Fonction logarithme népérien

Simplifier les expressions suivantes.

1. \text{e}^{\ln (\ln (5))}

2. \text{e}^{\ln (\text{e}^3)}

3. \ln \left(\mathrm{e}^{\ln (4)}\right)

4. \ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)+\ln (\mathrm{e}) où x \in \mathbb{R}.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier.

1. Si x = \text{e}^5 alors \ln(x) =~5.

2. Si x = \text{e}^5 alors \ln(x) = \text{e}^5.

3. Si \ln(x) = 5 alors \ln(x) =~\ln(5).

Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x \in] 0~;~+\infty[, par f(x)=\ln (x)+2 x+3.

[Calculer.]
Résoudre dans \R l'équation \text{e}^{5 x+1}=2.

[Calculer.]
Résoudre dans \R les équations suivantes.

1. \text{e}^{2 x}-5 \text{e}^{x}+6=0

2. \text{e}^{2 x}-6 \text{e}^{x}+4=0

[Chercher.]
Résoudre dans \R l'équation \mathrm{e}^{3 x}-2 \mathrm{e}^{x}=0.

[Calculer.]
Résoudre dans \R les inéquations suivantes.

1. \text{e}^{2 x}-7 \text{e}^{x}+12 \gt 0

2. \text{e}^{2 x}+ \text{e}^{x}-6 \gt 0

[Calculer.]
Résoudre dans ] 0~;~+\infty[ les équations suivantes.

1. (\ln (x))^{2}+4 \ln (x)+4=0

2. 2(\ln (x))^{2}+20 \ln (x)+43=1

[Calculer.]
Résoudre le système suivant d'inconnue (x~;~y) où x \gt 0 et y \gt 0.

\left\{\begin{array}{c} \ln (x)+\ln (y)=25 \\ 2 \ln (x)+\ln (y)=1 \end{array}\right.

[Communiquer.]
Parmi les fonctions suivantes, trouver celles définies pour tout x \in \mathbb{R}. Justifier.

f_{1}: x \mapsto \ln \left(x^{3}-1\right)

f_{2}: x \mapsto \ln \left(x^{3}+x^{2}\right)

f_{3}: x \mapsto \ln \left(x^{2}+1\right)

f_{4}: x \mapsto \ln \left(x^{4}+x^{2}\right)

f_{5}: x \mapsto \ln \left(x^{-4}+1\right)

f_{6}: x \mapsto \ln \left(x^{7}-x^{-1}\right)

[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer l'ensemble de définition de l'expression donnée.

1. \ln \left((x+1)^{2}+1\right)

2. \ln \left(x^{2}-1\right)

3. \ln \left(x^{2}-4 x+4\right)

4. \ln \left(x^{2}+6 x+10\right)

5. \ln \left(\frac{x+2}{2 x-1}\right)

[Calculer.]
Étudier les limites suivantes.

1. \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin (\ln (x))}{x^{2}+1}

2. \begin{array}{l}\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} 2 x^{2} \ln (x) \\ \end{array}

3. \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{x^{3}+2 x^{2}-x+2}{x^{3}+7 x^{2}+3 x+4}\right)

4. \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{x^{2}+2 x+7}{x^{3}+3 x+4}\right)

[Chercher.]
On considère la fonction f définie sur \text{I} par f(x)=\frac{1}{\ln (x)}.

1. Déterminer l'ensemble de définition \text{I} de f.

2. Montrer que, pour tout x \in \mathrm{I}, f^{\prime}(x)=\frac{-1}{x(\ln (x))^{2}}.

3. Dresser le tableau de variations de f sur \text{I}. On précisera les équations des éventuelles asymptotes à la représentation graphique de f.

[Calculer.]
Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur ] 1~;~+\infty[.

1. \nobreakspace{f_{1}: x \mapsto \ln (x)+2 x}

2. \nobreakspace{f_{2}: x \mapsto \frac{\ln (x)}{x^{2}}}

3. \nobreakspace{f_{3}: x \mapsto \frac{\ln (x)+x^{2}}{x+1}}

4. \nobreakspace{f_{4}: x \mapsto \ln (x)-\frac{x^{3}}{\ln (x)}}

[Calculer.]
Soit n un entier naturel non nul. On note \text{T}_n la tangente à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse n. On note \text{A}_n l'abscisse du point d'intersection de \text{T}_n avec l'axe des abscisses.

1. Déterminer, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, une expression de \text{A}_n en fonction n.

2. Déterminer la limite de \text{A}_n lorsque n tend vers l'infini.

[Chercher.]
On note C_f et C_g les représentation graphiques respectives des fonctions f et g définies, pour tout x \gt 0, par f(x)=\ln (x) \text { et } g(x)=x^{2}. On note respectivement \text{M}_x et \text{N}_x les points d'abscisses x de C_f et C_g.
Pour quelle(s) valeur(s) de x la distance \text{M}_x \text{N}_x est‑elle minimale ?