Travailler les automatismes

À L'ORAL

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Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle indiqué.

1. $\ln (x+1)=1$ dans $\nobreakspace{]-1 ;+\infty[}$.


2. $\ln \left(x^{2}+6 x+10\right)=0$ dans $\R$.


3. $\ln \left(x^{2}+1\right)=\ln (2)$ dans $\R$.


4. $\ln \left(\dfrac{1}{x-2}\right)=\ln (5)$ dans $]2~;~+\infty [$.

23

Résoudre dans $\R$ l’équation $\text{e}^{2x} = 3$.

24

Résoudre les inéquations suivantes, après avoir déterminé l’intervalle auquel appartient $x$.

1. $\ln (x) \geqslant 1$


2. $\ln \left(x^{2}+1\right) \geqslant 1$


3. $\ln (x) \leqslant \ln \left(x^{2}+x+1\right)$

Montrer que $\ln (54)-\ln (2)=~3 \ln (3)$.

26

Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur $]0~;~+\infty [$.
1. $f_{1}(x)=\mathrm{e}^{x} \ln (x)$


2. $f_{2}(x)=\ln (x)-\dfrac{1}{x}$


3. $f_{3}(x)=(x+3) \ln (x)$


4. $f_{4}(x)=\mathrm{e}^{x+\ln (x)}$

27

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

1. $\text{e}^{2 x+1}=3$


2. $\text{e}^{-4 x+2}-5=0$


3. $\dfrac{1}{\text{e}^{x-7}}=\sqrt{2}$

28

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

1. $\dfrac{\text{e}^{3 x+4}}{\text{e}^{x-7}}=4$


2. $\text{e}^{x^{2}-4}=10$


3. $\exp \left(\dfrac{3 x+2}{-x+5}\right)=10$

29

On considère la fonction $f$ définie sur $]1~;~+\infty[$ par $f(x) = (x + 1) \ln(x)$.
Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $]1~;~+\infty[$.

30

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) =~2 \ln(x) -5x$.
Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$.

31

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.
Résoudre dans $\R$, en fonction de $a$, l’inéquation $\ln (a) x+\mathrm{e}>0$.

32

Pour quelles valeurs du nombre réel $a$ l’équation $x^2 - \ln(a) = 0$ d’inconnue $x$ admet‑elle exactement deux solutions distinctes ?

33

Résoudre $\ln \left(x^{2}-1\right) \geqslant 0$ dans $]1~;~+\infty[$.

Parmi les informations suivantes, indiquer celle qui est fausse. Justifier.

1. Pour tout $x \in] 0~;~+\infty[$, $f(x)=\ln (x)$ est la dérivée de $g(x)=x \ln (x)-x$.


2. $(\ln (x))^{2}=\ln \left(x^{2}\right)$ pour tout $\nobreakspace{x \gt 0}$.


3. La dérivée de la fonction logarithme est décroissante sur $]0~;~+\infty[$.


4. Pour tout $x \gt 0$, $\text{e}^x > \ln(x)$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout $x \in] 0 ;+\infty[$ par $f(x)=~\ln (x)$ et $g(x)=~\dfrac{1}{4} x+2$.
On note $C_{f}$ et $C_{g}$ leurs représentations graphiques.

1. Représenter graphiquement $C_{f}$ et $C_{g}$ dans un repère orthonormé.

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2. Trouver $\left.x_{0} \in\right] 0 ;+\infty[$ tel que la tangente $\text{T}$ à $C_{f}$ au point d’abscisse $x_0$ soit parallèle à $C_{g}$.


3. Compléter le graphique avec $\text{T}$.

Étudier, en fonction de $x$, le signe des expressions suivantes.

1. $\ln (x-1)$ pour $\nobreakspace{x \gt 1}$.


2. $\ln \left(\dfrac{x^{2}}{5 x-6}\right)$ pour $\nobreakspace{x \gt \dfrac{6}{5}}$.


3. $\ln ((x-1)(x+1))$ pour $\nobreakspace{x \gt 1}$.

Déterminer les limites suivantes.

1. $\lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{2} \ln (x)$


2. $\lim \limits_{x \rightarrow 1}(x-1) \ln (x-1)$


3. $\lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{k} \ln (x)$ pour tout entier naturel $k$ strictement positif.

38

Montrer que $\ln (2)+\ln (4)+\ln (8)=6 \ln (2)$.

39

Déterminer $\ln (3)+\ln (27)+\ln (81)$ en fonction de $\ln(3)$.

40

Montrer que $\ln (54)-2 \ln (3)=~\ln (6)$ et que $\ln (\sqrt{72})=~\ln (6)+\dfrac{1}{2} \ln (2)$.

41

Montrer que $\dfrac{\ln (27)}{\ln (343)}=\dfrac{\ln (3)}{\ln (7)}$.

Écrire le plus simplement possible les expressions suivantes.

1. $\ln \left(\left(2^{5}\right)^{3}\right)$


2. $\ln \left(5^{2} \times 2^{5}\right)$

Montrer que $\dfrac{1}{2} \ln \left(20^{2}+21^{2}\right)=\ln (29)$.

Écrire le plus simplement possible les expressions suivantes.

1. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\ln(5)$ à $0,001$ près.


2. En déduire un encadrement à $0,001$ près des nombres suivants : $\ln (25)$, $\ln (\sqrt{5})$, $\ln (625)$ et $\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}}{125}\right)$.

On considère deux nombres réels strictement positifs $x$ et $y$. Simplifier l’expression suivante $\mathrm{A}\,=~\ln \left(x^{2} y\right)-2 \ln \left(\sqrt{x} \times y^{5}\right)+\ln \left(y^{9}\right)$.

Exprimer, pour tout $\nobreakspace{x \gt 1}$, les expressions suivantes en fonction de $\ln(x)$.

1. $\mathrm{A}(x)=\ln \left(3 x^{2}\right)$


2. $\mathrm{B}(x)=\ln (x+4)-\ln \left(4 x+x^{2}\right)$


3. $\mathrm{C}(x)=\ln \left(x^{3}-x^{2}\right)-\ln (x-1)$


4. $\mathrm{D}(x)=\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)+\ln \left(x^{2}\right)$


3. $\mathrm{E}(x)=\ln (\sqrt{x})+\ln \left(x^{2}\right)$

Résoudre dans $\R$ puis dans $\N$ les inéquations suivantes d’inconnue $n$.

1. $\nobreakspace{3^{n}\gt 125}$


2. $\nobreakspace{5^{n} \leqslant 10000}$


3. $\nobreakspace{0,5^{n}\lt 0,001}$


4. $\nobreakspace{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\lt 10^{-4}}$

Résoudre dans $\N$ les inéquations suivantes d’inconnue $n$.

1. $\nobreakspace{2^{n-6} \gt 1000}$


2. $\nobreakspace{0,8^{n}\lt 0,05}$


3. $\nobreakspace{1-0,3^{n}\gt 0,95}$


4. $\nobreakspace{\dfrac{4^{n}}{5^{n-1}}\gt 1}$

Yzia possède 1 000 € sur son compte en banque.
Chaque mois, elle prélève 5 % de la somme qu’il lui reste.
Au bout de combien de mois lui restera‑t‑il moins de 500 € sur son compte ?

Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $\nobreakspace{x \gt \dfrac{-1}{7}}$, par $f(x)=\ln (7 x+1)$. 

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes sur $]0~;~+\infty[$.

1. $\nobreakspace{f: x \mapsto \ln \left(x^{2}\right)}$


2. $\nobreakspace{g: x \mapsto \ln (3 x+1)}$


3. $\nobreakspace{h: x \mapsto \ln \left(x^{3}+2\right)}$


4. $\nobreakspace{k: x \mapsto \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)}$


4. $\nobreakspace{\ell: x \mapsto \ln (\sqrt{x})}$

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln (5 x-2)$ définie et dérivable sur $\left] \dfrac{2}{5}~;~+\infty \right[$. $f$ a pour fonction dérivée :

• $\nobreakspace{g: x \mapsto \ln \left(x^{2}+\mathrm{e}^{x}\right)}$


• $\nobreakspace{h: x \mapsto \dfrac{5}{5 x-2}}$


• $\nobreakspace{k: x \mapsto \dfrac{5 x^{2}-2 x+1}{5 x-2}}$


• $\nobreakspace{l: x \mapsto \dfrac{-2}{2-5 x}}$

Déterminer quelle courbe parmi celles représentées ci‑dessous correspond à la représentation graphique de la fonction$\nobreakspace{f: x \mapsto \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)}$ définie pour tout $\nobreakspace{x \gt 0}$ ? Justifier.

Déterminer une inéquation pour laquelle l’inconnue est en exposant et dont l’ensemble solution est l’intervalle$\nobreakspace{\left] \dfrac{\ln (0,6)}{\ln (0,8)} ;+\infty \right[}$.

Déterminer une fonction $f$ satisfaisant la condition suivante : « Pour tout $\nobreakspace{x \gt 3}$, $f^{\prime}(x)=~\, \dfrac{3}{x-3}$ .»