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Fonction logarithme népérien

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

Simplifier les expressions suivantes.

1. ${\text{e}}^{\ln (\ln (5))}$


2. ${\text{e}}^{\ln ({\text{e}}^3)}$


3. $\ln \left({\mathrm{e}}^{\ln (4)}\right)$


4. $\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)+\ln (\mathrm{e})$ où $x\in \mathbb{R}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier.

1. Si $x={\text{e}}^5$ alors $\ln (x)=5$.


2. Si $x={\text{e}}^5$ alors $\ln (x)={\text{e}}^5$.


3. Si $\ln (x)=5$ alors $\ln (x)=\ln (5)$.

Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x\in ]0;+\infty [$, par $f(x)=\ln (x)+2x+3$.

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation ${\text{e}}^{5x+1}=2$.

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1. ${\text{e}}^{2x}-5{\text{e}}^x+6=0$


2. ${\text{e}}^{2x}-6{\text{e}}^x+4=0$

Aide

On pourra commencer par poser $\text{X}={\text{e}}^x$ .

[Chercher.]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation ${\mathrm{e}}^{3x}-2{\mathrm{e}}^x=0$.

[Calculer.]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

1. ${\text{e}}^{2x}-7{\text{e}}^x+12>0$


2. ${\text{e}}^{2x}+{\text{e}}^x-6>0$

[Calculer.]
Résoudre dans $]0;+\infty [$ les équations suivantes.

1. $(\ln (x){)}^2+4\ln (x)+4=0$


2. $2(\ln (x){)}^2+20\ln (x)+43=1$

Aide

On pourra commencer par poser $\text{X}=\ln (x)$ .

[Calculer.]
Résoudre le système suivant d’inconnue $(x;y)$ où $x>0$ et $y>0$.

$\{\begin{array}{c}\ln (x)+\ln (y)=25\\ 2\ln (x)+\ln (y)=1\end{array}$

[Communiquer.] ◉◉◉
Parmi les fonctions suivantes, trouver celles définies pour tout $x\in \mathbb{R}$. Justifier.

$f_1:x\mapsto \ln \left(x^3-1\right)$


$f_2:x\mapsto \ln \left(x^3+x^2\right)$


$f_3:x\mapsto \ln \left(x^2+1\right)$


$f_4:x\mapsto \ln \left(x^4+x^2\right)$


$f_5:x\mapsto \ln \left(x^{-4}+1\right)$


$f_6:x\mapsto \ln \left(x^7-x^{-1}\right)$

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de définition de l’expression donnée.

1. $\ln \left((x+1{)}^2+1\right)$


2. $\ln \left(x^2-1\right)$


3. $\ln \left(x^2-4x+4\right)$


4. $\ln \left(x^2+6x+10\right)$


5. $\ln \left(\frac{x+2}{2x-1}\right)$

[Calculer.] ◉◉◉
Étudier les limites suivantes.

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin (\ln (x))}{x^2+1}$


2. $\begin{array}{l}\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }2x^2\ln (x)\end{array}$


3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(\frac{x^3+2x^2-x+2}{x^3+7x^2+3x+4}\right)$


4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(\frac{x^2+2x+7}{x^3+3x+4}\right)$

[Chercher.]
On considère la fonction $f$ définie sur $\text{I}$ par $f(x)=\frac{1}{\ln (x)}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $\text{I}$ de $f$.


2. Montrer que, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{x(\ln (x){)}^2}$.


3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\text{I}$. On précisera les équations des éventuelles asymptotes à la représentation graphique de $f$.

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Dessinez ici

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur $]1;+\infty [$.

1. $f_1:x\mapsto \ln (x)+2x$


2. $f_2:x\mapsto \frac{\ln (x)}{x^2}$


3. $f_3:x\mapsto \frac{\ln (x)+x^2}{x+1}$


4. $f_4:x\mapsto \ln (x)-\frac{x^3}{\ln (x)}$

[Calculer.]
Soit $n$ un entier naturel non nul. On note ${\text{T}}_n$ la tangente à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse $n$. On note ${\text{A}}_n$ l’abscisse du point d’intersection de ${\text{T}}_n$ avec l’axe des abscisses.

1. Déterminer, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, une expression de ${\text{A}}_n$ en fonction $n$.


2. Déterminer la limite de ${\text{A}}_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini.

[Chercher.]
On note $C_f$ et $C_g$ les représentation graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ définies, pour tout $x>0$, par $f(x)=\ln (x)\text{ et }g(x)=x^2$. On note respectivement ${\text{M}}_x$ et ${\text{N}}_x$ les points d’abscisses $x$ de $C_f$ et $C_g$.
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la distance ${\text{M}}_x$ ${\text{N}}_x$ est‑elle minimale ?

[Chercher.] ◉◉◉
Soit $\alpha >0$. On note $C_f$ et $C_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ définies, pour tout $x>0$, par $f(x)=\ln (x)$ et $g(x)=\alpha x^2$.

1. Trouver la plus grande valeur de $\alpha$ pour laquelle $C_f$ et $C_g$ ont au moins un point d’intersection.


2. a. Pour la valeur de $\alpha$ obtenue à la question précédente, déterminer le nombre de points d’intersection entre $C_f$ et $C_g$.


b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection trouvés.