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Travailler les automatismes
P.250-251

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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22

Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle indiqué.

1. ln(x+1)=1\ln (x+1)=1 dans  ]1;+[\nobreakspace{]-1 ;+\infty[}.


2. ln(x2+6x+10)=0\ln \left(x^{2}+6 x+10\right)=0 dans R\R.


3. ln(x2+1)=ln(2)\ln \left(x^{2}+1\right)=\ln (2) dans R\R.


4. ln(1x2)=ln(5)\ln \left(\dfrac{1}{x-2}\right)=\ln (5) dans ]2 ; +[]2~;~+\infty [.
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23

Résoudre dans R\R l’équation e2x=3\text{e}^{2x} = 3.
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24

Résoudre les inéquations suivantes, après avoir déterminé l’intervalle auquel appartient xx.

1. ln(x)1\ln (x) \geqslant 1


2. ln(x2+1)1\ln \left(x^{2}+1\right) \geqslant 1


3. ln(x)ln(x2+x+1)\ln (x) \leqslant \ln \left(x^{2}+x+1\right)
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25

Montrer que ln(54)ln(2)= 3ln(3)\ln (54)-\ln (2)=~3 \ln (3).
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26

Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur ]0 ; +[]0~;~+\infty [.
1. f1(x)=exln(x)f_{1}(x)=\mathrm{e}^{x} \ln (x)


2. f2(x)=ln(x)1xf_{2}(x)=\ln (x)-\dfrac{1}{x}


3. f3(x)=(x+3)ln(x)f_{3}(x)=(x+3) \ln (x)


4. f4(x)=ex+ln(x)f_{4}(x)=\mathrm{e}^{x+\ln (x)}


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Résoudre une équation


27

Résoudre dans R\R les équations suivantes :

1. e2x+1=3\text{e}^{2 x+1}=3


2. e4x+25=0\text{e}^{-4 x+2}-5=0


3. 1ex7=2\dfrac{1}{\text{e}^{x-7}}=\sqrt{2}
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28

Résoudre dans R\R les équations suivantes :

1. e3x+4ex7=4\dfrac{\text{e}^{3 x+4}}{\text{e}^{x-7}}=4


2. ex24=10\text{e}^{x^{2}-4}=10


3. exp(3x+2x+5)=10\exp \left(\dfrac{3 x+2}{-x+5}\right)=10
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Utiliser la fonction ln\boldsymbol{\ln}


29

On considère la fonction ff définie sur ]1 ; +[]1~;~+\infty[ par f(x)=(x+1)ln(x)f(x) = (x + 1) \ln(x).
Démontrer que la fonction ff est croissante sur ]1 ; +[]1~;~+\infty[.
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30

On considère la fonction gg définie sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[ par g(x)= 2ln(x)5xg(x) =~2 \ln(x) -5x.
Démontrer que la fonction gg est croissante sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[.
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31

Soit aa un nombre réel strictement positif.
Résoudre dans R\R, en fonction de aa, l’inéquation ln(a)x+e>0\ln (a) x+\mathrm{e}>0.
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32

Pour quelles valeurs du nombre réel aa l’équation x2ln(a)=0x^2 - \ln(a) = 0 d’inconnue xx admet‑elle exactement deux solutions distinctes ?
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33

Résoudre ln(x21)0\ln \left(x^{2}-1\right) \geqslant 0 dans ]1 ; +[]1~;~+\infty[.
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34

Parmi les informations suivantes, indiquer celle qui est fausse. Justifier.

1. Pour tout x]0 ; +[x \in] 0~;~+\infty[, f(x)=ln(x)f(x)=\ln (x) est la dérivée de g(x)=xln(x)xg(x)=x \ln (x)-x.


2. (ln(x))2=ln(x2)(\ln (x))^{2}=\ln \left(x^{2}\right) pour tout  x>0\nobreakspace{x \gt 0}.


3. La dérivée de la fonction logarithme est décroissante sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[.


4. Pour tout x>0x \gt 0, ex>ln(x)\text{e}^x > \ln(x).
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35

On considère les fonctions ff et gg définies pour tout x]0;+[x \in] 0 ;+\infty[ par f(x)= ln(x)f(x)=~\ln (x) et g(x)= 14x+2g(x)=~\dfrac{1}{4} x+2.
On note CfC_{f} et CgC_{g} leurs représentations graphiques.

1. Représenter graphiquement CfC_{f} et CgC_{g} dans un repère orthonormé.
Lancer le module Geogebra
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2. Trouver x0]0;+[\left.x_{0} \in\right] 0 ;+\infty[ tel que la tangente T\text{T} à CfC_{f} au point d’abscisse x0x_0 soit parallèle à CgC_{g}.


3. Compléter le graphique avec T\text{T}.
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36

Étudier, en fonction de xx, le signe des expressions suivantes.

1. ln(x1)\ln (x-1) pour  x>1\nobreakspace{x \gt 1}.


2. ln(x25x6)\ln \left(\dfrac{x^{2}}{5 x-6}\right) pour  x>65\nobreakspace{x \gt \dfrac{6}{5}}.


3. ln((x1)(x+1))\ln ((x-1)(x+1)) pour  x>1\nobreakspace{x \gt 1}.
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37

Déterminer les limites suivantes.

1. limx0x2ln(x)\lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{2} \ln (x)


2. limx1(x1)ln(x1)\lim \limits_{x \rightarrow 1}(x-1) \ln (x-1)


3. limx0xkln(x)\lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{k} \ln (x) pour tout entier naturel kk strictement positif.
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Propriétés algébriques


38

Montrer que ln(2)+ln(4)+ln(8)=6ln(2)\ln (2)+\ln (4)+\ln (8)=6 \ln (2).
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39

Déterminer ln(3)+ln(27)+ln(81)\ln (3)+\ln (27)+\ln (81) en fonction de ln(3)\ln(3).
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40

Montrer que ln(54)2ln(3)= ln(6)\ln (54)-2 \ln (3)=~\ln (6) et que ln(72)= ln(6)+12ln(2)\ln (\sqrt{72})=~\ln (6)+\dfrac{1}{2} \ln (2).
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41

Montrer que ln(27)ln(343)=ln(3)ln(7)\dfrac{\ln (27)}{\ln (343)}=\dfrac{\ln (3)}{\ln (7)}.
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42

Écrire le plus simplement possible les expressions suivantes.

1. ln((25)3)\ln \left(\left(2^{5}\right)^{3}\right)


2. ln(52×25)\ln \left(5^{2} \times 2^{5}\right)
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43

Montrer que 12ln(202+212)=ln(29)\dfrac{1}{2} \ln \left(20^{2}+21^{2}\right)=\ln (29).
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44

Écrire le plus simplement possible les expressions suivantes.

1. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de ln(5)\ln(5) à 0,0010,001 près.


2. En déduire un encadrement à 0,0010,001 près des nombres suivants : ln(25)\ln (25), ln(5)\ln (\sqrt{5}), ln(625)\ln (625) et ln(e125)\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}}{125}\right).
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45

On considère deux nombres réels strictement positifs xx et yy. Simplifier l’expression suivante A= ln(x2y)2ln(x×y5)+ln(y9)\mathrm{A}\,=~\ln \left(x^{2} y\right)-2 \ln \left(\sqrt{x} \times y^{5}\right)+\ln \left(y^{9}\right).
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46

Exprimer, pour tout  x>1\nobreakspace{x \gt 1}, les expressions suivantes en fonction de ln(x)\ln(x).

1. A(x)=ln(3x2)\mathrm{A}(x)=\ln \left(3 x^{2}\right)


2. B(x)=ln(x+4)ln(4x+x2)\mathrm{B}(x)=\ln (x+4)-\ln \left(4 x+x^{2}\right)


3. C(x)=ln(x3x2)ln(x1)\mathrm{C}(x)=\ln \left(x^{3}-x^{2}\right)-\ln (x-1)


4. D(x)=ln(1x)+ln(x2)\mathrm{D}(x)=\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)+\ln \left(x^{2}\right)


3. E(x)=ln(x)+ln(x2)\mathrm{E}(x)=\ln (\sqrt{x})+\ln \left(x^{2}\right)
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Équations avec l’inconnue en exposant


47

Résoudre dans R\R puis dans N\N les inéquations suivantes d’inconnue nn.

1.  3n>125\nobreakspace{3^{n}\gt 125}


2.  5n10000\nobreakspace{5^{n} \leqslant 10000}


3.  0,5n<0,001\nobreakspace{0,5^{n}\lt 0,001}


4.  (23)n<104\nobreakspace{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\lt 10^{-4}}
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48

Résoudre dans N\N les inéquations suivantes d’inconnue nn.

1.  2n6>1000\nobreakspace{2^{n-6} \gt 1000}


2.  0,8n<0,05\nobreakspace{0,8^{n}\lt 0,05}


3.  10,3n>0,95\nobreakspace{1-0,3^{n}\gt 0,95}


4.  4n5n1>1\nobreakspace{\dfrac{4^{n}}{5^{n-1}}\gt 1}
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49

Yzia possède 1 000 € sur son compte en banque.
Chaque mois, elle prélève 5 % de la somme qu’il lui reste.
Au bout de combien de mois lui restera‑t‑il moins de 500 € sur son compte ?
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Fonctions ln(u)\boldsymbol{\ln(u)}


50

Étudier les variations de la fonction ff définie, pour tout  x>17\nobreakspace{x \gt \dfrac{-1}{7}}, par f(x)=ln(7x+1)f(x)=\ln (7 x+1). 
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51

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[.

1.  f:xln(x2)\nobreakspace{f: x \mapsto \ln \left(x^{2}\right)}


2.  g:xln(3x+1)\nobreakspace{g: x \mapsto \ln (3 x+1)}


3.  h:xln(x3+2)\nobreakspace{h: x \mapsto \ln \left(x^{3}+2\right)}


4.  k:xln(1x)\nobreakspace{k: x \mapsto \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)}


4.  :xln(x)\nobreakspace{\ell: x \mapsto \ln (\sqrt{x})}


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52

Soit ff la fonction définie par f(x)=ln(5x2)f(x)=\ln (5 x-2) définie et dérivable sur ]25 ; +[\left] \dfrac{2}{5}~;~+\infty \right[. ff a pour fonction dérivée :

 g:xln(x2+ex)\nobreakspace{g: x \mapsto \ln \left(x^{2}+\mathrm{e}^{x}\right)}


 h:x55x2\nobreakspace{h: x \mapsto \dfrac{5}{5 x-2}}


 k:x5x22x+15x2\nobreakspace{k: x \mapsto \dfrac{5 x^{2}-2 x+1}{5 x-2}}


 l:x225x\nobreakspace{l: x \mapsto \dfrac{-2}{2-5 x}}
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53

Déterminer quelle courbe parmi celles représentées ci‑dessous correspond à la représentation graphique de la fonction f:xln(1x)\nobreakspace{f: x \mapsto \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)} définie pour tout  x>0\nobreakspace{x \gt 0} ? Justifier.


Logarithme népérien - Travailler les automatismes - Exercice 53

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Exercices inversés


54

Déterminer une inéquation pour laquelle l’inconnue est en exposant et dont l’ensemble solution est l’intervalle ]ln(0,6)ln(0,8);+[\nobreakspace{\left] \dfrac{\ln (0,6)}{\ln (0,8)} ;+\infty \right[}.
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55

Déterminer une fonction ff satisfaisant la condition suivante : « Pour tout  x>3\nobreakspace{x \gt 3}, f(x)= 3x3f^{\prime}(x)=~\, \dfrac{3}{x-3} 
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