Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier.
1.
Si x=e5 alors ln(x)=5.
2.
Si x=e5 alors ln(x)=e5.
3.
Si ln(x)=5 alors ln(x)=ln(5).
58
FLASH
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x∈]0;+∞[, par f(x)=ln(x)+2x+3.
59
[Calculer.]◉◉◉
Résoudre dans R l’équation e5x+1=2.
60
[Calculer.]◉◉◉
Résoudre dans R les équations suivantes.
1. e2x−5ex+6=0
2. e2x−6ex+4=0
Aide
On pourra commencer par poser X=ex .
61
[Chercher.]
Résoudre dans R l’équation e3x−2ex=0.
62
[Calculer.]
Résoudre dans R les inéquations suivantes.
1. e2x−7ex+12>0
2. e2x+ex−6>0
63
[Calculer.]
Résoudre dans ]0;+∞[ les équations suivantes.
1. (ln(x))2+4ln(x)+4=0
2. 2(ln(x))2+20ln(x)+43=1
Aide
On pourra commencer par poser X=ln(x) .
64
[Calculer.]
Résoudre le système suivant d’inconnue (x;y) où x>0 et y>0.
{ln(x)+ln(y)=252ln(x)+ln(y)=1
65
[Communiquer.]◉◉◉
Parmi les fonctions suivantes, trouver celles définies pour tout x∈R. Justifier.
f1:x↦ln(x3−1)
f2:x↦ln(x3+x2)
f3:x↦ln(x2+1)
f4:x↦ln(x4+x2)
f5:x↦ln(x−4+1)
f6:x↦ln(x7−x−1)
66
[Calculer.]◉◉◉
Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de définition de l’expression donnée.
1. ln((x+1)2+1)
2. ln(x2−1)
3. ln(x2−4x+4)
4. ln(x2+6x+10)
5. ln(2x−1x+2)
67
[Calculer.]◉◉◉
Étudier les limites suivantes.
1. x→+∞limx2+1sin(ln(x))
2. x→0x>0lim2x2ln(x)
3. x→+∞limln(x3+7x2+3x+4x3+2x2−x+2)
4. x→+∞limln(x3+3x+4x2+2x+7)
68
[Chercher.]
On considère la fonction f définie sur I par f(x)=ln(x)1.
1.
Déterminer l’ensemble de définition I de f.
2.
Montrer que, pour tout x∈I, f′(x)=x(ln(x))2−1.
3.
Dresser le tableau de variations de f sur I. On précisera les équations des éventuelles asymptotes à la représentation graphique de f.
Dessinez ici
69
[Calculer.]◉◉◉
Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur ]1;+∞[.
1. f1:x↦ln(x)+2x
2. f2:x↦x2ln(x)
3. f3:x↦x+1ln(x)+x2
4. f4:x↦ln(x)−ln(x)x3
70
[Calculer.]
Soit n un entier naturel non nul. On note Tn la tangente à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse n. On note An l’abscisse du point d’intersection de Tn avec l’axe des abscisses.
1.
Déterminer, pour tout n∈N∗, une expression de An en fonction n.
2.
Déterminer la limite de An lorsque n tend vers l’infini.
71
[Chercher.]
On note Cf et Cg les représentation graphiques respectives des fonctions f et g définies, pour tout x>0, par f(x)=ln(x) et g(x)=x2. On note respectivement Mx et Nx les points d’abscisses x de Cf et Cg.
Pour quelle(s) valeur(s) de x la distance MxNx est‑elle minimale ?
72
[Chercher.]◉◉◉
Soit α>0. On note Cf et Cg les représentations graphiques respectives des fonctions f et g définies, pour tout x>0, par f(x)=ln(x) et g(x)=αx2.
1.
Trouver la plus grande valeur de α pour laquelle Cf et Cg ont au moins un point d’intersection.
2. a.
Pour la valeur de α obtenue à la question précédente, déterminer le nombre de points d’intersection entre Cf et Cg.
b.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection trouvés.
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