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1. Fonction logarithme népérien
P.252-253

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Entraînement


1
Fonction logarithme népérien





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

56
FLASH

Simplifier les expressions suivantes.

1. eln(ln(5))\text{e}^{\ln (\ln (5))}


2. eln(e3)\text{e}^{\ln (\text{e}^3)}


3. ln(eln(4))\ln \left(\mathrm{e}^{\ln (4)}\right)


4. ln(ex)+ln(e)\ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)+\ln (\mathrm{e})xRx \in \mathbb{R}.
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57
FLASH

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier.

1. Si x=e5x = \text{e}^5 alors ln(x)= 5\ln(x) =~5.


2. Si x=e5x = \text{e}^5 alors ln(x)=e5\ln(x) = \text{e}^5.


3. Si ln(x)=5\ln(x) = 5 alors ln(x)= ln(5)\ln(x) =~\ln(5).
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58
FLASH

Étudier les variations de la fonction ff définie, pour tout x]0 ; +[x \in] 0~;~+\infty[, par f(x)=ln(x)+2x+3f(x)=\ln (x)+2 x+3.
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59
[Calculer.] ◉◉
Résoudre dans R\R l’équation e5x+1=2\text{e}^{5 x+1}=2.
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60
[Calculer.] ◉◉
Résoudre dans R\R les équations suivantes.

1. e2x5ex+6=0\text{e}^{2 x}-5 \text{e}^{x}+6=0


2. e2x6ex+4=0\text{e}^{2 x}-6 \text{e}^{x}+4=0



Aide
On pourra commencer par poser X=ex\text{X} = \text{e}^x .

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61
[Chercher.]
Résoudre dans R\R l’équation e3x2ex=0\mathrm{e}^{3 x}-2 \mathrm{e}^{x}=0.
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62
[Calculer.]
Résoudre dans R\R les inéquations suivantes.

1. e2x7ex+12>0\text{e}^{2 x}-7 \text{e}^{x}+12 \gt 0


2. e2x+ex6>0\text{e}^{2 x}+ \text{e}^{x}-6 \gt 0
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63
[Calculer.]
Résoudre dans ]0 ; +[] 0~;~+\infty[ les équations suivantes.

1. (ln(x))2+4ln(x)+4=0(\ln (x))^{2}+4 \ln (x)+4=0


2. 2(ln(x))2+20ln(x)+43=12(\ln (x))^{2}+20 \ln (x)+43=1



Aide
On pourra commencer par poser X=ln(x)\text{X} = \ln(x) .
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64
[Calculer.]
Résoudre le système suivant d’inconnue (x ; y)(x~;~y)x>0x \gt 0 et y>0y \gt 0.

{ln(x)+ln(y)=252ln(x)+ln(y)=1\left\{\begin{array}{c} \ln (x)+\ln (y)=25 \\ 2 \ln (x)+\ln (y)=1 \end{array}\right.

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65
[Communiquer.] ◉◉
Parmi les fonctions suivantes, trouver celles définies pour tout xRx \in \mathbb{R}. Justifier.

f1:xln(x31)f_{1}: x \mapsto \ln \left(x^{3}-1\right)


f2:xln(x3+x2)f_{2}: x \mapsto \ln \left(x^{3}+x^{2}\right)


f3:xln(x2+1)f_{3}: x \mapsto \ln \left(x^{2}+1\right)


f4:xln(x4+x2)f_{4}: x \mapsto \ln \left(x^{4}+x^{2}\right)


f5:xln(x4+1)f_{5}: x \mapsto \ln \left(x^{-4}+1\right)


f6:xln(x7x1)f_{6}: x \mapsto \ln \left(x^{7}-x^{-1}\right)
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66
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de définition de l’expression donnée.

1. ln((x+1)2+1)\ln \left((x+1)^{2}+1\right)


2. ln(x21)\ln \left(x^{2}-1\right)


3. ln(x24x+4)\ln \left(x^{2}-4 x+4\right)


4. ln(x2+6x+10)\ln \left(x^{2}+6 x+10\right)


5. ln(x+22x1)\ln \left(\dfrac{x+2}{2 x-1}\right)
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67
[Calculer.] ◉◉◉
Étudier les limites suivantes.

1. limx+sin(ln(x))x2+1\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\sin (\ln (x))}{x^{2}+1}


2. limx0x>02x2ln(x)\begin{array}{l}\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} 2 x^{2} \ln (x) \\ \end{array}


3. limx+ln(x3+2x2x+2x3+7x2+3x+4)\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\dfrac{x^{3}+2 x^{2}-x+2}{x^{3}+7 x^{2}+3 x+4}\right)


4. limx+ln(x2+2x+7x3+3x+4)\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\dfrac{x^{2}+2 x+7}{x^{3}+3 x+4}\right)


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68
[Chercher.]
On considère la fonction ff définie sur I\text{I} par f(x)=1ln(x)f(x)=\dfrac{1}{\ln (x)}.

1. Déterminer l’ensemble de définition I\text{I} de ff.


2. Montrer que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, f(x)=1x(ln(x))2f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{x(\ln (x))^{2}}.


3. Dresser le tableau de variations de ff sur I\text{I}. On précisera les équations des éventuelles asymptotes à la représentation graphique de ff.

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69
[Calculer.] ◉◉
Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur ]1 ; +[] 1~;~+\infty[.

1.  f1:xln(x)+2x\nobreakspace{f_{1}: x \mapsto \ln (x)+2 x}


2.  f2:xln(x)x2\nobreakspace{f_{2}: x \mapsto \dfrac{\ln (x)}{x^{2}}}


3.  f3:xln(x)+x2x+1\nobreakspace{f_{3}: x \mapsto \dfrac{\ln (x)+x^{2}}{x+1}}


4.  f4:xln(x)x3ln(x)\nobreakspace{f_{4}: x \mapsto \ln (x)-\dfrac{x^{3}}{\ln (x)}}


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70
[Calculer.]
Soit nn un entier naturel non nul. On note Tn\text{T}_n la tangente à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse nn. On note An\text{A}_n l’abscisse du point d’intersection de Tn\text{T}_n avec l’axe des abscisses.

1. Déterminer, pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*}, une expression de An\text{A}_n en fonction nn.


2. Déterminer la limite de An\text{A}_n lorsque nn tend vers l’infini.
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71
[Chercher.]
On note CfC_f et CgC_g les représentation graphiques respectives des fonctions ff et gg définies, pour tout x>0x \gt 0, par f(x)=ln(x) et g(x)=x2f(x)=\ln (x) \text { et } g(x)=x^{2}. On note respectivement Mx\text{M}_x et Nx\text{N}_x les points d’abscisses xx de CfC_f et CgC_g.
Pour quelle(s) valeur(s) de xx la distance Mx\text{M}_x Nx\text{N}_x est‑elle minimale ?
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72
[Chercher.] ◉◉◉
Soit α>0\alpha \gt 0. On note CfC_f et CgC_g les représentations graphiques respectives des fonctions ff et gg définies, pour tout x>0x \gt 0, par f(x)=ln(x)f(x)=\ln (x) et g(x)=αx2g(x)=\alpha x^{2}.

1. Trouver la plus grande valeur de α\alpha pour laquelle CfC_f et CgC_g ont au moins un point d’intersection.


2. a. Pour la valeur de α\alpha obtenue à la question précédente, déterminer le nombre de points d’intersection entre CfC_f et CgC_g.


b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection trouvés.
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