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Fonction logarithme népérien

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

Simplifier les expressions suivantes.

1. $\text{e}^{\ln (\ln (5))}$


2. $\text{e}^{\ln (\text{e}^3)}$


3. $\ln \left(\mathrm{e}^{\ln (4)}\right)$


4. $\ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)+\ln (\mathrm{e})$ où $x \in \mathbb{R}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier.

1. Si $x = \text{e}^5$ alors $\ln(x) =~5$.


2. Si $x = \text{e}^5$ alors $\ln(x) = \text{e}^5$.


3. Si $\ln(x) = 5$ alors $\ln(x) =~\ln(5)$.

Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x \in] 0~;~+\infty[$, par $f(x)=\ln (x)+2 x+3$.

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre dans $\R$ l’équation $\text{e}^{5 x+1}=2$.

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre dans $\R$ les équations suivantes.

1. $\text{e}^{2 x}-5 \text{e}^{x}+6=0$


2. $\text{e}^{2 x}-6 \text{e}^{x}+4=0$

Aide

On pourra commencer par poser $\text{X} = \text{e}^x$ .

[Chercher.]
Résoudre dans $\R$ l’équation $\mathrm{e}^{3 x}-2 \mathrm{e}^{x}=0$.

[Calculer.]
Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes.

1. $\text{e}^{2 x}-7 \text{e}^{x}+12 \gt 0$


2. $\text{e}^{2 x}+ \text{e}^{x}-6 \gt 0$

[Calculer.]
Résoudre dans $] 0~;~+\infty[$ les équations suivantes.

1. $(\ln (x))^{2}+4 \ln (x)+4=0$


2. $2(\ln (x))^{2}+20 \ln (x)+43=1$

Aide

On pourra commencer par poser $\text{X} = \ln(x)$ .

[Calculer.]
Résoudre le système suivant d’inconnue $(x~;~y)$ où $x \gt 0$ et $y \gt 0$.

$\left\{\begin{array}{c} \ln (x)+\ln (y)=25 \\ 2 \ln (x)+\ln (y)=1 \end{array}\right.$

[Communiquer.] ◉◉◉
Parmi les fonctions suivantes, trouver celles définies pour tout $x \in \mathbb{R}$. Justifier.

$f_{1}: x \mapsto \ln \left(x^{3}-1\right)$


$f_{2}: x \mapsto \ln \left(x^{3}+x^{2}\right)$


$f_{3}: x \mapsto \ln \left(x^{2}+1\right)$


$f_{4}: x \mapsto \ln \left(x^{4}+x^{2}\right)$


$f_{5}: x \mapsto \ln \left(x^{-4}+1\right)$


$f_{6}: x \mapsto \ln \left(x^{7}-x^{-1}\right)$

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de définition de l’expression donnée.

1. $\ln \left((x+1)^{2}+1\right)$


2. $\ln \left(x^{2}-1\right)$


3. $\ln \left(x^{2}-4 x+4\right)$


4. $\ln \left(x^{2}+6 x+10\right)$


5. $\ln \left(\dfrac{x+2}{2 x-1}\right)$

[Calculer.] ◉◉◉
Étudier les limites suivantes.

1. $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\sin (\ln (x))}{x^{2}+1}$


2. $\begin{array}{l}\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} 2 x^{2} \ln (x) \\ \end{array}$


3. $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\dfrac{x^{3}+2 x^{2}-x+2}{x^{3}+7 x^{2}+3 x+4}\right)$


4. $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\dfrac{x^{2}+2 x+7}{x^{3}+3 x+4}\right)$

[Chercher.]
On considère la fonction $f$ définie sur $\text{I}$ par $f(x)=\dfrac{1}{\ln (x)}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $\text{I}$ de $f$.


2. Montrer que, pour tout $x \in \mathrm{I}$, $f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{x(\ln (x))^{2}}$.


3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\text{I}$. On précisera les équations des éventuelles asymptotes à la représentation graphique de $f$.

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[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur $] 1~;~+\infty[$.

1. $\nobreakspace{f_{1}: x \mapsto \ln (x)+2 x}$


2. $\nobreakspace{f_{2}: x \mapsto \dfrac{\ln (x)}{x^{2}}}$


3. $\nobreakspace{f_{3}: x \mapsto \dfrac{\ln (x)+x^{2}}{x+1}}$


4. $\nobreakspace{f_{4}: x \mapsto \ln (x)-\dfrac{x^{3}}{\ln (x)}}$

[Calculer.]
Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $\text{T}_n$ la tangente à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse $n$. On note $\text{A}_n$ l’abscisse du point d’intersection de $\text{T}_n$ avec l’axe des abscisses.

1. Déterminer, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, une expression de $\text{A}_n$ en fonction $n$.


2. Déterminer la limite de $\text{A}_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini.

[Chercher.]
On note $C_f$ et $C_g$ les représentation graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ définies, pour tout $x \gt 0$, par $f(x)=\ln (x) \text { et } g(x)=x^{2}$. On note respectivement $\text{M}_x$ et $\text{N}_x$ les points d’abscisses $x$ de $C_f$ et $C_g$.
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la distance $\text{M}_x$ $\text{N}_x$ est‑elle minimale ?

[Chercher.] ◉◉◉
Soit $\alpha \gt 0$. On note $C_f$ et $C_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ définies, pour tout $x \gt 0$, par $f(x)=\ln (x)$ et $g(x)=\alpha x^{2}$.

1. Trouver la plus grande valeur de $\alpha$ pour laquelle $C_f$ et $C_g$ ont au moins un point d’intersection.


2. a. Pour la valeur de $\alpha$ obtenue à la question précédente, déterminer le nombre de points d’intersection entre $C_f$ et $C_g$.


b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection trouvés.