quelles valeurs du nombre réel a l’équation x2−ln(a)=0 d’inconnue x admet‑elle exactement deux solutions distinctes ?
33
Résoudre ln(x2−1)⩾0 dans ]1;+∞[.
34
Parmi les informations suivantes, indiquer celle qui est fausse. Justifier.
1.
Pour tout x∈]0;+∞[, f(x)=ln(x) est la dérivée de g(x)=xln(x)−x. 2. (ln(x))2=ln(x2) pour tout x>0. 3.
La dérivée de la fonction logarithme est décroissante sur ]0;+∞[. 4.
Pour tout x>0, ex>ln(x).
35
On considère les fonctions f et g définies pour tout x∈]0;+∞[ par f(x)=ln(x) et g(x)=41x+2.
On note Cf et Cg leurs représentations graphiques.
1.
Représenter graphiquement Cf et Cg dans un repère orthonormé.
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2.
Trouver x0∈]0;+∞[ tel que la tangente T à Cf au point d’abscisse x0 soit parallèle à Cg.
3.
Compléter le graphique avec T.
36
Étudier, en fonction de x, le signe des expressions suivantes.
1. ln(x−1) pour x>1.
2. ln(5x−6x2) pour x>56.
3. ln((x−1)(x+1)) pour x>1.
37
Déterminer les limites suivantes.
1. x→0limx2ln(x)
2. x→1lim(x−1)ln(x−1)
3. x→0limxkln(x) pour tout entier naturel k strictement positif.
Propriétés algébriques
38
Montrer que ln(2)+ln(4)+ln(8)=6ln(2).
39
Déterminer ln(3)+ln(27)+ln(81) en fonction de ln(3).
40
Montrer que ln(54)−2ln(3)=ln(6) et que ln(72)=ln(6)+21ln(2).
41
Montrer que ln(343)ln(27)=ln(7)ln(3).
42
Écrire le plus simplement possible les expressions suivantes.
1. ln((25)3)
2. ln(52×25)
43
Montrer que 21ln(202+212)=ln(29).
44
1.
À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de ln(5) à 0,001 près.
2.
En déduire un encadrement à 0,001 près des nombres suivants : ln(25), ln(5), ln(625) et ln(125e).
45
On considère deux nombres réels strictement positifs x et y. Simplifier l’expression suivante A=ln(x2y)−2ln(x×y5)+ln(y9).
46
Exprimer, pour tout x>1, les expressions suivantes en fonction de ln(x).
1. A(x)=ln(3x2)
2. B(x)=ln(x+4)−ln(4x+x2)
3. C(x)=ln(x3−x2)−ln(x−1)
4. D(x)=ln(x1)+ln(x2)
3. E(x)=ln(x)+ln(x2)
Équations avec l’inconnue en exposant
47
Résoudre dans R puis dans N les inéquations
suivantes d’inconnue n.
1. 3n>125
2. 5n⩽10000
3. 0,5n<0,001
4. (32)n<10−4
48
Résoudre dans N les inéquations suivantes d’inconnue n.
1. 2n−6>1000
2. 0,8n<0,05
3. 1−0,3n>0,95
4. 5n−14n>1
49
Yzia possède 1 000 € sur son compte en banque.
Chaque mois, elle prélève 5 % de la somme qu’il lui reste.
Au bout de combien de mois lui restera‑t‑il moins de 500 € sur son compte ?
Fonctions ln(u)
50
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x>7−1, par f(x)=ln(7x+1).
51
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes sur ]0;+∞[.
1. f:x↦ln(x2)
2. g:x↦ln(3x+1)
3. h:x↦ln(x3+2)
4. k:x↦ln(x1)
5. ℓ:x↦ln(x)
53
Déterminer quelle courbe parmi celles représentées ci‑dessous correspond à la représentation graphique de la fonctionf:x↦ln(x1) définie pour tout x>0 ? Justifier.
Exercices inversés
54
Déterminer une inéquation pour laquelle l’inconnue est en exposant et dont l’ensemble solution est l’intervalle]ln(0,8)ln(0,6);+∞[.
55
Déterminer une fonction f satisfaisant la condition suivante : « Pour tout x>3, f′(x)=x−33 .»
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