Travailler les automatismes

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Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle indiqué.

1. $\ln (x+1)=1$ dans $]-1;+\infty [$.


2. $\ln \left(x^2+6x+10\right)=0$ dans $\mathbb{R}$.


3. $\ln \left(x^2+1\right)=\ln (2)$ dans $\mathbb{R}$.


4. $\ln \left(\frac{1}{x-2}\right)=\ln (5)$ dans $]2;+\infty [$.

23

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation ${\text{e}}^{2x}=3$.

24

Résoudre les inéquations suivantes, après avoir déterminé l’intervalle auquel appartient $x$.

1. $\ln (x)⩾1$


2. $\ln \left(x^2+1\right)⩾1$


3. $\ln (x)⩽\ln \left(x^2+x+1\right)$

Montrer que $\ln (54)-\ln (2)=3\ln (3)$.

26

Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur $]0;+\infty [$.
1. $f_1(x)={\mathrm{e}}^x\ln (x)$


2. $f_2(x)=\ln (x)-\frac{1}{x}$


3. $f_3(x)=(x+3)\ln (x)$


4. $f_4(x)={\mathrm{e}}^{x+\ln (x)}$

27

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. ${\text{e}}^{2x+1}=3$


2. ${\text{e}}^{-4x+2}-5=0$


3. $\frac{1}{{\text{e}}^{x-7}}=\sqrt{2}$

28

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $\frac{{\text{e}}^{3x+4}}{{\text{e}}^{x-7}}=4$


2. ${\text{e}}^{x^2-4}=10$


3. $\exp \left(\frac{3x+2}{-x+5}\right)=10$

29

On considère la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty [$ par $f(x)=(x+1)\ln (x)$.
Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $]1;+\infty [$.

30

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=2\ln (x)-5x$.
Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $]0;+\infty [$.

31

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.
Résoudre dans $\mathbb{R}$, en fonction de $a$, l’inéquation $\ln (a)x+\mathrm{e}>0$.

32

Pour quelles valeurs du nombre réel $a$ l’équation $x^2-\ln (a)=0$ d’inconnue $x$ admet‑elle exactement deux solutions distinctes ?

33

Résoudre $\ln \left(x^2-1\right)⩾0$ dans $]1;+\infty [$.

Parmi les informations suivantes, indiquer celle qui est fausse. Justifier.

1. Pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $f(x)=\ln (x)$ est la dérivée de $g(x)=x\ln (x)-x$.
2. $(\ln (x){)}^2=\ln \left(x^2\right)$ pour tout $x>0$.
3. La dérivée de la fonction logarithme est décroissante sur $]0;+\infty [$.
4. Pour tout $x>0$, ${\text{e}}^x>\ln (x)$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout $x\in ]0;+\infty [$ par $f(x)=\ln (x)$ et $g(x)=\frac{1}{4}x+2$.
On note $C_f$ et $C_g$ leurs représentations graphiques.

1. Représenter graphiquement $C_f$ et $C_g$ dans un repère orthonormé.


2. Trouver $x_0\in ]0;+\infty [$ tel que la tangente $\text{T}$ à $C_f$ au point d’abscisse $x_0$ soit parallèle à $C_g$.


3. Compléter le graphique avec $\text{T}$.

Étudier, en fonction de $x$, le signe des expressions suivantes.

1. $\ln (x-1)$ pour $x>1$.


2. $\ln \left(\frac{x^2}{5x-6}\right)$ pour $x>\frac{6}{5}$.


3. $\ln ((x-1)(x+1))$ pour $x>1$.

Déterminer les limites suivantes.

1. $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\ln (x)$


2. $\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)\ln (x-1)$


3. $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^k\ln (x)$ pour tout entier naturel $k$ strictement positif.

38

Montrer que $\ln (2)+\ln (4)+\ln (8)=6\ln (2)$.

39

Déterminer $\ln (3)+\ln (27)+\ln (81)$ en fonction de $\ln (3)$.

40

Montrer que $\ln (54)-2\ln (3)=\ln (6)$ et que $\ln (\sqrt{72})=\ln (6)+\frac{1}{2}\ln (2)$.

41

Montrer que $\frac{\ln (27)}{\ln (343)}=\frac{\ln (3)}{\ln (7)}$.

Écrire le plus simplement possible les expressions suivantes.

1. $\ln \left({\left(2^5\right)}^3\right)$


2. $\ln \left(5^2\times 2^5\right)$

Montrer que $\frac{1}{2}\ln \left(20^2+21^2\right)=\ln (29)$.

1. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\ln (5)$ à $0,001$ près.


2. En déduire un encadrement à $0,001$ près des nombres suivants : $\ln (25)$, $\ln (\sqrt{5})$, $\ln (625)$ et $\ln \left(\frac{\mathrm{e}}{125}\right)$.

On considère deux nombres réels strictement positifs $x$ et $y$. Simplifier l’expression suivante $\mathrm{A}=\ln \left(x^{2}y\right)-2\ln \left(\sqrt{x}\times y^5\right)+\ln \left(y^9\right)$.

Exprimer, pour tout $x>1$, les expressions suivantes en fonction de $\ln (x)$.

1. $\mathrm{A}(x)=\ln \left(3x^2\right)$


2. $\mathrm{B}(x)=\ln (x+4)-\ln \left(4x+x^2\right)$


3. $\mathrm{C}(x)=\ln \left(x^3-x^2\right)-\ln (x-1)$


4. $\mathrm{D}(x)=\ln \left(\frac{1}{x}\right)+\ln \left(x^2\right)$


3. $\mathrm{E}(x)=\ln (\sqrt{x})+\ln \left(x^2\right)$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $\mathbb{N}$ les inéquations suivantes d’inconnue $n$.

1. $3^n>125$


2. $5^n⩽10000$


3. $0,5^n<0,001$


4. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n<10^{-4}$

Résoudre dans $\mathbb{N}$ les inéquations suivantes d’inconnue $n$.

1. $2^{n-6}>1000$


2. $0,8^n<0,05$


3. $1-0,3^n>0,95$


4. $\frac{4^n}{5^{n-1}}>1$

Yzia possède 1 000 € sur son compte en banque.
Chaque mois, elle prélève 5 % de la somme qu’il lui reste.
Au bout de combien de mois lui restera‑t‑il moins de 500 € sur son compte ?

Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x>\frac{-1}{7}$, par $f(x)=\ln (7x+1)$. 

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes sur $]0;+\infty [$.

1. $f:x\mapsto \ln \left(x^2\right)$


2. $g:x\mapsto \ln (3x+1)$


3. $h:x\mapsto \ln \left(x^3+2\right)$


4. $k:x\mapsto \ln \left(\frac{1}{x}\right)$


5. $\ell :x\mapsto \ln (\sqrt{x})$

Déterminer quelle courbe parmi celles représentées ci‑dessous correspond à la représentation graphique de la fonction$f:x\mapsto \ln \left(\frac{1}{x}\right)$ définie pour tout $x>0$ ? Justifier.

Déterminer une inéquation pour laquelle l’inconnue est en exposant et dont l’ensemble solution est l’intervalle$\left]\frac{\ln (0,6)}{\ln (0,8)};+\infty \right[$.

Déterminer une fonction $f$ satisfaisant la condition suivante : « Pour tout $x>3$, $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x-3}$ .»